宿州市2018届高三第一次质量检测试卷数学理科卷（定稿）答案

宿州市2018届高三第一次质量检测试卷

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 选项 1 A 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D 9 D 10 A 11 C 12 A 二.选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

?13． ； 14. ?480； 15. 1； 16.

4?353???4,4?2?. ??三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．解：（I）由已知有

an?1an??2n n?1n?bn?1?bn?2n，又b1?a1?1，

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式:

bn?2n?1(n?N*)……………………………………………………6分

（II）由（I）知an?n?2n?n,

?Sn?(1?2?2?22?3?23?????n?2n)?(1?2?3?????n)

而1?2?3?????n?1n(n?1), 2令Tn?1?2?2?22?3?23?????n?2n ① ①×2得

2Tn?①-②得

1?22?2?23?3?24?????n?2n?1②

?Tn?2?22?23?????2n?n?2n?1

2(1?2n)??n?2n?1

1?2??2?(1?n)?2n?1

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?Tn?2?(n?1)?2n?1

n(n?1)…………………………………………………12分 218.解：(Ⅰ)取AD的中点O，连OE,OC,CA， ??ABC?60?，??ACD为等边三角形， ?AD?OC，又AD?CE ?AD?平面COE，

?AD?OE，又OE//PD ?AD?PD，又?PDC?90?

?PD?平面ABCD，又PD?平面PAD

?平面PAD?平面ABCD.………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ) 知OE?平面ABCD，AD?OC，以OC,OD,OE分别为x,y,z轴建立空

?Sn=2?(n?1)?2n?1?间直角坐标系，如图所示，设菱形ABCD的边长为2，则OC?3，BD?23 因为直线PB与底面ABCD成30角，即?PBD?30

??3?2…………………………………6分 3 ?B(3,?2,0),C(3,0,0),E(0,0,1),P(0.1,2) ?????????????CE?(?3,0,1),CB?(0,?2,0),EP?(0,1,1) z??设n1?(x1,y1,z1)为平面BCE的一个法向量，则 ????????n1?CE?0???3x1?z1?0?，令x1?1，则z1?3 ??????????2y1?0??n1?CB?0???E ?n1?(1,0,3)………………………………………………8分 ???设n2?(x2,y2,z2)为平面PCE的一条法向量，则 ??????????3x2?z2?0O ?n2?CE?0?A ?，令，x?1?????????2y?z?0n?EP?0??2?22??PD?BD?tan?PBD?23?则

P D yxy2??3,z2?3

????n2?(1,?3,3)……………………………………10分

??????????n?n21?327?cos?n1,n2????1???，由题可知二面角B?CE?P的平面角为钝角， ??7n1?n22?7所以二面角B?CE?P的余弦值为?B C 27.………………………………………12分 719.解：（I）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价

多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为 4600×0.5653 +（4200-2160）×0.05 +（4600-4200）×0.3=2822.38元 …………3分 （II）设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X可取0，

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1，2，3，4.

041322C4C6C4C6C4C183p?X?0??4?,p?X?1??4?，p?X?2??46?

C1014C1021C1073140C4C64C4C1 p?X?3??4?,p?X?4??46?C1035C10210故X的分布列是

X p

所以E?X??0?0 1 2 3 4 1 148 213 74 351 210183418?1??2??3??4?? ……………………7分 14217352105（III）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X~B?10,k?2??3?p?X?k??C10?????5??5?k10?k??2??，可知 5? ?k?0,1,2,3?,10?

?k2k310?kk?12k?139?kC()()?C()10()?1722?105555* ,解得?k?， ?k?N ?55?Ck(2)k(3)10?k?Ck?1(2)k?1(3)11?k1010?5555?所以当k?4时，概率最大，所以k?4.…………………………………………12分

20.解：（I）直线AB的方程为

xy??1，即bx?ay?ab?0，由圆O与直线AB相aba2b244?切，得，即2①. ?222a?b55a?babb21c32设椭圆的半焦距为c，则e??，所以2?1?e?②.

a4a2由①②得a?4，b?1.

22x2?y2?1 ……………………………………4分 故椭圆的标准方程为4（II）k1?k2?1为定值，证明过程如下： 4第 3 页 共 6 页

由（I）得直线AB的方程为y??11x?1，故可设直线DC的方程为y??x?m，22显然m??1.设C?x1,y1?，D?x2,y2?.

?x22???8?4m2?0,?y?1,??4?22联立?消去y得x?2mx?2m?2?0，则有?x1?x2?2m, .

?y??1x?m,?xx?2m2?2.?12??2?1??1??x?m?x?m????112y1y2?1y1y2?1?22????

