高考数学有关球的计算资料

心中有梦，美丽就不再遥远。

典型例题1——球的截面

例1 球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB?18，BC?24、AC?30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，?ABC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r2?R2?d2求出球半径R．

解：∵AB?18，BC?24，AC?30，

∴AB2?BC2?AC2，?ABC是以AC为斜边的直角三角形． ∴?ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r?15， 又球心到截面的距离为d?12R，∴R?(212R)?15，得R?103．

22∴球的表面积为S?4?R2?4?(103)2?1200?．

说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式r?R?d解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．

【练习】过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60?，若球半径为R，求弦AB的长度．

C、由条件可抓住A?BCD是正四面体，A、则球心在正四面体中心，设AB?a，B、D为球上四点，则截面BCD与球心的距离d?(33a)?R?(222263263a?R，过点B、C、D的截面圆半径r?R．

33a，所以

63a?R)得a?2典型例题2——球面距离

例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确

分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．

例3 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

4?，求这个球的半径．

16，经过3个点的小圆的周长为

分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．

设球的半径为R，小圆的半径为r，则2?r?4?，∴r?2． 如图所示，设三点A、B、C，O为球心，

2??OB是等边三角形，?AOB??BOC??COA??．又∵OA?OB，∴?A63同样，?BOC、?COA都是等边三角形，得?ABC为等边三角形，边长等于球半径R．r为?ABC的外接圆半径，r?333说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．

?例4 A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为R，求过A、B的平面中，与

2球心的最大距离是多少？

??分析：A、B是球面上两点，球面距离为R，转化为球心角?AOB?，从而AB?2R，由关

22AB?33R，R?3r?23．

系式r?R?d，r越小，d越大，r是过A、B的球的截面圆的半径，所以AB为圆的直径，r最小．

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心中有梦，美丽就不再遥远。

解：∵球面上A、B两点的球面的距离为

?2R． ∴?AOB??2，∴AB?2R．

当AB成为圆的直径时，r取最小值，此时r?d?R?r2212AB?22R，d取最大值，

22R．

?22R， 即球心与过A、B的截面圆距离最大值为

说明：利用关系式r2?R2?d2不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r与球心到截面的距离d之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角?AOB有关，而球心角?AOB又直接与AB长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．

典型例题3——其它问题

例5．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2?MB2?MC2的值．

分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M?ABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

?MA2?MB2?MC=(2R)?4R．

222说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．

分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系． 解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，它们的体积均为V， 则由

4?3r23?V,r3?3V4?2，r?333V4?2，由a3?V,得a?3V．

2S球?4?r?4?(333V4?)?24?V． S正方体?6a2?6(3V)2?63V，即S球?S正方体．

?3216V2．

?4??216?4?V?3216V2

典型例题4——球与几何体的切、接问题

例7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．

解：如图作轴截面，设球未取出时水面高PC?h，球取出后，水面高PH?x

3r，PC?3r，

AB为底面直径的圆锥容积为

11223V圆锥???AC?PC??(3r)?3r?3?r，

33111223球取出后水面下降到EF，水体积为V水???EH?PH??(PHtan30?)PH??x．

33933又V水?V圆锥?V球，则?x?3?r?∵AC?则以

19433?r， 解得x?315r．

例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

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心中有梦，美丽就不再遥远。

分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．

解：如图，正四面体ABCD的中心为O，?BCD的中心为O1，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．

设OO1?r,OA?R，正四面体的一个面的面积为S．

依题意得VA?BCD?13?R?r?4r即R?3r．

S(R?r)， 又VA?BCD?4VO?BCD?4?13r?S

4所以

内切球的表面积外接球的表面积?4?r4?R22?19．

内切球的体积外接球的体积?34?r?R3?3127．

3说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正

1四面体高的四等分点，即定有内切球的半径r?h(h为正四面体的高)，且外接球的半径R?3r．

4例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高h?33而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四

2?(2?23)2?26．

个球的最高点与桌面的距离为2?263．

例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可．

解：如图2，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD,BC的垂线交于E,F．

则由AB?1,AC??r?R?3得AO1?3r,CO2?3R．

3(r?R)?3， ?R?r?33?12?3?23．

（1）设两球体积之和为V， 则V? =

4343?(R?r)?3343?(r?R)(R?Rr?r)

2图2

?332?(R?r)432?3rR??43??33?33233()?3R(?R)?? 2?22?=?33?3(3?3)3?32?23R?R?()? ?2?22?当R?3?43时，V有最小值．?当R?r?3?43时，体积之和有最小值．

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心中有梦，美丽就不再遥远。

作业

1. 正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

解：如图，球O是正三棱锥P?ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．

PH是正三棱锥的高，即PH?1．E是BC边中点，H在AE上，

?ABC的边长为26，∴HE?3612?26?2． ∴PE?3

34(26)?63

2可以得到S?PAB?S?PAC?S?PBC?BC?PE?32． S?ABC?由等体积法，VP?ABC?VO?PAB?VO?PAC?VO?PBC?VO?ABC ∴?63?1?32113?32?R?3?213?63?R 得：R?2323?343?436?2，

3∴S球?4?R?4?(6?2)?8(5?26)?． ∴V球??R?3?(6?2)．

说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．

2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．

解：如图，等边?SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1．

设球的半径OO1?R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；

OB?O1O?cot30??3R， SO?OB?tan60??233R?3?3R，

23∴V球?43?R，V柱??R?2R?2?R， V锥?313??(3R)?3R?3?R，

∴V球∶V柱∶V锥?4∶6∶9．

3 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49?cm和

400?cm．求球的表面积．

22分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．

解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1//BO2，且若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1?AO1，OO2?BO2．设球的半径为R．

