1992考研数学三真题和详解

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1) 设商品的需求函数为Q?100?5P,其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需

求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.

(x?2)2n(2) 级数?的收敛域为_________. nn4n?1?(3) 交换积分次序

?dy?012?y2yf(x,y)dx?_________.

(4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A?a,B?b,C???0?BA??,则C?________. 0?(5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的

概率为__________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2xf(t)dt,其中f(x)为连续函数,则limF(x)等于 ( ) (1) 设F(x)?x?ax?a?a(A) a (B) af(a)

(C) 0 (D) 不存在

(2) 当x?0时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )

(A) x (B) 1?cosx (C) 1?x2?1 (D) x?tanx

(3) 设A为m?n矩阵,齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分条件是 ( )

(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关

(4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 ( )

(A) P(C)?P(A)?P(B)?1 (B) P(C)?P(A)?P(B)?1 (C) P(C)?P(AB) (D) P(C)?P(A?B)

2221n(5) 设n个随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布,D(X1)??,X??Xi,

ni?12

1nS?(Xi?X)2,则 ( ) ?n?1i?12(A) S是?的无偏估计量 (B) S是?的最大似然估计量 (C) S是?的相合估计量(即一致估计量) (D) S与X相互独立

三、(本题满分5分)

?lncos(x?1),x?1,???设函数f(x)??1?sinx问函数f(x)在x?1处是否连续?若不连续,修

2?1,x?1.??改函数在x?1处的定义使之连续.

四、(本题满分5分)

arccotexdx. 计算I??ex

五、(本题满分5分)

x?2z设z?sin(xy)??(x,),求,其中?(u,v)有二阶偏导数.

y?x?y

六、(本题满分5分)

求连续函数f(x),使它满足f(x)?2

七、(本题满分6分)

求证:当x?1时,arctanx?

八、(本题满分9分)

设曲线方程y?e(x?0).

?x(1) 把曲线y?e,x轴,y轴和直线x??(??0)所围成平面图形绕x轴旋转一周,

?x?x0f(t)dt?x2.

12x?arccos?. 221?x4得一旋转体,求此旋转体体积V(?);求满足V(a)?1limV(?)的a. 2????(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.

九、(本题满分7分)

设矩阵A与B相似,其中

??200???100??,B??020?.

A??2x2???????311???00y??(1) 求x和y的值.

(2) 求可逆矩阵P,使得PAP?B.

十、(本题满分6分)

已知三阶矩阵B?0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:

?1?x1?2x2?2x3?0,??2x1?x2??x3?0, ?3x?x?x?0.?123(1) 求?的值; (2) 证明B?0.

十一、(本题满分6分)

?A0?A、B设分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C???是否是正定矩阵.

0B??十二、(本题满分7分)

假设测量的随机误差X?N(0,10),试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率?,并利用泊松分布求出?的近似值(要求小数点后取两位有效数

字). [附表]

2? e?? 1 2 3 4 5 6 7 ? 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 ?

十三、(本题满分5分)

一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差DX.

十四、(本题满分4分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?e?y,0?x?y,f(x,y)??

0,其他,?

(1) 求随机变量X的密度fX(x); (2) 求概率P{X?Y?1}.

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(10,20]

【解析】根据Q(P)?100?5P?0,得价格P?20,又由Q?100?5P得Q?(P)??5, 按照经济学需求弹性的定义,有

??P?Q?(P)5P??, Q(P)100?5P令

??5P5P??1,解得P?10.

100?5P100?5P所以商品价格的取值范围是(10,20]. (2)【答案】(0,4)

【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当x?2?0即x?2时级数收敛.

当x?2时,后项比前项取绝对值求极限有

(x?2)2(n?1)n4n(x?2)2n(x?2)2lim??lim?, 2nn??(n?1)4n?1n??(x?2)4n?14(x?2)2?1,即当0?x?2?2?0?x?2或2?x?4时级数绝对收敛. 当

4?11又当x?0和x?4时得正项级数?,由p级数：?p当p?1时收敛；当p?1时发散.

n?1nn?1n?所以正项级数

1是发散的. ?nn?1?综合可得级数的收敛域是(0,4).

tn注：本题也可作换元(x?2)?t后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数?n的收

n?1n42?敛性.

