大学高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）

一.选择题（3分 10） 1.点

8.幂级数

n 1

x

n

的收敛域为（ ）.

n

M1 2,3,1

到点

M

2

2,7,4 的距离

M1M

2

A.

1,1 B 1,1 C. 1,1 D. 1,1

n

（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

2.向量a i 2j k,b 2i j

A.

x

9.幂级数

n 0 2

，则有（ ）.

在收敛域内的和函数是（ ）.

a

∥

b

B.

a

⊥

b

C.

a,b

A.

11 x

B.

22 x

C.

21 x

D.

12 x

3

D.

a ,b

4

3.函数

y 2 x2

y2

1的定义域是

x2

y2

1

（ ）. A.

x,y x

2

y

2

2

B.

x,y x

2

y

2

2

C.

x,y x

2

y

2

2

D

x,y x

2

y

2

2

4.两个向量a

与b

垂直的充要条件是（ ）.

A.

a b 0

B.

a b 0

C.

a b 0

a D. b 0

5.函数

z x3 y3

3xy

的极小值是（ ）.

A.2 B. 2

C.1 D. 1

6.设

z xsiny

，则

z y

＝（ ）.

1,4

A.

22

B.

22

C.

2 D. 2

7.若

p

级数

1 ）.

n 1

n

p

收敛，则（ A.

p 1 B.p 1 C.p 1 D.p 1

10.微分方程

xy ylny 0

的通解为（ ）.

A.

y ce

x

B.

y e

x

C.

y cxe

x

D.

y e

cx

二.填空题（4分 5） 1.一平面过点

A 0,0,3

且垂直于直线

AB

，其中点

B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.

2.

函

数

z sin xy

的全微分是

______________________________.

3.

设

z x3y2 3xy

3

xy 1

，则

2

z

x y

_____________________________.

4.

12 x

的麦克劳林级数是___________________________.

5.微

分方程

y 4y 4y 0

的通解为

_________________________________.

三.计算题（5分 6）

1.设

z eu

sinv，而u xy,v x y

，求

z x, z y

. 2.

已

知

隐

函

数

z z x,y

由

方

程

x2 2y2 z2

4x 2z 5 0确定，求

z x,z y

. 3.计算

sin

x2

y2

d

，

其

中

D

D:

2

x2 y

2

4

2

.

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（

R

为

1.

z x

e

xy

ysin x y cos x y

，

z y

e

xy

xsin x y cos x y .

2.

z x

2 x z2y

, z 1 yz 1

2

.

3.

2

d

R

3

sin d 6

2

.

4.

163

.

5.

y e

3x

e

2x

.

四.应用题

5.求微分方程

1.长、宽、高均为

2m

时，用料最省.

y 3y e

2x

在

y

x 0

0条件下的特解.

2.

y

13

x.

2

四.应用题（10分 2） 1.要用铁板做一个体积为2m

3

的有盖长方体水箱，问长、宽、高各

《高数》试卷2（下）

一.选择题（3分 10） 1.点M

取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线

y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的

1

，求此曲线方程 3

1

4,3,1 ，M2 7,1,2 的距离M1M2

B.

（ ）.

连线斜率的2倍，且曲线过点 1,

A.

C.

D.

2.设两平面方程分别为

.

试卷1参考答案

一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.

A.

x 2y 2z 1 0

和

x y 5 0，则两平面的夹角为（ ）.

6

B.

4

C.

3

D.

2

2x y 2z 6 0.

3.函数

z arcsinx y

22

的定义域为（ ）.

2.

cos xy ydx xdy

6xy 9y 1 .

2

2

.

A.

x,y 0 x

x,y 0 x

2

2

y

2

1

3.

B.

y

2

1

4.

n 0

1 n

2

n 1

x

n

. C.

22 x,y0 x y

2

5.

y C1 C2x e

2x

.

D.

x,y 0

x y

22

三.计算题

2

的距离为

4.点

P 1, 2,1 到平面x 2y 2z 5 0

A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数

z 2xy 3x2 2y

2

的极大值为（ ）.

A.0 B.1 C.

1 D.

12

6.设

z x2

3xy y

2

，则

z x

1,2

（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

7.若几何级数

ar

n

是收敛的，则（ ）.

n 0

A.

r 1 B. r 1 C.r 1 D.r 1

8.幂级数

n 1 x

n

的收敛域为（ ）.

n 0

A.

1,1 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,1

9.级数

sinna4

是（ ）.

n 1

n

A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程

xy ylny 0的通解为（ ）.

A.

y e

cx

B.

y ce

x

C.

y e

x

D.

y cxe

x

二.填空题（4分 5） x 3 t1.直线l过点A 2,2, 1 且与直线

y t平行，则直线l

z 1 2t的方程为__________________________. 2.函数

z e

xy

的全微分为___________________________.

