高等数学 课后习题答案 第十章

习题十

??1. 根据二重积分性质，比较

（2）D表示矩形区域

Dln(x?y)d???[ln(x?y)]d?的大小，其中：

与

D2（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；

{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.

解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有

图10-1

1?x?y?2

从而

0?lnx(?y?)

1故有

ln(x?y)?[lnx(?y2 )]D??所以

ln(x?y)?d???D[lxn?(y2?)]d

（2）区域D如图10-2所示.显然，当

(x,y)?D时，有x?y?3.

图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有

ln(x?y)?[lnx(?y2 )]D??所以

（1）（2）（3）

ln(x?y)?d???D[lxn?(y2?)]d

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：

I???D4?xyd?,D?{(x,y)|0?x?2,0?y?2};

;

I???sin2xsin2yd?,D?{(x,y)|0?x?π,0?y?π}DI???(x2?4y2?9)d?,D?{(x,y)|x2?y2?4}D.

解：（1）因为当

(x,y)?D时，有0?x?2, 0?y?2

因而

0?xy?4.

从而

2?D4?xy?22 2d????DD??故

即而

D4?xyd????22d?DD

2??d????4?xyd??22??d?

??Dd???D （σ为区域D的面积），由σ=4

得

8???4?xyd??82. (2) 因为

0?sin2x?1,0?sin2y?1，从而

0?sin2xsin2y?1

故 即

??D0d????sin2xsin2yd????1d?DDDD

0???sin2xsin2yd????d????π2

而?所以

0???sin2xsin2yd??π2D

220?x?y?4所以 (x,y)?D（3）因为当时，

9?x2?4y2?9?4(x2?y2)?9?25

??故

即 而

D9d????(x2?4y2?9)d????25d?DDD

9????(x2?4y2?9)d??25?

??π?22?4π

36π???(x2?4y2?9)d??100πD所以

3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

??（1）

（2）

D(a?x2?y2)d?,D?{(x,y)|x2?y2?a2};a2?x2?y2d?,D?{(x,y)|x2?y2?a2}.D

??D

解：（1）

??(a?x2?y2)d?,在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的

1322(a?x?y)d??πa??D3体积，所以

??（2）

Da2?x2?y2d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故

??Da2?x2?y2d??23πa.3

lim4. 设f(x，y)为连续函数，求

r?01πr2??Df(x,y)d?,D?{(x,y)|(x?x0)2?(y?y0)2?r2}?(?,?)?D,使得

.

解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，

??Df(x,y)d??f(?,?)???πr2?f(?,?)

又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，(?,?)?(x0,y0),

limr?01πr2??Df(x,y)d??lim于是：

5. 画出积分区域，把（1）

12?πrf(?,?)?limf(?,?)r?0πr2r?0?limf(?,?)?f(x0,y0)(?,?)?(x0,y0)

??Df(x,y)d?化为累次积分：

D?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0};

(2)

D?{(x,y)|y?x?2,x?y2}

(3)

2D?{(x,y)|y?,y?2x,x?2}x

y?1?x?1?y,0?y?1.

解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为

??所以

Df(x,y)d???dy?011?yy?1f(x,y)dx(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为

y2?x?y?2,?1?y?2.

图10-3 图10-4

2y?2所以

??Df(x,y)d???dy?2f(x,y)dx?1y

y?

（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线

22y?x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线x与

2?y?2x,1?x?2.x=2的交点为（2，1），区域D可表示为x

图10-5

所以

??Df(x,y)d???dx?2f(x,y)dy1x22x.

6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：

?（1）

1020dy?2f(x,y)dxy3?2yy2y2y?; (2)

e1dx?lnx0f(x,y)dyx2;

dy??(3)

f(x,y)dx; (4)

33?y?π0dx?sinx?sinf(x,y)dy;

?(5)

10dy?0f(x,y)dy??dy?10f(x,y)dx.

0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为D：

y2?x?2y.如图10-6所示.

图10-6

0?x?4,D亦可表示为：

22y4x?y?x.2

x所以

?0dy?2f(x,y)dx??dx?xf(x,y)dy.y02

(2) 相应二重积分的积分区域D：

1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.

图10-7

D亦可表示为：

0?y?1,ey?x?e,

1e0e所以

?dx?1elnx0f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx

(3) 相应二重积分的积分区域D为：

0?y?1,y?x?3?2y,如图10-8所示.

图10-8

D亦可看成D1与D2的和，其中

20?x?1,0?y?x, D1：

11?x?3,0?y?(3?x).2D2：

dy??所以

013?2yyf(x,y)dx??dx?01x20f(x,y)dy??dx?131(3?x)20f(x,y)dy.

0?x?π,?sin(4) 相应二重积分的积分区域D为：

x?y?sinx.2如图10-9所示.

图10-9

D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中 D1：D2：

?1?y?0,?2arcsiny?x?π; 0?y?1,arcsiny?x?π?arcsiny.

所以

?π0dx?sinxx2?sinf(x,y)dy??dy??10π?2arcsinyf(x,y)dx??dy?01π?arcsinyarcsinyf(x,y)dx

(5) 相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中 D1：

0?y?1,0?x?2y, D2：1?y?3,0?x?3?y.

如图10-10所示.

图10-10

0?x?2,D亦可表示为：

12yx?y?3?x;2

33?y所以

?dy?00f?x,y?dx??dy?10f(x,y)dx??dx?x023?xf(x,y)dy

27. 求下列立体体积：

（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax所围； （2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积

??V=

D(x2?y2)dxdy22{(x,y)|x?y?ax}

其中D：

由被积函数及积分区域的对称性知，V=2

??D1(x2?y2)dxdy，

其中D1为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得

V?2?d??π20acos?0rdr?2?3π2014r40acos?14π3d??a?2cos4?d??πa40232.

(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积

V???(x2?y2)dxdy,D

其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.

图10-11

2?1?x?1,x?y?1.

D可表示为：

所以

V???(x?y)dxdy??dx?2(x2?y2)dyD?1x2211

11?1188????x2y?y3?dx??(x2??x4?x6)dx?.?1?13?x233105 ?118. 计算下列二重积分：

（1）

??DDx2dxdy,D:1?x?2,y2xy1?y?x;x

(2)

??edxdy,D由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；

??（3）

Dx2?y2dxdy,D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;

.

??(4)

Dcos(x?y)dxdy,D?{(x,y)|0?x?π,x?y?π}x??解：（1）

D22xx22x2x23dxdy?dxdy??dx?x?x?dx?122????111yy1xyx

1?9?1??x4?x2??.2?14?42

(2) 积分区域D如图10-12所示.

图10-12

20?y?1,0?x?y.

