第四讲 小升初图形面积专题

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第四讲 平面几何部分

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2 a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD

A

S1B

S2CD

S△BCD；

反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

S△ABC:S△ADE (AB AC):(AD AE) 则

A

A

D

D

E

E

B

C

BC

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①S1:S2 S4:S3或者S1 S3 S2 S4②AO:OC S1 S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3 a2:b2

②S1:S3:S2:S4 a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为 a b ．

2

D

AS2

B

S1S3

C

S4

AS2

aS1S3

S4

D

B

b

C

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四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

A

E

A

FD

DB

①

FG

EC

BGC

ADAEDEAF

；

ABACBCAG

2

2

②S△ADE：S△ABC AF:AG． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S ABO:S ACO BD:DC．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO和 ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

A

E

F

BCD

六、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图：

（很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有4个直角三角形，而小的只有2个）

SABDC=

11

SAEFC=AC2 22

E

F

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典例精讲

例1 三角形ABC的面积为36平方厘米，D上分别为BC、AC边上的三等分点(如图)。则三角形ADE的面积为平方厘米?

C

例2 如图，△ABC中，CD=3AD，EC=3BE，那△ABO的面积占△ABC面积的________分之_________；

O D

C

E

例３、如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC 1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

A

E

B

DC

例４、如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米? ADAD

B

EC

B

xF

y

xyG

EC

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例５、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

1

面积的，且AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

3

D

A

CB

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC ？

B

例６、如图，长方形ABCD中，BE:EC 2:3，DF:FC 1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

A

DFC

A

DFC

B

【解析】 连接AE，FE．

E

B

E

311

532

因为BE:EC 2:3，DF:FC 1:2，所以S DEF ( )S长方形ABCD 因为S AED

1S． 10长方形ABCD

S AFD

1

S长方形ABCD，AG:GF 1:1 5:1，所以S AGD 5S GDF 10平方厘米，所以2210

12平方厘米．因为S AFD 1S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

6

例７、如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

B

A

1M份，则

【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC 1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道

S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG 12（:1 2）（:1 2）:22 1:2:2:4，设S△A

G

S△M

C

1D 2 份，所以正方形的面积为 1 2 2 4 3 12份，S阴影 2 2 4份，所以

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S阴影:S正方形 1:3，所以S阴影 1平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．

AD

B

E

C

2

S梯形 （1 2） 9(平方厘米)，

【解析】 连接DE，根据题意可知BE:AD 1:2，根据蝴蝶定理得

S△ECD 3(平方厘米)，那么S ABCD 12(平方厘米)．

例８如右图，三角形ABC中，AF:FB BD:DC CE:AE 3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

A

E F

I BCD

课后练习： 课后练习：

练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF，求△ABC的面积．

A

DB

E

C

S△BDE:S△ABC【解析】

(BD BE):(BA BC) (1 1):(2 3) 1:6，

S△CEF:S△ABC (CE CF):(CB CA) (1 3):(2 4) 3:8

S△ADF:S△ABC (AD AF):(AB AC) (2 1):(3 4) 1:6

设S△ABC 24份，则S△BDE 4份，S△ADF 4份，S△CEF 9份，S△DEF 24 4 4 9 7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC 24平方厘米

练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA AB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形

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ABCD的面积．

HDAE

【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF

H

D

C

F

AE

F

(CD CB):(CG CF) 1:2，即S△CGF 2S△CDB

同理S△ABD:S△AHE 1:2，即S△AHE 2S△ABD 所以S△AHE S△CGF 2(S△CBD S△ADB) 2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHG S△BEF 2S四边形ABCD

S四边形EFGH S△AHE S△CGF S△HDG S△BEF S四边形ABCD 5S四边形ABCD 所以S四边形ABCD 66 5 13.2平方米

练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是

平方厘米．

A

D

E

F

A

D

B

C

E

F

M

【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出 EBG和 CHF的面积．

B

C

1

由题意可得到：EG:GC EB:CD 1:2，所以可得：S EBG S BCE

3

将AB、DF延长交于M点，可得： BM:DC MF:FD BF:FC 1:1，

12

而EH:HC EM:CD (AB AB):CD 3:2，得CH CE，

25

1121

而CF BC，所以S CHF S BCE S BCE

2255111

S BCE AB BC 120 30

224

1177

S四边形BGHF． SSSS01 4

EBC EB E C3

51515

EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也能解出．

BC DC， BAE BCD 90 ，AC 10cm，练习4. 如图，已知AB AE 4cm，则S ABC S ACE S CDE

cm2．

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C

B

C

B

A

E

D

A'

A

E

D

C'

【解析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC'和A'DC，再连接

A'C'，显然AC AC'，AC A'C，AC A'C AC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系： S AEC S A'DC'；S AEC' S A'DC；S CED S C'DE．

11

所以S ABC S ACE S CDE S AEC' S ACE S CDE S ACA'C' 10 10 50cm2．

22

练习5. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的

面积是_____平方厘米．

D

D

E

E

【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD 1:2,设S△BHC 1份，根据燕尾定理S△CHD 2份，S△BHD 2份，

1277

（1 2 2) 2 10份，SBFHG ，所以SBFHG 120 10 14(平方厘米). 因此S正方形

2366

练习6. 如图， ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若 ABC的面积为1，那

么四边形CDMF的面积是_________．

BC

BC

A

D

N

C

B

E

A

D

N

B

E

M

【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，

那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．

根据燕尾定理，S ABM:S ACM BF:CF 2:1，而S ACM 2SA，所以S ABM 2S ACM 4S ADM，那 DM

4

么BM 4DM，即BM BD．

5

FF

C

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BMBF4214147

． S BCD ，S四边形CDMF

BDBC5321521530

1111

另解：得出S ABM 2S ACM 4S ADM后，可得S ADM S ABD ，

55210

117

则S四边形CDMF S ACF S ADM ．

31030那么S BMF

练习7. 如右图，三角形ABC中，AF:FB BD:DC CE:AE 4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形

GHI 的面积．

A

A

F

E

F

E

I

B

D

C

B

D

C

【解析】 连接BG，S△AGC 12份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC AF:FB 4:3 12:9，S△ABG:S△AGC BD:DC 4:3 16:12得S9(份)，S)，则SS12

△BGC △ABG 16(份△ABC 9 12 16 37(份)，因此△AGCS ,

△ABC37同理连接AI、CH得

S△ABH12S△BIC12S37 12 12 S , ,所以△GHI 1237 1

37

△ABC37S△ABC37S△ABC三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74

1

37

2

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