方波的傅立叶分解与合成

课 题 方波的傅立叶分解与合成

教 学 目 的 1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测

量它们的振幅与相位关系。

2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。

重 难 点 1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义。

2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。

教 学 方 法 讲授与实验演示相结合。 学 时 3学时。

一．前言

任何一个周期性函数都可以用傅立叶级数来表示，这种用傅立叶级数展开

并进行分析的方法在数学、物理、工程技术等领域都有广泛的应用。例如要消除某些电器、仪器或机械的噪声，就要分析这些噪声的主要频谱，从而找出消除噪声方法；又如要得到某种特殊的周期性电信号，可以利用傅立叶级数合成，将一系列正弦波形合成所需的电信号等。本实验利用串联谐振电路，对方波电信号进行频谱分析，测量基频和各阶倍频信号的振幅以及它们之间的相位关系。然后将此过程逆转，利用加法器将一组频率倍增而振幅和相位均可调节的正弦信号合成方波信号。要求通过实验加深理解傅立叶分解和合成的物理意义，了解串联谐振电路的某些基本特性及在选频电路中的应用。

二.实验仪器

FD-FLY-I傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。 三.实验原理

任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，、 即：

1

f(t)= a0 + (ancosn t bnsinn t)

2n 1

2π

其中：T为周期，ω为角频率。ω =；第一项为直流分量。

T

图1 方波

所谓周期性函数的傅立叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有n阶谐波的迭加。 如图所示的方波可以写成： f(t)=

{

h(0 t h（

T1

T2

)

t 0）

此方波为奇函数，它没有常数项。 数学上可以证明此方波可表示为：

4h111

f(t)= (sintωt+ sin3ωt+ sin5ωt+ sin7ωt……)

π357

1 4h

sin = πn 1 2n 1

2n

1 t

（a）方波傅立叶分解的选频电路：

实验线路图如图所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的，L取0.1H。

当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应，谐振频率ω0为：

ω0 =

1LC

如果我们调节可变电容C，在nω0频率谐振，我们将从此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：

V（t）= bnsinnω0t 这时电阻R两端电压为：

VR(t) = I0Rsin(nω0t+φ) 此式中φ =tg

1

XR

，X为串联电路感抗和容抗之和

bn

I0，Z为串联电路的总阻抗。

Z在谐振状态X=0

此时，阻抗Z=r+R+RL+RC=r+R+RL

其中，r为方波或三角波电源的内阻；R为取样电阻；RL为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻。（RC值常因较小而忽略） （b）方波傅立叶合成：

对振幅和相位连续可调的1KHZ，3KHZ，5KHZ，7KHZ四组正弦波，如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器叠加后，就可以合成出方波。

四．实验内容及步骤

1．方波的傅立叶分解

（1）求RLC串联电路对1KHZ，3KHZ，5KHZ正弦波谐振时的电容C1，C3，C5，

并与理论值进行比较

（2）将1KHZ方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的振幅和相对相位。 2．方波的傅立叶合成

（1）用李萨如图形反复调节各组移相器，使1KHZ，3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波同

位相。

调节方法是示波器X轴输入1KHZ正弦波，而Y轴输入1KHZ，3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波在示波器上显示如下波形时：

Y 输入 1KHZ 3KHZ 5KHZ 7KHZ

此时，基波和各阶谐波初相位相同。

111

（2）调节1KHZ，3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波振幅比为：1: : : 。

357

（3）将1KHZ，3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，

最后可看到近似方波图形。

五．实验注意事项

1、选频电路接线时，方波信号源的地线必须与示波器的地线连接在一起。 教师必须检查每个学生的接线。

2、使用电容箱时，电容值的相加采取的是并联方式。

3、用铜线绕制的电感由于存在趋肤效应，其损耗电阻随频率升高而增加，因

此使3KHZ，5KHZ谐波振幅比理论值偏小，此系统误差应进行校正。 4、合成方波接线时，参考正弦波输入示波器的X轴，各叠加正弦波输入示波

器的Y轴。

5、调基波与各谐波同位相时，各组移相器须配合调节。

6、测量或调节基波与各谐波的振幅时，示波器的偏转因数须固定。

六．实验数据及处理

相对振幅测量时，系统误差可用分压原理校正。 设：b3为3KHZ谐波校正后振幅。 b3为3KHZ谐波未被校正时振幅。 RL1为1KHZ使用频率时损耗电阻。 RL3为3KHZ使用频率时损耗电阻。 则：

′

b3:b3

'

RRL1 R rRL3 R rRL1 R r

:

RRL3 R r

b3 b3

'

对5KHZ谐波也可作类似的校正。 基波1KHZ， b1=6.00cm 谐波3KHZ， b3=1.80×谐波5KHZ b5=0.90×

34.0 22.0 6.026.0 22.0 6.053.0 22.0 6.026.0 22.0 6.0

=2.07cm =1.3cm

11

经校正后，基波和谐波的振幅比为1:，与理论值符合较好。

35

七．教学后记

1、选频电路的接线错误是学生常见的问题。

2、学生对傅立叶合成的理解通过实验能够取得很好的效果，但对选频电路如

何体现傅立叶分解的却普遍地不理解。

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