万学海文2010考研数学二（预测三）

2010年考研数学二预测（三）

考研临近，万学海文集合考研数学名师团队，深入研究2010年数学考试大纲，并结合考研数学的命题趋势及特点，在经过反复锤炼之后，分析总结知识要点，为广大考研学子潜心搜集整理了最新信息和多方面精华资料，进一步对当年的考研数学命题进行预测，帮助学员把握出题重中之重。

高等数学部分

考点1：极限四则运算法则和极限的基本性质 【参考题目】

设数列xn,yn满足limxnyn?0,则下列断言正确的是

n??（A） 若xn发散，则yn必发散 （B）若xn无界，则yn必有界 （C） 若xn有界，则yn必为无穷小 （D）若【答案】D

考点2：连续性的判定和间断点的分类 【参考题目】 设f(x)?lim1为无穷小，则yn必为无穷小 xn1?x，则（ ）

n??1?x2n（A）x??1,x?1,都是f(x)的第一类间断点 （B）x??1,x?1,都是f(x)的第二类间断点

（C）x??1是f(x)的连续点，x?1是f(x)的第一类间断点 （D）x?1是f(x)的连续点，x??1是f(x)的第一类间断点

?0, x??1,?1?x, ?1?x?1,1?x?【详解】因f(x)?lim ??n??1?x2n1, x?1,???0, x?1.f(x)?0,limf(x)?2. 于是，lim??x?1x?1所以x?1为f(x)的跳跃间断点，其余点处f(x)均连续．因此，x?1为函数的第一类间断点，x??1为连续点．

考点3：函数的几何性质

1

【参考题目1】设函数f(x)?x?tanx?esinx,则f(x)是 (A)偶函数 (B)无界函数 (C)周期函数 (D)单调函数 【答案】（B）

F(x)是f(x)的原函数，【参考题目2】设f(x)是连续函数，则 （ ）

（A） 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。 （B） 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。 （C） 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。 （D） 当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。 【答案】( A )

考点4：可导与连续之间的关系

?x,x?01?【参考题目】在f(x)??1?ex 在x?0处 （ ）

?,x?0?0A.极限不存在. B.极限存在但是不连续.

C.连续但不可导. D.可导. 【答案】Ｃ 【详解】

f(x)?0，limf(x)?0，极限存在，f(0)?0 故连续。 先考虑极限lim??x?0x?0再考虑可导性 f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)f(x)?f(0)?0 f_?(0)?lim?1所以不可

x?0?x?0x?0导。故答案选C

考点5： 微分的定义、四则运算，微分形式的不变性，导数和微分的关系

【参考题目】设函数y?f(x)在x0点处可导,?x，?y分别为自变量和函数的增量,

dy为其微分且f?(x0)?0,则limdy??y? ( )

?x?0?yA．-1 B．1 C．0 D．?

【答案】C 【详解】limf?(x0)dx??ydy??y?lim?lim?x?0?x?0?x?0?y?yf?(x0)??y?x?f?(x0)?f?(x0)?0. ?yf?(x0)?x考点6：函数单调性的判断

【参考题目】设函数f(x)在区间?1,???内二阶可导,且满足条件f(1)?f?(1)?0,x?1时

2

f??(x)?0, 则g(x)?f(x)在?1,???内 ( ) x?A? 曲线是向上凹的 ?B? 曲线是向上凸的

?C? 单调减少 ?D? 单调增加

【答案】?C? 【详解】

xf?(x)?f(x),设F?x??xf?(x)?f(x),则F??x??xf??(x)?0 2x??f??(x)?0?,故F?x?单调减少,F?x??F?1??0,知g?(x)?0. g?(x)?考点7：极值的定义及判定 【参考题目】

设函数f(x)在x?0的某领域内三阶可导，limf?(x)1??，则 （ ） x?01?cosx2?A??C?f(0)必是f(x)的一个极大值 ?B?f(0)必是f(x)的一个极小值 f?(0)必是f?(x)的一个极大值 ?D?f?(0)必是f?(x)的一个极小值

【答案】?C? 【详解】因limf?(x)1f??(x)1??，故f?(0)?0(f?(x)连续）???0，故；于是limx?01?cosxx?0sinx22f??(x)?0。故当f??(0)?0(f??(x)连续）。由保号定理知，???0，使x?(??，?)时，

sinx?x)?x?(??，，0)f??(x)?0，当x?(0，?)，f?(0，由第一充分条件知，f?(0)必是f?(x)的一个极大值。所以应该选?C?.

