黎曼几何

微分流形与黎曼几何的基本概念和结论

目 录

1．缩并

2．外形式及其求值公式 3．外形式的可除性定理 4．李群上左移动的切映射 5．李群的结构常数

6．李群的Maurer-Cartan形式

与结构方程 7．微分流形的定向 8．微分同胚 9．切向量

10．浸入、淹没与嵌入 11．光滑切向量场

12．Poisson括号积的运算律 13．外微分式与外微分算子 14．向量丛

15．黎曼流形与黎曼向量丛 16．等距映射、等距、等距变

换与共形变换 17．联络

18．黎曼联络

19．黎曼流形上的微分算子 20．平行移动 21．测地线

22．挠率张量与挠率形式 23．曲率张量 24．曲率形式 25．截面曲率

26．Ricci曲率与数量曲率 27．反函数定理与映射秩定理28．单位分解定理 29．Stokes定理 30．Frobenius定理 31．散度定理与Green公式 32．弧长第一变分公式 33．Hopf-Rinow定理 34．Gauss-Bonnet-Chern定理 35．Ricci恒等式 36．难点公式汇集

1． 缩并

任取两个指标r,s，则从任意一个(p,q)型1?r?p，1?s?q，张量??Vqp出发可构造(p?1,q?1)型张量Csr(?)如下：

(C(?))(?,?,?rs1p?1,v1,?,vq?1)???(?1,?,?r?1,?i,?r,?,?p?1,v1,?,vs?1,?i,vs,?,vq?1)

i?1n其中{?i}是V的一个基底，{?i}是它的对偶基底。映射Csr：

?1Vqp?Vqp?1称为缩并。

缩并算子在单个张量积上的作用为

?r???vp??1?????s????q Csr(v1???vp??1????q)?(?s(vr))v1???v一般公式为

Csr(?j11?jqp?i1????ip??i?ij1????q)j

i?iki?i

j1

1rp?1??j11?jrs??i1????ip?1??kj?j?1sq?1????jq?1)。

2． 外形式及其求值公式

设???rV*，???i?i?i1r1其中?i1?ir??(?i1,?,?ir)，则有 ????ir，

1r1r??Ar(?)??i?iAr(?i????i)

?1?i1?ir?i1????ir??i1?ir?i1????ir?r!1?i1???ir?n。 则

有

设

?1,?,?r?V*，

u1,?,ur?V，

1

?1(u1)??r(u1)?1????r(u1,?,ur)????1(ur)??r(ur)，

特别地， ?i1?is。 ????ir(?j1,?,?jr)??ij11?jrir????ir(?j1,?,?jr)??ij1??jr， 1r1s1r注： ?i1ij?i????i??ij?????j?j?11r。

3． 外形式的可除性定理

（1）1次形式?1,?,?r?V*线性相关的充分必要条件是

?1????r?0。

（2）设?1,?,?r是r个线性无关的1次形式，?是p次外形式，则??0mod(?1,?,?r)的充分必要条件是?1????r???0。 （3）设?1,?,?r是r个1次形式，用W表示?1,?,?r的零化子空间，即

W?{u?V：??(u)?0,1???r}，

则??0mod(?1,?,?r)当且仅当?|W?0。

（4）（Cartan引理）设?1,?,?r,?1,?,?r是2r个1次形式，其中?1,?,?r是线性无关的，并且????1r?????0，则????a??????1r，

并且a???a??。

（5）一个非零r次外形式的秩是r，当且仅当它能写成r个1次形式的外积。（一个外形式的秩是指能用外积表示它的线性无关的1次形式的最小个数。） 4． 李群上左移动的切映射

2

(U;xi)是单位元e的局部坐标系，设G是r维李群，(W;yi)是

元素g?G的局部坐标系，?是G中的乘法运算，则适当缩小e的邻域U之后，存在g的邻域W1?W，使得?(W1?U)?W，?可以用局部坐标系表示为zi??i(y1,?,yr,x1,?,xr)，1?i?r， 则线性同构(Lg)*e：TeG?TgG在自然基底向量上的作用为

