固体物理学课后题答案

第一章 晶体结构

1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：

结构 X

简单立方

?6?0.52

体心立方

3??0.68 82??0.74 62??0.74 63??0.34 6面心立方

六角密排

金刚石

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， x?（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r， V=

nV Vc43?r，Vc=a3，n=1 34343?r?r?∴x?33?33??0.52

6a8r（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a?4r?a?n=2, Vc=a3

43x 3442??r32??r3333????0.68 ∴x?8a3433(r)3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a?4r,?a?22r n=4，Vc=a3

444??r34??r3233x?????0.74 336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6?S?ABO?6?

1

a?asin60332a =22

晶胞的体积：V=S?C?3328a?a?32a3?242r3 23n=1212?11?2??3=6个 62444??r34??r3233x?????0.74 36a3(22r)（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a?4?2r?a?8r3 n=8, Vc=a3

448??r38??r33?33x????0.34 6a3833r331.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

a?a??12(j?k)?a?证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?k)

2?a?a??32(i?j)?由倒格子基矢的定义：b1?2?(a2?a3) ?0,??a1?(a2?a3)?a,2a,2a,20,a,2ai,2aa3a?，a2?a3?,242a0,2j,0,a,2kaa2?(?i?j?k) 2404a22??b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j?k)

a4a2?(i?j?k)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

2?b3?(i?j?k)ab2?所以，面心立方的倒格子是体心立方。

2

a?a??12(?i?j?k)?a?（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?j?k)

2?a?a??32(i?j?k)?由倒格子基矢的定义：b1?2?(a2?a3) ?aaa?,,i,j,k222aaaa3aaaa2??a1?(a2?a3)?,?,?，a2?a3?,?,?(j?k)

22222222aaaaaa,,?,,?2222222a22??b1?2??3?(j?k)?(j?k)

a2a2?(i?k)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

2?b3?(i?j)ab2?所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.5、证明倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

证明：因为CA?

a1a3aa?,CB?2?3，G?hb11?h2b2?h3b3 h1h3h2h3利用ai?bj?2??ij，容易证明

Gh1h2h3?CA?0Gh1h2h3?CB?0

所以，倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d?a(h?k?l)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。

3

22222

解：简单立方晶格：a1?a2?a3，a1?ai,a2?aj,a3?ak 由倒格子基矢的定义：b1?2?倒格子基矢：b1?a2?a3a3?a1a1?a2，b2?2?，b3?2?

a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a32?2?2?i,b2?j,b3?k aaa2?2?2?i?kj?lk 倒格子矢量：G?hb1?kb2?lb3，G?haaa晶面族(hkl)的面间距：d?2??G1

hkl()2?()2?()2aaaa2 d?222(h?k?l)2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解： (111) (111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：RB??aj?ak， (111)面与(100)面的交线的晶向AB??aj?ak，晶向指数[011]。

2、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：RB??ai?aj，(111)面与(110)面的交线的晶向AB??ai?aj，晶向指数[110]。

4

第二章 固体结合

2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（??2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

?r???j(?1)1111 ]?2[????...rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111

??2[1????...]2342xx3x4???... n(1?x)?x?x34111???...?234n当X=1时，有1?2 ???2n22.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 u(r)??试求：（1）平衡间距r0；

（2）结合能W（单个原子的）；

（3）体弹性模量；

?rm??rn

（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV，计算?及?的值。 解：（1）求平衡间距r0

由

du(r)?0，有：

drr?r01m?n?m??m?n?????0?r?0??m?1n?1r0r0.?n???n??????m??1n?m

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）

（2）求结合能w（单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin

即：W??U(r0)??（3）体弹性模量

?rm0??rn0 （可代入r0值，也可不代入）

r02由体弹性模量公式：k?9V0??2U????r2?? ??r0 5

（4）m = 2，n = 10，r0?3A， w = 4eV，求α、β

??10?? r0???2??? U(r0)??18?5??8??? ①

????1?r20?r.10??4?5r02???(r08?5??代入)

?W??U(r0)??4??4eV ② 5r02?19将r0?3A，1eV?1.602?10J代入①②

??7.209?10?38N?m2 ??1152??9.459?10N?m详解：（1）平衡间距r0的计算 晶体内能U(r)?N??(?m?n) 2rr1n?n?m?n?)m ?0，?m?1?n?1?0，r0?(m?r0r0dU平衡条件

drr?r0（2）单个原子的结合能

11n?n???W??u(r0)，u(r0)?(?m?n))m ，r0?(2m?rrr?r01mn?n??mW??(1?)()m

2nm??2U)?V0 （3）体弹性模量K?(2V0?V晶体的体积V?NAr，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)?3N??(?m?n) 2rr?U?U?rNm?n?1??(m?1?n?1) 2?V?r?V2rr3NAr?2UN?r?m?n?1?[(?)] 2m?1n?12?V2?V?rrr3NAr?2U?V2N1m2?n2?m?n??[?m?n?m?n] 29V02r0r0r0r0V?V0由平衡条件