考点8： 弧微分、曲率、曲率圆与曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径

考点9：定积分中值定理

【参考题目1】设函数f(x)在?0,??上连续，且

??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,试证：

0?(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

【详解】令F(x)???x0f(t)dt,0?x??，有F(0)?0,由题设有F(?)?0.又由题设

??0f(x)cosxdx?0,用分部积分有

0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)

00??F(x)cosx3

?0??F(x)sinxdx

0? ??F(x)sinxdx

0?由积分中值定理知，存在??(0,?)使

0??F(x)sinxdx?F(?)sin??(??0)

0?因??(0,?)，sin??0，所以推知存在??(0,?),使得F(?)?0.再在区间[0,?]与[?,?]上对F(x)用罗尔定理，推知存在?1?(0,?)，?2?(?,?)使F?(?1)?0,F?(?2)?0，即

f(?1)?0,f(?2)?0

考点10：定积分的几何应用，如，求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、侧面积及平行截面面积为已知的立体体积 【参考题目1】已知f(x)?为＿＿ .

【详解】因为当?1?x?0时，f(x)??x?1(1?|t|)dt(x??1)，则曲线y?f(x)与x轴所围图形的面积

?x0x?1?1?x?(1?t)dt?22

2当x?0时，f(x)??0?1(1?t)dt???x?1?(1?t)dt?1?2

令f(x)?0，得x1??1,x2?1?2，故

A??【参考题目2】曲线?【详解】 S?0?x?1?22?1dx??1?20??x?1?2?22 ?1??dx?1?23?????x?a(cost?tsint)从t?0到t??一段弧长s?＿＿ .

?y?a(sint?tcost)???0xt?2?yt?2dt??0?a22a2??tcost???tsint??dt??at2dt??2 ??02?x【参考题目3】设V(a)是由曲线y?xe，x?0，y?0，x?a所围图形绕Ox轴旋转一

周的立体的体积，则limV(a)?＿＿ .

a???【详解】

?；曲线的图形如右图所示， 4a2a00V?a?????xe?x?dx???x2e?2xdx

???2?0ax2d?e?2x????2?2x?2x??xe?2xedx ???0022a?a4

???a22e?2a??2?0axd?e?2x????2a?a22e?2a???2x?2x??xe?edx ?02?02?a?a???a22e?2a??a2e?2a??e?4?1?

?4a?2?2a2?2a?1???lim? ?故limV(a)??lim2a2aa???a??a??42e44e4????4???? 2aa??44e44lim考点11： 利用极坐标计算二重积分

【参考题目1】 设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)?xx2?y2?a2??f(x,y)dxdy?y2,则

f(x,y)? . 【详解】因f(x,y)连续,从而f(x,y)在积分区域x2?y2?a2上可积,故可设

x2?y2?a2??f(x,y)dxdy?A,于是f(x,y)?xA?y2,从而有等式

2?aA?x2?y2?a2???(Ax?y2)dxdy?0?A??d??r3sin2?dr004a1?1?a ?4?2sin2?d??r3dr?4???a4?.002244

因此, f(x,y)??4xa4?y2.

22Dy??x,其中由曲线,和所围成,xydxdyy?1?xy?x?x??D【参考题目2】设I?则I之值为 ( ) A.

1111 B. C. D. 6122448y

3?40【详解】积分区域的图形如右图所示,则

I??d??r3sin?cos?dr

01???2d??0cos?0r3sin?cos?dr?1. 48O故答案为D.