3.曲面

z 2x2 4y

2

在点

2,1,4

处的切平面方程为

_____________________________________. 4.

11 x

2

的麦克劳林级数是______________________.

5.微分方程

xdy 3ydx 0

在

y

x 1

1条件下的特解为

______________________________. 三.计算题（5分 6）

j k,b 2 1.设ai 2j 3k，求a b.

2.设

z u2v uv

2

，而u xcosy,v xsiny

，求

z x, z y

. 3.已知隐函数

z z x,y

由

x3

3xyz 2

确定，求

z x, z y

. 4.如图，求球面

x2 y2 z2

4a

2

与圆柱面

x2 y

2

2ax（a

0

）所围的几何体的体积

.

5.求微分方程

y 3y 2y 0的通解.

四.应用题（10分 2） 1.试用二重积分计算由y x,y 2x

和

x 4

所围图

形的面积.

2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规

2

律

x x t .（提示：

dxdt

2

g.当t 0时，有x

x0

，

dxdt

v0）

2.

x

12

gt

2

v0t x0

.

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 ）

4

A、10 B、20 C、24 D、22

试卷2参考答案

一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.

A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k 3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（ ）

x 21

y 21

z 12

.

A、2 B、3 C、4 D、5

2.

e

xy

ydx

xdy

.

4、函数z=xsiny在点（1，

4

）处的两个偏导数分别为（ ）

3.8x 8y z 4.

A、

2222

,

22

,

B、

222

,

22

C、

22

4.

n2n

1x n 0

.

3

D、

22

2

,

5.

y x

.

5、设x2+y2+z2=2Rx，则

.

A、

三.计算题

1.8i 3j 2k

2.

z z, x y

分别为（ ）

x R

zzzzx Ryx Ry ,, 3 D、 z z233

3xsinycosy cosy siny , 2xsinycoszysiny cosy xsiny coszzz

x y

,

y

B、

x R

,

y

C、

3

y

.

6、设圆心在原点，半径为R，面密度为

x y

22

的薄板的

3.

z x32

yzxy z

2

,

z y

xzxy z

2

.

质量为（ ）（面积A= R

2

）

A、R2A B、2R2A C、3R2A D、

4.

12

RA

2

2

a . 33 2

3

2x

7、级数

x

( 1)

n 1

n

x

n

n

的收敛半径为（ ）

5.

y C1e C2e

.

A、2 B、

12

四.应用题 1.

C、1 D、3

163

.

8、cosx的麦克劳林级数为（ ）

2n

A、

( 1)

n

x

2n

( 1)

n

x

n 0

(2n)!

B、

n 1(2n)!

C、

2n

x

2n 1

( 1)

n

x

n

n 0

(2n)!

D、

( 1)

n 0

(2n 1)!

9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） 2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）

1

、

直

线

L1

：

x=y=z

与

直

线

L2

：

x 1

y 33

、

计

算

2

1

z的夹角为

___________。

直

线

L由直线y 1,x 2及y x围成

3：

xyd ，

其中DD

x 1y 22

1

z与平面3x 2y 6z 0之间的夹角为

. 2

____________。 2、（0.98）2.03

的近似值为________,sin100

的近似值为___________。

3

、二

重积分

d ,D:x2

y

2

1的值为

___________。

D

4、幂级数

n!x

n

的收敛半径为

__________，

4

、问级数

n 0

n

( 1)n

s

1i？若收敛n，则是条件收敛还是绝对

x

n!

的收敛半径为

__________。

n 1

n

收敛吗n 0

5、微分方程y`=xy的一般解为___________，微分方程xy`+y=y2的解 为___________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组 2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2

5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

收

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B

10,A 二、填空题

1、ar

cos

2,arcsin

821

2、0.96，0.17365

3、л 4、0，+

x

2

5、

y ce

2

,cx 1

1

y

三、计算题

1、 解： △（-3 -5 3 -2×+（-82 -5 =-138

1 7 -5 7 -5 1 -5

△× 3 3 +-8）×-5 =-138

2 7 -5 7 -5 2 -5 2 7 同理：

-3 -8

△△z= 414

1

2 -5 所

以

，

方

程

组

的

解

为

x

xy z

1,y

2,z

3

2、解：因为x=t,y=t2,z=t3, 所以xt=1,yt=2t,zt=3t2， 所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3

故切线方程为：

x 1y 1 11

2

z3

法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成， 所以 D：

≤y≤2

则2（xy+yz+zx）=a 构造辅助函数

F（x,y,z）=xyz+ (2xy

2

2yz 2zx a)

2

求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：

y≤2 故

：

yz+2 (y+z)=0 xz+2 (x+z)=0 (x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零 可得x=y=z