??(Lg)*e?j??x??r??i(g,x)????i?1?xje??x?e??yi。

g5． 李群的结构常数

设G是r维李群，{Xi：1?i?r}是G的李代数的一个基，则存在一组常数Cijk使得

kk称为李群G的结构常数。在李代数[Xi,Xj]?CijXk，1?i,j?r，Cij的基底变换时，它们服从(1,2)型张量的变换规律。

结构常数满足下列恒等式：

lhhlhCijClk?CljkCli?CkiClj?0。

kCij?Ckji?0，

记?为G中的乘法运算，设(U;xi)是单位元e的局部坐标系，V是e的另一开邻域，使得?(V?V)?U，则可设?的坐标表

??达式为z??(x,y)，(x,y)?V?V，则李群G在基底??i???xii???下的结e???2?k(x,y)构常数为C??xi?yjkijx?y?e?2?k(x,y)??xj?yi。

x?y?e6． 李群的Maurer-Cartan形式与结构方程

设G是r维李群，{?i}是TeG的一个基底，{?i}是它在Te*G中的对偶基底，Xi是由?i经左移动产生的左不变向量场：

3

Xi(g)?(Lg)*e(?i)，则{Xi}是李代数的一个基底。令

?i(g)?(Lg)*?i?((Lg)*)?1?i，

?1则?i是G上的r个左不变一次微分式，称为李群G的Maurer-Cartan形式，它们够成

{Xi}的对偶基底。

Maurer-Cartan形式满足下列结构方程：

1kid?k??Cij???j，

2其中Cijk是李群G在基底{?i}下的结构常数。

若在m维光滑流形M上存在r个1次微分式?i，满足

1kid?k??Cij???2j，

则在每一点p?M有一个邻域U，以及光滑映射f：U?G，使得f*?i??i。如果光滑映射f1,f2：U?G都满足上式，则存在元素g?G，使得f2?Lg?f1。 7． 微分流形的定向

设M是一个微分流形。如果在M上存在一族容许的局部

i坐标系U?{(U?;x?（1）?U?);??I}，满足以下两个条件：

?M；

??I（2）??,??I，或者U??U???，或者当U??U???时在U??U?1m?(x?,?,x?)ii?0（此时称(U?;x?上必有1，)与(U?;x?)是定向相符的）m?(x?,?,x?)则称M是可定向的微分流形。如果再加上：（3）U是极大的，即对于任意的局部坐标系(U;xi)，只要对于任意的??I，(U;xi)i和(U?;x?)都是定向相符的，便有(U;xi)?U，则称U是M的一个定向。具

4

有指定定向的微分流形称为有向的微分流形。 8． 微分同胚

设M和N是两个光滑流形，f：M?N是一个同胚。如果f及其逆f?1：N?M都是光滑的，则称f是从到N的光滑同胚或微分同胚。如果f：M?N是一个光滑映射，并且对于每一点p?M都有p的一个开邻域U使得f(U)是N中的开子集，并且f|U：

U?f(U)是从U到f(U)的光滑同胚，则称f是从M到N的局部光滑同胚。

9． 切向量

?光滑流形M在点p?M的一个切向量v是指满足下列两个条件的映射v：Cp ?R：

（1）?f,g?Cp，???R，v(f??g)?v(f)??v(g)； （2）?f,g?Cp，v(fg)?v(f)g(p)?f(p)v(g)。

?设?：(??,?)?M是M上的一条光滑曲线，记p??(0)。对于任意的f?Cp，令

??v(f)?ddf(?(t))?，则v：Cpf??(t)??R是光滑流形M在点的一个切向量，

dtt?0dtt?0称为曲线?在点t?0处的切向量，记为??(0)，即??(0)(f)?10． 浸入、淹没与嵌入

设F：M?N是光滑流形间的光滑映射，p?M。

df(?(t))。

dtt?0（1）如果切映射F*p：TpM?TF(p)N是单射，则称映射F在点p是浸入。如果F在的每一点都是浸入，则称映射F为浸入（映射），称映射F：M?N为N的（浸入）子流形，如果映射本身是单射，则称它为单浸入。

（2）如果切映射F*p：TpM?TF(p)N是满射，则称映射F在点p是淹没。如果F是满射并且在M的每一点都是淹没，则称映射F为淹没（映射）。

（3）设是单浸入，于是F是从到它的像集F(M)?N的一一对应。如果对于N在F(M)上诱导的拓扑，F：M?F(M)是同胚，则称映射F是嵌入（映射），称映射F：M?N为N的嵌入子流形或正则子流形。

