徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学试题

徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测

数学I

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． ．．．．．．．1．已知集合A?{1,2,3}，B?{2,3,4}，则集合A B中元素的个数为 ▲ ．

2．已知复数z?(1?2i)2（i为虚数单位），则z的模为 ▲ ．

3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ▲ ．

4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合A?{0,1,2,3}中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ．

S←0

For I From 1 To 9 S←S + I End For Print S （第4题）

4x?a6．若函数f(x)?为奇函数，则实数a的值为 ▲ ．

x?2x7．不等式2x2?x?2?1的解集为 ▲ ．

x2y2?1的离心率为3，则实数a的值为 ▲ ． 8．若双曲线2?a4a?2a82?a22=36，a3a?5a?7a?9?10，9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+则S0 1的值为 ▲ ．

10．函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0)的图象如图所示，则f(1)?f(2)??f(2018)

的值为 ▲ ．

m2+1n2+11．已知正实数m,n满足m+n?3，则的最小 mn+1值为 ▲ ． 12．已知圆C:(x?2)2?y2?2，直线l:y?k(x?2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C 的切

线，切点为T，若PA?2PT，则实数k的取值范围是 ▲ ． 13．如图，在梯形ABCD中，AB//DC， 且AB?4,AD?2,?BAD?D C

?，E为BC的中点， 3E

A （第13题）

若AE?DB?9，则对角线AC的长为 ▲ ． 14．若关于x的不等式x3?3x2+ax?b?0对

B任意的实数x?[1,3]及任意的实数b?[2,4]恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．．．．

明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)

16已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若cosA?,sinC?. 33（1）求tanB；

（2）若a2?b2?7，求c的值.

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中．

（1）若AD?平面PAB，PB?PD，求证：平面PBD?平面PAD； （2）若AD∥BC，AD?2BC，E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD．

17．(本小题满分14分)

如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆，及矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图（2）.为了美观，要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元.

（1）写出y关于r的函数表达式， 并求该函数的定义域；

（2）当r为何值时，该首饰盒的制 作费用最低？

18．（本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1?，?A2，上

ab顶点为B(0,1)，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点P是椭圆上位于第一象限的任一 点，直线A1B?，?A2P交于点Q，直线BP与

3. 2?RQ的斜率分别 x轴交于点R，记直线A2Q?，为k1?，?k2．求证：2k2?k1为定值．

19．（本小题满分16分）

已知无穷数列?an?满足an?1?an?2，Sn为其前n项和． （1）若a1??2，求S4；

（2）若a1?0，且a1,a2,a3成等比数列，求a1的值；

（3）数列?an?是否能为等差数列？若能，求出满足条件的a1；若不能，说明理由．

20．(本小题满分16分)

已知函数f(x)?lnx?ax?a,a?R． （1）若a?1，解关于x的方程f(x)?0； （2）求函数f(x)在?1,e?上的最大值；

2（3）若存在m，对任意的x?(1,m)恒有f(x)?(x?1)，试确定a的所有可能值．

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数学Ⅱ（附加题）

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在 其他位置作答一律无效。中国数学教育网 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。ht 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的，．．．．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．

若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB 与弧AD长度相等，过A点的切线交CB的延长线于E点．

求证：AB2?BE?CD．

B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

?1a??1????2已知矩阵A??的一个特征值为，其对应的特征向量为???2?，求矩阵A的逆?b?2????矩阵．

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为?2?42?sin(?+)?1?0，已知P(1,一点，求线段PQ长度的最小值．

D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知x，y，z均为正数．求证：

?43?)，Q为圆C上2xyz111??≥??． yzzxxyxyz

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. （1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；

（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

23．（本小题满分10分）

2已知数列?an?满足a1?1，当n≥2时，an?1an?1?an. ?1?1（1）用数学归纳法证明：an?tan?； 2n?1k?kCn(an?1)k?n?nCn(an?1)n≤0.

