江西师大附中等七校2011届高三4月联考数学（理）试题及答案

江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中、

白鹭洲中学、南昌三中、上饶二中高三数学（理科）联考试卷

命题人：师大附中 郑永盛 审题人：鹰潭一中 仇裕玲

1参考公式：锥体的体积公式V?Sh，其中S表示底面面积，h表示锥体的高．

3球的表面积公式S?4?R2，其中R为球的半径.

如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)． 如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上） 1．已知复数z?1?i，z是z的共轭复数，则z等于 1?iB．2

C．1

D．

A．4

1 22．下列说法中，正确的是

22A．命题“若am?bm，则a?b”的逆命题是真命题

B．命题“?x?R，x?x?0”的否定是：“?x?R，x?x?0” C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D．已知x?R，则“x?1”是“x?2”的充分不必要条件 3．抛物线y??2x2的焦点坐标是 111A．(?,0) B．(?1,0) C．(0,?) D．(0,?) 482(ab?0)的一条对称轴的方程为x?4．函数y?asinx?bcosx　　www.k@s@5@u.com高考资源网22?4?，则以v?(a,b)为方向向

量的直线的倾斜角为

??A．45 B．60 C．120? D．135?

??5．已知两不共线向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，则下列说法不正确的是 ．．．

????A．(a?b)?(a?b)

??B．a与b的夹角等于???

????C．a?b?a?b?2

????D．a与b在a?b方向上的投影相等 ?(1?3a)x?10x?66．已知函数f(x)??x?7 ，若数列?an?满足an?f(n)(n?N*)，且?an?是

x?6?a递减数列，则实数a的取值范围是

111155A．(,1) B．(,) C．(,) D．(,1)

323663

7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

1619A．? B．?

33194C．? D．?

1238．函数f(x)?xcosx的导函数f?(x)在区间[??,?]上的图像大致是

9．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,?,9的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 A．108种 B．60种 C．48种 D．36种 10．如右图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为

c1和c2．则下列结论不正确的是 ．．．

1 4 7

2 5 8 3 6 9 A．a1?c1?a2?c2 C．a1c2?a2c1

B．a1?c1?a2?c2 D．a1c2?a2c1

. F www.k@s@5@u.com高考资源网Ⅱ Ⅰ

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．其中15题是选做题，请把答案填在答题卡的相应横线上.

11．按如下程序框图运行，则输出结果为_____． 开始 i?1S?0S?S?2i否i?i?2结束i?9是输出S

12．如图，圆O：x2?y2??2内的正弦曲线y?sinx与x轴围成

的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是________

13．某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)（毫克/毫升）随时间x（小时）变化

?5x?2,0?x?1?的规律近似满足表达式f(x)??31x．《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处

?(),x?1??53罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．（不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时）．

14．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，

得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列?an?，若an?2011，则n?__________．

15．选做题（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计

分）

（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线

????sin?????2http://www.ks5u.com/被圆??4http://www.ks5u.com/截得的弦长为

4??_______________. （2）（不等式选讲选做题）若不等式|x?2|?|x?3|?a的解集为?，则实数a的取值范围为_______．

三、解答题（本大题共计6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（★请在答题卡的指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分）

已知函数f?x??3sin2x?23sinxcosx?5cos2x．（1）若f????5，求tan?的值；

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a2?c2?b2c（2）设?ABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且2，求f(x)在?0,B??a?b2?c22a?c上的值域．

17．（本小题满分12分）

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方

1多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p?)，且各局胜负相互独立．已

25知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．

9（1）求p的值；

（2）设?表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量?的分布列和数学期望E?． 18．（本小题满分12分）

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，?BAC?30?，BM?AC交AC于点M， EA?平面ABC，FC∥EA，AC?4，EA?3，FC?1． （1）证明：EM?BF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1?4, an?1?3an?2n?1?4n . (n?N*)

（1）李四同学欲求{an}的通项公式，他想，如能找到一个函数

f(n)?A?2n?1?B?n?C ，(A、B、C是常数)把递推关系变成

就容易求出{an}的通项了.请问：他设想的f(n)an?1?f(n?1)?3[an?f(n)]后，

存在吗？{an}的通项公式是什么？

（2）记Sn?a1?a2?a3???an，若不等式Sn?n2?p?3n对任意n?N*都成立，

求实数p的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知双曲线x2?y2?1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y?kx?m与圆x2?y2?1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2). （1）求k的取值范围，并求x2?x1的最小值； （2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，

那么k1?k2是定值吗？证明你的结论.