?U?V?V?V0m?n?Nm?n?1，得?n (m?1?n?1)?0m2r0r02r0r03NAr06

?2U?V2?2U?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0?N1m?n?Nnm??[?m?n]??[??n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0V?V0U0??2U?V2N??(?m?n) 2r0r0?V?V0mnmn(?U) 体弹性模量 K?U0029V09V0（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV

1n?n?1mn?n??mmr0?()，W??(1?)()m

m?2nm???W10?r0，??r02[10?2W] 2r0??1.2?10-95eV?m10，??9.0?10?19eV?m2

2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为??50?10J,??2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．

＜解＞ 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

6???12???12?????6?U?2N???Pij????Pij???.

?R??R??j??i??6?j?P?6?14.45392;??Pij?12?12.13188,iji??50?10?16erg,??2.96A,N?6.022?1023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U?2?6。022?10/mol?50?1028?16126因此，计??2.96??2.96??erg???12.13?????14.45??????2.55KJ/mol.3.163.16????????算得到的H2晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大

差别的原因．

7

第三章 固格振动与晶体的热学性质

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

m?2n???(2?2n??2n?1??2n?1)M?2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)

N个原胞，有2N个独立的方程

设方程的解

?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到

2??(2??m?)A?(2?cosaq)B?0 ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0A、B有非零解，

2??m?2?2?cosaq2?2?cosaq2??M?2?0，则

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M)两种不同的格波的色散关系

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM2{1?[1?sinaq]}2mM(m?M)12

一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

???当M?m时

4?aqcosm24?aqsinm2，

???两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q?0，sin(qaqa)?， 22???(2?m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如

H2这样的双原子分子晶体。

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答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：

m?2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2n体系N个原胞，有2N个独立的方程

1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]21iaq2

方程的解：

?2n?Ae，令?12??1/m,2?2??2/m，将解代入上述方程得：

?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq22121??e221?iaq2)B?0??e1iaq222

2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(?????),(?e21211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0

1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e2222212222211iaq21iaq2??e??e222221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0 )?0

因为?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0

2c10c22,?2??10?0得到 mm22两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)

当q?0时，???(11?121)，

220???22?0???0

当q??a时，???(11?81)，

220???20?0???2?0

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（2）色散关系图：

3.6.求出一维单原子链的频率分布函数??w?。

3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A2212＜解＞???0时，???0?Aq?0f(?)?0,??0??0???Aq?q?A依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2?????0???12

Vds，并带入上边结果有

?q?(q)dsV1A1/2V11/2f???????24???0?????3/2??0??? 331/22?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为

1?，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V?和g????23?2代入积分有 22?vsE0?93V94??k?得E?NkB?D ，由于??N?mBD0mm23816?vs82一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 3.11、一维复式格子m?5?1.67?10

?24g,M?4,??1.5?101N/m(即，光1.51?104dyn/cm),求（1）m10

00A学波?max，声学波?max。 ,?min（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。

0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?10

?omax2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm???6.70?1013s?12424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm13?1???5.99?10s 24m5?1.67?10A?max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）?max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV

o?min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eVAn（3）max?1eA?max/kBT?1O?0.873,nmax?1eO?max/kBT?1?0.221

Onmin?1eO?min/kBT?1?0.276

（4）??2?c??28.1?m

11

第四章 能带理论

4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k?*k?的0级波函数。 2a?2?ximx)x1ikx1ikxi2a?mx1i21i2a?(m?1aa4＜解＞?(x)? e?ee?e?e?eLLLL?x1i2第一能带：m??0,m?0,?(x)?ea

2aL?*k2?3??ixixi2?2?1*第二能带：b?b?则b??b,m???,即m??1,（ea=e2a）??k(x)?e2a

aaL?2?5?ixixix2?2?11*第三能带：c??c,m??,即m?1,?k(x)?e2a?ea?e2a

aaLL4.3、电子在周期场中的势能．

122?m?2?b?(x?n)a, 当na?b?x?na? b ?? 2V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b

其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以

V(x)?11a1a?bV(x)?V(x)dx?V(x)dx ???Lb?bLaa题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是

1bm?2b22m?2V??V(x)dx?(b?x)dx???b?ba2a2a?2?bx?b?b1?x33b?b?12。 ?m?b?6?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

V(x)?V0?

m??????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx2b2b?02bb?02b12

m?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式ucosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx

?2u2musinmu?2cosmu??????m3sinmu得 m2?Eg1?16m?2?3b2第二个禁带宽度Eg2?2V2,以m?2代入上式,代入上式

b22m?2Eg2?b?0(b?x)cos?xbdx再次利用积分公式有Eg2?2m?2?2b2

4.4、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带Es(k)函数。 解：我们求解面心立方，同学们做体立方。