由k1?，k2?，则k1k2????x2x1?2x2x1?2x2x1?21m12m?x21mx1x2??x1?x2??m2?x1?m??2m2?2????2m??m2??m422422? ?2x1x2?2x2?2m?2??2x2m21x2??1?2222?.…………………………………………12分 2m?2?2x2421．解：（I）F?x??f?x??113ag?x??lnx?ax2??1?a?x?a，其定义域为 222?ax2??1?a?x?1??ax?1??x?1?1?为(0,??)， F??x???ax?1?a?.

xxx（1） 当a?0时，F??x??0，函数y?F?x?在(0,??)上单调递增； （2） 当a?0时，令F??x??0，解得0?x?数y?F?x?在?0,

11；令F??x??0，解得x?.故函 aa?

?1??1?上单调递增，在,?????上单调递减. …………………5分 a?a??1?ax2?x?1（II）由题意知t?0.f??x???ax?1?，当?2?a??1时，函数y

xx不妨设1?x1?x2?2，又函数y?g?x?单调递减，所以原问题等价于：?f?x?单调递增，

当?2?a??1时，对任意1?x1?x2?2，不等式f?x2??f?x1??t??g?x1??g?x2???恒成立，即f?x2??tg?x2??f?x1??tg?x1?对任意?2?a??1，1?x1?x2?2恒成立.

记h?x??f?x??tg?x??lnx?12ax??1?2t?x?3t，则h?x?在?1,2?上单调递减.2第 4 页 共 6 页

得h??x??1?ax??1?2t??0对任意a???2,?1?，x??1,2?恒成立. x11令H?a???xa??(1?2t) ，a???2,?1?，则H?a?max?H??2??2x??1?

xx11??2t?0在x?(0,??)上恒成立.则2t?1??2x??，而y?2x?在?1,2?上单调递增，

xx?max?所以函数y?2x?19911在?1,2?上的最大值为.由2t?1?，解得t?. x22411故实数t的最小值为. …………………………………………12分

4（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.

22．解析：（Ⅰ）解：（1）直线l的普通方程为x?y?1?0，曲线C的直角坐标方程为3x2?4y2?12. …………………………………………4分

?3x2?4y2?121,0)，联立?（II）解法1：在x?y?1?0中，令y?0，得x?1，则A(?x?y?1?02消去y得7x?8x?8?0.设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，其中x1?x2 ，则有x1?x2?8，7x1x2??822.AP?1?1x1?1??2?x1?1?，AQ?1?1x2?1?2?x2?1?，故718xx?x?x?1??AP?AQ??2?x1?1??x2?1???2???12?12?7.（或利用A(1,0)为椭圆C的右焦点，则AP?AQ??2???1181??1?x1??2?x2??4??x1?x2??x1x2?.） …10分

472??2??2x?1?2t?1???2t?,??2222解法2：把?代入3x?4y?12得14t?62t?9?0，则

?y?2t?2?2t,????2t1t2??918，则AP?AQ???2t1???2t2???4t1t2?.………………………………10分 14723．解析：（Ⅰ）当m?0时，f(x)?x?即x??2时等式成立，

4444?x??2x??4，当且仅当x?，

xxxx所以，当x??2时，f(x)min?4．………………………………………………5分

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（Ⅱ）当x??1,4?时，函数f(x)的最大值为5

4?m|?m?5在x??1,4?上恒成立， x4?|x??m|?5?m在x??1,4?上恒成立，

x4?m?5?x??m?5?m在x??1,4?上恒成立，

x444且x??5在x??1,4?上恒成立，函数y?x?在?1,2?上单调递减，?2m?5?x?，xxx44在?2,4?上单调递增.?x??4，当且仅当x?2时等式成立，而x??5在x??1,4?上

xx?|x?是恒成立的．

?2m?5?4

?m?

99??，即实数m的取值范围是???,?………………………………………………10分 22??第 6 页 共 6 页

（Ⅱ）当x??1,4?时，函数f(x)的最大值为5

4?m|?m?5在x??1,4?上恒成立， x4?|x??m|?5?m在x??1,4?上恒成立，

x4?m?5?x??m?5?m在x??1,4?上恒成立，

x444且x??5在x??1,4?上恒成立，函数y?x?在?1,2?上单调递减，?2m?5?x?，xxx44在?2,4?上单调递增.?x??4，当且仅当x?2时等式成立，而x??5在x??1,4?上

xx?|x?是恒成立的．

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?m?

99??，即实数m的取值范围是???,?………………………………………………10分 22??第 6 页 共 6 页

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