圆锥曲线部分常见结论

沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理，希望对大家有帮助，疏漏之处请指正 椭圆常见结论

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 2ab?a?x?a且?b?y?b y2x2?2?1?a?b?0? 2ab?b?x?b且?a?y?a 范围 ?1??a,0?、?2?a,0? 顶点 ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 焦点 焦距 对称性 短轴的长?2b 长轴的长?2a F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 cb2e??1?2?0?e?1?e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁aa 1.椭圆的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1?PF2?2a; (2)a?c?PF1?a?c; (3)b?PF1?PF2?a;

22x2y22. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为F1,F2,P?x0,y0?是椭圆上

ab任

意

一

点

,

则

有

:

(1)

b22a2222y0?2?a?x0?,x0?2?b?y02?ab2;

(2)|PF1|?a?ex0,|PF2|?a?ex0; (3)b?OP?aO为原点;

??

1

(3)??x0?acos??为参数?; ??y0?bsin?3.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则

?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?c|yP|=btan.(3)当P点位于短轴顶点处

21?cos?2时, ?最大,此时S?PF1F2也最大;(4) cos??1?2e.（5）点M是?PF1F2内心，PM交F1F2于点N，则

|PM|a?.

|MN|cx2y24.AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2kOM?kAB??2，

ab2x0即KAB??2。

ay0x2y25. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0），A1,A2为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长

abb2轴顶点的任一点，则有KPA1KPA2??2

ax2y26. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0），B1,B2为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短

abb2轴顶点的任一点，则有KPB1KPB2??2

ax2y27. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于A,B两点，P点是椭圆上

abb2异于A,B两点的任一点，则有KPAKPB??2

ax2y2?2?1上，则（1）以P8. 若P0(x0,y0)在椭圆0(x0,y0)为切点的切线斜率为2abx0xy0yb2x0?2?1. （2）过P的椭圆的切线方程是k??2；0a2bay0x2y29.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦

abxxyyP1P2的直线方程是02?02?1.

ab10.椭圆的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2交点的轨迹方程是2?2?1.

ab11.过椭圆上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC

有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0

2

12. 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则e?csin????? . ?asin??sin?13. P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

14.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）

2

2

1111???2;222|OP||OQ|ab4a2b2a2b2（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是2. 22a?ba?b15. 已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

a2?b2a2?b2??x0?.

aa16. 离心率e=

cb2b2（）=1?、e2=1- （）aaa17. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为

2b2 a18.如图所示,△ABF2的周长为4a,

19. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.

x2y220. 过椭圆2?2?1(a?b?0)左焦点的焦点弦为AB,则AB?2a?e(x1?x2)；过右焦

ab点的弦AB?2a?e(x1?x2).

21. 内接矩形最大面积：2ab.

x2y222. 若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设

ab过F1的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①

b2b2２ab2AF1?,BF1? ；②AB?２２２

a?ccos?a?ccos?a?ccos?x2y2若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设

ab

3

过F２的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①

b2b22ab2AF,BF ；②AB?２２２ ２?２?a＋ccos?a－ccos?a?ccos?2ab2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB?２２２（a为长半轴，b为

a?csin?短半轴，c为半焦距）

?2ab2?焦点在x轴上???a２?c２cos２?结论：椭圆过焦点弦长公式：AB?? 22ab??焦点在y轴上???a２?c２sin２?23.若AB是过焦点F的弦,设AF?m,BF?n,则1?1?2a

2mnb双曲线常见结论 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2??1?a?0,b?0? a2b2x??a或x?a，y?R y2x2??1?a?0,b?0? a2b2y??a或y?a，x?R 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 ?1??a,0?、?2?a,0? F1??c,0?、F2?c,0? ?1?0,?a?、?2?0,a? F1?0,?c?、F2?0,c? 虚轴的长?2b 实轴的长?2a F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 cb2e??1?2?e?1?，e越大，双曲线的开口越阔aa

4

渐近线方程 y??bx ay??ax b1.双曲线的两焦点分别为F1,F2,P是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1?PF2?2a; (2)PF1min?a?c,PF2min?c?a?P在右支上?;

PF2min?a?c,PF1min?c?a?P在左支上?

x2y2 2. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0）, ,P?x0,y0?是双曲线上任意一点,则有:

abb2a22222y0?2?x0?a?,x0?2?b?y02?;

ab23.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则

?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?c|yP|=bcot.

