课程设计氢原子光谱规律的可视化

燕山大学

课 程 设 计 说 明 书

题目：氢原子光谱规律的可视化

学院（系）： 年级专业： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 教师职称：

燕山大学课程设计（论文）任务书

院（系）： 基层教学单位： 学 号 设计题目 设 计 技 术 参 数 设 计 要 求 工 作 量 氢原子光谱波数σ； 里德伯常量R； 能带能量E。 通过研究氢原子光谱规律，得出氢原子光谱规律公式；利用MATLAB软件和公式实现光谱规律可视化。 学生姓名 专业（班级） 氢原子光谱规律的可视化 15个工作日左右 每个工作日六到八小时 2012/12/24----2012/12/27 实验选题 2012/12/28----2012/12/29 实验操作 2012/12/30----2012/12/31 实验论文 2013/1/1——2013/1/4 论文检查和修饰 工 作 计 划 参 考 资 料 1. （英）狄拉克.《量子力学原理》. 科学出版社 2. （美）穆尔 .《MATLAB实用教程》.电子工业出版社 指导教师签字 基层教学单位主任签字 2012年12 月 24 日

燕山大学课程设计评审意见表

指导教师评语： 成绩： 指导教师： 年 月 日 答辩小组评语： 成绩： 组长： 年 月

日 课程设计总成绩： 答辩小组成员签字： 年 月

日 燕山大学课程设计说明书 氢原子光谱规律的可视化

摘要：氢原子的结构最简单， 是最适合于进行理论与实验比较的原子。氢原子的线光谱具有明显的规律， 从氢原子光谱的规律性，人们熟悉了氢原子的内部结构和其发射光谱的秘密，从而发展了研究物质结构的近代光谱学，打开了研究原子物理的大门。MATLAB是最常用的数学模拟工具，其在科学研究中有重要作用。

关键字：氢原子；光谱；MATLAB。

Hydrogen atom spectrum law and

visualization

Abstract: The structure of the hydrogen atom is the most simple one, suiteding for most the atom that carry on theories and experiments' comparison.The line spectrum of the hydrogen

atom has the obvious regulation, from the regulation of the hydrogen atom spectrum, people acquainted with the internal structure of the hydrogen atom and the secret of

why it emits the spectrum, thus developing the modern spectrum that study the material structure, and opens the front door of the research of atom physics. MATLAB is the most commonly use visualization modeling tools, which plays an important role in scientific research. Keywords：Hydrogen atom; Spectrum; MATLAB.

【设计目的】

1. 学习研究氢原子光谱及其规律。

2. 掌握使用MATLAB编写程序，以实现物理模型的可视化。

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燕山大学课程设计说明书 【设计原理】

一．原子光谱发展简史

光谱学主要研究各种物质的光谱的产生及其同物质之间的相互作用。 实用光谱学是由基尔霍夫与本生在19 世纪60 年代发展起来的； 他们证明光谱学可以用作定性化学分析的新方法， 并利用这种方法发现了几种当时还未知的元素， 并且证明了太阳里也存在着多种已知的元素。氢原子光谱中最强的一条谱线是1853 年由瑞典物理学家埃斯特朗探测出来的。此后的20 年， 在星体的光谱中观测到了更多的氢原子谱线。1885 年， 从事天文测量的瑞士科学家巴耳末找到一个经验公式来说明已知的氢原子诺的位置， 此后便把这一组线称为巴耳末系。

根据量子力学理论， 原子光谱中某一谱线的产生， 是与原子中电子在某一特定能态之间的跃迁联系的。原子按照其内部运动状态的不同， 可以处于不同的定态。每一定态具有一定的能量（ 主要包括原子体系内部运动的动能、核与电子之间的互相作用能以及电子间的相互作用能）， 能量最低的能态叫基态， 能量高于基态的为激发态。激发态的原子可以发射光子， 跃迁到较低的能态， 较低的能态可吸收光子， 跃迁到较高的能态。由原子的电子能态间跃迁产生的光谱主要是线状光谱。根据原子光谱可以研究原子的结构， 了解原子的运动状态。

