高三一轮复习三角函数专题,含答案,教师版

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用心 爱心 专心 - 1 - 三角函数典型习题

1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.

(Ⅰ)求B 的大小;

(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1

sin 2B =,

由ABC ?为锐角三角形得π

6B =.

(Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π

??+=+π-- ?6??

cos sin 6A A π??

=++ ???

1cos cos 2A A A =++

3A π??

=+ ???.

2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小;

(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值.

【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,

∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．

即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B

=sin(B +C )

∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ．

∵0

∴cos B =21

.

∵0

.

(II)m n ?=4k sin A +cos2A ．

=-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π

)

设sin A =t ,则t ∈]1,0(.

则m n ?=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.

∵k >1,∴t =1时,m n ?取最大值.

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用心 爱心 专心 - 2 - 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =2

3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin

=++C B A . I.试判断△ABC 的形状;

II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.

【解析】:I.)4

2sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2

242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等

号, 此时面积的最大值为()24632-.

4 ．在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4

3cos =A , (1)求B C cos ,cos 的值;

(2)若2

27=?,求边AC 的长? 【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-?=-==A A C 4

7sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由 ()16

9814387347cos cos sin sin cos cos =?-?=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,2

27cos ,227=∴=∴=

?ac B ac ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6

2516

9483616cos 2222=?-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5. 5 ．已知在ABC ?中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.

(Ⅰ)求)tan(B A +的值;

(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.

【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652

=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. ∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123

+==--?

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 3 - (Ⅱ)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .

由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,

∵C 为三角形的内角,

∴sin 2C =

∵tan 3A =,A 为三角形的内角,

∴sin A =,

由正弦定理得:sin sin AB BC

C A =

∴2

BC ==6 ．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为

a 、

b 、

c ,向

量(2s i n 3m B =,2cos 2,2cos 12B

n B ??=- ???,且//m n ?

(I)求锐角B 的大小;

(II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值?

【解析】:(1) //m n ? 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B

?2sinBcosB=-3cos2B ? tan2B=- 3

∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3

(2)由tan2B =- 3 ? B=π3或5π6

①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)

∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3

4ac ≤ 3

∴△ABC 的面积最大值为 3

②当B=5π

6时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立)

∴ac≤4(2-3)

∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3

∴△ABC 的面积最大值为2- 3

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 4 - 7 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21

222ac b c a =-+

(1)求B C

A 2cos 2sin 2++的值;

(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=14

2sin 2A C

++cos2B= 41

-

(2)由.415

sin ,41

cos ==B B 得 ∵b =2,

a 2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315

(a =c 时取等号)

故S △ABC 的最大值为315

8 ．已知)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )

2sin()

4sin(?-+的值? 【解析】a a

-12;

9 ．已知()()()

()

3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπα

αππαααπ??-?+?+ ???=??

??

-?+?- ? ?????

(I)化简()f α

(II)若α是第三象限角,且31

cos 25π

α??-= ???,求()f α的值?

【解析】

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- 5 -

10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;

(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?

【解析】

:(1)1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++

132cos 22223sin(2).62x x x π=

++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ=

= 由题意得222,,262k x k k Z π

π

π

ππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z π

π

ππ-≤≤+∈

()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ??-+∈???

? (2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移

12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32

个单位长度, 就得到3sin(2)62

y x π=++的图象? 11．已知???

? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间?

(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值?

【解析】:(1))3

4sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 6 - ∴当]223,22[34ππ

ππ

π

πk k x ++∈-时,)(x f 单调递减

解得:]8322

,8310

[k k x ++∈时,)(x f 单调递减?

(2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴???

???--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g

???

??+=???

???--=34cos 3342sin 3πππππx x

∵]34,0[∈x ∴??????∈+32,334πππ

πx ∴]21

,21[34cos -∈??? ??+ππx

∴0=x 时,23

)(max =x g

12．已知cos 2sin αα=-,求下列各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αα

αα-+;

(2)2sin 2sin cos ααα+

【解析】:1

cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-Q (1)121

2sin cos 2tan 1

421sin 3cos tan 35

3

2αααααα???-- ?--??===-++-+ (2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos ααα

ααααα++=+

2

22

2112tan 2tan 3

22tan 1511

2ααα??

??

-+?- ? ?+????

===-+??

-+ ???

13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()

f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;

(II)求使不等式3

()2f x ≥成立的x 的取值集合?

