南阳市2016春期期中考试高二文数答案

2016年春期高中二年级期中质量评估

数学试题（文）参考答案

一、选择题

1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8. D 9. A 10．C 11．C 12．A

?1－i?2?1－i?2－2i

解析：1． ??＝2＝2i＝－1，故选B. 1＋i?1＋i???

2．所有样本点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D. 3．由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32. 故选B.

4．由题图1可知，y随x的增 大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y 负相关，由 图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C. 5．由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选B. 6．由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的 单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.

7．正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确 的为①④，故选D.

2

??2t－2，t∈[－2，0?

8．由程序框图可知S是分段函数，且S＝?

??t－3，t∈[0，2]

其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.

9．因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 故选A. 10．∴样本中心点为(10,40)．∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋a，即a＝60， ∴线性回归方程为y＝－2x＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6，故选C. 11．因02＋12＋i2＝0，故A错；如(2＋i)2＋1＋(2－i)2>0成立，但(2＋i)2＋1>－(2－i)2

22222222

是错误的，故B错；因z21＋z2>－z3，说明z1＋z2与－z3都是实数，故z1＋z2＋z3>0，

C正确；z1＝0是满足题设条件的，但z1不是虚数，D错误．故选C.

12．依题意，把“整数对”的和相同的分成一组，不难得知第n组中每个“整数对”的

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n?n＋1?

和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数

210×?10＋1?11×?11＋1?

对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组

22(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，故选A.

二、填空题

x?1?13．f2016(x)? 14． (1，5) 15．3 16． ??

1?2016x?3?xx

1＋x1＋2xxxx

解析：13．f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，归纳法得

xx1＋x1＋2x1＋3x1＋1＋1＋x1＋2x

nf2016(x)?x

1?2016xa2＋1，且0＜a＜2， ∴0＜a2＜4， ∴1＜a2＋1＜5. ∴1＜|z|＜5. x2，x≤2，

14．∵|z|＝|a＋i|＝

??2x－3，2＜x≤5，

15．由程序框图得到如下分段函数：y＝?

1??x，x＞5.

当x≤2时，y＝x2＝x，解得x1＝0，x2＝1； 当2＜x≤5时，y＝2x－3＝x，解得x＝3； 1

当x＞5时，y＝＝x，解得x＝±1(舍去)， 故x可为0,1,3.

x

16．对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成3×3×3格小正方体，接着用中心和上下面个四个角的9个小正方体，得到几何体的体积V1?91?；第二步，273将第一步中的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到几何体

91?1?的体积是V2??9????；以此类推，到第步，所得几何体的体积

27?279?3??1?Vn???

?3?三、解答题

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n217．解析：z1＋z2＝

32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

?3＋2?＝?＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ??a＋51－a?

＝

＋(a2＋2a－15)i. ……………………………………6分

?a＋5??a－1?a－13

∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. ……………………8分 ∵a＋5≠0，∴a≠－5， ……………………………………………………………9分 故a＝3. ……………………………………………………………………………10分 18.解析：（1）f(0)+f(1)?1111?= ?013?33?31?33(1?3）=331= …………………………………………………2分 ?（31?3）3(1?3）3f(-1)+f(2)?同理可得: 33,f(-2)+f(3)? ………………………………6分 33f(ｘ)+f(１－ｘ)?3 ……………………………8分 3（2）根据(1)的结果可以猜想ｘ111３ｘ)+f(１－ｘ)?ｘ?1－ｘ证明：f( ＝ｘ?ｘ3?33?33?33?3?３ｘｘ３＋３３1３ ……11分 ＝＝＝ｘ?ｘｘ３３（３?３）3?3３（３?３）?f(ｘ)+f(１－ｘ＝)19．解析：(1)300×

３ ……………………………………………………12分 ３4 500

＝90，所以应收集90位女生的样本数据……………2分 15 000

(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.………………………………………4分 (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生

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的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间 不超过4小时 每周平均体育运动时间 超过4小时 总计 165 60 225 45 30 75 男生 女生 总计 210 90 300 ……………………………………………………8分

300×?2 250?2100

结合列联表可算得X＝＝≈4.762＞3.841. ………………11分

75×225×210×9021

2

所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． ………………………………………………………………………………12分 20．证明：假设a，b，c均小于1， …………………………………………………2分

即a＜1，b＜1，c＜1， ……………………………………………………4分 则有a＋b＋c＜3， ……………………………………………………6分

11??而a+b+c=2x-2x++3=2?x??+3?3， ………………………………10分

22??22两者矛盾，所以假设不成立， ……………………………………………………11分 故a，b，c至少有一个不小于1. …………………………………………………12分 21．解析：(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个． ……………………………2分 设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．

3

所以P(A)＝. ………………………………………………………………4分

10(2)由数据得，另3天的平均数x＝12，y＝27, 3x y＝972，

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3x＝432，?xiyi＝977，?x2i＝434，…………………………………………6分

2

i＝1

i＝1

33

977－9725所以b＝＝， ……………………………………………………8分

434－43225

a＝27－×12＝－3， ……………………………………………………9分

25

所以y关于x的线性回归方程为y＝x－3. ……………………………………10分

2(3)依题意得，当x＝10时，y＝22，|22－23|＜2；

当x＝8时，y＝17，|17－16|＜2，………………………………………………11分 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的． …………………………………12分 22．解析：(1)证明：∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，

∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，

c1?1?1

又x1x2＝， ∴x2＝?≠c?， ∴是f(x)＝0的一个根． …………………4分

aa?a?

a11?1??1?(2)假设＜c，又＞0， 由0＜x＜c时，f(x)＞0， 知f??＞0与f??＝0矛盾，

aaaa????111

∴≥c. 又∵≠c，∴＞c. ……………………………………………8分 aaa(3)证明：由f(c)＝0， 得ac＋b＋1＝0， ∴b＝－1－ac.

又a＞0，c＞0，∴b＜－1.

bx1＋x2x2＋x21二次函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝－＝＜＝x2＝，

2a22ab1

即－＜.

2aa

又a＞0，∴b＞－2，

∴－2＜b＜－1. ……………………………………………………12分

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