2012高考数学（文）精英备考专题讲座第四节 数列与不等式的综合应用

第四节 数列与不等式的综合应用

数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：

（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．

（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．

题型一 数列中的不等关系

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4?10，S5?15，则a4的最大值是 . 点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解．

4?3?4a?d?10?2a1?3d?5a4a1?6d?101?解法1：由题意，?，即?，，42????5a1?10d?15?a1?2d?3?5a?5?4d?151??2?a1?3d．

建立平面直角坐标系a1od，画出可行域??2a1?3d?5（图略），画出目标函数即直线

?a1?2d?3a4?a1?3d，由图知，当直线a4?a1?3d过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函

数取最大值a4设

?4．

，

由

解法2：前面同解法1

a1?3d??1(2a1?3d)??2(a1?2d)?2?1??2?1??3?1?2?2?3解得

??1??1???2?3，

∴a1?3d??(2a1?3d)?3(a1?2d)

?2a1?3d?5??(2a1?3d)??5由不等式的性质得：? ?? ??(2a1?3d)?3(a1?2d)?4，即

?a1?2d?3?3(a1?2d)?9a4?a1?3d?4，a4的最大值是4．

解法3：前面同解法1， 5?3d??a4?a1?3d??3d ∴5?3d?a?3?d ∴5?3d?3?d，即d?1

4?222??a4?a1?3d?(3?2d)?3d∴a4?3?d?3?1?4，a4的最大值是4．

易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点

的坐标．

变式与引申1：

（1）等比数列{an}的公比q?1，第17项的平方等于第24项，求使

a1?a2???an?111???? 恒成立的正整数n的取值范围． a1a2an（2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a?R)，且

1，a1

11，成等比数列． a2a4（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对n?N，试比较

*11111?2?3?...?n与的大小． a2a2a2a1a2

题型二 数列、函数与不等式 例2 已知函数f(x)?x?2,x?(0,??)，数列?xn?满足xn?1?f(xn),n?N?，且x1?1． x?1（1）设an?xn?2，证明：an?1?an；

2． 2点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.

（2）设（1）中的数列?an?的前n项和为Sn，证明Sn?【解】（1）an?1?xn?1?2?xn?2x?2 ?2?(2?1)nxn?1xn?1由条件知xn?0 故an?1?(2?1)xn?2?xn?2?an （2）由（1）的过程可知

an?1?(2?1)xn?2?(2?1)2xn?1?2???(2?1)nx1?2?(2?1)n?1，

1?(2?1)易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．

变式与引申2： 已知数列{an}是首项a1?4的等比数列，其前n项和为Sn，且S3,S2,S4成

等差数列。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn?log2|an|(n?1,n?N)，设Tn为数列{求证：Tn?Sn?(2?1)?(2?1)2???(2?1)n?2?1?2. 21}的前n项和， 2n(bn?1)5. 4题型三 数列、解几与不等式

11(n?N*)．从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂?nxx?2线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn?1(xn?1,yn?1)设x1?1,an?xn?1?xn，

例3 如图，已知曲线C:y?,Cn:y?bn?yn?yn?1．

（1）求点Q1、Q2的坐标； （2）求数列{an}的通项公式；

CnyCQnQn+1（3）记数列{anbn}的前n项和为Sn，求证：Sn?1． 3

易错点：（1）Qn(xn,yn),Qn?1(xn?1,yn?1)三点坐标之间的关系不易寻找，要充分利用数形结

?nx?x?2n?1n合解决问题．（2）型递推数列求通项用累加法，求Sn放缩方法不容易找到，

求和就成问题.

x变式与引申3：（2011年陕西文科卷）如图，从点P做x轴的垂线交曲线于点(0,0)y?e1Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重

复上述过程得到一系列点：P1,Q1;P2,Q2......;P,2,...,n). n,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k?1（Ⅰ）试求x1与xk?1的关系(2?k?n) （ Ⅱ）求PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn．

题型四 数列与不等式的探索问题

例4设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记

bn?4?an(n?N*). 1?an（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（III）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?3； 2点拨：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在. 解（1）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??1. 4an?11?? an4111n∴数列?an?是首项为a1??，公比为q??的等比数列，∴an?(?)，

4445 bn?4?n(?4)?1（2）不存在正整数k，使得Rn?4k成立.

又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1?an?1?an?5an?1,即证

明

：

1k?b2k??bk?8?∴

当

5(?2k??为

??偶

k???数

??k?4?1?设

n时，

?5k?8? 2kk??)n?2m(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n

当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n

∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k ∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立． （

3

）

cn?b2n?b2n?1

又b1?3,b2?5525?16n25?16n25?16n25?2n?2n?1????4?14?1(16n?1)(16n?4)(16n)2?3?16n?4(16n)216n134∴c1?， 当n?1时，33T1?当

3， 2n?2时

，

411141?162?n425693Tn??25?(2?3???n)??25?????