F在点p是浸入当且仅当秩rankp(F)?dimM。F在点p是淹没当且仅当秩

5

如果F在点p是浸入，则存在点开邻域U，使得F|U：U?N为嵌入。 rankp(F)?dimN。11． 光滑切向量场

设X：M?TM是m维光滑流形的切向量场。如果对于每一点p?M，存在点p的

i容许局部坐标系(U;x)，使得X|U??Xii?1m?i中的分量X(1?i?m)都是U上的光滑i?x函数，则称是M上的光滑切向量场。

对于任意的f?C?(M)，令

(X(f))(p)?(X(p))(f)，?p?M，

则X可视为映射，它满足：对于任意的f,g?C?(M)，以及??R， （1）X(f??g)?X(f)??X(g)， （2）X(fg)?gX(f)?fX(g)。

反之，任意一个满足上面两个条件的映射X：C?(M)?C?(M)都是由M上的一个光滑切向量场通过上面的方式确定的。 12． Poisson括号积的运算律

Poisson括号积[?,?]：X(M)?X(M)?X(M)服从下列运算规律：

?X,Y,Z?X(M)，???R，?f,g?C?(M)，

（1）分配律：[X?Y,Z]?[X,Z]?[Y,Z]； （2）[?X,Y]??[X,Y]； （3）反交换律：[X,Y]??[Y,X]

（4）Jacobi恒等式：[[X,Y],Z]?[[Y,Z],X]?[[Z,X],Y]?0； （5）[fX,gY]?fX(g)Y?gY(f)X?fg[X,Y]。

如果向量空间V中的乘法[?,?]满足上述条件（1）~（4），则称(V,[?,?])是一个李代数。 13． 外微分式与外微分算子

光滑流形M上的一个光滑的r阶反对称协变张量场称为M上的一个r次外微分式。

6

M上的1次外微分式就是M上的1次微分式，即光滑的一阶协变张量场（余切向量场）。M上的0次外微分式就是M上的光滑函数。

另：向量空间V上的反对称r阶协变张量，即V上的反对称r重线性函数，称为V上的r次外形式，简称为r-形式。

设??Ar(M)，则对于任意的X1,?,Xr?1?X(M)，有

?,?,X)) d?(X1,?,Xr?1)??(?1)??1X?(?(X1,?,X?r?1??1r?1?,?,X?,?,X)。 ??(?1)????([X?,X?],X1,?,X??r?1???设??A1(M)，则对于任意的X,Y?X(M)，有

d?(X,Y)?X(?(Y))?Y(?(X))??([X,Y])。

设M是m维光滑流形，则存在唯一的一个映射d：A(M)?A(M)（映射d称为外微分（算子）），使得对于任意的非负整数r，有d(Ar(M))?Ar?1(M)，并且满足以下条件： （1）d是线性的，即对于任意的?,??A(M)，???R，有d(????)?d???d?；

rr （2）???A(M)，??A(M)，有d(???)?d????(?1)??d?； 0（3）?f?A(M)，df是f的微分；

（4）d?d?d?0。 14． 向量丛

2V?Rq是q维向量空间。设E,M是两个光滑流形，?：E?M是一个光滑的满映射，

如果在M上存在一个开覆盖{U?;??I}以及一组映射{??;??I}，它们满足下列条件： （1）???I，映射??是从U??Rq到??1(U?)的光滑同胚（称为局部平凡化），并且对于任意的，y?R，有?q???(p,y)?p；

q（2）对于任意固定的p?U?，?y?R，令??,p(y)???(p,y)，则映射??,p：，而当p?U??U???，映射Rq???1(p)是同胚（??1(p)称为点p?M的纤维）

7

qq?1R?R：是线性同构，即g??(p)?GL(q)； g??(p)?????,p?,p（3）当U??U???时，映射g??：U??U??GL(q)是光滑的，则称(E,M,?)为光滑流形M上秩为q的向量丛，其中E称为丛空间，M称为底流形，映射?：E?M称为丛投影。