21?cos?x2y24.AB是双曲线2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2kOM?kAB?2，

ab2x0即KAB?2。

ay0x2y25. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0），A1,A2为双曲线的实轴顶点，P点是双曲

abb2线上异于实轴顶点的任一点，则有KPA1KPA2?2

ax2y26. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0），B1,B2为双曲线的虚轴端点，P点是双曲

abb2线上异于虚轴端点的任一点，则有KPB1KPB2?2

ax2y27. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于A,B两点，P点

abb2是双曲线上异于A,B两点的任一点，则有KPAKPB?2

ax2y28. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1上，则（1）以P0(x0,y0)为切点的切线斜率为

abx0xy0yb2x0?2?1. （2）过P的双曲线的切线方程是k?2；0a2bay0

5

x2y29.若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切

abxxyy点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ab10. 双曲线的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1x2y2与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

ab11.过双曲线上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线

BC有定向且kBCb2x0??2（常数）.

ay012. 离心率e=

b2cb2=1?、e2=1+（） （）aaa2b213. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为,

a14.双曲线焦点到渐近线的距离总是b.顶点到渐近线的距离为

ab ca2b215.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值2

cx2y216. 与双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为

abx2y2?2?????0? 2abx2y217.已知双曲线的渐近线方程为bx?ay?0，则双曲线方程可设为2?2?????0?

ab18. 双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.

x2y219. 设双曲线2?2?1，其中两焦点坐标为F1??c,0?,F2?c,0?，过F1的直线l的倾斜

ab角为?，交双曲线于A、B两点， 焦点在x轴的焦点弦长为

6

?2ab2A,B在同一支曲线上???２２２?a?ccos? AB??22ab?A,B在两支曲线上?２２２???ccos??a其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，

为AB的倾斜角。

20. 若AB是过焦点F的弦,设AF?m,BF?n, ,AB交在同支时, 支时,

112a,AB交在两??mnb2112a??2 (设m?n) mnb21. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项

抛物线常见结论：

y2?2px 标准方程 y2??2px x2?2py x2??2py ?p?0? 范围 顶点 对称轴 ?p?F?,0? ?2??p?0? x?0 ?p?0? y?0 ?p?0? y?0 x?0 ?0,0? x轴 ?p?F??,0? ?2?p??F?0,? 2??y轴 焦点 p??F?0,?? 2??准线方程 离心率 焦半径 x??p 2x?p 2y??p 2y?p 2e?1，p越大，抛物线的开口越大 MF?x0?p 2MF??x0?ppp MF?y0? MF??y0? 222M(x0,y0) 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH??2p 21.设AB为过抛物线y?2px(p?0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为?，则

7

ppppp2,BF?x2??,y1y2??p2; 2.AF?x1??1.x1x2?

21?cos?21?cos?43.AB?x1?x2?p?321122pOA?OB??p； ;4.；5.??4sin2?|FA||FB|P6.S?AOB11p2?OAOBsin?AOB??OF?hF?； 222sin?7.以AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切； 8.焦点F对A、B在准线上射影的张角为

???； 29.如图所示，以A,B两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有：（1）M点必在准线上；（2）设线段AB的中点为N，则MN//x轴，即yM?（3）MF?AB

10. AB的中垂线与X轴交于点R，则11.以A为切点的切线斜率为

y1?y2；2AB?2FR

p ，切线方程为 y1y1y?p?x?x1?

12.已知抛物线方程为y2?2px(p?0)，定点M?m,0??m?0?，直线l过点M交抛物线于A，B两点，A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有x1x2?m2,y1y2??2pm ；

13.已知A，B是抛物线y?2px(p?0)两点，且直线AB不垂直于x轴，则有：

2KAB?2pp??y为线段AB中点纵坐标?

y1?y2y中中2?x?2pt2?x?2pty?2px（或x?2py）的参数方程为?（或）（t为参数）. ?214.y?2pty?2pt??215.抛物线y=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质： ①x1x2?4P,y1y2??4P； ②lAB恒过定点(2p,0)；

③A,B中点轨迹方程：y?p(x?2p)；

222④OM?AB，则M轨迹方程为：(x?p)?y?p；

2222⑤(S?AOB)min?4p2.

8

16.抛物线y=2px(p>0)，对称轴上一定点A(a,0)，则： ①当0?a?p时，顶点到点A距离最小，最小值为a；

②当a?p时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2ap?p2.