D可表示为：

xedxdy?dyedx?ydyed()??D?0?0?0?0y 所示

1y21y2xyxyxy??ye012xyydy??y(ey?1)dy??yeydy??ydy0001110

1y111y11??yde??ydy?ye??edy?y2?.0000202

1y

(3) 积分区域D如图10-13所示.

图10-13 D可表示为：

0?x?1,?x?y?x.

1x??所以

1Dx2?y2dxdy??dx?0?x?x2?yy222x?ydy???arcsin?x?y2?dx0x2?2??x

1xππ1π??x2dx??x3?.022306

(4)??cos(x?y)dxdy??dx?cos(x?y)dy??[sin(x?y)]πxdxD0x0πππ1??[sin(π?x)?sin2x]dx??(?sinx?sin2x)dx00ππ1??1.??cosx?cos2x???2?029. 计算下列二次积分：

1yπ

(1)?dy?01214ysinxdx;xyyx1yyx2y(2)?dy?1edx??1dy?edx.2

sinxdx?x解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。

积分区域D：0≤y≤1, y≤x≤y，如图10-14所示。

图10-14

D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.

所以

?10dy?yy1xsinx1sinxsinxdx??dx?2dy??(x?x2)dx0x0xxx??(sinx?xsinx)dx??sinxdx??xsinxdx000111??sinxdx??xcosx?10??cosxdx?1?sin1.0011

(2)因为

?eyxdx求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中

D1:1111?y?,?x?y, D2:?y?1,y?x?y.4222

如图10-15所示：

图10-15

积分区域D亦可表示为：

1?x?1, x2?y?x.2

于是：

1214yyx1yyx1xyx1yxxx2?dy?1edx??1dy?edx??1dx?2edy??1xe22y2x211dx3eee1??1(ex?xex)dx?x2??xex?ex?1??8221222

10. 在极坐标系下计算二重积分： (1)

22sinx?ydxdy,D??(x,y)|π2?x2?y2?4π2?;??D

??(2)

(3)

De?(x2?y2)dxdy,22x?yD为圆=1所围成的区域；

??Darctanxdxdy,2222x?yx?yyD是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；

22x?yD是由曲线=x+y所包围的闭区域。

??(4)

D(x?y)dxdy,解：(1)积分区域D如图10-16所示：

图10-16

D亦可采用极坐标表示为： π≤r≤2π, 0≤θ≤2π 所以

2π2π??Dsinx2?y2dxdy??d??rsinrdr0ππ2??2π?rcosr?sinr?2π??6π.

(2)积分区域D可用极坐标表示为： 0≤r≤1, 0≤θ≤2π. 所以：

??De?(x2?y2)2π121?1?r22dxdy??d??re?rdr?2???ed(?r)????000?2?1?1?????e?r20?π?1??.?e?

(3)积分区域D如图10-17所示.

图10-17

D可用极坐标表示为：

π0≤θ≤4, 1≤r≤2.

所以：

π2x4arctandxdy?arctan(cot?)d?rdr??D??01y23π9ππ????4????d??.02?264?

(4)积分区域D如图10-18所示，

图10-18

D可用极坐标表示为：

?π3π???, 0?r?cos??sin?44

所以：

??D(x?y)dxdy??d????3π4π?43π4π?4cos??sin?0r2(cos??sin?)drcos??sin?r3(cos??sin?)30d?134π??π(cos??sin?)4d?3?4434π4?ππ??πsin????d??.??342?4?11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

2a2ax?x2

(1)?dx?010(x2?y2)dy; (2)?dx?02?12aax0x2?y2dy;a2?y2

(3)?dx?2(x?y)dy; (4)?dy?0x0x20?x2?y2?dx.

解：（1）积分区域D如图10-19所示.

图10-19

D亦可用极坐标表示为：

0???所以：

π, 0?r?2acos?2

2ax?x2?2a0dx?0(x?y)dy??d???4a422π202acos?0rdr??3π20r442acos?d?0?π2031π3cos4?d??4a4????πa4.4224

(2)积分区域D如图10-20所示.

图10-20

D可用极坐标表示为：

0???于是：

π, 0?r?asec?4

?a0dx?x0x?ydy??d??22π40asec?0rdr??2π40r33asec?0a3d??3?π40sec3?d?πa3a34??sec?tan??ln(sec??tan?)?0??.2?ln(2?1)???66

(3)积分区域D如图10-21所示.

图10-21

D也可用极坐标表示为：

0???于是：

π, 0?r?sec?tan?4.

?dx?01xx2(x?y)dy??d???sec?022?12π40sec?tan?0r?rdr??sec?tan?d?

?1π40π4?2?1(4)积分区域D如图10-22所示.

图10-22

D可用极坐标表示为：

0???于是:

π, 0?r?a2

a2?y2π20a?a0dy?0(x?y)dx??d??220πr4πrdr???a4.2408

3a*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分：

??(1)

1Dx2y2dxdy2,其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域；

22?x?y???(2)Ddxdy,D?{(x,y)x?y?1};令x=v,x+y=u;

?dx?(3)

02?x1?x(x2?y2)dy,x2y2?x2y2??2?dxdy,D:2?2?1;??D?2abb??a(4)

??(5)

(6)

D22x2?y2?4dxdy,D??(x,y)x?y?9?;

??D22x2?y2?2ydxdy,D??(x,y)x?y?4?.解：(1)积分区域D如图10-23所示：

图10-23

令xy=u,

y?vx,则

x?u,y?uv,(2?u?4,1?v?3)v

1?x2?v??y?v2v1?uvvuv1v?u?212uv?.2vu2uv

34?x?(x,y)?uJ???(u,v)?y?u于是：

3141281u32222xydxdy?u?dudv?dvudu???ln3.lnv??D????12v22v323212?u?41?v?3

(2)积分区域D如图10-24所示。

图10-24

令x+y=u,x-y=v,则

x?u?vu?v, y?22

且 -1≤u≤1, -1≤v≤1.

1?(x,y)2J???(u,v)12于是：

12??112?2

1u4?2u2v2?v4114224(x?y)dxdy?dudv?du(u?2uv?v)dv??D?????1?188?1?u?1222?1?v?111?11?21?21????u4v?u2v3?v5?du???u4?u2??du8?1?4?1?35??135?1?11421???u5?u3?u??.4?595??145（3）积分区域Dxy: 0≤x≤1, 1-x≤y≤2-x 令x=v, x+y=u, 则y=u-v 积分区域Dxy变为Duv: 0≤v≤1, 1≤u≤2.

11

J?且于是

?(x,y)01???1?(u,v)1?1

2?x?dx?011?x1??(x?y)dy??dv?(2v?2uv?u)du???2v2u?vu2?u3?dv0103?1?2212221237?37???2???2v2?3v??dv??v3?v2?v??.03?23?02??311

(4)令x=arcosθ, y=brsinθ则积分区域D变为 Drθ： 0≤θ≤2π, 0≤r≤1,

J??(x,y)acos???(r,?)bsin??arsin?brcos??abr

于是：

2π11?x2y2??1234?dxdy?rabrdrd??d?abrdr?2???πababr??2???D?????2?Dr?00?4?02?ab?

