备战2012年高考：函数、导数与定积分专题

备战2012年高考：函数、导数与定积分专题

大同一中 董凯

一、2011年全国各省高考函数题横向分析 (一) 命题特点

1.题量分布大

在调查的35份试题来看，几乎每一套题的每一种题型中，都包含有函数题目.平均而言，每套试卷中，选择、填空共有2~3道函数题目，解答约1道函数题目.

2. 文理科差异明显

尽管从题量上看，文理大致相同，但从内容看，文理相同题相对很少(仅有江苏完全相同)，甚至相似题也不多，而大多数题目都是相异题.而相同相似题较多的考卷中，也是大纲考区居多，可见，新课标地区，文理题目差异的增大已经成为一种趋势.

3. 题型的分值分布差异小

在选择填空题目中，函数题目的分数由5~28分不等，平均约12.8分左右，在解答题中，函数题目的分值0~30分不等，平均在14.6分上下.

从文理差异来看，选择、填空、解答三种题型在分值上差异不大，理科比文科略大，除广东卷文理有一道大题的差异外，其他试卷差异都没有超过试卷总分的6%，而文理科总体差异也仅有0.15%而已.

4. 考查知识点的分值分布差异大

函数专题包含着丰富的内容，在这里，从考查知识点的差异，分19个方面进行整理，分别是(1)求函数的解析、计算函数值；(2)求函数定义域；(3)求函数的值域、极值或最值；(4)函数单调性；(5)函数奇偶性；(6)函数周期性；(7)零点所在区间；(8)函数的图像与图像变换；(9)定积分；(10)分段函数；(11)复合函数；(12)对数的运算性质；(13)导数、变化率与切线；(14)解不等式问题；(15)求参变量的取值范围；(16)反函数；(17)函数极限；(18)新题型；(19)函数与非函数知识的综合题. 考查知识点 全国课标 6 5 7.5 2.5 5 5 5 12 6 全国大纲 9 5 5 11 3 安徽 12 6 7.5 10 2.5 5 7 北京 12 17 5 10 7 重庆 13 7.5 2.5 17 福建 10 17 5 5 5 5 广东 5 5 7 10 2.5 7 湖北 15 12 3 10 5 11 7 湖南 6 32 6 5 2.5 5 5 2.5 江苏 28 21 10 5 16 江西 10 15 10 7.5 辽宁 7 6 4 5 5 2.5 12 山 东 16 6 12 5 陕西 4 4 2.5 上海 4 18 5 4 13 四川 20 4 4 5 天津 5 14 5 4 5 浙江 4 总计 比例 求解析式、函数值 计算定义域 值域、极值、最值 函数单调性 函数奇偶性 函数周期性 零点存在问题 函数图象 定积分 分段函数 复合函数 对数的运算性质 导数、切线问题 解不等式 参量取值范围 78 21 7.91% 2.13% 9.5 205.5 20.84% 3 4 2.5 5 3 16 134.5 13.64% 66.5 16.5 40.5 52.5 17.5 40 12 10 6.74% 1.67% 4.11% 5.32% 1.77% 4.06% 1.22% 1.01% 2.5 2.5 10.5 10 2 5 10 10 2.5 5 2.5 10 10 104.5 10.60% 25.5 77 2.59% 7.81% 2.5 7.5

反函数 函数极限 新题型 综合题 合计 54 10 6 49 50 51 5 5 50 10 57 2.5 39 8 71 64 80 45 49 2 71 63 8 52 5 8 5 51 5 38 5 52 23 5 32.5 24 986 2.33% 0.51% 3.30% 2.43% 100% (注：表格中数据单位大都为：分，仅有“比例”一栏中，单位为：1)

(注：为保证各套试题权重相当，江苏卷等重复题目每一道计两次分)

(注：有些题目涉及到两个或多个知识点，此时将此题目的分值等分给这两个知识点，或多个知识点中最重点考查的两个知识点)

从以上表格和条形图中不难看出，函数专题包含知识点很多，分布也比较分散，但其中有几个项目相对比较突出，它们分别是：值域、极值与最值(20.84%),函数单调性

(13.64%)，导数、切线问题(10.60%)，求解析式、函数值(7.91%),求参量取

值范围(7.81%).其中“求函数的值域、极值与最值”是唯一一个在所有地区中均出现的知识点.