∵??O2B?49?，∴O2B?7(cm) 同理??O1A?400?，∴O1A?20(cm) 设OO1?xcm，则OO2?(x?9)cm．

在Rt?OO1A中，R?x?20；在Rt?OO2B中，R?(x?9)?7，

222∴x?20?7?(x?9)，解得x?15，

222222222222∴R?x?20?25，∴R?25

∴S球?4?R?2500?(cm)． ∴球的表面积为2500?cm．

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【高考真题】

（2010四川理数）（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面?，垂足为B， ?BCD是平面?内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 （A）Rarccos13A1725 （B）Rarccos4151825

w_w_w.k*s 5*u.c o*mO（C）?R （D）?R

12 w_w_w.k*s 5*u.c o*mMNDC解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝

cos∠BAC＝255

?B 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CD

w_w_w.k*s 5*u.c o*m

而AC＝5R,CD＝R

故MN：CD＝AN:AC

w_w_w.k*s 5*u.c o*m? MN＝

45R，

连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝

OM2?ON?MN222OM?ON?17251725

所以M、N两点间的球面距离是Rarccos w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：A

（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 cm. 【答案】4 【解析】设球半径为r，则由3V球?V水?V柱可得3??r3??r2?8??r2?6r,解得r=4.

34（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

若圆M的面积为3?，则球O的表面积等于__________________. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

R2222解：设球半径为R，圆M的半径为r，则?r?3?，即r?3由题得R?()?3，所以

222R?4?4?R?16?。 （2009陕西卷文）如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O?是圆O1上两点，若?AO1B=为 . 2?答案:

32，A、B

?2，则A,B两点间的球面距离

A O1 B O 解析:由O1O?2,OA?OB=2由勾股定理在圆O1中 2, 又?AO1B=

?2则有O1A?O1B? 则AB?2 所以在?AOB中，

OA?OB?AB?2，则?AOB为等边三角形，那么?AOB?60?

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心中有梦，美丽就不再遥远。

由弧长公式l?r?(r为半径)得A,B两点间的球面距离lAB?r??2??3?2?3.

（安徽卷理16文16）已知A,B,C,D在同一个球面上,AB?平面BCD,BC?CD,若

AB?6,AC?213,AD?8,则B,C两点间的球面距离是 解： 如图，易得BC?2R?22(213)?6?4，BD?2228?6?27，∴CD?2212，则此球内接长方

体三条棱长为AB、BC、CD（CD的对边与CD等长），从而球外接圆的直径为

6?4?(12)?8，R=4则BC与球心构成的大圆如图，因为△OBC为正三角形，则B，

4?3C两点间的球面距离是。

（江西卷文15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于

27、43，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．

解析：易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当M、N与球心O共线时，

MN取最大值5。

（辽宁卷理14文14）在体积为43?的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=2，A，C两点的球面距离为

33?，则球心到平面ABC的距离为_________．

43解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则V?R?3.设A、C两点对球心张角为?，则?AC?R???R?43?,∴

3,∴AC为

33??33?,∴???3,∴AC?ABC所在平面的小圆的直径，∴?ABC?90?,设ABC所在平面的小圆圆心为O\'，则球心到平面ABC

的距离为d?OO\'?R?BO2\'2?3?(32)?232.答案：

32

（天津卷理12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43?，则该正方体的表面积为 .

4?32R?43?得R?3，所以a?2，表面积为6a?24. 解析：由

3（浙江卷理14文15）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，

DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3，则球O点体积等于___________。

解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出

球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都 是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到 D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。

C

DAB / 6

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心中有梦，美丽就不再遥远。

由弧长公式l?r?(r为半径)得A,B两点间的球面距离lAB?r??2??3?2?3.

（安徽卷理16文16）已知A,B,C,D在同一个球面上,AB?平面BCD,BC?CD,若

AB?6,AC?213,AD?8,则B,C两点间的球面距离是 解： 如图，易得BC?2R?22(213)?6?4，BD?2228?6?27，∴CD?2212，则此球内接长方

体三条棱长为AB、BC、CD（CD的对边与CD等长），从而球外接圆的直径为

6?4?(12)?8，R=4则BC与球心构成的大圆如图，因为△OBC为正三角形，则B，

4?3C两点间的球面距离是。

（江西卷文15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于

27、43，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．

解析：易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当M、N与球心O共线时，

MN取最大值5。

（辽宁卷理14文14）在体积为43?的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=2，A，C两点的球面距离为

33?，则球心到平面ABC的距离为_________．

43解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则V?R?3.设A、C两点对球心张角为?，则?AC?R???R?43?,∴

3,∴AC为

33??33?,∴???3,∴AC?ABC所在平面的小圆的直径，∴?ABC?90?,设ABC所在平面的小圆圆心为O\'，则球心到平面ABC

的距离为d?OO\'?R?BO2\'2?3?(32)?232.答案：

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（天津卷理12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43?，则该正方体的表面积为 .

4?32R?43?得R?3，所以a?2，表面积为6a?24. 解析：由

3（浙江卷理14文15）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，

DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3，则球O点体积等于___________。

解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出

球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都 是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到 D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。

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