高考数学第一轮复习知识点分类指导

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一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}，

（答：8） Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。

（2）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且满足“若a?S，则6?a?S”，这样的S共有_____

个（答：7）

22. “极端”情况否忘记A??：集合A?{x|ax?1?0}，B?x|x?3x?2?0，且

??A?B?B，则实数a＝______.（答：a1?0,1,）

23.满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）

4.运算性质：设全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，

(CUA)?(CUB)?{1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）

x?2}，集合N＝?y|y?x2,x?M?，则

??M?N?___（答：[4??,)；（2）设集合M?{a|a）?(1,?2?)(?3?,4R)，,??N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则M?N?_____（答：{(?2,?2)}）

6.补集思想：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一

3个实数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,)）

25.集合的代表元素：（1）设集合M?{x|y?7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）

8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件；②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；③已知x,y?R，“若

xy?0，则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”；④“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

2（2）设命题p：|4x?3|?1；命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要

1而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：[0,]）

29. 一元一次不等式的解法：已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为1(??,?)，则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______（答：{x|x??3}）

3210. 一元二次不等式的解集：解关于x的不等式：ax?(a?1)x?1?0。

11（答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?；当0?a?1时，1?x?；当a?1aa1时，x??；当a?1时，?x?1）

a11. 对于方程ax?bx?c?0有实数解的问题。（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切

2x?R恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]内有两个不等的实

2根满足等式cos2x?3sin2x?k?1，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）

12.一元二次方程根的分布理论。

（1）实系数方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则取值范围是_________（答：（

2?b?2的a?11，1）） 42（2）不等式3x?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立，则实数b的取值范围是____（答：?）。

二、函 数

1.映射f: A?B的概念。

（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在

N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：

12）

2.函数f: A?B是特殊的映射。若函数y?12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间2[2,2b]，则b＝ （答：2）

3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x2，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）

4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数y?x?4?x?lg?x?3?2?(2,3)?的定义域是____(答：(0,2)(3,)4)；（2）设函数

f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a?1；②0?a?1）

（2）复合函数的定义域：（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义

22域为__________（答：x|2?x?4）；（2）若函数f(x?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．

5.求函数值域（最值）的方法： （1）配方法―

21）当x?(0,2]时，函数f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的取值

???1???范围是___（答：a??1）； 2（2）换元法（1）y?2sin2x?3cosx?1的值域为_____（答：[?4,17]）； 82）y?2x?1?x?1的值域为_____（答：(3,??)）（令x?1?t，t?0。运用换元

3）y?sinx?cosx?sinx?cosx的值域为____（答：[?1,法时，要特别要注意新元t的范围）；

1?2]）； 24）y?x?4?9?x2的值域为____（答：[1,32?4]）；

2sin??12sin??13xy?（3）函数有界性法―求函数y?，y?，的值域（答：

1?sin?1?cos?1?3x13(??,]、,]）（0,1）、(??；

22192（4）单调性法――求y?x?(1?x?9)，y?sinx?的值域为______（答：

x1?sin2x8011(0,)、[,9]）；

92y22（5）数形结合法――已知点P(x,y)在圆x?y?1上，求及y?2x的取值范围

x?233（答：[?； ,]、[?5,5]）

33(a1?a2)2（6）不等式法―设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值

b1b2范围是____________.（答：(??,0]?[4,??)）。

（7）导数法―求函数f(x)?2x?4x?40x，x?[?3,3]的最小值。（答：－48）

2??(x?1).(x?1)6.分段函数的概念。（1）设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的

??4?x?1.(x?1)(x?0)?1　　?[0,10]取值范围是____（答：(??,?2]）；（2）已知f(x)??，则不等式

(x?0)??1　　3x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___（答：(??,]）

2327.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法―已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?12x?2x?1） 22（2）配凑法―（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx2的解析式___（答：

112；（2）若f(x?)?x?2，则函数f(x?1)=___（答：f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）

xxx2?2x?3）；

2（3）方程的思想―已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；

3??8. 反函数：

（1）函数y?x2?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A、a????,1? B、a??2,??? C、a?[1,2] D、a????,1???2,??? （答：D）

（2）设f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函数f?1(x)（答：f?1(x)?x1(x?1)）． x?1?1（3）反函数的性质：

①单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f定义域为?,? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）.

aa(x)的

?14???2x?3，若函数y?g(x)与y?fx?17称，求g(3)的值（答：）；

2②已知函数f(x)?③（1）已知函数f(x)?log3(?1(x?1)的图象关于直线y?x对

4； ?2)，则方程f?1(x)?4的解x?______（答：1）

x④已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那

么不等式f?1?log2x??1的解集为________（答：（2,8））；

9.函数的奇偶性。

（1）①定义法：判断函数y?|x?4|?42的奇偶性____（答：奇函数）。

9?x11?)的奇偶性___.（答：偶函数） ②等价形式：判断f(x)?x(x2?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).