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用心 爱心 专心 - 7 - 【解析】

14．已知向量)1,32(cos --=αm ,)1,(sin α=,m 与为共线向量,且]0,2

[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求α

ααcos sin 2sin -的值.?【解析】:(Ⅰ) 与为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =?--?-

∴αα, 即3

2cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,9

72sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,

916)32(

2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[π

α-∈ ,0cos sin <-∴αα,3

4cos sin -=-αα 因此, 12

7cos sin 2sin =-ααα 15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶?测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,0

30,

于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=0.1km ?试探究图中B,D

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 8 - 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到

≈

≈2.449)

【解析】:在ACD ?中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,

所以CD=AC=0.1

又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,

故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线,所以BD=BA

在ABC ?中,ABC

AC BCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=20

62351sin 60sin +=??AC 因此,km 33.020623≈+=

BD 故 B ．D 的距离约为0.33km ?

16．已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,02A π

ω?>><<)的图象与x 轴的交点

中,相邻两个交点之间的距离为2

π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122

x ππ∈,求()f x 的值域. 【解析】： (1)由最低点为2(,2)3

M π-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2

π,即T π=,222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133

ππ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126

k π?π∴=- 又(0,),,()2sin(2)266

f x x πππ??∈∴==+故 (2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈　　　　 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266

x ππ+= 即2

x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2] 17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知

50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C

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- 9 - 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值?

【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M

.

DF ==

130DE ==

,

150EF ===

在DEF ?中,由余弦定理,

22222213015010298

16

cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???

18．已知51

cos sin =+θθ，),2(ππ

θ∈，

求（1）sin cos θθ-（2）33sin cos θθ-（3）44sin cos θθ+

【解析】：（1）33447

91

337

sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+=

19．已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象

如图所示，

（1）求函数的解析式；

（2）求这个函数的单调递增区间。

【解析】：（1）由图象可知： 3

22288T T ππ

ππω??

??

=--=?== ???????；()

2222A --==

∴()2sin 2y x ?=+ ，又∵28π

??- ???，为“五点画法”中的第二点 ∴32824πππ?????-+=?= ??? ∴所求函数解析式为：32sin 24y x π??

=+ ???

（2）∵当()32224

22x k k k Z ππ

πππ??

+∈-++∈ ???，时，()f x 单调递增

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用心 爱心 专心 - 10 - ∴()552224488x k k x k k k Z ππππππππ????∈-+-+?∈-+-+∈ ? ?????

，， 20．已知A B C ?的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量)2cos ),cos(1(B A B A m -+-=， )2cos ,85(B A n -=，且8

9=?. （Ⅰ）求B A tan tan ?的值； （Ⅱ）求222sin c

b a C ab -+的最大值. 【解析】（Ⅰ）由89=?，得8

92cos )]cos(1[852=-++-B A B A 即 8

92)cos(1)]cos(1[85=-+++-B A B A 也即 )cos(5)cos(4B A B A +=-

∴B A B A B A B A sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 4-=+

∴B A B A cos cos sin sin 9= ∴9

1tan tan =B A 21．已知函数)]42sin(21)[tan 1()(π

++-=x x x f ，求：

（1）函数)(x f 的定义域和值域； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间。

【解析】:??

? ??++??? ??

-=4sin 2cos 24cos 2sin 21cos sin 1)(ππx x x x x f ()

x x x x x 2cos 2cos sin 2cos sin 1+??? ??-=()()x x x x sin cos sin cos 2+-= )sin (cos 222x x -=x 2cos 2=

（Ⅰ）函数的定义域 ?

?????

∈+≠∈Z k k x R x x ,2,|ππ Z k k x ∈+≠,22ππ ,22cos 2-≠∴x

函数)(x f 的值域为(]2,2-

（Ⅱ）令)(,222Z k k x k ∈≤<-πππ得)(2Z k k x k ∈≤<-

πππ ∴函数)(x f 的单调递增区间是)(,2Z k k k ∈??

? ??

-πππ 22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距

离为0.8m ，60秒转动一圈．途中OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 11 - 转动θ角到OB ．设B 点与地面距离为h ．

（1）求h 与θ的函数解析式；

（2）设从OA 开始转动，经过80秒到达OB ，求h .