二．氢原子光谱理论

1．经典模型

人们研究氢原子光谱，总结两条规律。一是氢原子光谱是一根根分离的谱线，谱线的波数，即波长的倒数不能连续变化；二是任意一根谱线的波数都可用一个公式计算。

1885 年瑞士数学家巴耳末发现氢原子光谱可见光部分的规律：

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燕山大学课程设计说明书 n2nm,n?3,4,5,? (1) ??365.462n?221890 年瑞典物理学家里德伯给出氢原子光谱公式： 波数 ??1??R(11?) m2n2 m?1,2,3,4,?, n?m?1,m?2,m?3,? （2） 其中R 为里德伯常量：R= 1.096776×107 m-1，是一个实验常数，称为里德伯恒量，m和n都是正整数，且n > m。当n取遍大于m的一切正整数时，公式给出一族谱线，称为谱线系。根据玻尔氢原子理论，讨论氢原子轨道的能级，说明氢原子光谱的规律。

由（1）式可以得到氢原子各谱线系： 紫外： 莱曼系 ??11?R(2?2),n?2,3,? (3) ?1n1可见光： 巴尔末系 ??1?1?R(?R(11?),n?3,4,? (4) 222n11?2),n?4,5,? (5) 23n红外： 帕邢系 ???布拉开系 ??1??R(11?),n?5,6,? (6) 42n2 普丰德系 ??1?1?R(11?2),n?6,7,? (7) 25n11?),n?7,8,? (8) 62n2 汉弗莱系 ????R(1897年 J.J.汤姆孙发现电子；1903年，汤姆孙提出原子的“葡萄干蛋糕模型”：原子中的正电荷和原子的质量均匀地分布在原子球体范围内，电子浸于其中；.卢瑟福提出原子有核模型（行星模型）：原子的中心有一带正电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核旋转，核的尺寸与整个原子相比是很小的 .

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燕山大学课程设计说明书 2．经典模型的局限

经典理论在解释氢原子光谱规律时遇到不可克服的困难。

?v?e+ ?Fr?e ?e?e+

图一 电子运动示意图 根据经典电磁理论，电子绕核作匀速圆周运动，作加速运动的电子将不断向外辐射电磁波，原子不断地向外辐射能量，能量逐渐减小，电子绕核旋转的频率也逐渐改变，发射光谱应是连续谱；由于原子总能量减小，电子将逐渐的接近原子核而后相遇，原子不稳定。

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燕山大学课程设计说明书 三．波尔理论

为了克服经典物理学的困难，丹麦物理学家玻尔以实验事实为基础，将普朗克的能量子概念用于氢原子系统，建立了氢原子的玻尔理论，成功地解释了氢原子光谱的实验规律。

1．波尔的三个假设

①定态假设。原子系统只能有一系列能量不连续的状态，相应的能量值为E1，E2，E3，…

在这些定态上原子不向外辐射能量。这些状态称为定态。 ②量子跃迁假设。只有当原子从一个定态Em跃迁到另一个定态En时才发射和吸收辐射，其吸收或辐射光子的频率为

En?Emv?h (9)

而 当电子从状态En跃迁到Em时， 就发射出同频率的光子。由于

Em，En 都是不连续的值， 因此光子的频率也是分立的， 故可以知道原子光谱为线状光谱。

③轨道角动量量子化假设。电子的轨道角动量L等于h/2π的整数倍

nhLn?mevnrn? (n=1，2，3，…) (10)

2π其中，h为普朗克常数，n称为量子数，公式称为量子化条件。

根据玻尔假设， 结合经典电学和力学， 很容易求得氢原子中电子能级的大小。电子在轨道上运动时， 核对它的静电吸引力提供向心力。对于圆周运动， 则有

2vne2me?rn4πeε0rn2ε (11)