考点12：一阶齐次方程的求解 【参考题目】微分方程

xdyy1y3??()满足ydxx2x5

x?1?1的特解为y?_________

【详解】令y?ux，有

dydudu1?u?u3 ?u?x，原方程化为 u?xdx2dxdxx22dudx12,积分得2?lnx?C，化为y，得y?即 3??

lnx?Cxuu解出y?x，再以x?1,y?1代入，得C＝1，

lnx?Cx lnx?1所以得特解y?考点13： 微分方程的应用

【参考题目】从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m, 体积为B, 海水比重为

ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k >0). 试建立y 与v 所满足的微分

方程，并求出函数关系式y=y?v?.

【详解】先建立坐标系，取沉放点为原点O，铅直向下作为Oy轴正向，探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用，其中重力大小：mg，浮力的大小：F浮??液gV排??gB；阻力：kv，则由牛顿第二定律得

d2ym2?mg?B?g?kv,ydtt?0?0,vt?0?0.

d2ydvdvdydv题目只要求v与y之间的关系，为此，变化2????v，从而微分方程与初

dtdtdydtdy始条件分别成为mvdv?mg?B?g?kvdyvy?0?0

分离变量得dy?两边积分

mvdv

mg?B?g?kv?dy??mm(mg?B?g)mvln(mg?B?g?kv)?C dv ??v?2kkmg?B?g?kv再根据初始条件v|y?0?0,即

?m?mg?B?g?m(mg?B?g)ln(mg?B?g?kv)?C?0C?ln?mg?B?g?kv? ,22kk6

故所求y与v函数关系为y??m?mg?B?g??mg?B?g?kv?mv?ln??. 2kk?mg?B?g?线性代数部分

考点1： 余子式、代数余子式

【参考题目】（1）设A是三阶可逆矩阵，A的特征值为1,2,3,求A的代数余子式之 和：A11?A22?A33.

（2）若A是n阶可逆矩阵，A?a，且A中各行元素之和都是b，则A中代数余子 式之和A11?A21???An1?___________.

【解析】（1）因为A11，A22，A33为A的伴随矩阵A*的主对角线上的元素，则A11?A22?A33等于A*的三个特征值之和。而A*的三个特征值分别：

?1111,,，所以632A11?A22?A33?111???1. 632?1??b?????1b（2）因为A中各行元素之和都是b，所以 A?????.由于可逆，因此b?0.

????????1????b???????b??a??1??b??b??1??1??????????????b?1bb111a?1A*???A*?a? ，A*?????，即 又 ???A?????????A??????b??????????????1???b???b???1???1?????????????b????a??A11A21?A12A22 ??????A?1nA2nAn???1?11??????An??a?1?a21?????A?， 所以 A11?A21. n1?????b???b????????1?Ann?????1?考点2： 含零子块的四分块矩阵的行列式；伴随矩阵和可逆矩阵的行列式

?A3A*?【参考题目】A,B均是n阶矩阵，A?a,B?b,C???，则C??10????B2??

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??1?【答案】

n26nan?1

bA3A*?1【解析】 C??B2?0???1??1n?n3A*?B2??1

3A?3An2*n*n?1?3nan?1,?B2?n?1?2B?1?2nB?1?2nb?1

C???1?3ann?1?2b???1?6nan?1b

n2考点3： 初等变换、初等矩阵和初等变换的关系 【参考题目】

?a11?设A??a21?a?31a12a22a32a13??a21??a23?,B??a11?a?aa33??3111?a22a12a32?a12??010????a13?,P?1001??,

?001?a33?a13????a23?100???P2??010?,则必有 ( )

?101??? (A) APP12?B (B) AP2P1?B

(C) PP?B 12A?B (D) P2PA1【答案】(C)

【解析】P1是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,P2是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；

而B是由A先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此

PP12A?B,故应选(C).

考点4： 转置矩阵、逆矩阵及其性质

【参考题目】设四阶矩阵

?1 ?1 0 0??2 1 3 4?????0 1 ?1 00 2 1 3?,C???, B???0 0 1 ?1??0 0 2 1?????0 0 0 10 0 0 2?????1?1TT且矩阵A满足关系式A(E?CB)C?E,其中E为四阶单位矩阵,C表示C的逆矩

阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

【解析】由(AB)?BA知(E?CB)C?[C(E?CB)]?(C?B),

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TTT?1TT?1TTT 那么由A(C?B)T?E知A?[(C?B)T]?1?[(C?B)?1]T.