4、解：这是交错级数，因为

D

xyd

2

1

[ xydx]dy

y

2

2

1

(2y

y

3

2

)dy 1

18

Vn sin

1n1n

0，所以，Vn 1 Vn,且limsin

1n

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=

6a

0，所以该级数为莱布尼兹sin

1n

1

6型级数，故收敛。

所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为

3

1，6anV xyz

36

又 sin

n 1

当x趋于0时，sinx~x，所以，lim

发散，从而

n 1

sin

1n

发散。

n

1n

所以，原级数条件收敛

5

、

解

。

：

因

为

e

w

1 x

12!

x

2

13!

x

3

1n!

x

n

x ( , )

用2x代x，得：

e

2x

1 (2x)

2

2

2

12!

(2x) 2

3

3

2

13!

(2x) 2

n

n

3

1n!

(2x)2、解：据题意

n

1 2x

2!

x

3!

x

n!

x

x ( , )

6、解：特征方程为r2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0

得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e,y2=xe 所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e 四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z

-2x

-2x

-2x

dMdt

M

７．对于ｎ元线性方程组，当r(A) r(A) r时,它有无穷多组解,则 ．

（Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定

~

其中 0为常数初始条件M对于dMM

dMdt

Mt 0

８．下列级数收敛的是 ．

M式

（Ａ） ( 1)

n 1

n 1

nn 1

（Ｂ）

3n

n

n 12

（Ｃ）

n 1

( 1)n 1

n

（Ｄ）

dt

lnM t lnC ce

t 00

t

n 1

1n

两端积分得所以，M又因为M所以，M所以，M

９．正项级数

un

n 1

和

vn

n 1

满足关系式un vn，

M

则 ．

C M0e

t

（Ａ）若 un收敛，则

n 1

n 1

vn收敛 （Ｂ）若

n 1

vn收敛，则

un

n 1

由此可知，铀的衰变规律为

收敛

：铀的含量随时间的增加

而按指数规律衰减

。

（Ｃ）若 vn发散，则

n 1

un

n 1

发散 （Ｄ）若

un

n 1

收敛，则

vn

n 1

发散

《高数》试卷4（下）

１０．已知：

11 x

1 x x2 ，则

11 x2

的幂级数展开

一． 选择题：3 10 30

１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ．

（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）

式为 ．

（Ａ）1 x2 x4 （Ｂ） 1 x2 x4 （Ｃ）

ｘ＝３

1 x2 x4 （Ｄ）1 x2 x4

二． 填空题：4

5 20

２．在空间直角坐标系中，方程x2 y2 2表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面

１． 数z x2 y2 1 ln(2 x2 y2)的定义域

为 ． ２．若f(x,y) xy，则f(３

．

已

知

３．二元函数z (1 x)2 (1 y)2的驻点是 ． （Ａ）（０,０） （Ｂ）（０,１） （Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１）

yx

,1) ． f(x,y)

的

驻

点

，

若

(x0,y0)

是

４．二重积分的积分区域Ｄ是1 x2 y2 4，则

(x0,,y0) 3,fyy (x0,y0) 12,fxy (x0,y0) a则 fxx

当 时，(x0,y0)一定是极小点． ４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式3

A

dxdy

D

．

（Ａ） （Ｂ）4 （Ｃ）3 （Ｄ）15

1

x

５．级数 un收敛的必要条件是．

５．交换积分次序后

1

1y

0dx 0

f(x,y)dy ．

n 1

三． 计算题(一)：6 5 30

（Ａ）

0

y0

dy f(x,y)dx

dy 0

（Ｂ）0

x

10

11

f(x,y)dx

（Ｃ）

１． 已知：z xy，求：

z x

，

z y

．

0

1

dy f(x,y)dx

（Ｄ）0

dy f(x,y)dx

２． 计算二重积分

D

4 x2d

，其中

６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ． （Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１

D {(x,y)|0 y

．

4 x2,0 x 2}

３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝ 12 1

1

27 2

1 ，Ｂ＝

3．解：B 1

02 01 2 ,AB 1

1

4

15 .

1

2 3

00

1

2 012

，求未知矩阵Ｘ．

00

1

４．解：R 1,当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得

( 1)n 1

n 1

n

收敛，

n 1

４．求幂级数

( 1)n 1

xnn 1

n

的收敛区间． 当x 1时，得

( 1)2n 1

n

1n 1

n

发散，所以收敛区间为

( 1,1].

５．解：.因为e

x

xn ),所以

５．求f(x) e x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．

n 0

n!

x ( ,

e

x

( 1)nnx ( , ).