整理得：

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燕山大学课程设计说明书 2me(mevnrn)2?ern (12)

4πε0根据玻尔角动量量子化假设得：

mee2nh2rn ? ( ) (13) 4π?02π

所以

2 h20 r n ? 2 n (n=1，2，3，…) (14)

πmee

可见：氢原子轨道是量子化的。当n = 1时，r1是最靠近原子核的轨道半径，称为第一玻尔半径，常用a0表示

a 0 ? r 1 ? 0.529 ? 1 0 m . (15) ?2

??0h2?10πmee电子的能量为动能与势能之和， 当它在第n个轨道运动时，电子在轨道上的动能为：

e2 V n ? ? , (16)

4π?0rn

势能为：

2e12 ?,T?mv n 2 e n 8 π?0rn (17)

所以总能量为：

2

e E (18)

n?Tn?Vn?? 8π?0rn

即：

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燕山大学课程设计说明书 mee4En??222 （ n=1,2,3……） (19)

8ε0hn可见：氢原子能量是量子化的，称为原子能级。当n = 1时，E1是最低能级

mee4E1??22?13.6eV??2.18*10-18J (20)

8ε0h在正常情况下，原子处于最低能级，此态称为基态，其他态称为激发态。

玻尔氢原子理论可解释氢原子光谱。氢原子中电子从m态跃迁到n态时放出或吸收光子的频率为

用波数表示为：

En?Emmee411??) (21) ? 2 3 ( 2 ? 2

h8?0hmnmee41v1????33(2?2) (22)

?c8ε0hcmn1里德伯常数为

mee4R?23c?1.097373*107m?1 (23)

8ε0h可见：里德伯常数由一些常数组成。计算值与实验值的吻合有力地证明了玻尔理论的正确性。

由以上可知氢原子光谱规律：

σ?R（当n→∞时，波数的极限为：

11?） (24) 22mn1σ?R2m

10

(25)

燕山大学课程设计说明书 这个波数称为线系限。当氢原子的核外电子从n > 2的能态向m = 2的能态跃迁时，所放出单色光属于巴耳末系。

当m = 1，n > 1时对应紫外部分的赖曼线系； 当m = 2，n > 2时对应可见光部分的巴尔末线系； 当m = 3，n > 3时对应近红外部分的帕邢线系； 当m = 4，n > 4时对应红外部分的布喇开线系； 当m = 5，n > 5时对应远红外部分的普芳德线系。

玻尔于1913年预言了赖曼系，布喇开系和普芳德系，这些光谱于1915年到1924年被陆续发现。可见：玻尔理论成功地解释了氢光谱的实验规律。 【设计内容】 一．建立模型

氢原子哥能级能量为：

mee4En??2228ε0hn1 （n=1,2,3……） (26)

电子再各能级间所产生的波数为：

11???R(2?2)

?mnm?1,2,3,4,?, n?m?1,m?2,m?3,? (27)

因此，只要给定空间任意两能级序数，就可以得到电子在两能级间跃迁所产生的光谱。 二．程序演示

用MATLAB模拟氢原子光谱的程序如下：

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燕山大学课程设计说明书 %氢原子的能级,光谱线系和波长

clear %清除变量 e=1.602176462e-19; %电子的电量 me=9.10938188e-31; %电子的质量 c=2.99792458e8; %光速 h=6.62606876e-34; %普朗克常数 eps0=8.854187817e-12; %真空介电常数 a0=eps0*h^2/pi/me/e^2; %玻尔半径

E1=-e*e/2/(4*pi*eps0)/a0; %基态能量(单位J) %RH=E1/h/c; %里德伯常数 e1=E1/e; %基态能量(单位eV) name={'赖曼','巴尔末','帕邢','布喇开','普芳德'};%线系名称 n=length(name); %线系个数

i=1:n+2; %能级向量(加2条) ei=e1./i.^2; %能级能量(单位eV) o=ones(size(i)); %全1向量 xm=100; %图形宽度 figure %创建图形窗口 plot([0*o;xm*o],[ei;ei],'LineWidth',2) %画水平线 hold on %保持图像

