2013届厦门双十中学高三热身考6月理科数学测试

高三数学（理）热身试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．已知集合A?{x|?1??x?2},B?{x|?x?0},则A A．{x|?1?x?0} 2.等比数列{an}中，a1B等于

B． {x|?2?x??1} C．{x|0?x?2} D． {x|?2?x?0}

?0，则“a1?a3”是“a3?a4”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知两不共线向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，则下列说法错误的是 ．． A.|a|?|b|?1 B. (a?b)?(a?b)?0 C.

a与b的夹角等于??? D.a与b在a?b方向上的投影相等

2y2?1的离心率为 4．已知实数4,m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x?mA．

53030 B．7 C．或7 D. 或7

6665.若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为（ ） A．n?5 B．n?6 C．n?7 D．n?8

6．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择

了甲景区的选法共有

A. 36种 B. 54 种 C. 72种 D. 108 种 7．下列关于函数

f(x)?2?2cos2x的描述正确的是

cosxA．在(??3?ππ,0]上递增 B．在(,)上最小值为0 C. 周期为? D. 在(?,0]上递减 22228．如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的

等腰直角三角形，则该几何体的体积是 A．

88442 C. D. 2 B. 33339. 定义在 R上的函数y?f(x)是减函数，且函数y?f(x?2)的图象关于点(?2,0)成中心对称，若s,t满足不等式

组??f(t)?f(s?2)?0，则当2?s?3时，2s?t的取值范围是

f(t?s)?0?A．[3,4] (B) [3,9] (C) [4,6] D．[4,9]

10.如图，半径为2的⊙O与直线MN相切于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，

PK交⊙O于点Q，设?POQ为x，弓 形 PmQ的面积为S?f(x)，那么f(x)的图象大致是

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．

11．复数

a+2i在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a= . 1-i212. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是50(13?20?10?7)2?4.84，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种否与性别有关系，根据表中的数据，得到??23?27?20?30判断出错的可能性最高为 ．

13.如图，圆O:x2?y2??2内的正弦曲线y?sinx与x轴围成的区域记为M (阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是 ．

14.对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1?5；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的95?()n. 9操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积Sn若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则

(I)当n = 1时,所得几何体的体积V1 =______. (II)到第n步时，所得几何体的体积Vn =______.

15．已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f(x)?x?bx图象上．若正方形ABCD唯一确定，则实数b的值为 ． 16.(本题满分13分)

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

幸福度

7 3 0

8 6 6 6 6 7 7 8

9 7 6 5 5

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极

幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记?表示“极幸福”

的人数，求?的分布列及数学期望。

3 8 9 9 17.(本题满分13分)在?ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且满足：

2bc? ．

sin2AsinA（I）求角C； （II）求函数y?3sin2A?sin2B?23sinBsinA的单调减区间和取值范围．

18.(本题满分13分)如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧面BCC1B1?底面ABC. （I）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1；

（II）若三棱柱ABC —A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°.问在线段CC1上是否存在 一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为60，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由.

0A1B1NMBACC1

20.（本小题满分13分）已知函数f(x)?(1?x)n(x??1,n?N*)在点（0,1）处的切线L为y?g(x) （Ⅰ）判断函数f(x)在x?(?1,??)上的单调性；

（Ⅱ）求证：f(x)?g(x)对任意的x?(?1,??)都成立； （Ⅲ）求证：已知m,n?N*，Sm?1m?2m?...?nm，求证：n

21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知y?f(x)的图象(如图1)经A??m?1?(m?1)Sm

?ab?。 ?作用后变换为曲线C（如图2）

?cd?（I）求矩阵A； （II）若矩阵B?2?2????,求AB的逆矩阵. ?11?

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A,B的极坐标分别为(2,?)，(22,)，

4?曲线C的参数方程为??x?sin?2?y?1?cos?（?为参数）.

(Ⅰ)求?AOB的面积； （Ⅱ）若直线AB与曲线C的交点.

2013厦门双十中学高三数学（理）热身试参考答案

一。选择题

1 D 2 B 3 C ；

4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 D 10 D 二、填空题：2； 0.05；

4?311n,() ?22 3316.解：

（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ?????2分

（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则 分

17.（I）解：

2bc2bcb?????c-------2分

sin2AsinA2sinAcosAsinAcosAb2b2c处理1：余弦定理：?c?22?c?b2?a2?c2?C?900----4分 2cosAb?c?a

处理2：正弦定理：

sinB?sinC?sinB?sinCcosA?sin(C?A)?sinCcosA?cosCsinA?0 cosA又sinA?0?cosC（II）y?3sin2?0,?C?900