( x)n

n 0

n!

n 0

n!

x

i jk

四．计算题(二)： 10 2 20

四．1．解：.求直线的方向向量:１． 求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准

s

1

21 i 3

j 5k,

方程． 21

1

求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程

为:.

x 21

y3

z5

x y z 1２． 设方程组

2．解：

x y z 1，试问： 分别为何值时，方程

x y z 1~ 111 1

1 1

1

A

1 组无解、有唯一解、有无穷多组解． 1

1

1 1 1

1 0

1

1 1

1

11

1

1

01

1 2

(1) 当 2时,r(A) 2,(A~

) 3,无解;

(2) 当 1, 2时, r(A) (A~

) 3,有唯一

解:

x y z

12

;

参考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；(3) 当 1时, r(A) (A~

) 1,有无穷多组解:

８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

x 1 c二．１． (x,y)|1 x2 y2 2

２．

y1 c ３． 6 a 6

2

x

y c1

(c1,c2为任意常数)

z c

2４．２７ ５．limun 0

n

四． 1．解： z 1

z x

yx

y y

xylny

《高数》试卷5（下）

2．解：

一、 2选择题（3分/题）

4 x2

d

2

2

2

2

0dx 4 x2

4 xdy 0(4 x)dx x3 0

4x D

1、已知3 0i j，b k，则a b

（ ）

1

0

1

A 0 B

i j

C

i j

D

i j

2、空间直角坐标系中

x2 y

2

1表示（ ）

A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面 3、二元函数

z

sinxyx

在（0，0）点处的极限是（ ）

A 1 B 0 C

D 不存在

1

1

4、交换积分次序后

dx

x

f(x,y)dy

=（ ）

1

1 A

dy

f(x,y)dx

B 0

1

dy

1

f(x,y)dx

x

1

C

dy

1y

f(x,y)dx

D 0

1

dy

y0

f(x,y)dx

5、二重积分的积分区域D是

x y 1，则 dxdy （ ）

D

A 2 B 1 C 0 D 4 6、n阶行列式中所有元素都是1，其值为（ ）

A 0 B 1 C n D n! 7、若有矩阵

A3 2，B2 3，C3 3

，下

）

A

AC

B

CB

C

ABC

D

AB AC

8、n元线性方程组，当r(A) r(~

A) r

时有无穷多组解，

则（ ）

A r=n B r<n C r>n D 无法确定 9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（ ）

A 必等于零 B 必不等于零 C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零

10、正项级数

u

n

和

v

n

满足关系式un vn，则（ ）

n 1

n 1

A 若

u

n

收敛，则

v

n

收敛 B 若

v

n

收敛，n 1

n 1

n 1

则

u

n

收敛

n 1

C 若

v

n

发散，则

u

n

发散 D 若

u

n

收

n 1

n 1

n 1

敛，则

v

n

发散

n 1

二、 填空题（4分/题） 1、 空间点p（-1，2，-3）到

xoy

平面的距离为

2、 函数

f(x,y) x2

4y2

6x 8y 2

在点处取得极小值，极小值为

3、

A

为三阶方阵，

A 3 ，则 A

0xy4、 三阶行列式

x0z

y

z

5、 级数

u

n

收敛的必要条件是

n 1

三、 计算题（6分/题）

1、 已知二元函数

z y

2x

，求偏导数

z x

，

z y

2、 求两平面：x

2y z 2与2x y z 4交线的

标准式方程。

3、 计算二重积分

x2，其中

D

由直线

x 2

，

D

y

2

y x

和双曲线

xy 1所围成的区域。

2

2

3 4、

求方阵A 1

10 的逆矩阵。

1

2

1

5、 求幂级数

n 1

(x 1)5

n

n

的收敛半径和收敛区间。

A 0，方程组有唯一解；

当 解；

四、 应用题（10分/题）

n 1

2

时，r(A)

~

3 r(A) 2

，方程组无

1、 判断级数

n 1

( 1)

1n

p

的收敛性，如果收敛，请指出绝

当 多组解。

~

1时，r(A) r(A) 1 3

，方程组有无穷

对收敛还是条件收敛。 2、 试

根

据

的取值，讨论方程组

x1 x2 x3 1

x1 x2 x3 1是否有解，指出解的情况。 x x x 1

23 1

参考答案

一、选择题（3分/题）

DCBDA ACBCB 二、填空题（4分/题）

1、3 2、（3，-1） -11 3、-3 4、0 5、

n

limun 0

三、计算题（6分/题）

1、

z x

2y

2x

lny，

z y

2x y

2x 1

2、

x 2194

y 03

z 05

3、

4、

A

1

1 1 1

4 56

3 3 4

5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6） 四、应用题（10分/题）

1、 当

p 0时，发散；

0 p 1时条件收敛； p 1时绝对收敛

2、 当

1

且

2

时，

~

r(A) r(A) 3

，

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