?1?0由 C?B???0??0如果对

210032104??3?, ?2?1??1??C?B??E?作初等行变换,则由??C?B??E???E??C?B?210032104?13?02?01?0010000100??0?, ?0?1??可以直接得出A.

T?1?0通过矩阵的初等变换??C?B??E????0??0第四行乘以??2?、??3?、??4?分别加到第三、二、一行上,得到

?1?0 ???0??0210032100?10?00?01?001000?4??0?3?,

1?2??01?再第三行乘以??2?、??3?分别加到第二、一行,得到

?1?0???0??0210000100?10?00?01?00?32??1?21?,

01?2??001?最后第二行乘以??2?加到第一行上,得到

?1?0???0??0010000100?1?210??0?01?21?,

0?001?2??1?0001?0??0?. ?0?1??1?210??100???01?21?1?,故A???210所以(C?B)???001?2??1?21????0001??01?2考点5： 分块矩阵及其运算

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?0a10?00a2?【参考题目】设A??MMM??000??an00LLLL?0??M?,其中ai?0,i?1,2,L,n,则A?1?_______. ?an?1?0??0??00??1?a0?1【答案】?10?a2??????00???0?0?0??1an?11?an???0??? 0?????0???A??0???10???A?1?0【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式??BB?1??, 0??a1?且 ????a2?1?a?1?1???????????an?????1a2????? ????1?an????00??1?a0?1?1所以,本题对A分块后可得A??10?a2??????00??T?0?0?0??1an?11?an???0???. 0?????0???TT考点6： 向量组的线性相关性的判别和有关性质

【参考题目1】?1??1,?1,c1,0?,?2??1,0,c2,3?,?3??0,0,c3,5?,?4??1,0,0,8?，则下列正确的是（ ）

T?A??1,?2,?3,?4必相关； ?B??1,?2,?3,?4必无关

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?C??2,?3,?4必相关； ?D??1,?2,?3必无关

【答案】?D?

【解析】若选项?C?正确，则选项?A?必正确，所以选项?C?是错误的；若选项?B?成立，则选项?D?也是正确的，从而排除了?B?。正确答案是在?A??D?中选择。?1,?2,?3的缩短组是线性无关的，所以?1,?2,?3必无关，从而选项?D?是正确的。

【参考题目2】A是m?n的矩阵，秩r?A??n，?1,?2,?,?s是n维列向量。证明：

?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是A?1,A?2,?,A?s线性无关。

【证明】必要条件：设存在常数k1,k2,?,ks使得k1A?1?k2A?2???ksA?s?0

A?k1?1?k2?2???ks?s??0因为A是m?n的矩阵，秩r?A??n，所以k1?1?k?2??2?ks?s?0又因为?1,?2,?,?s线性无关，所以k1?0,k2?0,?,ks?0

即A?1,A?2,?,A?s线性无关。

充分性：设存在常数k1,k2,?,ks使得k1?1?k2?2???ks?s?0两边同时乘以矩阵A得到k1A?1?k2A?2???ksA?s?0因为A?1,A?2,?,A?s线性无关，所以

k1?0,k2?0,?,ks?0即?1,?2,?,?s线性无关

?x1?3x2?x3?2?【参考题目3】 设?1,?2,?3是线性方程组?2x1?x2?x3??1的解向量，试证：

?7x?2x??113??1??2,?1??3线性相关。

?1?31??x1??2???????【解析】记A?21?1,X?x2,b??1,则所给线性方程组为AX?b. ??????????70?2???x3????1??因为?1,?2,?3是AX?b的解，所以A?i?b?i?1,2,3?，从而A??1??2??0，

A??1??3??0即?1??2,?1??3都是齐次方程组AX?0的解向量。

由于A?0，又有一子式

1?3?7?0，故r?A??2，于是AX?0的基础解系只有

2111

一个解向量，因此?1??2,?1??3线性相关。 考点7： 向量组的线性组合与线性表示

【参考题目1】确定常数a,使向量组?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组但向量组?1,?2,?3不能由向量?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，组?1,?2,?3线性表示。

【解析】令A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3)由于?1,?2,?3不能由?1,?2,?3线性表出，故（若r(A)?3，则任何三维向量都可以由?1,?2,?3线性表出） r(A)?3，从而

11aA?1a1?a1112?a2?a2?a1a1a111?3111?(2?a)1a1

a110a?1a?1011?(2?a)0a?10?(2?a)?(?1)a?100?1?