E?M是光滑流形M上的向量丛，U?M为开集。U?E， 设?：若有光滑映射s：

使得??s?id：U?U，则称s为向量丛(E,M,?)的定义在U上的一个光滑截面。当

U?M时，则称s为向量丛E的一个光滑截面。

15． 黎曼流形与黎曼向量丛

设M是一个m维光滑流形，g是M上的一个光滑的二阶协变张量场。如果g是对称、正定的，即对于每一点p?M，g(p)是切空间TpM上的一个对称、正定的二阶协变张量（即内积），则称g是M上的一个黎曼度量。指定了一个黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形。

设?：E?M是光滑流形M上的向量丛。如果对于每一点p?M，在纤维??1(p)上指定了一个欧氏内积??,??p，并且??,??p光滑地依赖于点p，则称??,??是向量丛E上的一个黎曼结构。指定了一个黎曼结构的向量丛称为黎曼向量丛。

黎曼流形的切丛是黎曼向量丛。 16． 等距映射、等距、等距变换与共形变换

*设f：(M,g)?(N,h)是黎曼流形之间的光滑映射，如果g?fh，即对于任意的

x?M，以及任意的v,w?TxM，都有h(f*(v),f*(w))?g(v,w)，则称f是从黎曼流形

(M,g)到(N,h)内的一个等距映射。等距映射必为浸入，故等距映射也称为等距浸入，此

时，称f：(M,g)?(N,h)为(N,h)的黎曼（浸入）子流形。

*如果f：(M,g)?(N,h)是从光滑流形M到N的局部光滑同胚，并且g?fh，则

称f是局部等距。如果f：(M,g)?(N,h)是从光滑流形M到N的光滑同胚，并且

8

g?f*h，则称f是等距。此时，称黎曼流形(M,g)与(N,h)是互相等距的。黎曼流形

(M,g)到它自身的一个等距称为(M,g)的一个等距变换。

设f：(M,g)?(N,h)是从黎曼流形(M,g)到(N,h)的等距映射。如果在每一点切映射f*p：TpM?Tf(p)N是线性同构，则f：(M,g)?(N,h)必是局部等距。 p?M，

设?是从黎曼流形(M,g)到它自身的光滑同胚。如果存在正值光滑函数??C?(M)，使得?*g??2g，则称映射?是从黎曼流形M到它自身的一个共形变换。黎曼流形在到它自身的所有共形变换下保持不变的性质（量）称为该黎曼流形的共形不变性（共形不变量）。 17． 联络

设M是一个m维光滑流形，M上的一个联络是指满足下列条件的映射D：

X(M)?X(M)?X(M)：

（1）DY?fZX?DYX?fDZX； （2）DY(X??Z)?DYX??DYZ； （3）DY(fX)?Y(f)X?fDYX，

其中DYX?D(X,Y)，X,Y,Z?X(M)，??R，f?C(M)。

指定了一个联络的光滑流形称为一个仿射联络空间。光滑切向量场DYX称为切向量场

?X沿Y的协变导数（或协变微商）。

设?是M上的(r,s)型光滑张量场，X是M上的光滑切向量场，对于任意的

?1,?,?r?A1(M)和任意的X1,?,Xs?X(M)，定义

(DX?)(?1,?,?r,X1,?,Xs)?X(?(?1,?,?r,X1,?,Xs))

???(?1,?,?a?1,DX?a,?a?1,?,?r,X1,?,Xs)a?1sr

???(?1,?,?r,X1,?,Xb?1,DXXb,Xb?1,?,Xs)。

b?1 9

DX有下列性质：

（1）DX在任意一个(r,s)型张量场上的作用得到的仍然是一个(r,s)型张量场； （2）Leibniz法则：对于M上任意两个光滑张量场K,L，有

DX(K?L)?DXK?L?K?DXL；

（3）DX与张量的缩并运算C可交换：对于M上的张量场K，有

DX(C(K))?C(DXK)。

对于??Tsr(M)，设它的局部坐标表达式为?|U??j11?jrsei1???eir??则 Dei???j11?jrs,iei1???eir??i?ij1i?ij1????js，

????js，

irj1D???ij11?????js??i， ?js,iei1???eir??rs其中 ?i1?irj1?js,i?ei(?i1?irj1?js)???a?1i1?ia?1kia?1?irj1?jsirk????ij11??jb?1kjb?1?js?jbi。 iakib?1最简形式： Deiej??jiek，Dei????ki?。