1若定义在R上的偶函数f(x)在(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?238的解集为______.（答：(0,0.5)?(2,??)）

a·2x?a?2④若f(x)?为奇函数，则实数a＝____（答：1）. f(0)?0

2x?1f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)⑤设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?，G(x)?。①

22x判断F(x)与G(x)的奇偶性； ②若将函数f(x)?lg(10?1)，表示成一个奇函数g(x)和一

1个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)＝x）

210.函数的单调性。

3（1）若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，已知函数f(x)?x?ax在区间

[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；

（2）若函数f(x)?x?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：a??3）)；

2（3）已知函数f(x)?ax?1在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：x?21(,??)）； 2（4）函数y?log1?x2?2x的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

??2（5）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数

12m的取值范围。（答：??m?）

2311. 常见的图象变换

?x①设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像由g(x)的

图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1))

②函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与x?a原图象关于直线y?x对称,那么

(A)a??1,b?0 (B)a??1,b?R (C)a?1,b?0 (D)a?0,b?R (答：

③将函数y?C)

1得到的。a1如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答：x??)．

2④函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的12. 函数的对称性。

①已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x12x?x)； 2x?33,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称②己知函数f(x)?2x?32图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是_______（答：

x?2y??）；

2x?12③若函数y?x?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x2?7x?6）

有等根，则f(x)＝_____(答：?13. 函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程

f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义

(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函数，求f(2005)的值(答：993)；（3）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，

若它的最小正周期为T，则f(?T)?____（答：0） 2（2）利用函数的性质

（1）设函数f(x)(x?N)表示x除以3的余数，则对任意的x,y?N，都有 A、f(x?3)?f(x) B、f(x?y)?f(x)?f(y) C、f(3x)?3f(x) D、f(xy)?f(x)f(y)（答：A）；

（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果

3，f(2)?lg15，求f(2001；（3）已知定义域为R的函数f(x)满足)（答：1）2f(?x)??f(x?4)，且当x?2时，f(x)单调递增。如果x1?x2?4，且(x1?2)(x2?2)?0，则f(x1)?f(x2)的值的符号是____（答：负数） f(1)?lg（3）利用一些方法

（1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，

y cosx?0的当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)?解集是_____________（答：(?

三、数 列

1、数列的概念：（1）已知an??,?1)?(0,1)?(,3)）； 22?O 1 2 3 x n1*(n?N)，则在数列的最大项为__（答：）；{a}nn2?15625an（2）数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为___（答：

bn?1；（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围an?an?1）

（答：???3）；

A B C D

2.等差数列的有关概念：

(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）；（2）

831315*（1）数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N)，an?，前n项和Sn??，则a1＝

222＿，n＝＿（答：a1??3，n?10）；

（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：

2*??12n?n(n?6,n?N)Tn??2）. *??n?12n?72(n?6,n?N)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：?d?3）

2（4）等差中项

3.等差数列的性质：

（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____（答：27）；

（2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则A、

S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0

（答：B）

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225） （2）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若么

Sn3n?1，那?Tn4n?3an6n?2） ?___________（答：

8n?7bn（3）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：

前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，

a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）

4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数

项之积为120，则an?1为____（答：

5）；（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若6bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝

1126，求n和公比q. （答：n?6，q?或2）

2（3）等比数列的前n和：（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）；

（2）

?(?Cn?1k?010nkn； )的值为__________（答：2046）

（4）等比中项：已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大

小关系为______（答：A＞B）

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为?，

aa,,a,aq,aq2?（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为?2qqaa32,,aq,aq，?，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。 q3qq5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2???log3a10? （答：10）。

(n?N*)，且gxn1loxgn（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足loa?1??ax1?x2???x100?100，则x101?x102???x200? . （答：100a100）；（2）在等比

数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______（答：40）

若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）

设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为-_____（答：－2）

设数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若

an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、b?R?，则

?an?是等差数列；③若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

6.数列的通项的求法：

已知数列31111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________（答：481632an?2n?1?1） 2n?1①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：an?满足