1(5) 令x=rcosθ，y=rsinθ. 即作极坐标变换， 则D变为：0≤r≤3, 0≤θ≤2π. 于是：

??Dx?y?4dxdy???Dr2?4rdrd???0d??0r2?4rdr2223?2π???(4r?r3)dr??(r3?4r)dr?2?0?3??214?2?14?41?2?2π?2r?r?r?2r???π.???4?0?4?2?2 ??2π3（6）积分区域D如图10-25所示：D可分为D1,D2∪D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标表示为。

图10-25

D1: 0≤θ≤π, 0≤r≤2sinθ, D2∪D3: 0≤θ≤π, 2sinθ≤r≤2, D4: π≤θ≤2π, 0≤r≤2 于是：

??Dx2?y2?2ydxdy???Dx2?y2?2ydxdy???D?Dx2?y2?2ydxdy???Dx2?y2?2ydxdy1234??d??0π2sin?02sin?(2rsin??r)rdr??d??02π22sin?2(r?2rsin?)rdr??d??(r2?2rsin?)rdrπ022π2??d??0ππ0(2rsin??r)dr??d??02sin?π23π2sin?(r?2rsin?)dr??d??(r3?2r2sin?)drπ022322π22π?r4?r423??2??d?????rsin??d?????r3sin??d?00π?43?2sin??43?0π?2π?4π16416????sin4?d????4?sin??sin4??d????4?sin??d?0π30333????π?2π?8π1616????sin4?d????4?sin??d????4?sin??d?0π3033?????23r4??3rsin??4???081?3162π1??????sin2??sin4???8π??sin?d?34?2308?023??π?8π?0?9π.3213. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积：

πb2by?x,y?xaa所围（a>0,b>0）; (1)曲线

2(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所围（x>0,y>0）.

b2by?x,y?x(a?0,b?0)aa解：（1）曲线所围的图形D如图10-26所示：

2

图10-26 D可以表示为：

a?a2y?x?y?2b?b??0?y?b

所求面积为：

aybayb2S???dxdy??dy?D0b1a??adx???y?2y2?dy?ab.0b6b??

b(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形D如图10-27所示：

图10-27 所求面积为

S???dxdyD

令xy=u,

y?vx,则

x?u,y?uv,(a2?u?2a2,1?v?2)v ?(x,y)1??(u,v)2v

J?于是

222a212a1a2S???dxdy???dudv??dv?2du??dv?ln2D1a12v2v2v2a2?u?2a21?v?2

14. 证明：

(1)

?bady?(y?x)nf(x)dx??ayba1f(x)(b?x)n?1dx;n?1

(2)

??Df(x?y)dxdy??f(u)du?11,D为|x|+|y|≤1;

(3)

??Df(ax?by?c)dxdy?2?1?11?u2f?ua2?b2?c?du,其中D为x2+y2≤1且

a2+b2≠0.

解：（1）题中所给累次积分的积分区域D为 a≤y≤b, a≤x≤y. 如图10-28所示：

图10-28

D也可表示为a≤x≤b，x≤y≤b， 于是：

?bady?(y?x)f(x)dx??dx?(y?x)f(x)dy??aaxynbbnba1f(x)(y?x)n?1dxn?1x

b??(2)令x+y=u,x-y=v，则

ba1f(x)(b?x)n?1dx.n?1x?u?vu?v,y?22,且-1≤u≤1,-1≤v≤1

?(x,y)1???(u,v)2,于是

??Df(x?y)dxdy?au?bva2?b211111f(u)dudv?duf(u)dv?f(u)du.???????1?12?12?1?u?1?1?v?1

x?(3)令

,y?bu?ava2?b2,则

f(ax?by?c)?f(ua2?b2?c)a?(x,y)J???(u,v)a2?b2ba2?b2当x2+y2≤1时，

?ba2b2a2?b2?2?2?122aa?ba?ba2?b2

?au?bv??bu?av?(a2?b2)u2?(a2?b2)v222???u?v?1.?2???22222a?b?a?b??a?b?

于是

22??f(ax?by?c)dxdy???D1?11f?ua2?b2?c?dudv1?u2u2?v2?1??du??1?u2f?ua2?b2?c?dv1?u21?u2??f?ua2?b2?c?v?1??2?解：如图10-29所示：

1?1du1?u2f?ua2?b2?c?du.

15. 求球面x2+y2+z2= y2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积。

图10-29

222z?a?x?y上半球面的方程为

，由

?z?x?z?y?, ??x?ya2?x2?y2a2?x2?y2得

a??z???z?1?????????x???y?a2?x2?y2由对称性知

2222 A?4??Da??z???z?1??????dxdy?4??dxdy222D??x???y?a?x?y1a?racos?022D?4a??rdrd??4a?d??(?1)a?r2222π20acos?1a?rπ20220rdracos??2a?d??π20π20d(a?r)?2a?1?222????2(a?r)??0d??4a?a(1?sin?)d??2a2(π?a).16. 求锥面z=

x2?y2被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积。

解：由z2=x2+y2,z2=2x两式消去z得

x2+y2=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为：x2+y2≤2x,而

?z??x2xx?y222; ?z??yyx?y22,x2y2??z???z?1???????1??2?2.22x?yx?y??x???y?故所求曲面的面积为.

A???Dπ2cos???z???z?1??????dxdy???2dxdy?2?2d??2rdrD00??x???y?22?2?π202cos?r20d??42?cos?d??22?(1?cos2?)d??2π.π202π20

17. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。

解：由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部分面积的16倍，如图10-30所示。

图10-30

这部分曲面的方程为z?R2?x22，于是所求面积为.

2A?16???16??DD2??x???z???z?21??????dxdy?16??1???0dxdy?22D?y?x?????R?x?RR2?x2RRdxdy?16?dx?dy222200R?xR?xR2?x2RR?R?y??16??220?R?x?0dx?16?Rdx?16R2.0

18. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。 (1)D由

y?2px,x?x0,y?0所围成；

x2y2?2?1,y?02ab(2)D是半椭圆形闭区域：;

(3)D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ(0

图10-31

闭区域D的面积A为

A???dxdy??dx?D0x02px0dy??x0022pxdx?2p?x33x020?22px033x0352px11x01x0322x???xdxdy??dx?xdy??2pxdx??2p?x23D000AAA522px0?03x05

2px11x01x03332x0y???ydxdy??dx?ydy??pxdx??2px?y0px0030ADA0A08842px0

3??3?x0,y0?8?. 所求重心为?5(2)因为闭区域D对称于y轴，所以x=0,又闭区域D的面积。所以：

A?1πab2.

y?11ydxdy?dx????D?aAAaab22a?xa0ydy?112yA??a20ab22a?xadx2b2?213?4b??2?ax?x??.πab2a?3??a3π?4b??0,?所求重心为?3π?.