?an?1【相关知识点】收敛半径的求法：如果??lim,其中an,an?1是幂级数?anxn的相邻

n??an?0n两项的系数,则这幂级数的收敛半径

?1??, 0?????,??R????, ??0,

?0, ????.???(3)【答案】

?dx?01x20f(x,y)dy??dx?122?x20f(x,y)dy

【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式?由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：D?{(x,y)0?y?1,即D中最低点的纵坐标y?0,最高点的纵坐标

??f(x,y)dxdy.Dy?x?2?y2},

y y?1,D的左边界的方程是x?y,即

y?x的右支,D的右边界的方程是

x?2?y即x?y?2的右半圆,

22D 22O 1 2 x 从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见D?D1?D2,且

D1?{(x,y)0?x?1,0?y?x2},D2?{(x,y)1?x?2,0?y?2?x}.所以

2

?dy?012?y2yf(x,y)dx??dx?01x20f(x,y)dy??dx?122?x20f(x,y)dy.

(4)【答案】(?1)mnab

【解析】由拉普拉斯展开式, C?0BA?(?1)mnAB?(?1)mnab. 0【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则

AOA*O??A?B, *BOBB(5)【答案】

A*Amn????1?A?B. *BO1 1260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.

设所求概率为P(A),易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为n?7!,而有利于事件A的样本点数为2!?2!,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式P(A)?

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)

【解析】方法1:limF(x)为“

x?a2!?2!1?. 7!12600”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,0x所以可应用洛必达法则.

f(t)dtxx?2af(t)dt?alim limF(x)?lim

x?ax?ax?a?ax?ax?a2a2f(x)?lim?a2f(a). x?a1故应选(B).

方法2: 特殊值法.

x2x2dt?2a2. 取f(x)?2,则limF(x)?lim?x?ax?ax?aa显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

(2)【答案】(D)

【解析】由于x?0时,1?cosx~是同阶无穷小,可见应选(D). (3)【答案】(A)

【解析】齐次方程组Ax?0只有零解?r(A)?n.

由于r(A)?A的行秩?A的列秩,现A是m?n矩阵,r(A)?n,即A的列向量线性无关.故应选(A).

【相关知识点】对齐次线性方程组Ax?0,有定理如下:

对矩阵A按列分块,有A???1,?2,?,?n?,则Ax?0的向量形式为

121x,1?x2?1~?x2,故x2,1?cosx,1?x2?122x1?1?x2?2???xn?n?0.

那么, Ax?0有非零解??1,?2,?,?n线性相关

?r??1,?2,?,?n??n?r?A??n.

(4)【答案】(B)

【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出AB?C,故

P(AB)?P(C)；由概率的广义加法公式P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)推出 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)；又由概率的性质P(A?B)?1,我们得出

P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1,

因此应选(B). (5)【答案】(C)

【解析】根据简单随机样本的性质,可以将X1,X2,?,Xn视为取自方差为?的某总体

2X的简单随机样本,X与S2是样本均值与样本方差.

222由于样本方差S是总体方差的无偏估计量,因此ES??,ES??,否则若ES??,

则(ES)??,DS?ES?(ES)?0.故不能选(A).

对于正态总体, S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分

222222布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差S是?的一致估计量,其连续函数S?

S2一定也是?的一致估计量.

三、(本题满分5分)

【解析】函数f(x)在x?x0处连续,则要求limf(x)?f(x0).

x?x0方法1:利用洛必达法则求极限limf(x),因为limf(x)为“

x?1x?10”型的极限未定式,又分子分0母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有

sin(x?1)lncos(x?1)tan(x?1)cos(x?1)2 limf(x)?lim?lim?limx?1x?1x?1?x??x?x?1?x1?sin?coscos2222124cos2(x?1) ?lim??2.

?x?1(?sin?x)???22?x?1而f(1)?1,故limf(x)?1,所以f(x)在x?1处不连续. 若令f(1)??4?2,则函数f(x)在x?1处连续.

方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,x?0时,cosx?1??求极限limf(x),令x?1?t,则有

x?112x；ln(1?x)?x. 2

lncos(x?1)lncostln[1?(cost?1)] ?lim?limx?1x?1t?0?x?tt?0?t1?sin1?cos1?cos2221?t2cost?12??4. ?lim?limt?01?2t?0?2?222?tt248limf(x)?lim以下同方法1.