11114,n?1a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?1）

2,n?2222??3,n?1）；②数列{an}2n,n?2数列{an}中，则a3?a5?______（答：a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?61） 161n?1?n(n?2)，则an=________（答：

an?n?1?2?1）

已知数列{an}中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an（答：an?4）

n(n?1)①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?；②已知a1?1,an?3an?1?2n，3n?1?1）

①已知a1?1,an?求an（答：an?5?； 3n?1?2n?1）

1an?1，求an（答：an?）；②已知数列满足a1=1，

3n?23an?1?11an?1?an?anan?1，求an（答：an?2）

n54,n?1数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an（答：an?） n?13?4,n?23?7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：（1）等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2－１，则a1?a2?a3???an＝

ｎ

22224n?1_____（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，

3)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1?23?1?22?0?21?1?20?13，那么将二如(1101进制(111?11)2转换成十进制数是_______（答：22005?????2005个1?1）

（2）分组求和法： Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)（答：(?1)n?n）

0n（3）倒序相加法：①求证：Cn；②已知?3Cn1?5Cn2???(2n?1)Cn?n(??1)n21117x2f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()f(x)?，则＝______（答：）

23421?x2（4）错位相减法：（1）设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，

T2?4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.（答：①a1?1，q?2；

②Tn?2n?1?n?2）；（2）设函数f(x)?(x?1)2，g(x)?4(x?1)，数列{an}满足：

a1?2,f(an)?(an?

an?1)g(an)(n?N?)，①求证：数列{an?1}是等比数列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2

888???(an?1)xn，求函数h(x)在点x?处的导数h?()，并比较h?()与2n2?n的大小。

333882n?1，当n?1时，h?()＝2n2?n；当n?2时，（答：①略；②h?()?(n?1)?3388h?()<2n2?n；当n?3时，h?()>2n2?n） 33n111????? （答：（5）裂项相消法：（1）求和：）；1?44?7(3n?2)?(3n?1)3n?11（2）在数列{an}中，an?，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；

n?n?12n111（6）通项转换法：求和：1?） ????? （答：n?11?21?2?31?2?3???n四、三角函数

??的终边关于直线y?x对称，则?＝_____。（答：2k??,k?Z） 63?若?是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB的周长是6cm，

22该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm）

in??cos?2、三角函数的定义：（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sy 72m?3 T 的值为＿＿。（答：?）；（2）设?是第三、四象限角，sin??， B S 4?m13P 3 则m的取值范围是_______（答：（－1，)）； α 2 O M A x ??,cos?,tan?的大小关系为 3.三角函数线（1）若????0，则sin8 _____(答：tan??sin??cos?)；（2）若?为锐角，则?,sin?,tan?的大

1、?的终边与

小关系为_______ （答：sin????tan?）；（3）函数y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的

2?](k?Z)）

33m?34?2m?an?(????)，4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知sin??，cos??则tm?5m?525tan?nis??3ocs???1，?）sin2??sin?cos??2＝____（答：；（2）已知则＝____；

tan??1nis??ocs?12513＝___（答：?；）；（3）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______（答：－1）。

359?7?23?tan(?)?sin21?的值为________（答：5.三角函数诱导公式（1）cos）；?46234??（2）已知sin(540??)??，则cos?(?270)?______，若?为第二象限角，则

543[sin(180???)?cos(??360?)]2??________。（答：；） ??5100tan(180??)定义域是_______（答：(2k???,2k??6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值为

1?2????sin2的是 A、sin15cos15 B、cos C、

21212tan22.5?1?cos30? D、 （答：C）； 2?1?tan22.52（2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的 A、充要条件 B、

充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知

sin(???)cos??cos(???)sin??37，那么cos2?的值为____（答：）；（4）5251300的值是______（答：4）；(5)已知tan110?a，求tan50的值（用a表示）???sin10sin801?a2a?3甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是

2a1?3a______（答：甲、乙都对）

7. 三角函数的化简、计算、证明

2?1?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____544433（答：）；（2）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与x的

2253431?x2?x(?x?1)） 函数关系为______（答：y??555(2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin50?(1?3tan10?)（答：1）；（2）已知sin?cos?21?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值（答：）

1?cos2?383(3)公式变形使用设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?，

4（1）巧变角：（1）已知tan(???)?