??(2?a)(a?1)2?0

从而得a?1或a??2.

当a?1时，?1??2??3?T，则?1??2??3??1?0??2?0??，?1?[1,1,1]3故

（因为方?1,?2,?3可由?1,?2,?3线性表出，但?2?[?2,1,4]T不能由?1,?2,?3线性表出，

?k1?k2?k3??2??2??1??1??1??????????程组?2??1??k1?1??k2?1??k3?1?，即?k1?k2?k3?1无解）

?k?k?k?4?4??1??1??1??????????123故a?1符合题意. 当a??2时,由于

?1?2?2?11?2??1?2?2?11?2????000?0?3?3?

[B?A]??1?2?2?1?21????????24?2??211???00?6?000??因r(B)?2?r(B??2)?3，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组BX??2无解，故?2不能由?1,?2,?3线性表出，这和题设矛盾，故a??2不合题意。

因此a?1.

12

?1??1??1???1??1???????????【参考题目2】（1）设?1??0?，?2??1?，?3??2?；?1??2?，?2??0?. 问a,b为

?1??2??a??1??b???????????何值时，?1,?2不能同时由?1,?2,?3线性表示.

?111???11????? （2）设A??012?，B??20?，问a,b为何值时，矩阵方程AX?B有解，有

?12a??1b?????解时，求出其全部解.

【解析】对增广矩阵AB作初等行变换，得

??1??11??111??11??11????012?20?012?20???? ?12a?1b??00a?3?1b?1?????（1）a?3,b?1时，?2不能同时由?1,?2,?3线性表示.

a?3,b任意时，?1,?2能由?1,?2,?3线性表示，且表示法唯一. 其中Ax??1的解为x1??3,x2?2,x3?0. Ax??2的解为x1?1?b?1?2(b?1)b?1,x2?,x3?. a?3a?3a?3 又 a?3,b?1时有无穷多解，?1,?2能由?1,?2,?3线性表示，且表示法不唯一. 其中Ax??1的解为k1(1,?2,1)T?(?2,0,1)T，其中k1为任意实数. Ax??2的解为k2(1,?2,1)T?(1,0,0)T，其中k2为任意实数. （2）又上述结论知，当a?3,b?1时，矩阵方程AX?B无解；

b?1???31??a?3????2(b?1)??

当a?3,b任意时，矩阵方程AX?B有唯一解 ，且X?2?a?3???b?1???0?a?3???k1?2k2?1??? 当a?3,b?1时有无穷多解，且X???2k1?2k2?，其中k1，k2为任意实数.

?k?1k2??1?13

考点8： 非齐次线性方程组的解和导出组解之间的关系

【参考题目】A是m?n的矩阵，?1,?2,?,?s是AX?0的基础解系，?是AX?b的一个解。

1）证明?,???1,???2,?,???s无关；

2）证明AX?b的任何一个解都可以由?,???1,???2,?,???s线性表示。 证明：1）设存在常数k0,k1,k2,?,ks使得

k0??k1????1??k2????2????ks????s??0

整理得到?k0?k1?k2???ks???k1?1?k2?2???ks?s?0①

两边同时乘以矩阵A，利用A?i?0,A??b得到?k0?k1?k2???ks?b?0因为向量

b?0所以k0?k1?k2???ks?0②

将其代入①得到k1?1?k2?2???ks?s?0

因为?1,?2,?,?s是AX?0的基础解系，所以线性无关，即k1?0,k2?0,?,ks?0 代入②得到k0?0所以?,???1,???2,?,???s无关。

2）设?是AX?b的一个解，则???是AX?0的解，则???可以由AX?0的基础解系?1,?2,?,?s来线性表示，即????l1?1?l2?2???ls?s

????l1?1?l2?2???ls?s?l1????1??l2????2????ls????s????1??l1?l2???ls????