2

17. 抛物线y=2px(p>0)与直线y?kx?b相交于A?x1,y1?,B?x2,y2?且该直线与y轴交于点

C?0,y3?，则有1?1?1

y1y2y3218. 过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别为A1,B1，则?A1FB1?900；其逆命题：若?A1FB1?900，则A、F、B三点共线。

※若点M是准线上任一点，则?AMB?900

一些有用的结论：

⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；

⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（?1?m?0时，焦点在x轴上；当 m??1时，焦点在y轴上）

⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；

⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；

⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。 7. 斜率为k的直线交圆锥曲线于两点A?x1,y1?，B?x2,y2?时，则

2

AB=1?k2x1?x2=1?k2111?=y?y12k2k2?x1?x2?22?4x1x2?1?k2? 'a=1??y1?y2??4y1y2?1?221? 2ka'8. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx?ny?1 （m,n同时大于0时表示椭圆，mn?0时表示双曲线）；

2y09. 对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0)，以简化计算.

2p2

10. 有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的

9

?焦点在x轴上，e2?1斜率之积为?（对圆则是－１，为什么？）

?1?焦点在y轴上,2?e?1

直线与圆常见结论

1．直线的斜率与倾斜角 倾斜角?，??[0,?)； 斜率：k?tan?(??y2?y1(x1?x2).

2x2?x1????0?k?0；0????k?0且??，k?+?

22??????k不存在；?????k?0且????，-??k?0

222)；斜率公式：k??2．直线方程

⑴点斜式：y?y0?k(x?x0)；斜截式：y?kx?b.

y?y1x?x1xy；截距式：??1. ?aby2?y1x2?x1⑶一般式：Ax?By?C?0，（A,B不全为0）；直线的方向向量：(B,?A)或(1,k)，法向量(A,B).

⑵两点式：

3．直线的平行关系与垂直关系 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0 k1?k2,b1?b2 A1B2?A2B1,且B1C2?B2C1（验证） k1?k2??1 A1A2?B1B2?0 l1,l2斜率存在 不可写成分式 4．两条直线的交点 联立方程

5．两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离 （1）PP12??x1?x2?2??y1?y2? 2（2）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离：d?Ax0?By0?C.

A2?B2（3）两条平行线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0的距离是d?C1?C2.

A2?B26．方程：y?kx?b,x?my?a中k,b,m,a的几何意义是什么？

7. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等?直线的斜率为?1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线在两轴上的截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点。 8. 直线系 y?kx?b Ax?By?C?0 已知直线 y?kx?m Ax?By?m?0 平行直线系 垂直直线系 相交直线系

1Bx?Ay?m?0 x?m kA1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0 y?? 10

9.圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0). （3）圆的参数方程 ?22?x?a?rcos?.

?y?b?rsin?（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、

B(x2,y2)).

10.圆中有关重要结论: （1）切线方程：

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程.（注：②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??R2?1?过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X

轴的直线。） (2) 若P(x0,y0)是圆x?y?r外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B

则直线AB的方程为xx0?yy0?r2

(3) 若P(x0,y0)是圆(x?a)2?(y?b)2?r2外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2 11. 直线与圆、圆与圆的位置关系（B）（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①d?R?点在圆上；②d?R?点在圆内；③d?R?点在圆外. ⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离） ①d?R?相切；②d?R?相交；③d?R?相离. ⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R?r） ④ d?R?r?相离；②d?R?r?外切；③R?r?d?R?r?相交； ④d?R?r?内切；⑤0?d?R?r?内含.

12. 直线必过点：① 含有一个参数----y??a?1?x?2a?1?y??a?1??x?2??3， 令：x?2?0?必过点??2,3?

222②含有两个参数----?3m?n?x??m?2n?y?n?0?m?3x?y??n?2y?x?1??0

?3x?y?0?13?令：?联立方程组求解?必过点??,? ?77??2y?x?1?013. 动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：

y 11

o x ①PA?PB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PA?PB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③PA?PB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

14. 过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0 ，

22C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0则过两圆的交点圆方程可设为：

C:x2?y2?D1x?E1y?F1???x2?y2?D2x?E2y?F2??0

过两圆的交点的直线方程：l:?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程） 15. 与圆有关的计算：

直线与圆相交弦长的计算：AB?2R?d其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

22AB?1?k2x1?x2其中k 是直线的斜率，x1与x2是直线与圆的方程联立之后得到的两

个根（尽量少用）

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 16.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设P?x,y?是在某个圆上的动点，则

y?b的最值可以转化为圆上的点与该点?a,b?的x?a斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P?x,y?是在某个圆上的动点，则求x?y或x?y的最值可以转化为：设t?x?y或

t?x?y求解；也可以用三角换元

12

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