电磁场复习题（答案）

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律

1. 已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为

?2?rcos??e??sin?) (?e(r?R0)???R E??0?B(e?r2cos??e??sin?) (r?R0) 3??r

Sol. (1) 球面上

由边界条件 E1t?E2t得：

求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。

2Bsin??3sin? ?B?2R02 R0R0

（2）由边界条件D1n?D2n??s得：

?s??0(E1n?E2n)??0(E1r?E2r)?6?0cos? R0? （3）由??D??得：

?r ? R0)?)?0 ( 1?(r2Er)1?(E?sin??0?? ???0??E??02

0 ( r ? R) ?rrsin???r0?

即空间电荷只分布在球面上。

2. 已知半径为R0、磁导率为??的球体，其内外磁场强度分布为

?rcos??e??sin?) 2(e(r?R0)??? H??A??(e2cos??esin?) (r?R) r?0??r3

Sol. 球面上（r=R0）：Hr为法向分量；H?为法向分量

（1）球面上由边界条件B1n?B2n得：?H1r??0H2r?A?（2）球面上由边界条件H1t?H2t?Js得

且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS 大小。

?3R0 ?0 1

Js?(H1??H2?)|r?R0??(2??)sin??0 2

第3章 静电场及其边值问题的解法

1. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体

密度???????????e x?d ) 的电荷（设内部介电常数为??）。（1）利用直接积分法计算0 < x < d

?区域的电位??及电场强度E；（2）x = 0处导体平板的表面

电荷密度。

Sol. 为一维边值问题：???(x)

?1?0?2?U0o

dx??d2????? ?2??0(1?ex?d)

??0dx2边界条件：?(x?0)?0， ?(x?d)?U0

（1）直接积分得：

?0x?dx2U??(x)?(e??e?d)?[0?0(1?d2?e?d)]x

?02d?0d??U?d??x?x[0(ex?d?x)?0?0(1?d2?e?d)] E(x)??????e??e

dx?0d?0d（2）由?

?????????0???s得：?s???0?n?x?n

??0E(x)x?0

x?0

?0U01?d21???0[??e?d(1?)]

?0ddd2. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而

顶盖的电位为V0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. （略）见教材第82页例3.6.1

3. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点

电荷q0 。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：

无限大接地导体平面 + 接地导体球

边界条件：?平面??球面?0

z d q0使?平面?0，引入镜像电荷：z???d,q???q0 使?球面?0，引入镜像电荷：

3

z1q?1loz2q2ax z?q?

?a2az?,q??q01?1dd? ?22aaaa?z????,q2??q??q02???|z|d|z|d?z轴上z > a各点的电位：

?q0q1q2q???????

|z?d|z?zz?zz?d12??q0?12a31? ????? 2244??0?|z?d|zd?az?d???14??0

4. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q、-q ，

位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x轴

q2R0q1x?q上x>2R0各点的电场强度。

x2ox1R0R0?qSol. (1) 引入两个镜像电荷：

2R0qR0Rq1??q??，x1??0

2R022R022R0qR0Rq2??(?q)?，x1????0

2R022R02（2）?(x,y,z)?

14??0?qq1q2q???R?R?R?R????（略）

12??R?(x?2R0)2?y2?z2， R1?(x?R0/2)2?y2?z2 R2?(x?R0/2)2?y2?z2，R??(x?2R0)2?y2?z2

（3）x轴上x>2R0各点的电场强度：

???q?q/2q/2q?x?E?e??? 2222?(x?R0/2)(x?R0/2)(x?2R0)??(x?2R0)y q0 P?0,a,0? 5. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，

在其平分线上放置一点电荷q，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。

45 45 (a, 0, 0)xq3

Sol. （1）q1??q0，(?a, 0, 0)

4

(?a, 0, 0)q1q2(0,?a, 0)

q2??q0，(0, ?a, 0) q3??q0，(a, 0, 0)

（2）?(x,y,z)?

?q0q1q2q3???R?R?R?R??

123??0 ?（略）

14??0

其中：

R0?x2?(y?a)2?z2 R1?(x?a)2?y2?z2 R2?x2?(y?a)2?z2

R3?(x?a)2?y2?z2

5

第4章 恒定电场与恒定磁场

?xx2y?e?yy2x?e?zCxyz，C为常数，且A1. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A?e满足库仑规范。求（1）常数C ；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。

?????ay?ax?ax?az?az?ay??????a?e(?)?e(?)?e(?) ） （直角坐标系中：xyz?y?z?z?x?x?y??Ax?Ay?Az???2xy?2xy?Cxy?0?C??4 Sol. (1) 库仑规范：??A?0??x?y?z???2?xx2y?e?yy2x?e?z4xyz得： (2) 由?A??μJ，A?e????2222??A1??A?A?A?1??x2y?e?y2x? ?e J?????????222??????x??y?z????x4xz?e?y4yz?e?z(y2?x2) (3) B???A??e2. (P.136. 习题4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（?1,?1和

?2,?2），其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位

?、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。

Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（??和??）替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E2

?2U0???E??e (0?x?d1)1x??2d1??1d2?E1d1?E2d2?U0?? ????1U0?D1?D2??1E1??2E2?E??e? (d1?x?d2)2x??d??d2112?????1?2U0?x 电位移：D1?D2??1E1??e ?2d1??1d2?2U0?Ex?x (0?x?d1)?1?d??d?2112??(x)??