(3)闭区域D如图10-32所示：

图10-32

由于闭区域D关于x轴对称，所以又

y?0,

A???dxdy?2?d??Dπ20bcos?acos?rdr??(b2?a2)cos2?d??π20π2(b?a2)4

故

bcos?12π2πb3?a3222x???xdxdy??d??rcos?dr??cos4?d?acos?ADA0A038π(b3?a3)a2?ab?b2???.22π(b?a)162(a?b)

?a2?ab?b2?,0??2(a?b)? 所求重心为?19. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在点（x,y）处的面密度ρ(x,y)=x2y，

求该薄片的重心。

解：闭区域D如图10-33所示：

图10-33 薄片的质量为

11?111?M????(x,y)dxdy??dx?2x2ydy??(x4?x6)dx??x5?x7??,D0x022?57?0351x1111?111?My???x?(x,y)dxdy??dx?2x3ydy??(x5?x7)dx??x6?x8??,D0x022?68?0481x11Mx???y?(x,y)dxdy??dx?2x2y2dy??D0x1x1581?11?1(x?x)dx??x6?x9??.033?69?541

x?从而

MyM?M3535, y?x?,48M54

?3535??,?所求重心为?4854?.

20. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的重心.

解：建立直角坐标系如图10-34所示。

图10-34

由已知ρ(x,y)=x2+y2, 且

M????(x,y)dxdy??dx?D0a23aa?x0(x?y)dy??22a013??2xy?y?dx?3?0?aa?x1111?a???[ax?x?(a?x)3]dx??x3?x4?(a?x)4??a4.03412?3?06

11??(x?y)dx??y?ay2?y3?(a?y)3?dy?a5.D000153??aa?xa?11?22My???x?(x,y)dxdy??dx?x(x?y)dy??x?ax2?x3?(a?x)3?dx?a5.D000153??Mx???y?(x,y)dxdy??ydy?aa?y22a从而

15a215x?y??a145a6

?22??a,a?5?. 即所求重心为?521. 设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：

x2y2?2?12b(1)D:a，求Iy;

y2?(2)D由抛物线

9x2与直线x=2所围成，求Ix和Iy；

(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求Ix和Iy. 解：（1）令x=arcosθ ,y=brsinθ,则在此变换下

x2y2?2?12bD：a变化为D?：r≤1,即 ?(x,y)?abr?(r,?)0≤r≤1, 0≤θ≤2π, 且,

所以

Iy???x2dxdy???a2r2cos2?abrdrd??a3b?cos2?d??r3drDD?002π1a3b2π13?(1?cos2?)d??πab.8?04(2) 闭区域D如图10-35所示

图10-35

Ix???ydxdy?2?dx?D0222D0223x2032227372ydy??x2dx?;302252x2Iy???xdxdy?2?xdx?2ab0625962dy?xdx?.?072b0

(3)

Ix???ydxdy??dx?ydy?a?D002a2ba2ab3ydy?,3

2Iy???xdxdy??D0a3bxdx?dy??bxdx?.003

222. 已知均匀矩形板（面密度为常量ρ）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

解：取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图10-36所示.

图10-36

b2b?2h2h?2h2h?2Ix???y?dxdy??dx?y?dy?b??y2dy?D221?bh3,12Iy???x?dxdy???xdx?dy???hx2dx?D2b2b?22h2h?2b2b?21?hb3.12

xy??1ab23. 求直线与坐标轴围成的三角区域（a>0,b>0）对x轴及坐标原点的转动惯量（面ρ为常数）.

解：所围三角区域D如图10-37所示：

图10-37

Ix???y?dxdy???ydy?D02b2aa?yb0dx??aa?yb0b0ab3?2a3???ay?y?dy??.12b??b3aa?ybI0???(x2?y2)?dxdy???dy?D0b?x?(x2?y2)dx?????y2x?0?3?0dy???b0?a3?y?3?ab22a3?2dy?(b?a).?ay?y??1???12b??3?b?

24. 求面密度为常量ρ的匀质半圆环形薄片：

R12?y2?x?R22?y2,z?0解：由对称性知Fy=0，而

对位于z轴上点M0(0,0,a)(a>0)处单位质量的质点的引力F.

Fx?G???x(x2?y2?a)R2R1322π2π?2Dd??G?d??r2π2π?2R2?rcos?(r2?a)R2R1322R1rdr?G??cos?d???2?G?R2aR1arctanaarctan(r2?a)322dr?2?G?r2?r2?a?322dr (令r?atant)Rarctan2a2tan2t2a?asectdt?2?G?R1(sect?cost)dt33arctanasecta?R22?a2?R2R2R1?2?G?ln??222222?R?a?RR?aR?a1121?????322

Fz??Ga???d?(x?y?a)1R212222322D??Ga??d??π2π?2R22rdrR1?r?a??πGa??r?a?2R111????πGa??2222?R?aR?a1?2???,0,??

故所求引力为：

??R22?a2?R2R2R1F??2G??ln??222222??R?a?RR?aR?a1121??11?? πGa??22R12?a2?R2?a25. 化三重积分

????????

I????f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域Ω分别是：

(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域； (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域； (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2 所围成的闭区域;

x2y2?2?1,z?02b(4)由曲面cz=xy(c>0)，a所围成的第I卦限内的闭区域。

解：(1)积分区域Ω如图10-38所示，

图10-38

?0?x?1??0?y?1?x?0?z?xyΩ可表示为：?

故

I??dx?011?x0dy?f(x,y,z)dz.0xy

(2)积分区域Ω如图10-39所示。

图10-39

??1?x?1???1?x2?y?1?x2?22x?y?z?1?Ω可表示为：

1

1?x21故

I??dx??1?1?xdy?22x?y2f(x,y,z)dz.

?z?x2?2y2??222z?2?x2?x?2y?2?x?(3)由消去z得

22x?y?1，所以Ω在xOy面的投影区域为x2+y2≤1，如图10-40所示。 即

图10-40 Ω可表示为： -1≤x≤1, 故

?1?x2?y?1?x21?x22?x2, x2+2y2≤z≤2-x2

I??dx??11?1?x2dy?2x?2y2f(x,y,z)dz.

(4)积分区域如图10-41所示。 Ω可表示为：

0?x?a, 0?y?b2xya?x2, 0?z?ac

图10-41 故

b22a?xa0xyc0I??dx?0ady?f(x,y,z)dz.