*M?N是光滑映射。设M,N是光滑流形，f：令fTN?*，则{p}?TNfTN?f(p)kjjkp?M是M是秩为n?dimN的向量丛，称为切丛TN通过映射f拉回到M上的向量丛。拉回丛

f*TN的光滑截面称为在N中沿映射f定义的切向量场。

设(N,D)是n维仿射联络空间，M是m维光滑流形，f：M?N是光滑映射，则可构造拉回丛?：fTN?M，它是M上秩为n的向量丛。对于任意的???(fTN)和

**p?M，取N在点f(p)?N的开邻域V以及M在点p的邻域U使得f(U)?V，并在

??V上取局部标架场{e?}，则在邻域U上?可以表示为?|U???e?其中??C(M)。对于

任意的X?TpM，令

DX??X(??)e?(f(p))???(p)Df*(X(p))e????1(p)，

则上式右端与局部标架场{e?}的选取无关。如果X?X(M)，则上式给出的DX?是拉回丛?：fTN?M的光滑截面。于是得到映射

10

*

D：?(f*TN)?X(M)??(f*TN)，

它是向量丛f*TN上的一个联络，称为在拉回丛上的诱导联络。关于它有下列恒等式：

DXf*(Y)?DYf*(X)?f*([X,Y])，?X,Y?X(M)；

X??,????DX?,?????,DX??，?X?X(M)，?,???(f*TN)。

18． 黎曼联络

设(M,g)是m维黎曼流形，D是M上的一个联络。如果Dg?0，即对于任意的

Z?X(M)，都有DZg?0，则称联络D与黎曼度量g是相容的。黎曼流形(M,g)上的

联络D与度量g相容的充分必要条件是

Z(g(X,Y))?g(DZX,Y)?g(X,DZY)，?X,Y,Z?X(M)。

在M上存在唯一的一个与度量g相容的无挠联络D，称为(M,g)的黎曼联络或

iLevi-Civita联络。如果(U;x)是M的一个容许局部坐标系，并且X|U??Xi?1mi?，则 i?x??Xi??ji?k?。 (DX)|U?(dX?X?dx)?i???X?dx?jk?ki??x??x?x?ijijkkkChristoffel记号： ?ij?1kl??gil?glj?gij?g??i?l?j??。 2?x?x?x??l?glj?ik?gil?ljk。

等价形式：

?gij?xk坐标变换时Christoffel记号的变化规律：

xp?~xq?xk?2~xr?xk~r?~???pq?。

?xi?xj?~xr?xi?xj?~xrkij19． 黎曼流形上的微分算子

（1）由X?divX?C1(DX)所确定的线性映射div ：X(M)?C(M)称为黎曼流形(M,g)上的散度算子。局部坐标表达式为

1? 11

?Xi1?ki divX??X??kii?xiG?x?GXi。

? （2）设f?C?(M)，则df?A1(M)?T10(M)。借助于黎曼度量g，df对应着M上一个光滑切向量场，记为?f或gradf或gradgf，使得对于任意的X?X(M)，有

g(?f,X)?df(X)?X(f)。

切向量场?f称为光滑函数f在黎曼度量g下的梯度。线性微分算子?：C?(M)?X(M)称为黎曼流形(M,g)上的梯度算子。局部坐标表达式为

(?f)|U?figij??ff?f?，其中。 i,i?xj?xi （3）线性映射??div??：C?(M)?C?(M)称为黎曼流形(M,g)上（或关于黎曼度量g）的Beltrami-Laplace算子。局部坐标表达式为

