1.4.1曲边梯形面积与定积分

1.4.1曲边梯形的面积与定积分

我们知道，任一多边形都可以分割成一 些三角形，通过计算这些三角形面积的和， 就可以得到这个多边形的面积，那么是否 可以使用类似的方法计算由曲线围成的区 域的面积呢？下面我们举例研究这个问题.

一. 求曲边梯形的面积 ① 曲边梯形 ： 在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x) , 直线 x=a 、 x=b 及 x 轴所围成的图形 叫做曲边梯形。y y=f (x)

x=aO a

x=bb x

y = f ( x) y

A1 O a b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A A1.

y = f ( x) y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得A A1+ A2

y = f ( x) y

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得A A1+ A2+ A3+ A4

y = f ( x) y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面 积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似 为 A A + A + + A1 2 n

构造思想：以直代曲,无限逼近

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形面积。 解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边 的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来 近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一 个近似值: 因此, 我们有理由相信, 这y个曲边三角形的面积为:n

S lim Sn n

n i 1 i 1 1 Sn S f ( ) x ( )2 n n n i 1 i 1 i 1 ' i n

1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 y x2 . 3

O

1 2 n n

k n

n n

x

1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n

2

2

2

小结:求连续曲线y f(x)对应的曲边梯形面积的方法(1)分割 (2)近似代替

(3)求和

(4)取极限

类似地问题还很多， 它们都可以归结为 求这种和式的极限， 牛顿等数学家经过 苦心研究，得到了 解决这类问题的一 般方法。求函数的 定积分。

y

o

x

求由连续曲线y f(x)对应的曲边梯形面积的方法n个小区间: a, x1 , x1, x2 , 每个小区间宽度⊿x b a n

(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

xi 1, xi , , xn 1, b ,

(2)以直代曲:任取xi [xi 1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为 x的小矩形面积f(xi) x近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值：

y=f ( x)

S f (xi ) x(4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为i 1

n

x 0, ( n )

f (x ) x Si 1 i

n

O

a

xi-1 xi xi x

b

x

二、定积分的定义①定义：设函数 y=f(x) 定义在区间[a,b]上,将区间[a,b] 分成 n个小区间 ,每个小区间的长度为 △xi,记 λ 为这些小区 间长度的最大者，当 λ 趋近于 0 时，所有的小区间长度都 趋近于0.在每个区间上任取一点,依次为ξ1,ξ2,…ξi,…ξn. 作和In=f(ξ1) △x1+f(ξ2) △x2+…+f(ξi) △xi+…+f(ξn) △xn, 如果λ无限趋近于 0(亦即n趋向于+∞)时,In无限趋近于常数 S,那么称该常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作

S f ( x)dxa

b

按定积分的定义，有 由连续曲线y f(x) (f(x) 0) ,直线x a、x b及x轴所 围成的曲边梯形的面积为

S f (x)dx;a

b

根据定积分的定义右边图形的面积为 y 1 1 1 2 S f ( x)dx x dx 0 0 3

f(x)=x21 3

S

1

O

x

f (x i ) x i a f ( x )dx I lim 0 i 1积分上限 ②定积分的相关名称： ———叫做积分号， f(x)dx —叫做被积表达式， b f(x) ——叫做被积函数, S a x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， 积分下限 [a, b] —叫做积分区间。

b

n

f ( x)dx被 积 函 数被 积 表 达 式

积 分 变 量

说明：(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即

a f(x)dx a f (t)dt a

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.

三.定积分的几何意义：

当 f(x) 0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x a、x b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。y y f ( x)

b

a f (x)dx a f (x)dx cO a b x

b

c

b

f (x)dx。

定积分的几何意义：当f(x) 0时，由y f (x)、x a、x b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，

积分 f (x)dx 在几何上表示a

b

y

y f (x)b

上述曲边梯形面积的相反数。S [ f ( x)]dxa b

S [ f ( x)]dxa

b

a

b

f ( x)dx . ,c b

O ab c

b x S f (x)dx a f (x)dx a cb

f (x

S f (x)dx a f (x)dx a c

f (x)dx。

y f ( x)

定积分的几何意义：在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数 和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).

例1. 计算定积分 0 (2 x 4)dx

5

5

0

(2 x 4)dx

y 6

9 4 5O -4 B

A x 5

例2:计算下列定积分.

(1) ( x 1)dx;1

2

1 (2) ( x 1)dx; 2 21

(3) xdx; 1

0

(4) (1 x)dx;0

3

(5)

2

0

sin xdx;

(6) x dx.3 0

1

第(1)-(5)小题可用定积分的几何意义求解。第(6) 小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛 顿-莱布尼兹公式再做。

课堂练习 课本P39练习A.1,3,4

四.

定积分的基本性质

性质1.

b

a

kf ( x )dx k f ( x )dxab b

b

性质2.

b

a

[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dxa a

四.

定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性b

性质3.

a

f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dxa c

c

b

y

y f ( x)

O

ac1 c2 a c1

C

b xb c2

b

a

f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx

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