四、(本题满分5分) 【解析】用分部积分法:

I???arccotede?xxx?xex??earccote??edx

1?e2x?xx?xe2x??earccote??(1?)dx

1?e2x1??e?xarccotex?x?ln(1?e2x)?C, 其中C为任意常数.

2注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.

【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则

?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.

五、(本题满分5分)

【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.

由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求

?z??z,再求(). ?x?y?x??由复合函数求导法,首先求z?x,由题设 zx?ycos(xy)??1?再对y求偏导数,即得

1?, ?2y???z?xy?cos(xy)?xysin(xy)?(?1)y?11?)?y?2?2? (?2yy?x??1?x??1??????22?????2?2? ?cos(xy)?xysin(xy)??12?y?yy?y?yy ?cos(xy)?xysin(xy)?xx1??????????. 21232222yyy【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u??(x,y),v??(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数

z?f(?(x,y),?(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在,且有

?z?z?u?z?v?u?v???f1??f2?； ?x?u?x?v?x?x?x?z?z?u?z?v?u?v???f1??f2?. ?y?u?y?v?y?y?y

六、(本题满分5分)

【解析】两端对x求导,得f?(x)?2f(x)?2x.记P(x)?2,Q(x)?2x,有通解

?P(x)dxP(x)dx1f(x)?e?(?Q(x)e?dx?C)?e?2x(?2xe2xdx?C)?Ce?2x?x?,

2其中C为任意常数.

由原方程易见f(0)?0,代入求得参数C?11?2x1.从而所求函数f(x)?e?x?.

222【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. y?e?Q(x)e?????

七、(本题满分6分)

【解析】方法1：令f(x)?arctanx?12x?arccos?,则 21?x2412(1?x2)(1?x2)f?(x)????0(x?1).

1?x22(x2?1)(1?x2)2因为f(x)在[1,??)连续,所以f(x)在[1,??)上为常数,因为常数的导数恒为0.

12x?arccos?. 21?x2412x??方法2：令f(x)?arctanx?arccos,则f(x)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,

21?x24故f(x)?f(1)?0,即arctanx?由拉格朗日中值定理知,至少存在一点??(1,x),使得

f(x)?f(1)?f?(?)(x?1).

12(1?x2)(1?x2)由复合函数求导法则,得 f?(x)????0(x?1),

1?x22(x2?1)(1?x2)2所以f(x)?f(1).由f(1)?0可得,当x?1时,arctanx?【相关知识点】复合函数求导法则:

如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

12x?arccos?. 221?x4dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx

八、(本题满分9分)

【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求V(?),并求出极限limV(?).问题

????(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成y是x的函数,套用旋转体体积公式

V(?)???y2dx???e?2xdx?00???2.

(1?e?2?),V(a)??2(1?e?2a),

????limV(?)?lim(1?e?2a)??2????(1?e?2?)??2由题设知

?2?4,得a?1ln2. 2(2) 过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为y?y0?k(x?x0),其中当y?(x0)存在时,

k?y?(x0).

设切点为(a,e?a),则切线方程为y?e?a??e?a(x?a). 令x?0,得y?e?a(1?a),令y?0,得x?1?a. 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为S?因S??(1?a)e?a1(1?a)2e?a. 211?(1?a)2e?a?(1?a2)e?a,令S??0,得a1?1,a2??1(舍去). 22由于当a?1时,S??0；当a?1时,S??0.故当a?1时,面积S有极大值,此问题中即为最

大值.

?1故所求切点是(1,e),最大面积为 S?12?1?2?e?2e?1. 2【相关知识点】由连续曲线y?f(x)、直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V??

九、(本题满分7分)

【解析】因为A?B,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和y的值.若

?baf2(x)dx.

P?1AP??,则?是A的特征向量.求可逆矩阵P就是求A的特征向量.

(1) 因为A?B,故其特征多项式相同,即

?E?A??E?B,即

(??2)[?2?(x?1)??(x?2)]?(??1)(??2)(??y).

由于是?的多项式,由?的任意性,

令??0,得2(x?2)?2y. 令??1,得3?(?2)??2(1?y). 由上两式解出y??2与x?0.