26. 在直角坐标系下计算三重积分： (1)

????xy2z3dxdydzdxdydz,其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域；

(2)

?????1?x?y?z?23，其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体；

????zdxdydz，Ω是两个球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz(R>0)的公共部分； (3)

xyzdxdydz????(4),其中Ω是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所围成；

(5)

????????eydxdydz,其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所围成；

(6)

ysinxπdxdydzy?x,y?0,x?z?x2所围成。 ,其中Ω是由

解：(1)积分区域Ω如图10-42所示。

图10-42 Ω可表示为：

?0?x?1??0?y?x?0?z?xy?

????xy2z3dxdydz??dx?dy?xy2z3dz??xdx?y2dy?z3dz0000004x1152?z???xdx?y??dy??xdx?y6dy00040?4?011121?xdx?.28?03641xxy1xxy1xxy

(2)积分区域Ω如图10-43所示，Ω可表示为：

?0?x?1??0?y?1?x?0?z?1?x?y?

图10-43 故

11?x1?x?ydxdydz1?dxdy????(1?x?y?z)3?0?0?0(1?x?y?z)3dz1????dx??2?00??2(1?x?y?z)?011?x?11????dx??dy2?00?2(1?x?y)8?11?x11?x1?x?ydy11???y?dx???0?2(1?x?y)8?0?1?131?15???x?dx?????ln2???02(1?x)88?2?8? ?(3)积分区域Ω如图10-44所示。

图10-44

32?22x?y?R??4??z?R?2由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为：?z?,且平面

R2把积分区域Ω

?R?0,??分为两部分，且积分区域Ω在z轴上的投影区间为[0,R],记过?2?上任意一点z的平行于xOy面的平面?R?,R???2?上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω的相交的平面区域为与Ω相交的平面区域为D1(z),过

D2(z)，则

R20R20R20R20????zdxdydz??dz??22D1(z)z2dxdy??Rdz??2RRD2(z)z2dxdydxdy??zdz??D1(z)dxdy??Rz2dz??2RD2(z)??πz2(2Rz?z2)dz??Rπz2(R2?z2)dz2??(2πRz3?πz4)dz??R(πR2z2?πz4)dz2R59?πR23π5??πR4π5???πR5z?z???z?z??5?0?3?25?R4802R2R

(4)积分区域Ω如图10-45所示。

图10-45

?0?x?a??0?y?x?0?z?yΩ可表示为：?

故

axyaxyax????xyzdxdydz??dx?dy?xyzdz??xdx?ydy?zdz??xdx?y?00000000zdy20

2y??xdx?0ax0a113116ydy??x5dx??a6.x08248048a(5)积分区域Ω如图10-46所示。

图10-46

Ω在y轴上的投影区间为[0,2]，故

????edxdydz??y20edy??20yD(y)dxdz??e?π(1?y)dy?π?(ey?y2ey)dy00222002y22y2y?π?eydx?π?y2eydy?πe2?π?π??2πye?ye??0?dy?3π(e2?1).(6) 积分区域Ω如图10-47所示。

图10-47

π?0?x??2??0?y?x??0?z?π?x2Ω可表示为：?

故

πππx?xxπysinxsinxsinx?ydydxdydz??2dx?ydy?2dz??2dx???x??00000xxx?2???????π20ππ?πx?sinxdx?π2sinxdx?12xsinxdx?π?1.???4?02?042 ?42?

27. 如果三重积分乘积，即

????f(x,y,z)dxdydz的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x), f2(y), f3(z)的乘积，即

bdmf(x,y,z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，积分区域为a≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，证明,这个三重积分等于三个单积分的

????证：

f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz??f1(x)dx?f2(y)dy?f3(z)dzacl

??????f(x)????bdacba1????f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz??dx?dy?f1(x)f2(y)f3(z)dzabdm?mf(x)f(y)f(z)dz?dydx?b23?a??l1?ml?cl??dc?f(x)f(y)mf(z)dz?dydx2?l3??1?bdmd???????f(x)dxdx?f3(z)dz?f2(y)dyf(z)dzf(y)dy32???a?l??c???c?1???bbdmmd??????f3(z)dz?f2(y)dy?f1(x)dx??f1(x)dx?f2(y)dy?f3(z)dz.acc?l??c?a

28. 利用柱面坐标计算下列三重积分：

???(1) ???(2)

?zdv22z?2?x?y,其中Ω是由曲面22z?x?y及所围成的闭区域；

?(x2?y2)dv22x?y?2z及平面z=2所围成的闭区域.

,其中Ω是由曲面

2222z?x?yx?y?1,因而区域Ω在xOy面上的投影区域为及消去得

22z?2?x?y解：(1) 由

x2?y2?1,如图10-48所示，在柱面坐标系下：Ω可表示为：

0?r?1, 0???2π, r2?z?2?r2 故

????zdv??d??rdr?200r2π12?r2zdz

?2π?1r(2?r2?r4)dr0211图10-48

711???π?r2?r4?r6??π.46?012 ?

(2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，Ω可表示为

r2 0???2π, 0?r?2, ?z?22

故

????(x2?y2)dv

图10-49

????r2rdrd?dz???d??rdr?r2dz0022π232

29. 利用球面坐标计算下列三重积分：

1112?2π?(2r3?r5)dr?2π[r4?r6]00221216?π.3

2???(1)

?(x2?y2?z2)dvzdv222x?y?z?1所围成的闭区域；

，其中Ω是由球面

???(2)

?2222222x?y?(z?a)?ax?y?z，其中Ω由不等式,所确定.

解：（1）

????(x2?y2?z2)dv????r4sin?drd?d??

??d??sin?d??r4dr0002ππ1

(2) 积分区域Ω如图10-50所示，在球面坐标系下，Ω可表示为

4π151?2π[?cos?]0[r]0?π.55

0???2π, 0??? 故

π, 0?r?2acos?4

????zdv????rcos?r2sin?drd?d??