?Ed?E(x?d)??1x?(?2??1)d1U (d?x?d)1121012??2d1??1d2????? J?D， σ?ε，???，则导电媒质中的恒定电场： 静电比拟： E?E ，

?2U0??? (0?x?d1)?1?d??dx ?2112 ? ????1x?(?2??1)d1U (d1?x?d2)20??d??d2112? 6

?2U0???e(0?x?d1)?x?d??d ??2112E(x)??

?1U0??e?x (d1?x?d2)??d??d2112???1?2U0?xJ??e ?2d1??1d2?1?2U0?????sx?0???11???11??

?n?x?2d1??1d2?2?1U0????2?sx?d?d???22???2?

12?n?(?x)?2d1??1d2x?d1 ?s

(????2?1)U0???????????? ???11??22????11??22??12?n?n?x?x?d??d??x?d1??x?d12112???s。只有理想电容器

可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号?s才有电容定义。

x?0x?d1?d2

第5章电磁波的辐射

??ysin(9、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x,z,t)?e10?x)cos(?t?kzz)。试求电场和磁场

复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。 解：所给瞬时值表示式写成下列形式

??ysin(E(x,z,t)?Re[e10?x)e?jkzzej?t]

因此电场强度的复矢量表示为

~??ysin(10?x)e?jkzz E(x,z)?e由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为

?xe?ye?ze~~??1???H(x,z)??(??E)??1j??0j??0?x?y?z~~~ExEyEz~~?????E?E??eey?y? ??x??z?j??0??z?j??0??x?????k???xzsin(10?x)?e?z10?cos(10?x)?e?jkzz ???e??0j??0???

功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即

7

?x?y?zeee~~??1?~?~~~Sav?Re(S)?Re(E?H*)?1ReExEyEz22~*~*~*HxHyHz~~*~~*?xEyHz?zEyHx ?1Re(e?e) 2k?5?kz??x?zzsin2(10?x)? ?1Re?esin(20?x)?e2?j??0??0?kz?z ?esin2(10?x)2??0??xA0cos(?t?kz) 10、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,t)?e??求：(1) 电场强度E和磁场强度H；

(2) 坡印廷矢量及其平均值。

解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为

??xA0e?jkzej?t] A(z,t)?Re[e则矢量磁位的复数形式为

~??xA0e?jkz A(z)?e~~??根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A之间关系可以求出

?xe~~??11?H(z)?(??A)??0?0?x~Ax磁场强度的瞬时值为

?ye??y~Ay?ze~?Ax??y?y(?jkA0)e?jkz ?e ?e?z?z~Az?ye??y~Hy?ze??z~Hz??xe?y(kA0)cos(?t?kz??) H(z,t)?e2~~??1???????E?(z)?(??H)?1?根据麦克斯韦方程组的第一个方程??H?J?j?D，此时J?0，电场强度与磁场强度之j??ex?x?yj???z?ee~~~??间关系为 ??HxE(z)?1(??H)?1?~?zj???ex?y?H??x?y?zj??eee~x~y~ ??HH~~??xj???yzHz11???E(z)?(??H)?~j??j???x?y?z?x?Hyk2A0?jkze~~ ~?x ?eeHxHyHz ??j???zj?? ~2kA0?jkz?x?Hy电场强度的瞬时值为 e? ?eex ??j??2j???z?kA0?E(z,t)?ecos(?t?kz??) x2kA0?jkz?2?x ?eej??(2) 坡印廷矢量为

2???k3A0k3A02??2?x?e?y?zS?E?H?ecos(?t?kz?)?ecos2(?t?kz?)

??2??2坡印廷矢量的平均值为

2~~??1?~?k3A0*?z SavRe(S)?Re(E?H)??e22??第6章、均匀平面波的传播

8

11、已知空气中存在电磁波的电场强度为E?eyE0cos(6??108t?2?z) V/m

试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H。

解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量

??eEejkz Ey0该式的电场幅度为E0，相位和方向均不变，且E?ez?0?E?ez，此波为均匀平面波。传播方向为沿着?z方向。

?t?6??108t???6??108

波的频率f?3?108 Hz 波数k?2?