??200???(2) 由(1)知202?????311????100??020?. ????00?2??因为B恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A的特征值,矩阵A的特征值是

?1??1,?2?2,?3??2.

?100??100?????当?1??1时,由(?E?A)x?0,?2?1?2?012, ???????3?1?2????000??

得到属于特征值???1的特征向量?1?(0,?2,1)T.

?400??100????? 当?2?2时,由(2E?A)x?0,?22?2?01?1, ???????3?11????000??得到属于特征值??2的特征向量?2?(0,1,1)T.

?000??111?????当?3??2时,由(?2E?A)x?0,?2?2?2?010. ???????3?1?3????000??得到属于特征值???2的特征向量?3?(1,0,?1)T.

?001????1那么令P?(?1,?2,?3)??210,有PAP?B.

????11?1??

十、(本题满分6分)

【解析】对于条件AB?0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组Ax?0的解；另一个是秩的信息即r(A)?r(B)?n.要有这两种思考问题的意识.

?12?2???(1) 方法1：令A??2?1??,对3阶矩阵A,由AB?0,B?0知必有A?0,否则A?31?1???可逆,从而B?A(AB)?A0?0,这与B?0矛盾. 故

?1?113130021?2?2A?2?1??0,

?1用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有

A?2??1??5(??1)?0.

?1解出??1.

方法2：因为B?0,故B中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组Ax?0有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是

13以下同方法一.

(2) 反证法：对于AB?0,若B?0,则B可逆,那么A??AB?B?1?0B?1?0.与已知条件A?0矛盾.故假设不成立,B?0.

【相关知识点】对齐次线性方程组Ax?0,有定理如下:

对矩阵A按列分块,有A???1,?2,?,?n?,则Ax?0的向量形式为

21?2A?2?1??0,

?1x1?1?x2?2???xn?n?0.

那么, Ax?0有非零解 ??1,?2,?,?n线性相关

?r??1,?2,?,?n??n?r?A??n. 对矩阵B按列分块,记B?(?1,?2,?3),那么

AB?A(?1,?2,?3)?(A?1,A?2,A?3)?(0,0,0).

因而A?i?0i?(1,2,3),即?i是Ax?0的解.

十一、(本题满分6分)

【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法1：定义法.

因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故A?A,B?B,那么

TT?A0??ATTC??????0B??0TT0??A0?????C,即C是对称矩阵. T?B??0B?TT设m?n维列向量Z?(X,Y),其中XT?(x1,x2,?,xm),YT?(y1,y2,?,yn),

T若Z?0,则X,Y不同时为0,不妨设X?0,因为A是正定矩阵,所以XAX?0.

又因为B是正定矩阵,故对任意的n维向量Y,恒有YAY?0.于是

T?A0??X?TTZCZ?(X,Y)????XAX?YAY?0, ??0B??Y?TTT即ZCZ是正定二次型,因此C是正定矩阵.

T

方法2：用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法.

因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故AT?A,BT?B,

?A0??ATT那么C??????0B??0T0??A0?????C,即C是对称矩阵. T?B??0B?设A的特征值是?1,?2,?,?m,B的特征值是?1,?2,?,?n.由A,B均正定,知

?i?0,?j?0(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n).因为

?E?C??Em?A00??Em?A??En?B

?En?B?????1??????m?????1??????m?,

于是,矩阵C的特征值为?1,?2,?,?m,?1,?2,?,?n.

因为C的特征值全大于0,所以矩阵C正定.

十二、(本题满分7分) 【解析】设事件

A?“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 X?N(0,102),即

EX???0,DX??2?102.根据正态分布的性质则有：

?X??19.6???p?P(A)?P?X?19.6??P???

?????|X?0|19.6?0??|X|??P???1.96? ??P?10??10?10?X???1?P??1.96??1.96??1???(1.96)??(?1.96)?

10???1?[?(1.96)?(1??(1.96))]?2?2?(1.96) ?2[(1??(1.96)]?0.05.

