湖南师范大学基础高等数学复习题

湖南师范大学基础高等数学 期末复习题

一、填空题

1、若f(x)的定义域为( ,0),则f(lnx)的定义域为；

2、lim

x 0

x

sint2dtx

3

3、

1

1

dx x2

4、若 f(x)dx xex c,则f(x) 5、函数f(x) x2 2x 3 在 1,2 上满足拉格朗日中值定理的 =6、曲线y 2x2 3x 26在点(3,1)处的切线的斜率k 7、若f(1) (1 x)2 则f(x)

xx8、设f(x) x(x 1)(x 2) ,则 f ( 1) ; 9、设y f(cosx),f(u)可导,则dy 10、若 f(x)dx ex c,则f(x)；11、 (x)

sintdt,则 (x) 2

x

12、在 0,2 上曲线y sinx与x轴所围成的图形的面积为 . 13、设y e

sinx

d2y

，求2

dx

e2x b,x 0;

14、设f(x) 在x 0处可导, 则a ;b ;

sinax,x 0

15、已知e16、

x

是f(x)的一个原函数,则xf (x)dx

1

1

(x arcsinx)dx

17、函数y x x的极大值为18、若

dx2'

f(t)dt sin(x),则f(x) . dx 0

二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分.）.

1、limxsin （ ）

x x

① 1 ② ③不存在 ④ 0

2、设函数f(x) x，则f(x)在点x 0处 （ ） ①可导 ②不连续

③连续，但不可导 ④可微

3、当x 0时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①

1sinx11

②x2sin ③ln(x 1) ④1

xxxx

4、设函数f(x)在x0处具有二阶导数，且f (x0) 0，f (x0) 0，则f(x0)为

① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值

5、设sinx是f(x)的一个原函数，则 f(x)dx （ ）

①sinx C ② cosx C

③sinx cosx C ④xsinx C 6、 1

e

1

= ( )

x(1 lnx)

① ln2 1 ②ln2 C ③2 ④ln2

7、设y sin2x, 则dy （ ） ① 2sinxcosx ② 2cosxdx ③ 2sinxdx ④sin2xdx

x,x 0

8、点x 0是函数f(x) x的 （ ）

e 1,x 0①连续点 ②可去间断点

③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、lim

sin3x

（ ）

x 0x

①1 ② 2 ③ 3 ④ 10、

e

1x lnx

1

= ( )

① 22 ②2 1 ③2 1 ④2(2 1)

11、设cosx是f(x)的一个原函数，则

f(x)dx （ ）

①sinx C ② cosx C ③sinx cosx C ④xsinx C

12、

e

1

dx

( )

x(1 2lnx)

11

ln3 ③ln2 ④ ln2

22

①ln3 ②

13、曲线y 2x2 3x 26在点(3,1)处的切线的斜率k ( )

①3 ②1 ③15 ④ 0

x2 1,x 1,

14、设f(x) ，则f(x)在x=1处 ………………………………( )

3x 1,x 1①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设f'(x0)存在，则lim

h 0

f(x0 2h) f(x0)

………………………..….. ( )

h

①f'(x0) ②f'(x0 h) ③2f'(x0 h) ④2f'(x0) 16、下列函数中，为y 2(e2x e 2x)的原函数的是………………………….( )

11

① e2x e 2x ②(e2x e 2x) ③e2x e 2x ④(e2x e 2x)

22

三、计算题

112dyd2y

1、设x t ,y t lnt,求,2。

t2dxdx

2、确定函数f(x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间与极值。 3、求 xsin3xdx。 4、求

20

2 x2dx

x cost

5、求曲线 上对应t 点处的切线方程和法线方程.

4 y sint

6、求函数 y xe

2 x

的极值.

7、求定积分 8、求

4

x 22x 1

.

sin3x sin5xdx.

9、求

2x 1

.

x3 2x2 x

x

10、设y x(x 0),求dy

3

x etsint,dy

11、设方程 确定函数y y(x),求t

dx y ecost12

、求积分t

.

. 13

、求积分.

四、应用题与证明题

1、由曲线y lnx,x e与y 0所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V.

2、求由曲线y x2与直线x 1,x 2,y 0所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

3、铁皮做成一个容积为V0的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少？ 4、抛物线y x2及直线y x 2所围图形的面积.

x

ln(1 x) x,(x 0) 1 x

6、求证： xf(sinx)dx f(sinx)dx.。

020

5、证明：

注：请各位老师务必抓好期末复习工作，努力提高学生及格率。

湖南师范大学基础高等数学 期末复习题参考答案

一、填空题

1、(0,1); 2、 ; 3、1 ;4、ex(x 1);5、

9、 f (cosx)sinxdx;10、

13

1

6、15. 7、(1 x)2 8、－1; 2

ex;11、sinx;12、0.13、y cosxesinx，.

d2ysinxsinx2

(cosxe) e( sinx cosx)；14、a 2,b 1； 2

dx

16、

15、xf (x)dx

1 1

x x

xdf(x) xf(x) f(x)dx xe e C.