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燕山大学课程设计说明书 plot([0;xm],[0;0],'--','LineWidth',3) %画能量为0的水平线 i=1:n; %新的能级向量 ei=e1./i.^2; %能级能量(单位eV) o=ones(size(i)); %全1向量 text(0*o,ei,num2str(i')) %显示能级量子数 text(xm*o,ei,num2str(ei')) %显示能级的能量

text(0,0.2,'\\infty') %在左上角标记无穷大符号 text(xm,0.2,'0') %在右上角标记0能量 text(0,floor(e1),'\\itn') %在左下角标记量子符号 text(xm,floor(e1),'\\itE_n') %在右下角标记能级符号 x=i*20-5; %极限跃迁线横坐标 Ei=E1./i.^2; %低能级能量(单位J) plot([x;x]-8,[Ei/e;0*o],'k:','LineWidth',2)%画极限跃迁线 lambda=h*c./(-Ei)*1e9; %极限波长 text(16*i,-5*o,num2str(lambda')) %显示极限波长

title('氢原子的能级,光谱线系和波长(nm)','FontSize',16)%标题 e0=ceil(e1)/10; %文本间隔 axis off %关闭坐标 for i=1:n %按低能级循环 Ei=E1/i/i; %低能级能量(单位J)

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燕山大学课程设计说明书 j=i+1:n+1; %条数向量

Ej=E1./j.^2; %计算高能级能量(单位J) x=i*20-5-j; %跃迁线的横坐标 o=ones(size(j)); %全1向量 plot([x;x],[Ei*o;Ej]/e,'LineWidth',2)%画跃迁线 lambda=h*c./(Ej-Ei)*1e9; %波长(单位nm) yy=e1-(j-1)*e0; %文本的纵坐标 xx=16*i; %文本的横坐标 text(xx*o,yy,num2str(lambda')) %显示波长值 text(xx,-4,name(i)) %显示线系名称 end %结束循环

三．输出图像

图2 氢原子光谱模拟图

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燕山大学课程设计说明书 【结果分析】 玻尔理论虽然取得了很大的成功，但是该理论不能解释光谱线的强度，光的偏振及光谱的精细结构等问题，甚至对于稍为复杂一点的原子(如氦原子)光谱也不能解释。

但是玻尔理论是原子领域内的开拓性理论，他所提出的定态假设和量子跃迁假设以及能量和角动量量子化等概念仍然是量子力学中的重要概念。玻尔的工作是人类探索原子世界过程中的一个重要的里程碑。

在此基础之上，本文得研究的了氢原子光谱的规律，通过计算机模拟本文得到氢原子光谱图形形象直观，模拟过程简单易懂.在氢原子光谱研究中, 由于光谱的不可触及和微观形的特殊性, 使理论过于抽象。本文的结果无论用于氢原子光谱的理论研究和说明, 还是用于相关物理现象的探索, 都是有意义的。在计算机条件许可的情况下, 也可以用于教学演示,从而把复杂的物理现象直观地展示出来。

【设计总结】

通过本次计算机程序设计,我对编程技术有了进一步的了解,并且对氢原子光谱的物理模型有了更深入的认识,这对我以后在本专业的中将有很大的帮助.虽然用MATLAB得到了氢原子光谱模型,结果也较为理想,但这个研究还有一些存在不足的地方,如下:

1.由于程序设计的水平有限，使得程序不够完善，不能全面的体现出氢原子光谱的规律。

2.研究局限在理论层面，未经过实验验证，可能跟实际有出入。

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燕山大学课程设计说明书 【参考文献】

1. （英）狄拉克.《量子力学原理》.科学出版社 2. （美）穆尔 .《MATLAB实用教程》.电子工业出版社

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pfw7.html