5.以中难题目为主

难度的计算本应该由考生的得分率制定，但由于地域限制，难以实现，故只得简单化，这里列出的难易度都是笔者自己的观点，仅供参考. 难易度合计(文+理) 压轴题合计(文+理) 简单 中档 较难 选择 填空 解答 176 521 289 12 6 13 17.85% 52.84% 29.31% 33.33% 16.67% 36.11% (注：江苏卷按两套相同卷处理，即“江苏卷文=江苏卷理”)

由表格可知，函数题目覆盖易中难各个难度层次，而且中难题目偏多，易中难比例约为2:5:3.从分值上看文理科大致相同，考查知识点也比较相近，但从内容上看，理科比文科要难一些，从相似题的差异可以看得十分明显，例如全国课标卷，同样要证明函数f(x)大于某某，理科中待证明的“某某”就比文科要略大一些，并带有参变量.相对于其他专题，函数题中难题的比例较大，这其中很重要的一个原因就是函数题在选择、填空、解答题中压轴题的比例都比较大，在11年的高考选择、解答压轴中，函数题约占三分之一.

(二) 新题扫描

1.新型运算或定义，考查学生获得新知运用新知的能力 此类题目给人的第一印象是情境新颖，但考察的依然学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想.学生通过转化将新颖的问题转化为熟悉的问题，达到解决问题的目的.因此这类题型不但考查了学生阅读获取信息的能力，运用新知识解决问题的能力，更考察了学生化归求解的思想方法.

例1： (广东文数10)设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f?g)(x)和(f?g)(x)；对任意x ∈R，（f ?g）（x）=f(g(x))；（f·g）（x）=f(x)g(x).则下列恒等式成立的是 A．（（f ?g）·h）（x）=（（f·h）?（g·h））（x） B．（（f·g）?h）（x）=（（f ?h）·（g?h））（x） C．（（f ?g）?h）（x）=（（f ?h）?（g?h））（x） D．（（f·g）·h）（x）=（（f·h）·（g·h））（x） 答案:B

解法一：选项A中，左边等于((f?g)?h)(x)?(f?g)(x)?h(x)?f(g(x))?h(x)，而右边等于((f?h)?(g?h))(x)?(f?h)((g?h)(x))?(f?h)(g(x)h(x))，两者不恒相等；选项B中，左边等于((f?g)?h)(x)?(f?g)(h(x))?f(h(x))g(h(x))，右边等于

((f?h)?(g?h))(x)?(f?h)(x)(g?h)(x)?f(h(x))g(h(x))，两者恒相等；选项C中，

左边等于((f?g)?h)(x)?f(g(h(x)))，右边等于((f?h)?(g?h))(x)?f(h(g(h)))(x)，两者不恒相等；选项D中，左边等于((f?g)?h)(x)?f(x)g(x)h(x)，而右边等于

((f?h)?(g?h))(x)?f(x)h(x)g(x)h(x)，两者不恒相等.

解法二(特值法)：令f(x)?x，g(x)?2x，h(x)?3x，将四个选项依次检验，分别有如下结论：A.6x?108x，B.18x?18x，C.6x?18x，D.6x?18x，显然仅有B选项正确.

点评：本题通过“定义新运算”(实质上就是普通乘法和函数间的复合运算)考查了学生的运算能力和阅读理解能力，文理兼备，较为新颖，不过运算量偏大，学生理解起来需要费些功夫，难度偏难.