(x arcsinx)dx xdx arcsinxdx 2 xdx 0 1.

1

1

111

5

；18、2xcos(x2)。 4

二、选择题（共7个小题，每小题4分，共28分）

1、 ② 2、 ③ 3、 ② 4、④ 5、① 6、④ 7、④8、① 9、③ 10、④ 11、② 12、② 13、 ③ 14、 ④ 15、④；16③； 三、计算题

dyd2yt2

t, , 2 1、

dx1 t2dx

2、函数的定义域为( , )，f (x) 6x 18x 12 6(x 2)(x 1), 令f (x) 0,即解6(x 2)(x 1) 0,得出它的两个根x1 1,x2 2.

2

即函数f(x)在 ,1 和 2, 上单调增加,在 1,2 上单调减少.

x 1极大值点，极大值f(1) 2;x 2为极小值点, 极大值x 1,f(2) 1

xsin3xdx

x11x1xdcos3x cos3x cos3xdx cos3x sin3x c。 ==3 33 39

2

4. 令x 2sint ，

2 xdx 22 2sin2

t 2costdt

2

2 2cos2tdt

2

。

5、解:x cost

t

4

2

,y sint2

t

4

2. 2

dydx

t

4

costsint

t

4

1, 从而得切线方程为: y

22 (x )或22

y x 2,法线方程为: y

22

(x )或y x. 22

6、y' xe x(2 x),令y' 0 x 0,x 2,列表讨论：

x=0为极小值点，极小值为f (0)=0 ,x=2为极大值点，极大值为f(2) 4e 2

t2 1

7、、解令2x 1 t,x ,dx tdt.

2

4

x 2

22132

(t 3)dt

1322x 1

12、

2

sinx sinxdx

3

35

3

sinx(1 sinx)dx

32

sin

32

xcosxdx

sinxd(sinx)

sinxd(sinx)

224

( ) 。 555

8、解将被积函数分解成部分分式之和,

2x 12x 1ABC

. 3222

xx 1(x 1)x 2x xx(x 1)

其中A、B、C为待定常数，下面用“取特殊值法”求出待定系数.

两端去分母后，得

2x 1 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx.

令x 0,得A 1,令x 1,得C 3,令x 2,得B 1,于是

2x 1111

3 x3 2x2 x x x 1 (x 1)2dx

lnx lnx

3x3 C ln C. x 1x 1x 1

9、在方程y xx两边同时取对数得 lny xlnx 同时对x求导得

1dy

, dy xx[lnx 1]dx. lnx 1

ydx10、

dyetcost etsintcost sint

t， t

dxesint ecostsint

costdydx

t

3

2. 11、

t,则x t2 1,dx 2tdt,

12

、

t3t2 12

c 2tdt 2

(t 1)dt 2( t) c 3t

4

4(cos sinx)dx

(sinx cosx)

1.

四、应用题与证明题

1、 A= 1lnxdx 2、V= 1

ee

e

xlnx1 1dx 1 ； V 1y2dx 1x4dx

e

2

2

31

5

e

y2dx 1ln2xdx [xln2x1 2 1lnxdx] [e 2]

ee

3、设圆柱形匣子底半径为r, 高为h,表面积为S,则V0 r2h, h

V02V04 r3 2V02

,S S 2 r 2 r2 2 r , 令S 0,得 2r rr

2

V0

r2

r V0VV

,h 20,故当r 0,h 2r 才能使所用铁皮最少。 2 2 2

4、y x2及y x 2得交点坐标(-1,1),(2,4),

x2x3 面积A = (x 2 x)dx 2x

13 2

2

2

2

1

9 . 2

x

,0 x 1

5、设f(x) ln(1 x),在[0,x]上应用拉格朗日定理有ln(1 x)

从而得：1

x11xx

ln(1 x) x。 ,于是有x ,即

1 x1 1 x1 1 x

6、证:令x t,则dx dt,当x 0时，t ，x 时t 0, 令I

xf(sinx)dx ( t)f(sin( t))dt ( t)f(sitn)dt

0

0

f(sint)dt

tf(sint)dt f(sint)dt I， I

2

f(sinx)dx。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pi71.html