（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：

Es(k)??s?J0?Rs?近邻?J(Rs)e?ik?(Rs)

在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm?0，则这12个最近邻的坐标是： ①

aaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) 2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222②

③

由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为J1=J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称，即?s(?r)??s(r)

∴在近邻重叠积分?J(Rs)??i(??Rs)??U(?)?V(Rs)???i(?)d?中，波函数的贡献为正 ∴J1＞0。

于是，把近邻格矢RS代入Es(RS)表达式得到：

?*Es(k)??S?J0?J1Rs?近邻aaa(kx?ky)?i(kx?ky)?i(?kx?ky)?i(?kx?ky)??ia?e2?e2?e2=?S?J0?J1?e2

??e?ik?Rs

13

?ea?i(ky?kz)2?ea?i(ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2+ea?i(kx?kz)2?ea?i(kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?? ?=?S?J0?2J1??cos(kx?ky)?cos(kx?ky)???cos(ky?kz)?cos(ky?kz)?

????a2a2????a2a2??a?????cos(kz?kx)?cos(kz?kx)??

2????cos(???)?cos(???)?2cos?cos?

??aaaaaa?kxcosky?coskycoskz?coskzcoskx? 222222?=?s?J0?4J1?cos（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：

aaaaaa(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) (1,1,1),222222aaaEs(k)??s?J0?8J1(coskxcoskycoskz)

222a(1,1,1,),2a(1,1,1 ),2(1,1,1)4.7、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的

00费米能级EF及EF处的能态密度。

＜解＞（1）E(k)??s?J0?J1(eika?e?ika)??s?J0?2J1coska?E0?2J1coska

??ik?Rs?E(k)?E?J?J(p)e?0s?? ??(2) ,N(E)?2?Ldk2Na1N?2??? 2?dE?2J1asinka?J1sinka(3), N??0kF002NakFNa?002?(k)?2dk?2??2kF??kF?

2??2a00EF?E(kF)?E?2J1cos?2a0?a?Es,N(EF)?N?J1sin?2a??aN ?J1?2?x??2?y?cos???. aa????4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U?x,y???4Ucos?用基本方程，近似求出布里渊区角?

????,?处的能隙． ?aa?14

?,b??,? ＜解＞以ij表示位置矢量的单位矢量，以b12表示倒易矢量的单位矢量，则有，

??Gb??2?gb????yi?,G?G1br?xi 12211?g2b2,g1,g2为整数。a??晶体势能U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???. aa?????i2??x?i2??x??i2??y?i2??y?iG?11?U?r???U?e?ee?eUe????G?11?????G?11?其中UG?11???U，而其他势能傅氏系数UG?10??UG?20??...?0。这样基本方程

??k???C?K???UGG(K?G)?0变为

G??K???C?K??UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???0求布里

渊区角顶?111????,?，即k?G(,)?G?11?处的能隙，可利用双项平面波近似

222?aa?来处理。

??C(K)eiKr?C(K?G)ei(K?G)r22当K?1G?11?,K??1G?11?时依次有

K?G?11???11G?11?,K?G?11???G?11?而其他的22K?G?11?，

K?G?11??G?11??1??1?C?G?11??,C?K?G?11???C??G?11??;，所以在双项平面波近似下上式中只有?2??2?

?1??1?C?G?11??,CK?G?11??C??G?11??;?2??2??????1??1???1G?11????C?G?11???UC??G?11???0??2??2??2???1??1????1G?11????C??G?11???UC??G?11???0??2??2??2 ?12G?11??? ?u

?u

2?1?G?11?2?? =0，因为

222?12G?11???1?G?11?2??1????G11????2m?ma2?2?222由行列式有(???)?U?0解得?=??U??2ma2?U,所以在（,-）处的能隙为??=?+????2u.

aa

15

??

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)?是电子的质量。

试求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

71(?coska?cos2ka)， 其中a为晶格常数，m2ma882 解：（1） E(k)?71(?coska?cos2ka) 2ma8821?272

=?－coska+(2coska－1)] 288ma2 ＝

4ma2?(coska－2)2－1?

当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2…

22 Emax(k)?

ma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?Emin （2）??*22? 2ma

1dE(k)1?(sinka?sin2ka) dkma4?2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1

2??k2??? 当k?0时,带底，m*?2m 当k???2时,带顶，m*??m a3 16

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)?是电子的质量。

试求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

71(?coska?cos2ka)， 其中a为晶格常数，m2ma882 解：（1） E(k)?71(?coska?cos2ka) 2ma8821?272

=?－coska+(2coska－1)] 288ma2 ＝

4ma2?(coska－2)2－1?

当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2…

22 Emax(k)?

ma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?Emin （2）??*22? 2ma

1dE(k)1?(sinka?sin2ka) dkma4?2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1

2??k2??? 当k?0时,带底，m*?2m 当k???2时,带顶，m*??m a3 16

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