22（2）求证：C1n(an?1)?2Cn(an?1)?

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数学I参考答案

一、填空题

1．4 2． 5 3． 1200 4． 45 5．

2 6． ?1 7． (?1,2) 8． 1 39．

373755,] 13．23 14．(??,?2) 10．2+2 11．3 12．[?772二、解答题

15．（1）在△ABC中，由cosA?，

13122得sinA?1?cos2A?1?()2?.……………………………………………2分

33所以sinC?sinA，所以C?A，所以C为锐角， 于是cosC?1?sin2C?1?(所以tanA?623，…………………………………………4分 )?33sinAsinC?22，tanC??2，……………………………………6分 cosAcosCtanA?tanC22?2???2. ………………8分

1?tanAtanC1?22?2所以tanB??tan(A?C)??22abasinA23（2）由， ……………………………10分 ?3??,可得?bsinB3sinAsinB63??a?2又a?b?7，解得?， …………………………………………………12分

??b?322所以c2?a2?b2?2abcosC?7?43?3?3， 3所以c?3.……………………………………………………………………………14分 （另解：又因为tanB?tanC，角B，C为△ABC的内角，所以c?b?3.）

16．（1）因为AD?平面PAB，PB?平面PAB，

所以AD?PB， 又因为PB?PD， 且ADP PD?D，AD，PD?平面PAD，

EA

FD

所以PB?平面PAD， 又因为PB?平面PBD，

所以平面PBD?平面PAD.…………………6分 （2）取PD的中点F，连结EF，

因为E，F分别是PA，PD的中点，

B C

16题图） （第

所以EF//AD，且AD=2EF，又因为四边形ABCD为直角梯形且AD//BC，AD?2BC，所以EF//BC且EF?BC，所以四边形EFCB是平行四边形， 所以BE//CF， 又CF?平面PCD，BE?平面PCD，

所以BE//平面PCD． …………………………………………………………14分

17．（1）由题意可知：4?4r(?r2?2ar)?2?r3?8ar2，

124?2?r32??r3?所以a?. ……………………………………2分 8r24r2又因为r?a?2r，得322?r?3. …………………………………4分 8??4??所以y?4r(2a?2r)?4ar?2(?r?4r??r2)?12ar?8r2?10?r2， =12r?2??r622=?8r?10?r?(8?7?)r2， 24rr232,].……………………………………………………………6分 8??4??定义域为[3（2）令f(r)?66?(8?7?)r2，所以f?(r)??2?(16?14?)r， …………………8分 rr363r?，解之得：， ?(16?14?)r8?7?r2令f?(r)?0，即

当r?33时f?(r)?0，函数y?f(r)为增函数； 8?7?3时f?(r)?0，函数y?f(r)为减函数. …………………12分 8?7?当r?3又因为322232?r?3,]上为增函数， ，所以函数y?f(r)在[38??4??8??4??3所以当r?2时，首饰盒制作费用最低. 8??2时，该首饰盒的制作费用最低. …………………………………14分 8??答：当r?

318．（1）因为椭圆的上顶点为B(0,1)，离心率为3， 2?b?1,?所以?c3 …………………………………………………2分

,??2?a又a2?b2?c2，得a2?4,b2?1，

x2所以椭圆的标准方程是?y2?1；…………………………………………………4分

4（2）根据题意，可得直线A1B:y?x（?1，直线A2Q:y?k1x?2)，

2x?2(2k1?1)4k1?y??1,) . ……………………………………6分 由?，解得Q(22k1?12k1?1??y?k1(x?2)?y?k1(x?2)2222222x?4k(x?2)?4(4k?1)x?16kx?16k?4?0， 由?2得，化简得11112x?4y?4?16k12?42(4k12?1)因为A2(2,0)，所以2xP?，所以xP?，