【解析】：（1）∵0.80.8 4.8sin 5.6 4.8sin(90)h OA BC OB αθ=++=++=+-?， ∴ 5.6 4.8cos (0)h θθ=-≥

（2）∵26030ππω==，t 30πθ=，∴388030ππθ=?=，838cos 8.46.5=-=∴πh (m) 23．设函数).2sin 3,(cos ),1,cos 2(,)(m x x x x f +==?=b a b a 其中向量

（1）求函数],0[)(π的最小正周期和在x f 上的单调递增区间；

（2）当m x f x 求实数恒成立时,4)(4,]6,0[<<-∈π

的取值范围。

【解析】：（1）1)62sin(22sin 3cos 2)(2+++=++=m x m x x x f π

，

分上单调递增区间为在分的最小正周期函数6].,3

2[],6,0[],0[4.22)( ππππππ==∴T x f （2）当3)(,6

,)(,]6,0[max +==∴∈m x f x x f x 时当递增时ππ

， 分

得解之分

由题设知分

时当12.16,10,

42,438,2)(,0min <<-???->+<++==m m m m x f x 24．

已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈????

，． （1）求)(x f 的最大值和最小值；

（2）2)(<-m x f 在ππ42

x ??∈????，上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】

（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ?

???=-+=+ ???????

∵ π12sin 23x ??=+- ??

?．

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用心 爱心 专心 - 12 - 又ππ42x ??∈????

，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ?

?+- ???

≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴． （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -

，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，

14m <<∴，即m 的取值范围是(1

4)，． 25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+

(I)求角A;

(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值?

【解析】:(I)由已知得2

3sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ?=?-+ 又在锐角△ABC 中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣1分]

(II)因为a=2,A=60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==

+=+ 而424222≤?≥+?≥+bc bc bc bc c b 又344

343sin 21=?≤==bc A bc S 所以△ABC 面积S 的最大值等于3

26．甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为152浬/小时,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A 岛正南40

浬处的B 岛出发,朝北偏东θ()2

1arctg =θ的方向作匀速直线航行,速度为10 5浬/小时.(如图所示)

(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬?

(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?

【解析】:以A 为原点,BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面

直角坐标系.

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 13 - 设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x 1, y 1) Q (x 2,y 2).

,5

5sin ,552cos ,212151545cos 21511

1===???====θθθ可得由分则arctg t x y t t x 分5402040cos 51010sin 51022 -=-===t t y t

t x θθ

(I)令3=t ,P 、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)

345850)2045()3045(||22==-+-=PQ .

即两船出发后3小时时,相距345锂

(II)由(I)的解法过程易知:

220800)4(5016004005010)154020()1510()()(||2222212212≥+-=+-=--+-=-+-=t t t t t t t y y x x PQ 分

∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20

2 即两船出发4小时时,相距20 2海里为两船最近距离.

27．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ．

(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；

(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n

｜的取值范围．

【解析】

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用心 爱心 专心

- 14 -

28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C ．小区的两个出入口设置在点A

及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用

了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长

（精确到1米）．

【解析】解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得

CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060

在CDO ?中，22022cos 60,CD OD CD OD OC +-???=

即()()22215003002500300,2

r r r +--??-?= 解得490044511

r =≈（米） 解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 15 - 2220

22

2,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???=在中 ∴ AC =700（米）

22211cos .214

AC AD CD CAD AC AD +-∠==?? 在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ?=∠=

中（米） ∴ 4900445cos 11

AH OA HAO ==≈∠（米） 29．已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,

终边经过点(P -.

(1)求tan α的值;

(2)定义行列式运算a b c d ad bc =-,求行列式sin tan 1cos ααα

的值; (3)若函数cos()sin ()sin()cos x f x x αααα+-=

+(x ∈R ),

求函数2(2)2()2y x f x π

=-+的最大值,并指出取到最大值时x 的值

【解析】:(1)∵ 角α

终边经过点(P -,

∴tan α= (2)1sin 2α=

,cos α=.

sin tan sin cos tan 1cos α

ααααα=-=+= . (3)()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++= (x ∈R ), ∴函数23cos(2)2cos 2y x x π

=-+

21cos2x x ++2sin(2)16

x π=++(x ∈R ), ∴max 3y =, 此时()6x k k π

π=+∈Z .

30．已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)当0,2x π??∈????

时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.

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用心 爱心 专心 - 16 - 【解析】:(Ⅰ)因为222()(sin cos )+cos2sin 2sin cos cos cos2 f x x x x x x x x x

=+=+++ 1sin2cos2 x x =++

( ))4x π

+

所以,22T π

π==,即函数()f x 的最小正周期为π

(Ⅱ)因为02x π≤≤,得52444x π

π

π

≤+≤,

所以有sin(2)124x π

≤+≤

1)4x π-≤+

即01)14x π

≤+≤

所以,函数()f x

的最大值为1

此时,因为52444x ππ

π

≤+≤,所以,242x ππ+=,即8x π

=