?f|U?1??ij?f?Gg??。 i?xj?G?x? （4）设f?C?(M)，则df?A1(M)?T10(M)。对df求协变微分得到一个二阶协变

0张量场，记为Hess(f)，即Hess(f)?D(df)?T2(M)。Hess(f)称为光滑函数f的

Hessian。线性映射Hess ：C(M)?T2(M)称为黎曼流形(M,g)上的Hessian算子。

?0Hess(f)是光滑流形M上对称的二阶协变张量场，即

Hess(f)(X,Y)?Hess(f)(Y,X)，?X,Y?X(M)。

局部坐标表达式为Hess(f)?(Hess(f))ijdx?dx，其中

ij???(Hess(f))ij?(Hess(f))?i,j??x?x????f???j?i??x??xij?k?f???ijk?fi,j。

?x?对于任意的f?C(M)，?f?gfi,j?g(Hess(f))ij，称为对称二阶协变张量场

ijHess(f)关于度量g的迹，记为trg(Hess(f))或tr(Hess(f))。

ri （5）外微分式的内积：对于1?r?m，设?,??A(M)，在局部坐标系(U;x)下的

12

表达式为 ?|U?11?i1?irdxi1???dxir，?|U??j1?jrdxj1???dxjr， r!r!并设 ??,???1i1?ir??i1?ir???i1?ir?i1?ir， r!i1???ir则对于紧致有向光滑流形M，可以在Ar(M)上定义内积，使得对于任意的?,??Ar(M)，

(?,?)????,??dVM，

M其中体积元素局部坐标表达式为(dVM)|U?Gdx1???dxm。

（6）设??Ar(M)，则对于M上与其定向相符的局部坐标系(U;xi)，?有表达式

?|U?令 (*?)|U?1?i1?irdxi1???dxir， r!G?m?i1?i1?irdxir?1???dxim， 1?imr!(m?r)!上式右端在保持定向的坐标变换下是不变的，因此*??Am?r(M)。线性映射 * ：

Ar(M)?Am?r(M)称为黎曼流形(M,g)上的Hodge星算子。

在m维紧致有向黎曼流形(M,g)上，Hodge星算子具有如下性质：??,??Ar(M)， ①

??*????,??dVM； ② *dVM?1，*1?dVM；

r(m?1)③ *(*?)?(?1)?)?(?,?)。 ?； ④ (*?,* （7）设(M,g)是m维有向黎曼流形，线性映射

??(?1)mr?1*?d?*：Ar?1(M)?Ar(M)，

称为M上的余微分算子。

在m维紧致有向黎曼流形(M,g)上，外微分算子d：A(M)?A子?：Ar?1rr?1(M)与余微分算

(M)?Ar(M)关于内积(?,?)是互为共轭的线性映射，即??d*。

~rr （8）设(M,g)是m维有向黎曼流形，映射??d?????d：A(M)?A(M)称为M?0上的Hodge-Laplace算子。在C(M)?A(M)上，?f???f。 20． 平行移动

~ 13

设(M,D)是一个m维仿射联络空间，?：[a,b]?M是M中的一条光滑曲线，

X?X(M)。如果沿曲线?有D??(t)X?0，?t?[a,b]，则称切向量场X沿曲线?是平行

的，或称X是沿曲线?的平行向量场。

切向量场X沿?(t)平行的充分必要条件是X的分量Xk(t)满足微分方程组

dXk(t)dxj(t)ki???ijX(t)?0，1?k?m。 dtdti,j对于任意取定的t，0?t?b，沿?的平行向量场给出从TpM到T?(t)M（p??(0)）的线性同构P0t：TpM?T?(t)M，称为沿曲线?从t?0到t的平行移动。这样，由切向量

X0?TpM确定的沿曲线?平行的向量场X可以表示为X(t)?P0t(X0)，0?t?b。

对于任意的X?X(M)，有

Ptt??t(X??(t??t))?X??(t)D??(t)X?lim。

?t?0?t21． 测地线

仿射联络空间(M,D)中的一条光滑曲线?：I?M称为测地线，如果它的切向量

??(t)沿?是平行的切向量场，即

D?d?????D??(t)??(t)?0。 dt?dt??是(M,D)中的测地线当且仅当对于任意的t0?I，存在点p??(t0)的局部坐标系

(U;xi)，以及t0在I中的邻域It0，使得?(It0)?U，并且?的局部坐标表达式xi?xi(t)d2xkdxjdxik??ji?0，1?k?m，t?It0。 满足常微分方程组 2dtdtdt切向量是单位向量的测地线称为正规测地线，即正规测地线是以弧长为参数的测地线。 22． 挠率张量与挠率形式

设(M,D)是一个仿射联络空间，对于任意的X,Y?X(M)，令

T(X,Y)?DXY?DYX?[X,Y]，

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