2??1 m kdz???3?10 m/s 相速vp?dtk由于是均匀平面波，因此磁场为

波长????1(?e?E?) ?eE0ejkz HzxZWZW12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为E?exE0sin(2??108t?2?z)，已知介质的?r?1，求?r，并写出H的表达式。

解：根据电场的瞬时表达式可以得到??2??108，k?2?，而

k???????r?r?0?0?电场强度的瞬时式可以写成复矢量为

??rc?kc???r?????9

???2??eEe?j2?z?j2 Ex0波阻抗为ZW???40? ?，则磁场强度复矢量为 ??E?j2?z?j10???) ?e2 H(e?EeyZWz40?因此磁场为

E0sin(2??108t?2?z) 40?13、铜的电导率??5.8?107 S/m，?r??r?1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、

H?ey波长、透入深度及其波阻抗。

(1) f?1 MHz；(2) f?100 MHz；(3) f?10 GHz 解：已知?0?1?10?9 F/m和?0?4??10?7 H/m，那么 36???1???1.044?1018 ??2?f?r?0f(1) 当f?1 MHz时，??1.044?1012??1，则铜看作良导体，衰减常数?和相位常数?分??9

别为

????相速：vp????2?15.132f?15.132?103

??4.152?10?4f?0.4152 m/s ?2?波长：???4.152?10?4 m ??????(1?j)?2.61?10?7(1?j)f?2.61?10?4(1?j) 波阻抗：ZW2???1.044?1010??1，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数?和(2) 当f?100 MHz时，??相位常数?分别为

????????15.132f?15.132?104

2?相速：vp??4.152?10?4f?4.152 m/s ?2?波长：???4.152?10?5 m ??????(1?j)?2.61?10?7(1?j)f?2.61?10?3(1?j) 波阻抗：ZW2??(3) 当f?10 GHz时，?1.044?108??1，则铜看作良导体，衰减常数?和相位常数?分

??别为

透入深度：??透入深度：??1?6.6?10?5 m

1?6.6?10?6 m

????相速：vp????2?15.132f?15.132?105

??4.152?10?4f?41.52 m/s ?2?波长：???4.152?10?6 m ??????(1?j)?2.61?10?7(1?j)f?2.61?10?2(1?j) 波阻抗：ZW2?14、海水的电导率??4 S/m，?r?81，?r?1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时

电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。

透入深度：??1?6.6?10?7 m

1?18?10?9 F/m和?0?4??10?7 H/m，那么??109。 36???f9?188(1) 当f?10 kHz时，??109??105??1，则海水可看作良导体，衰减常数?和

??f99解：已知?0?相位常数?分别为

???????2?3.97?10?3f?0.397

10

??1.582?103f?1.582?105 ?2?波长：???15.83 m ?相速：vp??????(1?j)?0.316??10?3(1?j)f?0.099(1?j) 波阻抗：ZW2??8(2) 当f?10 MHz时，则海水也可近似看作良导体，衰减常数???102?88.89??1，

??9和相位常数?分别为

????????3.97?10?3f?12.55

2?相速：vp??1.582?103f?5.00?106 ?2?波长：???0.500 m ??????(1?j)?0.316??10?3(1?j)f?3.139(1?j) 波阻抗：ZW2??188(3) 当f?10 GHz时，??109??10?1?0.089??1，则海水也可近似看作弱导电

??f99媒质，衰减常数?和相位常数?分别为

透入深度：??透入深度：??1?2.52 m

1?0.080 m

?80? ?2?318?f???????600?

c????1??108 m/s ?32?1波长：??? m

?3001透入深度：???0.012 m

??????(1?j?)?40?(1?j0.045) 波阻抗：ZW???2??315、均匀平面波由空气向理想介质(?r?1，?r?1)平面垂直入射，已知分界面上

相速：vp?E0?10 V/m，H0?0.25 A/m。试求：

(1) 理想介质的?r； (2) 空气中的驻波比；

(3) Ei，Hi；Er，Hr；Et，Ht的表达式。 解：(1) 利用波阻抗的表达式

ZW?1?r11

?0E? ?0H

因此

??0H???(120??0.025)2?88.8 ?r????E??0?(2) 垂直入射的反射系数

2??ZW2?40，ZW1因此驻波比为

ZW2?ZW1

ZW2?ZW1

?120?，则反射系数的模为

|?|?0.808

S?(3) 垂直入射的入射波复矢量为

1?|?|1.808??9.417

1?|?|0.192??eEe?jk1zEixi0??eHe?jk1z Hiyi0反射系数为

??因此反射波复矢量为

1?3???0.808

1?3???e?Ee?jk1zErxi0 ?jk1z?Hr?ey?Hi0e透射系数为

T?因此透射波为

2ZW22?40??0.192

ZW2?ZW140?120???eTEe?jk2zEtxi0??eZW1THe?jk2z?e3?THe?jk2z Htyi0yi0ZW2根据题意，已知分界面上E0?10 V/m，H0?0.25 A/m，则TEi0?E0，即Ei0?52.1 V/m，

3?THi0?H0，即Hi0?0.14 A/m。因此，入射波、反射波和透射波分别为

??e52.1e?jk1zEix??e0.14e?jk1z Hiy???e42.2e?jk1zErx???e0.11e?jk1z Hry??e10e?jk2zEtx??e0.25e?jk2z Hty

第7章、均匀波导中的导行电磁波

4、已知空气填充的矩形金属波导(a?b?6 cm?3 cm)中的纵向场分量为

12

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