=f（x2）例2：(四川理数16)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2?A且f（x1）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数.例如，函数f(x)=2x+1（x?R）是单函数.下列命题：

242233①函数f(x)?x(x?R)是单函数；

②若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，f(x1)?f(x2)； ③若f:a?b为单函数，则对于任意b?B，它至少有一个原象； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）

2

答案：②③

解析：当f(x)?x时，不妨设f(x1)?f(x2)?4，有x1?2，x2??2，此时x1?x2，故①不正确；由f(x1)?f(x2)总有x1?x2知，当x1?x2时，f(x1)?f(x2)，故②正确；若b?B，b有两个原象时，不妨设为a1,a2，可知a1?a2但f(a1)?f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间具有单调性时，在整个定义域不一定单调，因而f(x) 不一定是单函数，故④不正确.故正确答案为②③. 点评：本题目实质上给出了单射映射的定义，考查了学生接受新定义的能力(这一能力的培养对学生即将开始的大学学习具有重要的意义)，一旦学生接受了“单函数”这一定义，本题目很快就迎刃而解了，①的反例很容易想到，④只要把握“某区间”与题干中的“定义域”二者的区别，也不难排除.

2.注重细节，考查学生敏锐的观察能力、严谨的思维能力

解决数学问题时，元认知监控能力起着重要的作用.学生选择了一种求解方法，在求解过程中，如果能有意识的与题干、选项比对，观察分析，几时调整求解方向，那么就可以顺利地求解题目.

例3：(福建理数09)对于函数f(x)?asinx?bx?c(其中，a,b?R,c?Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(?1)，所得出的正确结果一定不可能是 ．．．．．

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

答案：D

1b?c，f(?1)??asin1?b?c，且c是整数，所以解析：因为f(1)?asin?f(1)?f(?1)?2c是偶数，在选项中，只有D选项两个数的和为奇数，不可能是D

2点评：本题新颖之处在于考查学生捕捉细节条件的能力和对数字的敏锐感觉，如果发现这个题目当中与众不同的细节(c与a,b的取值范围不同)，应不难解决.

例4：（浙江理数10）设a，b，c为实数，f(x)?(x?a)(x?bx?c)，

g(x)?(ax?1)(cx?bx?1).记集合S=?xf(x)?0,x?R?,T?22?xg(x)?0,x?R?.若

S，T分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 ．．．

A．S=1且T=0 C．S=2且T=2 答案：D

B．S?1且T=1 D．S=2且T=3

3解析：取a?0，b?0，c?0，则S??x|f?x??x?0?，S?1，

T??x|g?x??1?0?，T?0。因此A可能成立。取a?1，b?0，c?1，则

S??x|f?x???x?1??2x?1??0，S?1，T?x|g?x?????x?1??x?x???x2?1??02?，

T?1。因此B可能成立。取a??1，b?0，c?0，则S??x|fS?2，T?x|g?x???1?x??1?x?1?x?0?，

?2??0?，T?2。因此C可能成立。答案选D.

点评：本题通过集合与函数的语言，重点考查了三次方程的根的情况，表达方式较新颖，

学生在解答时，需要较强的“翻译”语言能力，及思维缜密的良好品质，否则很容易错选成其他选项.

3.选用适当载体，考查应用能力和阅读能力

联系实际是新课程倡导的，与实际生活联系得比较紧密，在考查学生阅读、理解、运算能力的同时，也使学生增长了见闻，开拓了视野.

例5：(湖北理数10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M(t)?M02?t30，其中M0为t=0时铯137

的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=

A.5太贝克 B.75In2太贝克 C.150In2太贝克 D.150太贝克 答案：D

解析：因为M?(t)??t30130M0?2?t30?ln2，所以M?(30)??10ln2，所以M0?600，

所以M(t)?600?2?，所以M(60)?600?2?2?150(太贝克)。

点评：本体题选择的实际背景接近理科生知识背景，学生容易接受，虽然阅读量比较大，但是学生并不会因此产生畏惧感，并且在实际情境中巧妙地考查了变化率问题与待定系数法.

4.构造新函数，考查学生思维的灵活性和综合应用能力

将基本知识综合，构造新的问题，可考查学生综合运用基本知识和技能的能力.

例6：（天津理数08）对实数a和b，定义运算“?”：a?b??f(x)??x?2???x?x22,b??aa?,11.?b,a?b? 设函数

?,x?R.若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，则实

数c的取值范围是

A．???,?2????1,??3?? 2?B．???,?2????1,???3?? 4?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ph0d.html