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?exlnx.

（1）求函数f(x)的单调区间； （2）设x?0，求证：f(x?1)?e2x?1；

（3）设n?N?，求证：ln(1?2?1)?ln(2?3?1)???ln?n(n?1)?1??2n?3.

高三联考数学（理科）参考答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 二、填空题 11． 170

12．

4?3 13．4 14．1028

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15．（1）43http://www.ks5u.com/ (2)(??,5]三、解答题

16．解：（Ⅰ）由f????5，得3sin2??23sin?cos??5cos2??5．

1?cos2?1?cos2??3sin2??5?5． ∴3sin2??cos2??1， 22即3sin2??1?cos2? ?23sin?cos??2sin2? ∴3sin??0或tan??3， ∴tan??0或tan??3．??????5分

2accosBccosB1cosB11（Ⅱ）由?,即?,得?,则cosB?即

2abcosC2a?cbcosC2a?csinBcosC2sinA?sinC23又f?x??3sin2x?23sinxcosx?5cos2x?3sin2x?cos2x?4＝

π)?4???????????????10分 6?1π由0?x?，则剟sin(2x?)1，故5剟f(x)6，即值域是?5,6?.???12分

32617．解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．

521?有p2?(1?p)2?． 解得p?或p?．

93312?p?， ?p?． ????????????5分

23（Ⅱ）依题意知，依题意知，?的所有可能值为2，4，6．??????6分

5设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则

9甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．

555205516从而有P(??2)?， P(??4)?(1?)()?， P(??6)?(1?)(1?)?1?．

999819981 ??????????????????10分

?随机变量?的分布列为：

? 2 4 6 2sin(2x?P B??，?????????????8分

5 920 8116 81 52016266则E??2??4??6??. ????????12分

981818118．解：（法一）（1）?EA?平面ABC，BM?平面ABC， ?EA?BM． 又?BM?AC，EA?AC?A， ?BM?平面ACFE E 而EM?平面ACFE

?BM?EM． ?AC是圆O的直径，??ABC?90?．

O ? M F C G A

又??BAC?30?，AC?4，

?AB?23,BC?2,AM?3,CM?1．

FCGC1??， ?EA?平面ABC,FC//EA，

EAGA3?FC?平面ABCD．

??EAM与?FCM都是等腰直角三角形． ??EMA??FMC?45?．

??EMF?90?，即EM?MF（也可由勾股定理证得）． ?MF?BM?M， ?EM?平面MBF． 而BF?平面MBF，

?EM?BF．????????????????6分

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH?BG，连结FH． 由（1）知FC?平面ABC，BG?平面ABC， ?FC?BG．

而FC?CH?C，?BG?平面FCH． ?FH?平面FCH， ?FH?BG，

??FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角． ????8分

在Rt?ABC中，??BAC?30?，AC?4， ?BM?AB?sin30??3． FCGC1由??，得GC?2． EAGA3?BG?BM2?MG2?23． 又??GCH~?GBM，

GC?BM2?3GCCH??1． ，则CH???BGBGBM23??FCH是等腰直角三角形，?FHC?45?．

?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为2． ?????12分 2（法二）（1）同法一，得AM?3，BM?3． ?????3分 如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系． 由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(3,3,0),F(0,4,1)， ???????? z ?ME?(0,?3,3),BF?(?3,1,1)．

????????E 由ME?BF?(0,?3,3)?(?3,1,1)?0， ?????????得MF?BF， ?EM?BF． ???6分

????????（2）由（1）知BE?(?3,?3,3),BF?(?3,1,1)．

?设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，

www.k@s@5@u.com高考资源网F O ? M C y ?????????????3x?3y?3z?0由n?BE?0,n?BF?0, 得?，

x ???3x?y?z?0?令x?3得y?1,z?2，?n?3,1,2， ?????9分

????由已知EA?平面ABC，所以取面ABC的法向量为AE?(0,0,3)， 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为?，

??3?0?1?0?2?32?则cos??cos?n,AE??， 23?22A B ??