??d??sin?cos?d??02ππ402acos?0r3dr=2π?sin?cos??8πa4π401(2acos?)4d?4?π40sin?cos5?d?π4

30. 选用适当的坐标计算下列三重积分：

?1??8πa??cos6???6?07?πa4.64图10-50

???(1)

?xydv22x?y?1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的第I卦限内的闭区域；

，其中Ω为柱面

222x?y?z?z所围成的闭区域;

,其中Ω是由球面

????(2)

x2?y2?z2dv2????(x(3)

?y2)dv2224z?25(x?y)及平面z=5所围成的闭区域；

,其中Ω是由曲面

????(x(4)

2?y2)dv2220?a?x?y?z?A,z?0所确定。

，其中Ω由不等式

解：（1）积分区闭Ω如图10-51所示.利用柱面坐标计算，Ω在柱面坐标系下表示为：

图10-51

0???π2,0≤r≤1，0≤z≤1,故

?112π11322xydv?d?rdrrsin?cos?dz?sin2?d2?r?????0?0?0?0dr4?0?11(?cos2?)?.1680π2

本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，Ω可表示为：

0?x?1, 0?y?1?x2, 0?z?1,

故

????xydv??xdx?011?x20ydy?dz??xdx?00111?x20ydy?1112x(1?x)dx?.?028

(2)积分区域Ω如图10-52所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下Ω可表示为：

?0?r?cos???0???2π??0???π??2

图10-52 故

????x?y?zdv????r?rsin?drd?d???d??d???022222ππ20cos?0π2r3sin?dr?2π?π201π1πsin?cos4?d????cos5??.425100

(3) 积分区域Ω如图10-53所示。利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，Ω可表示为：

?0???2π??0?r?2??5r?z?5??2

图10-53 故

????(x2?y2)dv????r2?rdrd?dz??d??r3dr?5dz?002r2π255?5415??2π?r?dr?2π?5?rr?r??8π.???0?2??42?0

232(4) 积分区域如图10-54所示。利用球面坐标计算，在球面坐标系下，Ω可表示为：

?0???2π??π?0???2???a?r?A

图10-54 故

????(x2?y2)dv????r2sin2??r2sin?drd?d????d??sin?d??r4dr0a2ππ203A?4π5(A?a5).15

31. 利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：

22z?x?y(1) z=6-x2-y2及

；

(2) x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2（含有z轴的部分）；

22z?x?y(3)

及z=x2+y2; 及x2+y2=4z.

(4) z=5?x2?y2解：（1）曲面围成的立体Ω如图10-55所示。 在柱面坐标系下，Ω可表示为：

?0???2π??0?r?2?r?z?6?r2?

图10-55

用柱面坐标可求得Ω的体积

v????dv????rdrd?dz??d??rdr???002232?26?r2rdz23211???2π?(6r?r?r)dr?2??3r2?r3?r4??π.0334?0?

（2）曲面围成的立体Ω如图10-56所示。 在球面坐标系下Ω可表示为：

?0???2π??π?0???4???0?r?2acos?

图10-56

利用球面坐标可求得Ω的体积：

v????dv????rsin?drd?d???d??sin?d????022?π402acos?0r2dr?2π?π208381??πa3.4acos3?sin?d??2π?a3??cos??33??4?0π4

（3）曲面围成的立体Ω如图10-57所示。 在柱面坐标系下，Ω可表示为：

?0???2π??0?r?1?r2?z?r?

图10-57

利用柱面坐标可求得Ω的体积：

v????dv??d??rdr?2dz?2π?(r2?r3)dr?00r02?1r1π1??1?2π?r3?r4??.4?06?31

(4) 曲面围成的立体Ω如图10-58所示。在柱面坐标系下，Ω可表示为：

??0???2???0?r?2?r2??z?5?r2?4

图10-58

利用柱面坐标可求得Ω的体积：

v????dv????rd?drdz??d??rdr?r2??0042?25?r2dz?2π?202π23?r2?22r?5?r??dr?2π?r5?rdr??rdr020?4?322222π2???(5?r)?r4?π?55?4?.80330*32. 选择坐标变换计算下列各题：

（1）

??????x2y2z2x2y2z21?2?2?2dv, ???(x,y,z)2?2?2?1?abcabc??

?x2y2z2???x2y2z2expdv, ??(x,y,z)?2?2?1?.??2?2??????22abcc??? ?ab（2）

?x?arsin?cos??0?r?1??y?brsin?sin???0???π?z?crcos??0???2π?解：（1）令则积分区域Ω变为Ω*：?且 ?(x,y,z)?bsin?sin??(r,?,?)ccos?asin?cos?arcos?cos?brcos?sin??crsin??arsin?sin?brsin?cos??abcr2sin?.0

故

????x2y2z21?2?2?2dv????*1?r2?abcr2sin?drd?d??abc

??d??sin?d??abcr21?r2dr0002ππ1

(2) 坐标变换同（1）。

?2π???cos??0?abc?ππabc2?π.164

?x2y2z2?2?2????exp?2bc?a?r2?dv?????*e?abcrsin?drd?d????d??sin?d??abcr2erdr0002ππ1?2π???cos??0?abc?(e?2)?4πabc(e?2).质量。

解：利用球面坐标计算： Ω：

π

33. 球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的

0?r?R, 0???2π, 0???π, ??kr,则

２πM?????dv＝?d??sin?d??kr?r2dr?000?R

34. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心（设密度ρ=1）; (1) z2=x2+y2,z=1;

222222z?A?x?y,z?a?x?z(A?a?0),z?0; (2)

k4?4?2π???cos??0???kπR.r???4?0πR(3)z= x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.

1π3解：（1）两曲面所围立体Ω为一高和底面半径均为1的圆锥体（如图10-59所示），其体积v=.在柱面

坐标系下，Ω可表示为：r≤z≤1,0≤r≤1,0≤θ≤2π.

图10-59

又由对称性可知，重心在z轴上，故

x?y?0,

1z?M1112π2π113????z?dv?v?0d??0rdr?rzdz?v?02(r?r)dr112π?r2r4?3??????.2v?24?04

3??0,0,???4?. 所以，所围立体的重心为

v?(2)所围立体Ω如图10-60所示。其体积

2π?A3?a3?.3.

图10-60

在球面坐标系下，Ω可表示为：

0???2π, 0???π, a?r?A2,

x?y?0,

又由对称性知，重点在z轴上，故

πA11１2π332z?z?dv?rsin?cos?drd?d?＝d?sin?cos?d?rdr???????????0０aMvvAπ442π13(A?a)1??42????cos2??0??r??.33v4?4?a8(A?a)

?3(A4?a4)?.?0,0,33?8(A?a)?故所围立体的重心为?

(3) 所围立体Ω如图10-61所示，在直角坐标系下，Ω可以表示为

图10-61

0≤x≤a, 0≤y≤a-x, 0≤z≤x2+y2. 先求Ω的体积V.

V????dxdydz??dx??0aa?x0dy?a0x2?y20dza?x??dx?0aa?x0(x?y)dy??2213??2xy?y?dx?3?0?a?1?＝??x2(a?x)?(a?x)3?dx03??111?a???x3?x4?(a?x)4??a4.412?3?06故

a?xx2?y211ax?x?dv??xdx?dy?dz00M????V01a?1???x?x2(a?x)?(a?x)3?dxV0?3?1a?44a3?322????x?2ax?ax?x?dxV0?33?6?4111?2?4???????a5?a.a?15236?5

a

由Ω关于平面y=x的对称性可知。

2y?x?a5.