A?sin2B?23sinBsinA?3sin2A?cos2A?23cosAsinA----6分

2 =1?2sin?A?23cosAsinA=1?1?cos2A?3sin2A=2sin(2A?)?2---8分

62)?2A? 又A?(0,???(?,666?5?注意端点 )?值域为(1,4]----------------------------10分

令2k???2?2A??6?2k??3??5?------------------12分 ?k???A?k??236①小区间上的单调性还可以用“五点作图”； ②小区间上的值域问题用“复合函数”的思想。 又A?(0,?)?y在(,)单调递减.-13分

232??18. （I）思路点拨1：连接AC1,证明：MN//AC1;------------------4分

思路点拨2：取BC中点M1,取CC1中点N1,证明：MM1N1N是平行四边形 思路点拨3：取AC中点K，连接MK,NK，证明平面MKN//平面BCC1B1 （II）过B1作BC的垂线,垂足为O，

侧面BCC1B1?底面ABC

所以B1O?平面ABC，------------------------------------6分 所以?B1BC就是侧棱BB1与底面ABC所成的角，即?B1BC=60°--7分 又AB=AC，所以BC?AO,

如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系 则B(?1,0,0),C(1,0,0),A(0,3,0),B1(0,0,3)-------------8分

yzA1C1NB1MBOACxBB1?CC1?C1(2,03),-------------9分

解1：BA?(1,3,0),BC1?(3,0,3)，设平面ABC1的法向量为n?(x,y,z)

?x?3y?0??BA?n?0? 则?，令x?3，则y=-1,x=-3,所以n?(3,?1,?3)---11分 ????3x?3z?0?BC1?n?0? 又平面ABC的法向量为（0,0,1）， 设平面使得平面ABC1与底面ABC的所成角为? 所以cos??|cos?n1,n2?|??31?cos600?，又y?cosx在[0,]上单调递减，

22130 所以在CC1上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为60-----------------------13分 解2：设P在CC1上，所以CP??CC1(0???1)?

20.（Ⅰ）解： （Ⅱ）

f/(x)?n(1?x)n?1,x??1?f/(x)?0，所以f(x)在(?1,??)上单调递增；--2分

f/(0)?n，所以L：y?1?n(x?0)?g(x)?nx?1------------------4分

n 要证：(1?x)?1?nx(x??1,n?N*)有三条可能的路径

?(1)二项展开式，你试一试，看看行不行？ （1）把n当成变量，x当成常数?

（?2）数学归纳法，你也试一试 （2）把n当成常数，把x当成变量，构造函数h(x)?(1?x)

n?nx?1

h/(x)?n(x?1)n?1?n?n[(x?1)n?1?1]--------------------------------5分

①n=1时，h(x)?0满足题意------------------------------------6分 ②n?2时，由（Ⅰ）知y?(x?1)

n?1在(?1,??)上单调递增，

h/(x)?0?(x?1)n?1?1?(0?1)n?1?x?0

所以h(x)在（-1,0）上单调递减；(0,??)上单调递增

所以h(x)?h(0)?0，即f(x)?g(x)对任意的x?(?1,??)都成立-------8分 （Ⅲ）要证：nm?1?(m?1)(1m?2m?...?nm)，

构造左n项右n项

只需证：(1 只需证：nm?1?0m?1)?(2m?1?1m?1)?...?(nm?1?(n?1)m?1)?(m?1)(1m?2m?...?nm) ?(n?1)m?1?(m?1)nm，

1m1)(n?1)?m?1， 只需证：n?m?1?(1?)m(n?1) nnm?1 只需证：n?(1? 又(1?所以nm?11mmm)(n?1)?(1?)(n?1)?n?1?m??n?1?m成立， nnn?(m?1)(1m?2m?...?nm)成立.-----------------------------------------------------14分

证2：数学归纳法

?1??????ab???????a???a?21.（1）（Ⅰ）依题意可知??2??2??2 ??????cd??0????0??c??0?c?0?1 ?2??0????1????????b?00b??????b????--------3分 所以A??22?4??44??????????d?0?01d??1??1?d?1????/1?1?x?x0?? 解2：依题意可知A对应的变换为伸缩变换?2，所以A??2???y/?y??01??1?0??2?2???1?1?-------4分 （Ⅱ）AB??2?11????11??????01??1?2?1?1 ?|AB|?1?(?1?1)?2， ?(AB)?(AB)????1??2（2） (Ⅰ)解：S?AOB1?2?------7分 ?1??2?1??2?22?sin1350?2-----------------------------------------------2分 2（Ⅱ）在直角坐标系中A(-2,0),B(2,2)，所以AB：x=2y?2----3分 直线C：y?2?x 联立得：2x

2013厦门双十中学数学（理）高三热身卷

22,x?[?1,1],y?[1,2]-----------------5分

?1?17?1?177?17（舍负），得交点(,)----7分 448?x?2?0，解得：x?A1B1C1NMABC

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