AX?b的线性无关的解的个数是s?1，由1）知?,???1,???2,?,???s线性无关，

所以结论得证。

考点9： 非齐次线性方程组有解和无解的判定，其导出组的通解 【参考题目】已知线性方程组

?x1?x2?2x3?3x4?0?2x?x?6x?4x??1?1234 ?

3x?2x?px?7x??1234?1??x1?x2?6x3?x4?t讨论参数p,t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。

【解析】对增广矩阵作初等变换，有

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?1?2A???3??1112?1?2?6p?6347?10??1?0?1?????1??0??t??01?2120p?80032000?1?? 0??t?2?当t??2时，r(A)?r(A)，故方程组无解；

当t??2时，无论p取和值，恒有r(A)?r(A)，故方程组总有解；

若p??8，则r(A)?r(A)?3，得通解(?1,1,0,0)T?k(?1,?2,0,1)T，其中k为任意常数；

若p??8，则r(得通解(?1,1,0,0)T?k1(4,?2,1,0)T?k2(?1,?2,0,1)T A)?r(A)2?，其中k1,k2为任意常数

考点10： 矩阵可相似对角化的充分必要条件

?12?3???【参考题目】设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是????1a5??否可相似对角化.

【解析】A的特征多项式为

??1 ?E?A??233??5?11?1??4?a1??2?(??2)?1??4?10?a03

??5 =(??2)1??4?a?13?(??2)(?2?8??18?3a). ??5已知A有一个二重特征值，有两种情况，（1）??2就是二重特征值，（2）若??2不是二重根，则??8??18?3a是一个完全平方

2（1）若??2是特征方程的二重根，则有2?16?18?3a?0, 解得a??2.

2?1?23???当a??2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=1?23的秩为1，故??2对?????12?3??应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.

2（2）若??2不是特征方程的二重根，则??8??18?3a为完全平方，从而

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218?3a?16，解得 a??.

3??3?23??2当a??时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=?103?秩为2，故??43??2?1?1??3??对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.

考点11：十一 二次型的矩阵表示以及二次型的秩

【参考题目1】二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 【解析】因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2

?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

1??21??于是二次型的矩阵为 A??12?1?,

?1?12????1?12??1?12?????由初等变换得 A??03?3???03?3? ,

?03?3??000?????从而 r(A)?2, 即二次型的秩为2.

【参考题目2】已知二次型f?4x1?(2?)x2?(2?)x3?(4?a)x2x3，则

（1）求该二次型的矩阵A和秩.（2）当该二次型f的秩为2时，求用正交变换x?Qy把二次型f化成的标准形。

2222a22a22?400???

【解析】（1）A等价于?011?，故当a?0时，A的秩为2；

?00a???

当a?0时，A的秩为3。

（2）当a?0时，A的秩为2，A的特征值为4，4，0， 其特征向量为 ?1?(0,11T11T2,),?2?(1,0,0)T,?3?(0,,?),则f?4y12?4y2 2222考点12： 二次型的标准形和规范形

222【参考题目】已知二次型f?x1,x2,x3??xTAx?x1?5x2?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3

的秩为2，且?2,1,2?是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是

T16

?1a1??1b1??2??2?????????T【解析】 由A??a?5b?从?2,1,2?是A的特征向量，有?a?5b??1???1?1?

?1b1??1b1??2??2?????????即 2?a?2?2?1 2a?5?2b??1 2?b?2?2?1 解出得 a?b?2，?1?3

从R(A)?2，知A?0，于是?2?0是A的特征值。再由

?a???iii有

1?(?5)?1?3?0??3，知?3??6是A的特征值。

22因此，在正交变换下二次型的标准形是：3y1。 ?6y3希望通过我们总结的以上资料，帮助广大考生在最后的这段关键时间里，梳理好知识体系，准确把握考点，直击命题要害，做好最终的考前冲刺。

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