又

a?xx2?y211az?z?dv??dx?dy?zdz????000MVa?x1a?dx?(x4?2x2y2?y4)dy?02V03a?4721??4??x(a?x)?x2(a?x)3?(a?x)5?dx?a2.a0?30 35??2272??a,a,a?530?. 故所围立体的重心为?535. 球体x2+y2+z2≤2Rz内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的重心。

π解：用球面坐标计算，在球面坐标系下球体可以表示为：0≤r≤2Rcosφ，0≤φ≤2,0≤θ≤2π，球体密度ρ=r2,

由对称性可知重心在

2ππ20z轴上，故

2Rcos?x?y?0，又球体的质量

M?????dv??d??sin?d???00r2?r2dr?2π???从而

π20325Rsin?cos5?d?5564πR532?1???cos6???πR5.?6?015π2

z?11?zdv?r3cos?dv??????M?M?π2Rcos?12π2?d??sin?cos?d??r5dr?00M02ππ64672?Rsin?cos?d??0M6?1646?1??πR??cos8??M3?8?0π2158πR65???R.32πR534

5??0,0,R??4?. 故球体的重心为?36. 一均匀物体（密度

?为常量）占有的闭区域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成。

（1）求

物体的体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于z轴的转动惯量。 解：（1）Ω如图10-62所示。由对称性可知。

图10-62

aax2?y2V?4?dx?dy?000dz?4?dx?(x2?y2)dy00aaa?81??4??ax2?a3?dx?a4.033??

(2)由对称性知

x?y?0，而

ax2?y214az??zdv??dx?dy?zdz????000MVa2a??dx?(x4?2x2y2?y4)dy0V02a?21????ax4?a3x2?a5?dxV0?35?2?121?7?????a6?a2.V?595?15

72???0,0,a?15?. 故物体重心为?(3)Iz??????x?y?dv?4??dx?dy??00022aax2?y2?x2?y2?dz?4??dx?(x4?2x2y2?y4)dy00a?21??4???ax4?a3x2?a5?dx035??281126?4??a6??a.4545aa

37. 求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转动惯量（设密度解：建立坐标系如图10-63所示，用柱面坐标计算。

?=1）.

图10-63

22?dv????r3drd?dz?x?y???aIz????2x0??d???014?rdr?dz?2π??r??h?0?4?03ha1πha4.2

222x?y?R,0?z?h对于位于点M0（0，0，a）(a>h)处的单位质量的质点的引力。

38. 求均匀柱体：

解：由柱体的对称性可知，沿x轴与y轴方向的分力互相抵消，故Fx=Fy=0,而

Fz??G????(a?z)222??x?y?(a?z)??32?dvdxdy??3?dz??G??(a?z)?2??2?0222x?y?R?x?y?(a?z)?2??????rdr?R?h2π3???G??(a?z)?0?dz??d?00222??r?(a?z)??????1h?1????2πG??(a?z)?dz22?0a?zR?(a?z)??h??2πG??h0a?z??1?dz?22?R?(a?z)??h22???2πG??z?R?(a?z)??0

39. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？ 解：如图10-64所示，因为闭区域D对称于y轴，所以重心

2222???2πG???h?R?(a?z)?R?a?.C(x,y)必位于y轴上，即x?0，要使重

心恰好落在圆心上，必须使

y?0,于是必须

??yd??0D,而

图10-64

??yd????yd????yd???DD1D20?hydy?dx??sin?d??r2dr?R00RπRy2?2R?2012?2?R3?R3?Rh2.33?h

623RR?Rh2?0h?33由得.

6R3.

即均匀矩形薄片另一边长度应是

40.求由抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数

?）c对于直线y=-1的转动惯量。

图10-65

1?1?I????(y?1)d????dx?2(y?1)dy????(y?1)3?dxD?1x?13??x2 解：

21121??

*41. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：

36823dx??.??8?(x?1)????131051(1)

dxdy;22m??(x?y)x2?y2?1

??(2)

dxdy(1?xp)(1?y),D为全平面；

qD(3)

22p(1?x?y)0?y?1???(x,y)dxdy （0?m??(x,y)?M）.

?π2π??r m1 时 dxdy?当 ?

?d?dr?m?1???2(x2?y2)m?0?1r2m 2?x?y?1?? m?1?当 时解：（1）

故当m>1时，原积分收敛，当m≤1时发散。

（2）由于被积函数是正的，并且关于x轴和y轴都对称，故

??dxdy(1?x)(1?y)pqD?4???0???dxdy(1?x)(1?y)pq0?4???0dx??dy1?xp?01?yq

由于

x???limxp1?1p1?x,故积分

???0dx1?xp当p>1时收敛，p<1时发散，p=1时显然也发散

???有限数p?1dx???dx??????????001?xpp?11?x??，因此???.

??

同理有：

?0?有限dy??1?yq???q?1q?1.

??由此可知

dxdy(1?xp)(1?y)仅当p>1且q>1时收敛，其他情形均发散。

qD(3)由0

由于被积函数是正的，故

0?y?1???(x,y)(1?x2?y2)pdxdy与积分

dxdy??(1?x2?y2)p0?y?1同时收敛同时

1??1??dxdydxdx?dy?2dy;22p22p22p??????0??00(1?x?y)(1?x?y)(1?x?y)0?y?1

由于，当0≤y≤1时，有

????0????dxdxdx??(2?x2)p?0(1?x2?y2)p?0(1?x2)p????dxdxdx??(2?x2)p?0(1?x2?y2)p?0(1?x2)p (若p≥0),

??0 (若p<0),

故

2???0??dxdxdydx??2???0(1?x2)p(2?x2)p0?(1?x2?y2)py?1 (若p≥0),

若p<0，则有相反的不等式。

由于

x???limx2p??1?1(1?x2)p,

p?

当

故积分

?0dx(1?x2)p111

p?p?

2时收敛，2时发散，而2时，由

?????dx1?x20?ln?x?1?x2????0知积分也发散。由此可知：积分

dxdy??(1?x2?y2)p0?y?1，从

而积分0?y?1???(x,y)(1?x?y)22pdxdy当

p?11p?2时收敛，当2时发散。

????*42. 计算积分解：由于

???dy?e?(x??2?y2)cos(x2?y2)dx.2

e?(x2?y2)?(xcos(x?y)?e22?y2)

而

????????????????e?(xe?(x22?y2)dxdydxdy收敛，

收敛，从而，采用极坐标有：

2π??2??故

2?y2)????????????e?(x?y2)cos(x2?y2)dxdy??d??re?rcosr2dr00?π?e?tcostdt0??π?sint?cost?t?e?π??.22?2?(?1)?1?t?0*43. 试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性：

t???

(1)

dxdy??2(x2?y2)m2x?y?1;

(2)x2?y2?1???(x,y)(x?xy?y)22pdxdy （0?m??(x,y)?M）.