3316?153240482161616

易错点：（1）在第二问中对n不加讨论，导致结论不正确；（2）找不到cn的放缩技巧，也有可能放得过大而无法证明

变式与引申4：已知数列?an?和?bn?满足a1?m,an?1??an?n,bn?an?(Ⅰ) 当m?1时,求证: 对于任意的实数?,?an?一定不是等差数列； (Ⅱ) 当???2n4?. 391时,试判断?bn?是否为等比数列. 2本节主要考查：数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能. 点评：

（1）数列与不等式作为高中数学代数五大内容的两大核心内容，其在高考试卷中处于核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求． （2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：①建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．

（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：①猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；②判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾．

（4）数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不

等式有：①利用迭代法构建关系进行放缩；②利用累加法构建关系进行放缩；③利用累乘法构建关系进行放缩；④利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列．

习题3－4

1．数列{an}的通项公式an?n2?kn,若此数列满足an?an?1(n?N),则k的取值范围是 A,k??2 B,k??2 C,k??3 D,k??3 2．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q, 则q的取值范围是（ ） A．(0,?1?5?1?51?51?51?5,1] C．[1,,) ) B．() D．(222223．已知?为锐角，且tan??22?1，

函数f(x)?xtan2??x?sin(2?? ⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an?1?an.

?4)，数列{an}的首项a1?1,an?1?f(an). 2x2?x?n(n?N?,y?1)的最小值为an,最大值为4．函数y?bn,且2x?11cn?4(anbn?),数列{Cn}的前n项和为Sn．

2 （Ⅰ）求数列{cn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{dn}是等差数列，且dn? （Ⅲ）若f(n)?Sn，求非零常数c； n?cdn(n?N?)，求数列{f(n)}的最大项．

(n?36)dn?15．(2011全国理科)设数列?an?满足a1?0且（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?

11??1.

1?an?11?an1?an?1n,记Sn??bk,证明：Sn?1.

k?1n【答案】

故通项公式an?na.

（Ⅱ）解：记Tn?111????,因为a2n?2na a2a22a2n

11(1?()n)11111112所以Tn?(?2???n)??2?[1?()n]

1a22aa221?2从而，当a?0时，Tn?

11；当a?0时,Tn?. a1a1

变式与引申2：

解：设数列{an}的公比为q

（1）若q?1，则S3?12,S2?8,S4?16

显然S3,S2,S4不成等差数列，与题设条件矛盾，所以q≠1

a1(1?q2)a1(1?q3)a1(1?q4)由S3,S2,S4成等差数列，得2 ??1?q1?q1?q化简得q?q?2?0,?q??2，或q?（舍去） 12

∴an?4(?2)n?1?(?2)n?1

（2）证：bn?log2|an|?log2|(?2)n?1|?n?1

当n≥2时，

1111111????[?] 232n(bn?1)nn(n?1)(n?1)n(n?1)2(n?1)nn(n?1)

Tn?1111111111???????1?[(?)]?(?)??????] 33312n21?22?32?33?4(n?1)nn(n?1)1115]?1???

n(n?1)224

=1+[?1122

变式与引申3：

?【解】（Ⅰ）设Pk?1(xk?1,0)，由y?e得Qk?1(xk?1,exxk?1)点处切线方程为

y?exk?1?exk?1(x?xk?1)

由y?0得xk?xk?1?1(2?k?n)。

（ Ⅱ）x1?0,xk?xk?1??1，得xk??(k?1)，

xkPQ?e?(k?1) kk?eSn?PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn

?1?e?e?...?e

变式与引申4：

【解析】（Ⅰ）当m?1时, a1?1,a2???1,a3??(??1)?2??2???2

假设?an?是等差数列,由a1?a3?2a2得????3?2(??1),??0 ， 方程无解.

2?1?2?(n?1)1?e?ne?e1?n?? 1?e?1e?1故对于任意的实数?,?an?一定不是等差数列.

112n42(n?1)4?,所以bn?1?an?1?? 时,an?1??an?n.而bn?an?22393912(n?1)41n212n41?=??an????(an??)??bn. ?(?an?n)?2392392392242又b1?m???m? .

399（Ⅱ）当???

2时, ?bn?不是等比数列. 9221当m?时, ?bn?是以m?为首项,?为公比的等比数列.

992故当m?习题3－4

1. 答案D 解析：1由an?1?an?(2n?1)?k?0,n?N*恒成立,有3?k?0,得k??3.

?a?aq?aq2?q2?q?1?0??2. 【答案】D 解析： 设三边为a,aq,aq2,则?a?aq2?aq，即?q2?q?1?0

?aq?aq2?a?q2?q?1?0???1?51?5?q??22??1?51?5? 得?q?R，即 ?q?22??q??1?5,或q??1?5?22?2tan?2(2?1)??1 又∵?为锐角 221?tan?1?(2?1)?? ∴2?? ∴sin(2??)?1 f(x)?x2?x

4412 ⑵ an?1?an?an ∵a1? ∴a2,a3,?an都大于0

22 ∴an?0 ∴an?1?an

3：解：⑴tan2??

36即n?6时取\?\n

1?f(n)的最大值为.49当且仅当n?5.解： (I) {1}是公差为1的等差数列， 1?an11??(n?1)?1?n. 1?an1?a1所以an?n?1(n?N?) n(II)bn?n1?an?1n1??nn?1?1?1 nnn?1Sn??bk?(k?11111111?)?(?)???(?)?1??1. 1223nn?1n?1

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