则此三角形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?增区间为___________（答：[k??53(x?R)的单调递25?](k?Z)）

1212sin??tan?(5)式子结构的转化（1）tan?(cos??sin?) ?（答：sin?）；（2）求证：

cot??csc??11?tan2cos4x?2cos2x?1?sin?2；2（答：1cos2x） （3）化简：?????21?2sin21?tan2tan(?x)sin2(?x)2244322(6)常值变换主要指“1”的变换已知tan??2，求sin??sin?cos??3cos?（答：）.

5t2?1(7)“知一求二”（1）若 sinx?cosx?t，则sinxcosx? __（答：?)，特别提醒：

24?7这里t?[?2,2]；（2）若??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。（答：?）；

238、辅助角公式中辅助角的确定：（1）若方程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是

3______(答：?)；（3）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－

2312??64sin20??________(答：32) 2)；（4）求值：22sin20?cos20?9、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质：

?31（1）若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为，最小值为?，则a?__，b?＿（答：

2261??a?,b?1或b??1）；（2）函数f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____（答：

222[－1, 2]）；（3）若2?????，则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____ 、_____

,k??（答：7；－5）；（4）函数f(x)?2cosxsin(x?此时x＝__________（答：2；k????3)?3sin2x?sinxcosx的最小值是_____，

1in?cos?，求t?s2?12(k?Z)）；（5）己知sin?cos??12??sin2?的最大、

2最小值（答：ymax?1，ymin?22?2）。

?x1)?f(2)?(3)f???(200f3)（3）周期性： (1)若f(x)?sin，则f(＝___（答：0）；

344(2) 函数f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx的最小正周期为____（答：?）；(3) 设函数

22的变化范围（答：[0,]）；（6）若sin??2sin??2cos?，求y?sinf(x)?2sin(?2x??5)，若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，则|x1?x2|的最小

值为____（答：2）

?5??；（2）?2x?的奇偶性是______（答：偶函数）

2??已知函数f(x)?ax?bsin3x?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______（答：－5）；

x(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、（3）函数y?2cosk??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）；（4）已知____________（答：(2828?f(x?)s?i?n?(x3)??为偶函数，求cos(x?的值。)（答：??k??(k?Z)）

6（4）奇偶性与对称性：（1）函数y?sin?（5）单调性：

16、形如y?Asin(?x??)的函数：

f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0，|?|??2)的图象如图所示，23Y2?9X-223题图15?则f(x)＝_____（答：f(x)?2sin(x?)）；

23（1）函数y?2sin(2x??4)?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的图象？（答：y?2sin(2x?)?1向上平移1个单位得y?2sin(2x?)的图象，44?再向左平移个单位得y?2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y?2sinx的图象，

81x?最后将纵坐标缩小到原来的即得y?sinx的图象）；(2) 要得到函数y?cos(?)的图

224x?象，只需把函数y?sin的图象向___平移____个单位（答：左；）；（3）将函数

22?7?)?1图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯

3?一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量y?2sin(2x?????a?(?,?1)）；（4）若函数f?x??cosx?sinx?x??0,2???的图象与直线y?k有且仅有

6四个不同的交点，则k的取值范围是 （答：[1,2)）

（5）研究函数y?Asin(?x??)性质的方法：（1）函数y?sin(?2x?______（答：[k???3)的递减区间是

5?x??,k??](k?Z)）；（2）y?log1cos(?)的递减区间是_______121234233?](k?Z)）（答：[6k???,6k??；（3）设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??????)

442212?的图象关于直线x?对称，它的周期是?，则A、f(x)的图象过点(0,) B、f(x)在区

235?2?,]上是减函数 C、f(x)的图象的一个对称中心是(5?,0) D、f(x)的最大值是12312???A（答：C）；（4）对于函数f?x??2sin?2x??给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；

3??间[②图象关于直线x?④图像向左平移

?12成轴对称；③图象可由函数y?2sin2x的图像向左平移

?个单位得到；3?个单位，即得到函数y?2cos2x的图像。其中正确结论是_______（答：12②④）；（5）已知函数f(x)?2sin(?x??)图象与直线y?1的交点中，距离最近两点间的距

?离为，那么此函数的周期是_______（答：?）

3?，而y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx?cosx的周期为2?1?y?|2sinx?(3?)?y|,?|x2?sin2|，(y3?|tanx)|的周期不变；

626?ABC中，若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C，判断?ABC的形状（答：直角

三角形）。

b，且A=60, a?6, b?4，那么满足条件的（1）?ABC中，A、B的对边分别是a、?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在?ABC中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件（答：充要）；（3）在?ABC中，

