创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题七鸭系列第1讲坐标

专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程训练 文

解答题

??x＝cos θ，

1.已知P为半圆C：?(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，

?y＝sin θ?

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为. (1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； (2)求直线AM的参数方程.

ππ?ππ?解 (1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为?，?.

33?33?3π??π

(2)点M的直角坐标为?，?，A(1，0).

6??6

︵

π

3

?π?x＝1＋?－1?t，???6?

故直线AM的参数方程为?(t为参数).

3πy＝??6t??x＝2cos φ，?x＝m＋tcos α，

2.已知直线l：?(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C：?

?y＝tsin α??y＝3sin φ

(φ为参数)的左焦点F. (1)求m的值；

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最小值.

?x＝2cos φ，x2y2

解 (1)因为椭圆C：?的普通方程为＋＝1，

43?y＝3sin φ

所以F(－1，0).

??x＝m＋tcos α，

因为直线l：?的普通方程为y＝tan α(x－m)，

?y＝tsin α?

因为α≠kπ，k∈Z， 所以tan α≠0.

因为0＝tan α(－1－m)， 所以m＝－1.

??x＝－1＋tcos α，x2y2

(2)将直线的参数方程?代入椭圆C的普通方程＋＝1中，并整理，

43?y＝tsin α?

得(3cosα＋4sinα)t－6tcos α－9＝0.

设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2.

1

222

99

则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝＝， 222

3cosα＋4sinα3＋sinα9

当sin α＝±1时，|FA|·|FB|取最小值. 43.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?x＝2cos α，?

??y＝2＋2sin α

(α为参数)，M是C1上的动

→→

点，P点满足OP＝2OM，点P的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程；

π

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交

3点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

2?xy?解 (1)设P(x，y)，则由条件知M?，?，由于M点在C1上，所以

?22?y??x＝4cos α，

? ?y＝4＋4sin α.?

??＝2cos α，

即?

??2＝2＋2sin α，

x从而C2的参数方程为?

??x＝4cos α，??y＝4＋4sin α

(α为参数).

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝πππ

与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin＝23，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝333π

8sin＝43.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.

3

??x＝tcos α，

4.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(t为参数，t≠0)，其

?y＝tsin α?

中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，

C3：ρ＝23cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x＋y－23

2

2

2

2

x＝0.

3

?x＝，

?2?x＋y－2y＝0，?x＝0，?联立?解得?或? ?y＝0?3?x＋y－23x＝0，

y＝.??2

2

2

2

2

2

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和?

?33?

，?. ?22?

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α). π????所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4?sin?α－??. 3????5π

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

6

2

?x＝3－t，?2

5.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数).在极坐标系(与

2

y＝5＋t??2直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x＋y－25y＝0， 即x＋(y－5)＝5.

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 2?2?2?2?2

?3－t?＋?t?＝5，即t－32t＋4＝0.

2???2?

2

2

2

2

?t1＋t2＝32，由于Δ＝(－32)－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以?

?t1·t2＝4.

2

又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.

法二 (1)同法一.

(2)因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.

?x2＋（y－5）2＝5，2由?得x－3x＋2＝0. ?y＝－x＋3＋5?x＝1，?x＝2，解得? 或?

?y＝2＋5?y＝1＋5.

不妨设A(1，2＋5)，

B(2，1＋5)，又点P的坐标为(3，5).

故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.

3

6.(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?x＝3cos α，

(α为参

?y＝sin α

数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程π??为ρsin?θ＋?＝22. 4??

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 解 (1)C1的普通方程为＋y＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

3(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α).

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，

x2

2

d(α)＝π??|3cos α＋sin α－4|??＝2?sin?α＋?－2?. 3????2

π

当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标

6

?31?为?，?. ?22?

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pfag.html