4k12?14k12?1?4k12(4k12?1)y?x?将P代入直线方程得：P，

4k12?14k12?12(4k12?1)?4k1,). ……………………………………………10分 所以P(4k12?14k12?1又因为B(0,1)，所以kBP?4k1?124k1?12k1?1， ???22(4k1?1)2(2k1?1)?024k1?1所以直线BP:y??2k1?12(2k1?1)x?1，令y?0得，R(，0).………………12分

2(2k1?1)2k1?1于是?k2=kRQ4k1?02k1?1k1??1?， 2(2k1?1)2(2k1?1)24?2k1?12k1?1所以2k2?k1=2(

k111?)?k1?，为定值．…………………………………………16分 24219．（1）由a1??2及an?1?an?2得，a2?0，所以a3?2，a4?0，

所以S4=a1?a2?a3?a4?0；…………………………………………………………2分 （2）因为a1?0，所以a2?2?|a1|?2?a1，a3?2?|a2|?2?|2?a1|，

①当0?a1?2时，a3?2?(2?a1)?a1，所以a12?(2?a1)2，得a1=1；

②当a1?2时，a3?2?(a1?2)?4?a1，所以a1(4?a1)?(2?a1)2，得a1=2?2（舍）或

a1=2?2；

综合①②可知，a1=1或a1=2?2；…………………………………………………6分 （3）假设数列?an?是等差数列，则有a2?2?|a1|，a3?2?|2?|a1||，

且2a2?a1?a3得2?a1?|2?|a1||?2|a1|（*） ……………………………………8分 ①当a1?2时，由（*）得a1?0，与a1?2矛盾；

②当0?a1?2时，由（*）得a1?1，

从而an?1(n?N?)，此时数列?an?为等差数列； ③当a1?0时，可得公差d?2，

2， 因此存在m…使得am?a1?2(m?1)?2，这与d?am?1?am?2?|am|?am?0矛盾.

综合①②③可知，当且仅当a1?1时，数列?an?为等差数列. ……………………16分

20．（1）当a?1时，f(x)?lnx?x?1，

显然f(1)?0，所以x?1是方程f(x)?0的一个根．………………………………2分 又因为f?(x)?11?x ，且当0?x?1时，f?(x)?0，当x?1时，f?(x)?0， ?1?xx所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减， 从而f(x)max?f(1)?0，

所以x?1是方程f(x)?0的唯一根． ………………………………………………4分 （2）因为f?(x)?11?ax?a?(x?0)， xxe]上单调递增， ①当a?0时，恒有f?(x)?0，所以f(x)在[1，所以f(x)max?f(e)?1+a?ae； ②当a?0时，当0?x?11时，f?(x)?0，当x?时，f?(x)?0， aa1a所以f(x)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递减， 若…e，即0?a?若1?1a1a1，f(x)max?f(e)?1+a?ae； e1111?

e??1, a≥1.??2（3）因为对任意的x?(1,m)恒有f(x)?(x?1)，

所以?(x?1)2?lnx?ax?a?(x?1)2 ， （i）设g(x)?(x?1)2?lnx?ax?a， 则g?(x)?2(x?1)?11?a?2x??a?2，显然g?(x)在(1,??)单调递增， xx所以g?(x)…g?(1)=a?1，

1时，恒有g?(1)…①当a…0，所以g?(x)?0在(1,??)恒成立，

1符合题意； >g(1)=0，所以a…所以g(x)在(1,??)单调递增，所以g(x)>②当0?a?1时，有g?(1)?0,g?()?1a22(1?a)?2??0， aa所以?x1?(1,)，使得g?(x1)?0，从而当1?x?x1时，g?(x)?0，