?1）；(4)在?ABC中，a,b,c分别2是角A、B、C所对的边，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?C＝____（答：

(1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____（答：?a2?b2?c2?60）；（5）在?ABC中，若其面积S?，则?C=____（答：30）；（6）在?ABC43239?中，A?60, b?1，这个三角形的面积为3，则?ABC外接圆的直径是_______（答：）；

31B?Ca?3,cosA?,则cos2b2?c2（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，3219的最大值为 （答：;）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是

32?? （答：0?C?）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若?C?75，且

6?AOB,?BOC,?COA的面积满足关系式S?AOB?S?BOC?3S?COA，求?A（答：45?）．

?nt?、tan?是方程x2?5x?6?0的两根，19.求角的方法（1）若?,??(0,?)，且a则求???的值______（答：_______（答：

3?）；（2）?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1，则?C＝4?）；（3）若0???????2?且sin??sin??sin??0，3cos??cos??cos??0，求???的值（答：

五、平面向量

1、向量有关概念：

2?）. 3?????（1）向量的概念：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得

到的向量是_____（答：（3,0））

????下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，

????????????BCDBCD终点相同。（3）若A，则A是平行四边形。（4）若A是平行四边形，则AB?DC。BD?C????????????（5）若a?b,b?c，则a?c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

????1?3?2、向量的表示方法：（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______（答：a?b）；

2?????2（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. ???????????????13；（3）e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）

24????????????????????????已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示

??????2?4?为_____（答：a?b）；（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，

33CD?rAB?sAC，则r?s的值是___（答：0）

4、实数与向量的积

5、平面向量的数量积：

（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________（答：－9）；

?????????1?1???（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为，则k等于____（答：1）；

224????????b??3，则a?b等于____（答：23）（3）已知a?2,b?5,a?；（4）已知a,b是两个非零向

?????????????????????????量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____（答：30?）

已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______（答：

??????????12） 5（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______

??????41（答：???或??0且??）；（2）已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若

33????????13，则OF,FQ夹角?的取值范围是_________（答：(,)）；（3）已知?S?4322??a?(cosx,sixnb),???????(cosy,ysian与b之间有关系式ka?b?3a?kb,其中k?0，①用k表

??k2?1??????(k?0)；②示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小（答：①a?b?4k最小值为

1?，??60） 26、向量的运算： （1）几何运算：

（1）化简：①___；②

?????????????????????????③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长

????????????AB?BC?CD?????????????AB?AD?DC?____；

??????????????????为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____（答：22）；（3）若O是?ABC所在

????????????????????OB?OC?OB?OC?2OA平面内一点，且满足，则?ABC的形状为____（答：直角三角

形）；（4）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足

?????????????????|AP|???，则?的值为___（答：2）；（5）若点O是△ABC的外心，PA?BP?CP?0，设???|PD|??????????????且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）；

????????????（2）坐标运算：（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：

??1??????；A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，则x?y? （答：或?）22226????????????????????（3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力F?F1?F2?F3的

终点坐标是 （答：（9,1））

1）；（2）已知2?????1???????????设A(2,3),B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，则C、D的坐标分别是__________（答：

311； (1,),(?7,9)）

3已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝量a、c的夹角；（2）若x∈[??，求向33??1,]，函数f(x)??a?b的最大值为，求?的值（答：8421(1)150?;(2)或?2?1）；

2???????已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____（答：13）；

?如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是

??????????????这样定义的：若OP?xe1?ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆

心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x?y?xy?1?0）；

7、向量的运算律：下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；

?????????????22????③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则

????????2?2???2???2?2?2a?bba?c；⑥a?a；⑦?2??；⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正确的

??2?2???2????a是______（答：①⑥⑨）

a???? (1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已

x2线的方程_______（答：；（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，?y2?1）

4离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为_______（答：x2?y2?6）

（3）抛物线：

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

x2y2椭圆：已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：

m?12?m3(??,?1)?(1,)）

24.圆锥曲线的几何性质：

25x2y210（1）椭圆（1）若椭圆，则m的值是__（答：3或）；（2）??1的离心率e?35m5以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

（2）双曲线（1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______（答：

11313或）；（2）双曲线ax2?by2?1的离心率为5，则a:b= （答：4或）；

423x2y2（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值

ab??范围是________（答：[,]）；

32（3）抛物线；设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________（答：(0,21； )）16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：

ab 6．直线与圆锥曲线的位置关系：

22

（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______

x2y215??1恒有公共点，则m的取值范围（答：(-,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆

