大学物理 动量和角动量习题思考题及答案

习题4

4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

?（1）质点所受合外力的冲量I；

?（2）质点所受张力T的冲量IT。

l?解：（1）设周期为?，因质点转动一周的过程中，

????速度没有变化，v1?v2，由I??mv，

?∴旋转一周的冲量I?0；

??T（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，

且Tcos??mg，∴张力T旋转一周的冲量：

??2??IT?Tcos???j?mg?j

?2?mg所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。

??mg

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度v?4m/s。已知其中一力

?F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

?（1）力F在1s到3s间所做的功；

（2）其他力在1s到3s间所做的功。

??解：（1）A??F?dx??Fdx??Fvdt?v?Fdt?v?半椭圆面积

1?4???1?20?40??125.6J

2（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的

F(N)20?总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力 的功为?125.6J。

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4-3．质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为

t(s)???r?acos?ti?bsin?tj，求：

O123??????dr解：（1）根据动量的定义：P?mv，而v???a?sin?ti?b?cos?tj，

dt???∴P(t)??m?(asin?ti?bcos?t)j ；

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。

??????2?I??mv?P()?P(0)?m?bj?m?bj?0 ， （2）由

?所以冲量为零。

4-4．质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：mv0?mv?Mv1

∴v1?mv0?mv?5.7m/s Mv12v12根据圆周运动的规律：T?Mg?M，有：T?Mg?M ?84.6N；

ll（2）根据冲量定理可得：I?mv?mv0??0.02?570??11.4N?s。

4-5．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.2?10kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

?225.8?10?26kg，求其反冲动能。

解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1）P核?2222?22P 电子?P中微子?1.2?0.64?10P中微子? ?1.36?10kgm/s

P0.640 又∵tan??中微子?，∴??28.1 ，

P1.2电子?2P核（2）反冲的动能为：Ek??0.17?10?18J。

2m核?22P电子P核?22所以Pkgm/s ，??????151.9 ； 核?1.4?10

4-6．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?105t(N)，子弹3从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t；

（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I； （3）子弹的质量。

解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有：400?得：t?3?10s；

（2）由冲量定义：I??34?105t?0， 3?Fdt有：

0t

4-7．有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。

0.00342I??（400??105t）dt?(400t??105t2)0.003?0.6N?s 0033I（3）再由m?，有：m?0.6/300?2?10?3kg。

vmx?m2x2xxc?11，而m1?m2?m， x1?c，

m1?m22水平方向质心不变，总质心仍为xc，所以

O1xcm?mx23xc?2?x2?xc

2m2y??xc/2xc

4-8．两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1?m，m2?3m）求：（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。

11m2v202?kx02（1） 2 2m2v20?（m1?m2）vm2x03xkk； ?0m1?m2m243m112122（2）m2v20?kx?（m1?m2）v

2221那么计算可得：x?x0

2所以：v?

4-9．如图所示，质量为mA的小球A沿光滑的弧形轨 A 道滑下，与放在轨道端点P处(该处轨道的切线为水平

B P 的)的静止小球B发生弹性正碰撞，小球B的质量为

O mB，A、B两小球碰撞后同时落在水平地面上．如果A、

LA B两球的落地点距P点正下方O点的距离之比LA / LB LB =2/5，求：两小球的质量比mA /mB．

解：A、B两球发生弹性正碰撞，由水平方向动量守恒与机械能守恒，得

mAvA0?mAvA?mBvB ①

1mv2?1mv2?1mv2 ② 2AA02AA2BBm?mB2mA联立解出 vA?AvA0， vB?vA0

mA?mBmA?mB由于二球同时落地，∴ vA?0，mA?mB；且

LA/vA?LB/vB ∴

vALA2m?mB2??， A? vBLB52mA5解出 mA/mB?5

答案：mA/mB?5 。

?4-10．如图，光滑斜面与水平面的夹角为??30，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M?1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量

m?0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木块的速度，碰撞过程中子弹和木块沿斜面方向动量守恒，可得：

11Mv12?kx2?Mgxsin? ?v1?0.83m/s (碰撞前木块的速度) 22再由沿斜面方向动量守恒定律，可得： Mv1?mvcos??（m?M）v? ?v???0.89m/s。

4-11． 水平路面上有一质量m1?5kg的无动力小车以匀速率v0?2m/s运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为m2?25kg的车厢连接，车厢前端有一质量为m3?20kg的物体，物体与车厢间摩擦系数为??0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：

(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时， 物体相对车厢的位移；

(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。 (车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2) 解：（1）由三者碰撞，动量守恒，可得：

m1v0?（m1?m2?m3）v? ?v??0.2ms，

再将m1与m2看成一个系统，由动量守恒有：

m1v0?(m1?m2)v v?对m3，由功能原理有：

m15?21v0??ms，

m1?m25?253?m3gs?(m1?m2)v2?（m1?m2?m3）v?2

11(m1?m2)v2?（m1?m2?m3）v?12?m ； s?2?m3g60v?0.2??0.1s。 （2）由m3v??μm3gt，有：t?μg0.2?104-12．一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k。一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L。(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s，求子弹所受的平均阻力。

解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后机械能守恒条件。

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