1解：(1)

2π11dxdy?11?2m1?2m2?2m??d?rdr?2?rdr?2?r??(x2?y2)m?0?0?0???2?2m?0x2?y2?1

?????1?m???m?1m?1

故当m<1时，原积分收敛，当m≥1时，原积分发散。

121(x?y2)?(x?y)2?02（2）由于x2+xy+y2=2 (当(x,y)≠(0,0)时)

?(x,y)mM??(x2?xy?y2)p(x2?xy?y2)p(x2?xy?y2)p故

再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分

(当(x,y)≠(0,0)时)

x?y2???(x,y)22(x?xy?y)?1dxdyp与

2dxdy??2(x2?xy?y2)p2x?y同敛散。

1?022p(x?xy?y)由于(当(x,y)≠(0,0)时)，采用极坐标即得

2?1drdxdyd???p?02p?122p??0(x?xy?y)r221??x?y?1?1?sin2???2?

?而

2?d??1??1?sin2???2?p0为常义积分，其值为有限数，

而

?1,dr??0r2p?1??2(1?p)???,?1p?1;p?1.

由此可知：原积分x2?y2?1???(x,y)(x?xy?y)22pdxdy当p<1时收敛，当p≥1时发散。

44. 设A（0，0，a）为球体x2+y2+z2≤R2内一质量为1的质点（0

Fz??G???Rz?a222??x?y?(z?a)??32?dvdxdy??G?(z?a)dz??2?RRx?y2?R2?z2??G?(z?a)dz??d???R02???x?y?(z?a)??R2?z2rdr223222232??r?(z?a)??R1?1???2π?G?(z?a)?dz22??RR?2az?a??z?aRR(z?a)?2π?G?sgn(z?a)dz?2π?G?dz22?R?RR?2az?a44a???2π?G??a????π?Ga.33??

45. 计算下列对弧长的曲线积分： （1）

L0?L(x2?y2)dsn，其中L为圆周x=a cos t, y=a sin t (0≤t≤2π);

(x?y)ds?(2),其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；

(3)

?Lxdse,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界；

?(4)

x2?y2Lds，其中L为圆周x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；

（5）

??1dsx2?y2?z2，其中?为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧；

（6）?(1,3,2)； (7)??x2yzds，其中?为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),

?y2dsL，其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)；

?(x（8）

（9）

2?y2)ds，其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcot), (0≤t≤2π)；

??z2dsx2?y2，其中?为螺旋线，x=acost, y=asint, z=at (0≤t≤π).

2π解：（1）

2?0?L(x2?y2)ds??(a2cos2t?a2sin2t)n(?asint)2?(acost)2dt0n

??a2n?1dt?2πa2n?1.

1(2)L的方程为y=1-x（0≤x≤1）.

(3)L由曲线L1：y=x2(0≤x≤1),及L2：y=x(0≤x≤1)组成（如图10-66所示）。

?L2(x?y)ds??(x?1?x)1?y?xdx??0102dx?2.

图10-66 故

22?xds?xds?xds?x1?dx?x1?(x)dx???(x)???L?L1?L2?0?0121??x1?4x2dx??01102xdx13112??22????(1?4x2)2??x??0??83??2?01??55?62?1?.12

（4）如图10-67所示，L=L1+L2+L3

图10-67

其中L1：y=0(0≤x≤a)，从而

?L1ex2?y2ds??exdx?ea?10a

πL2:x=acost, y=asint,0≤t≤4

故

?L2ex2?y2ds??eπ40a(?asint)?(acost)dt??aeadt?22π40πaae.4

L3:y=x(0≤x≤

22a).

2a22a20?故 所以

L3ex?y22ds??0e2x?2dx?e2x?ea?1.

?Lex2?y2ds??eL1x2?y2ds??eL2x2?y2ds??eL3x2?y2ds?(ea?1)?(5)

πaaπ?ae?e?1?ea?2?a??2.?4?4?

ds?xt?2?yt?2?zt?2dt?(etcost?etsint)2?(etsint?etcost)2?e2tdt?3etdt.

211tds?3edt2222t22t22t?0x?y?zecost?esint?e????203?t3??edt???3e?t??(1?e?2).22?2?0

2(6)

?x?0?AB:?y?0 (0?t?2),?z?0?

?x?t?BC:?y?0 (0?t?1),?z?2? ?x?1?CD:?y?t (0?t?3).?z?2?

故

??x2yzds??x2yzds??x2yzds??x2yzdsAB2BCCD??0dt??0dt??2t1?02?02dt00013??2tdt?9.03 (7)

?Ly2ds??a2(1?cost)202π?a(1?cost)?2?(asint)2dt

2πt2a(1?cost)dt?8a3?sin5dt00222π2π?tt?34t32t??8a?sinsindt??16a??1?cos?d?cos??0022?2??2?2πt?2t4t????16a3??d1?2cos?coscos????0?22??2???2π352

t2t1???16a3?cos?cos3?cos52325?ds?22563t??a.152??022π

(8)

2?a(cost?tsint)?????a(sint?tcost)???dt

?(atcost)2?(atsint)2dt?atdt.

222222(x?y)ds????a(cost?tsint)?a(sint?tcost)??atdt?L02π??a3(1?t2)tdt?2π2a3(1?2π2).02π

(9)

??π0πz2a2t222222ds?asint?acost?adt222222?0x?yacost?asint

??232attdt?2at3?aπ.330

2π46.求半径为a,中心角为2φ的均匀圆弧（线密度解：建立坐标系如图10-68所示：

?=1）的重心。

图10-68 由对称性可知

y?0,又

x??Mx11??xds?acos??ad???L??M2?a2?a12?a?a2sin????asin??.

?asin??asin?,0?????.即在扇形对称轴上.且与圆心距离?故重心坐标为

处。

47.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost, y=asint, z=kt,其中0≤t≤2π，它的线密度

?(x,y,z?)2x?2y?2,求：

z（1）它关于z轴的转动惯量Iz；（2）它的重心。 解：(1)

ds?L?x?(t)?2??y?(t)?2??z?(t)?2dt?La2?k2dt

Iz??(x2?y2)?(x,y,z)ds??(x2?y2)(x2?y2?z2)ds2π0??a2(a2?k2t2)a2?k2dt?222πaa?k2(3a2?4π2k2).3

(2)

M???(x,y,z)ds??(x2?y2?z2)dsLL2π0

??(a2?k2t2)a2?k2dt?2πa2?k2(3a2?4π2k2).3

x?1M1?M1?M???Lx?(x,y,z)ds?1M?Lx(x2?y2?z2)ds2π02πacost(a2?k2t2)a2?k2dt(a3a2?k2cost?ak2a2?k2t2cost)dt0ak2a2?k2?M?2π0t2costdt6ak2??4π?2.2223a?4πk22222πa?k(3a?4πk)3ak2a2?k2

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