5m3x2y2??1的右焦点直线交双曲线于是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

x2y2（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

ab①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲

线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；

（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（1）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______

2x2y2（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916?y2?445??2______（答：??,?；（3）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B?）

332????两点，若AB?4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：y2?4x，我

们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：（答：相离）；（5）过抛物线y2?4x的焦点Fy0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______

作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

211??_______（答：pqx2y2??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右1）；（6）设双曲线

169准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：

等于）；（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答：813）；（8）13直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）；

??x2y27、焦半径（1）已知椭圆??1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线

2516352）；（2）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于35，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点Mx2y2的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；（4）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到

259252右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；（5）抛物线y?2x上的两点A、

12x2y2B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆??143内有一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP?2MF 之值最小，则点M的坐

的距离为____（答：标为_______（答：(26； ,?1)）

32的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线38、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率e?交椭圆于A、B两点，则?ABF2的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线

x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线

x2y2??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆的方程为 （答：x?y?4）；（3）椭圆943535→→

,)）上的动点，当PF2 ·PF1 <0时，点P的横坐标的取值范围是 （答：(?；（4）55226，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支2交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________（答：82）；（5）

双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60?，

S?PF1F2x2y2； ?123．求该双曲线的标准方程（答：??1）

4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： 10、弦长公式：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线y2?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；

x2y2??1弦被点A（4，2）平分，那么这11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆

369条弦所在的直线方程是 （答：x?2y?8?0）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆x2y2??1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭a2b22x2y2圆的离心率为_______（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆??1上有不

432?213213?同的两点关于直线y?4x?m对称（答：??；

?13,13??）??特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对

称问题时，务必别忘了检验??0！

12．你了解下列结论吗？

x2y2与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,23)的双曲线方程为_______（答：

9164x2y2??1） 9413．动点轨迹方程：

已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：

y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3)）；

线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m?0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以

x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 ； y2?2x）

(1)由动点P向圆x?y?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点

0

（答：

22P的轨迹方程为

22

2（答：x?y?4）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它

222到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y?16x）；(3) 一动圆与两圆⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

2动点P是抛物线y?2x2?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，则M的

1轨迹方程为__________（答：y?6x2?）；

3（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点

???P，使|OP||?MN|，求点P的轨迹。（答：x2?y2?a|y|）；（2）若点P(x1,y1)在圆x2?y2?12上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____（答：y?2x?1(|x|?1)）；（3）过抛物2线x2?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：

x2?2y?2）；

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭

ab圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段

F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.（1）设x为点P的横坐标，证明

cx；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹Ca上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；

b2222?a时若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）x?y?a；（3）当cb2?a时存在，此时∠F1MF2＝2） 不存在；当c|F1P|?a?九、直线、平面、简单多面体 1、三个公理和三条推论：

（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，则 l ?α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l?α ，A∈l，则A?α ④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_______（答：24）

2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）（答：A）

（2）已

知正?ABC的边长为a，那么?ABC的平面直观图?A?B?C?的面积为_____（答：

62a） 163、空间直线的位置关系：（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_____（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线a,b，如果a平行于平面?，那么b不平行平面?；

③两异面直线a,b，如果a?平面?，那么b不垂直于平面?；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____（答：①③）

4、异面直线的判定：（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ?面α，ｂ?面β且a∩b＝Φ；③ａ?面α，ｂ?面β且α∩β＝Φ；④ａ?面α，b?面α ；⑤不存在平面α，能使ａ?面α且ｂ?面α成立。上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_____（答：MN

5、异面直线所成角?的求法：（1）正四棱锥P?ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____（答：

3）；（2）在正方体AC1中，3M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线a,b所成的角为

?3，且直线c?a，则异面直线b,c所成角的范围是____（答：[??,]）；

626、异面直线的距离的概念：（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，C1D1使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体

B1ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点A1所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）； EDC7直线与平面的位置关系：（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线a平行于平

F面?内的一条直线b , 则 a// ? Ｂ、若直线a垂直于平面?的斜线b在平面?内

AB的射影，则a⊥b Ｃ、若直线a垂直于平面?,直线b是平面?的斜线，则a与

b是异面直线 Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）。

10、直线与平面平行的判定和性质：

（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β，a⊥β B、α∩β＝b，且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且a?β（答：D）；（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。

11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）如果命题“若x?y,y∥z，则x?z”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ?α，ｃ?α B、a⊥b ，ｂ∥α C、α⊥β，ａ∥β D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。

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