1a>g(1)=0，不符合题意； 即g(x)在(1,x1)上单调递减，所以g(x)<2x2?2x?11?3?a?0在(1,)恒成立， ③当a?0时，g?(x)=x2所以g(x)在(1,1?3>g(1)=0，不符合题意. )单调递减，所以g(x)<21.……………………………………………………13分 综上，g(x)?0恒成立时，a…（ii）设h(x)?(x?1)2?lnx?ax?a， 则h?(x)?2x?1， ?a?2， h?(x)在(1,??)单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求证）

x所以h?(x)…h?(1)=1?a，

①当a?1时，有h?(1)?0,h?(a)?a?1?2?0， a所以?x2?(1,a) ，使得h?(x2)?0，从而当1?x?x2时，h?(x)?0，

>h(1)=0，不符合题意； 即h(x)在(1,x2)上单调递减，所以h(x)<②当a?1时，有h?(1)…0，所以h?(x)>?h?(1)?0在(1,??)恒成立，

>h(1)=0恒成立， 所以h(x)在(1,??)单调递增，所以h(x)>所以a?1符合题意.

综合（i）、（ii）可知，a=1. …………………………………………………………16分

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数学Ⅱ参考答案

21．A．连结AC．…………………………………………………1分 因为EA切圆O于A， 所以∠EAB＝∠ACB． …………3分 因为弧AB 与弧AD长度相等，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD． 于是∠EAB＝∠ACD． …………………………………5分 又四边形ABCD内接于圆O，所以∠ABE＝∠D． 所以?ABE∽?CDA． 于是

AB?BE，即AB?DA?BE?CD．………………9分

CDDAE A B · O C （第21-A题）

D 所以AB2?BE?CD．…………………………………10分

3??1?2a??2,?a??,?1a??1??1?B．由A??????得：?2 ………5分 ??2???2?2?，??b?4??4,??b?2?????????b?0,?x设A?1???s3??y?1??1???xA?A?，则2???t??s??0?2?y??10????， t?01???3??x?1,x?s?1,?s?0,?23????1??????2s?0,4?13??y??,?A?????． ……………………………………10分

314?0???y?t?0,????22???1t??,???2t?1,2??

C．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，

圆C的直角坐标方程为x2?y2?4x?4y?1?0，即(x?2)2?(y?2)2?9， 所以圆心C的坐标为C(2,2)，………………………………………………………4分 点P的直角坐标为P(0,?1)， ………………………………………………………6分 所以线段PQ长度的最小值为PC?3?13?3． ………………………………10分

D．因为x，y，z无为正数．所以

xy1xy2??(?)≥， …………………………4分 yzzxzyxz同理可得

yz2zx2?≥，?≥， ………………………………………………7分 zxxyxxyyzy当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

22．（1）由题意知，所有的选派方法共有C52?C42=60种，

其中有3名女生的选派方法共有C41?C11?C22=4种，

所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 （2）X的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分

xyz111??≥??． ……10分 yzzxxyxyzC42C226C42C11C22+C42C21C214+2471??, P(X?0)?22??,P(X?1)?C52C426015C5C46010C41C11C21C21+C42C2216+611C41C11C2241P(X?2)???P(X?3)???,,8分

C52C426030C52C426015所以X的分布列为

所以E(X)?0?

223．（1）将a1?1代入a1a2?1?a1?1得a2?2?1，

X 0 1 10 1 7 15 2 11 30 3 1 15 P 171117?1??2??3?? . …………………………………10分 101530155当n?1时，a1?tan??1成立. 4?， k?12 假设当n?k（k?N*，k≥1）时成立，即ak?tan 则当n?k?1时，ak?1?1?a?1ak2k1?tan2???11?cos?k?122k?1?tan?， ???2k?2tank?1sink?122 这就说明，当n?k?1时结论也成立．

综上所述，an?tankn?． ……………………………………………………5分 n?12Akk?1（2）因为kC?kn?nCn?1，所以kCk(a?1)k?(a?1)nCk?1(a?1)k?1， nnnn?1nk!22因此C1n(an?1)?2Cn(an?1)?k?kCn(an?1)k?n?nCn(an?1)n?(an?1)nann?1．

由（1）知，an?tan??(0,1]，所以(an?1)nann?1≤0，得证．……………10分 n?12

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