2． ????12分 219．解（1）?an?1?f(n?1)?3[an?f(n)] ?an?1?3an?f(n?1)?3f(n),

?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为所以只需f(n?1)?3f(n)?2n?1?4n,

?f(n?1)?3f(n)??A?2n?1?2Bn?(B?2C),??A?1,?2B??4,B?2C?0, ?A??1,B?2,C?1.故李四设想的f(n)存在，f(n)??2n?1?2n?1.

?an?f(n)?3n?1[a1?f(1)]?3n?1(4?2)?2?3n?1,

?an?2?3n?1?f(n)?2?3n?1?2n?1?2n?1.???????5分

（2）Sn?2(1?3?32???3n?1)?(1?2???2n?1)

?[3?5???(2n?1)]?3n?2n?n2?2n. ?Sn?n2?3n?2n?2n,???7分

3n?2n?2n2n?2n由Sn?n?p?3，得 p?. ?1?3n3n3n?2n?2n设bn?，则

3n2n?1?2(n?1)2n?2n2n?4n?22n?2(2n?1),???9分 bn?1?bn?1??1???3n?13n3n?13n?1当n?4时

012n?2n?12n?1?(1?1)n?1?Cn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?Cn?1?2?2(n?1)?2n?2n?1 （也可用数学归纳法证明）

2n?n?4时， bn?1?bn. 容易验证 ,当1?n?3时,bn|?1?bn,?p?(bn)min?b4?73, 8173). ?????????? 12分 81m20．解：（Ⅰ）?l与圆相切,?1? ?m2?1?k2 ???? 2分

1?k2?y?kx?m由?2 , 得 (1?k2)x2?2mkx?(m2?1)?0, 2?x?y?1?p的取值范围为 (??,??1?k2?0??????4m2k2?4(1?k2)(m2?1)?4(m2?1?k2)?8?0 , ?2m?1?x1?x2??0?k2?1??k2?1,??1?k?1,故k的取值范围为(?1,1).???????4分

由于x1?x2?2mk22222， ?x?x?(x?x)?4xx??2112122221?k1?k1?k?0?k2?1 ?当k2?0时，x2?x1取最小值22.?????? 7分

（Ⅱ）由已知可得A1,A2的坐标分别为(?1,0),(1,0)， yyy1y2(kx?m)(kx2?m)?k1?1,k2?2， ?k1?k2??1

x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)m2?12mkk?2?mk?2?m222kx1x2?mk(x1?x2)?mk?1k?1??

x1x2?(x2?x1)?1m2?122??1k2?1k2?1m2k2?k2?2m2k2?m2k2?m2k2?m2??2， 222m?1?22?k?1m?k?2?222

由 m2?k2?1， ?k1?k2??13?2221、解：（1）定义域为(0,??)，由f'(x)?exlnx(lnx?1)??????2分

11令f'(x)?0,解得x?;令f'(x)?0,解得0?x?.

ee11故f(x)的增区间：(,??) ， 减区间：(0,)????????5分

ee2x?12x?1（2）即证：(x?1)ln(x?1)?2x?1?ln(x?1)??ln(x?1)??0

x?1x?113x?22x?1??令g(x)?ln(x?1)?，令g'(x)?0，得x?2，且g(x),由g'(x)?22x?1(x?1)(x?1)x?1在(0,2)?,在(2,??)?，所以g(x)min?g(2)?ln3?1,

故当x?0时，有g(x)…g(2)?ln3?1?0得证????????10分

2x?13（3）由（2）得ln(x?1)?，即ln(x?1)?2?,

x?1x?133?2?,则 所以ln?k(k?1)?1??2?k(k?1)?1k(k?1)ln(1?2?1)?ln(2?3?1)???ln?n(n?1)?1??(2?3?2n?3.n?1????????????????14分 ?2n?3??333?)?(2?)????2?1?22?3n(n?1)?????(3?22)为定值. ????13分

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