设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为n?100,p?0.05的二项分布.根据二项分布的定义,P?Y?k??Cnp(1?p)kkn?k(k?0,1,2?),则至少有三

次测量误差的绝对值大于19.6的概率?为：

??P{Y?3}?1?P{Y?3}?1?P{Y?0}?P{Y?1}?P{Y?2}

012?1?C1000.050(1?0.05)100?C1000.051(1?0.05)100?1?C1000.052(1?0.05)100?2

?1?0.95100?100?0.9599?0.05?100?99?0.9598?0.052. 2根据泊松定理,对于成功率为p的n重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n充分大,而p相当小(一般要求n?100,p?0.1),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为若Y?B(n,p),则当n充分大,p相当小时当Y近似服从参数为??np的泊松分布,即 P?Y?k??Cp(1?p)knkn?k(np)k?np?e(k?0,1,2?).

k!设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为n?100,p?0.05的二项分布.故

??P{Y?3}?1?P{Y?3}?1?P{Y?0}?P{Y?1}?P{Y?2}

(?)0??(?)1??(?)2???2???????1?e?e?e?1?e??e?e

0!1!2!252?1?e(1?5?)?0.87.

2?5

十三、(本题满分5分) 【解析】令随机变量

?1,第i个部件需调整，i?1,2,3. Xi??0,第i个部件不需调整，?依题意X1,X2,X3相互独立,且X1,X2,X3分别服从参数为0.1,0.2,0.3的0?1分布,即

X1 0 0.9 0 0.8 0 0.7 1 0.1 1 0.2 1 0.3 p

X2 p

X3 p 由题意知X?X1?X2?X3,显然X的所有可能取值为0,1,2,3,又X1,X2,X3相互独立, 所以

(1) P{X?0}?P{X1?X2?X3?0}?P{X1?0,X2?0,X3?0}

?P{X1?0}P{X2?0}P{X3?0}?0.9?0.8?0.7?0.504,

P{X?1}?P{X1?X2?X3?1} ?P{X1?1,X2?0,X3?0} ?P{X1?0,X2?1,X3?0}?P{X1?0,X2?0,X3?1} ?P{X1?1}P{X2?0}P{X3?0} ?P{X1?0}P{X2?1}P{X3?0}?P{X1?0}P{X2?0}P{X3?1} ?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398, P{X?3}?P{X1?X2?X3?3}?P{X1?1,X2?1,X3?1}

?P{X1?1}P{X2?1}P{X3?1}?0.1?0.2?0.3?0.006.

由P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?1得出

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?3} ?1?0.504?0.398?0.006?0.092.因此X的概率分布为

X p 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 (2)令p1?P{X1?1}?0.1,p2?P{X2?1}?0.2,p3?P{X3?1}?0.3,因Xi均服从0?1分布,故EXi?pi,DXi?pi(1?pi)所以E(X1)?0.1??E(X2)?0.2??E(X3)?0.3,

D(X1)?0.1?0.9?0.09,D(X2)?0.2?0.8?0.16,D(X3)?0.3?0.7?0.21

X?X1?X2?X3.因Xi服从0?1分布, 且X1,X2,X3相互独立,故由数学期望与方差的

性质 EX?E(X1?X2?X3)?EX1?EX2?EX3?0.6.

DX?D(X1?X2?X3)?DX1?DX2?DX3?0.46.

注：X的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算：

E(X)?0?P{X?0}?1?P{X?1}?2?P{X?2}?3?P{X?3}?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6,

D(X)?02?P{X?0}?12?P{X?1}?22?P{X?2}?32?P{X?3}?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.46.

十四、(本题满分4分)

【解析】(1)已知联合概率密度可以直接利用求边缘密度的公式fX(x)?2222

?????f(x,y)dy求出

边缘概率密度.

当x?0时,fX(x)?当x?0时,fX(x)?因此X的密度为

????????0dy?0;

f(x,y)dy??0dy??e?ydy??e?y??xx????x???e?x.

?e?x,x?0,fX(x)??

0,x?0.?(2) 概率P{X?Y?1}实际上是计算一个二重积分,根据概率的计算公式：

P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy,

yy?x再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率

1 x?y?1 P{X?Y?1}. P{X?Y?1}?x?y?1120??f(x,y)dxdy??dx??(1?x)?x120120O 1?xx12 1 x

e?ydy120?x?12???[e

?e]dx???edx??edx?1?2ex?1?e?1.

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