2009数学建模期末试卷A及答案

2009《数学建模》期末试卷A

考试形式：开卷 考试时间：120分钟

姓名： 学号： 成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。 2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k，销售速率为常数r，r?k。 在每个生产周期T内，开始一段时间（0边生产边销售，后一段时间（T0?t?T?t?T0）

）只销售不

生产，存贮量q(t)的变化如图所示。设每次生产开工

费为c1，每件产品单位时间的存贮费为c2，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论r??k和r?k的情况。

3．（10分）设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型

x?dx?r(1?)x?xm?dt?x(0)?x0?

中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思

想。

4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示）， 每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．

（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？

（2）求出该图的一棵最小生成树。 5．（15分）求解如下非线性规划:

Max z?x1?2x1?x2s.t. 0?x2?x1?2226．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x与合金的膨胀系数y之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：

表2 xi 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 yi xi yi 3.40 3.00 40.5 41.0 1.70 1.80 3.00 41.5 1.90 2.27 42.0 2.35 2.10 42.5 2.54 1.83 43.0 2.90 1.53 试建立合金的膨胀系数y与两种金属成分所占的百分比之和x的模型。 7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。

《数学建模》模拟试卷（三）参考解答

1.

数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模方法

一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。

测试分析是将研究对象看作一个\黑箱\意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。 数学建模的一般步骤

(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。

(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。

4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。

(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 (6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。 2.

单位时间总费用

T＝*c(T)?c1T?c2r(k?r)T2k2c1c2r，使c(T)达到最小的最优周期

2c1kc2r(k?r)T＝*。当r??k时，，相当于不考虑生产的情况；当r?k时，

T*??，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。

3.

t——时刻；

x(t)——t时刻的人口数量； r——人口的固有增长率；

xm——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；

x0——初始时刻的人口数量

人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。 且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率r(x)是人口数量x(t)的的减函数。

假设r(x)为x(t)的线性函数：

r(x)?r?sx(r?0,s?0)，

rxm其中，r称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是x?0）的增长率。 当

x?xm时人口不再增长，即增长率

r(xm)?0s?，代入有，从而有

?x??r(x)?r?1??xm???，

根据Malthus人口模型，有

x?dx?r(1?)x?dtx?m?x(0)?x0?

4. (1)v0到其它各点的最短路如下图：

各点的父点如下：

v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3

各点的最短路径及最短路长分别为：

v0: 0 v0→v1: 1 v0→v2: 2 v0→v2→v3: 3 v0→v2→v3→v4: 6

v0→v5: 4 v0→v5→v6: 6 v0→v2→→v3→v7: 9

(2)最小生成树如下图：

25．最优解1，最优目标值z?0

6．

画出散点图(图2?11), 从散点图上看出, 这13已知的数据点大致在一条抛物线的周围,假定回归函数为

y = ??0 + ? 1x + ??2x2 .

作变换x1 = x, x2 = x2, 用多元线性回归分析方法得到

y = (3.40, 3.00, … , 2.90)T,

(x,x)?(5,1)***?1??1X??????137.037.5?43.01369.00??1406.25?????1849.00?13?3,

T

???= (??0 , ??1 , ??2 ).

?13.0??520.0?20845.5T

X X =?520.020845.583746020845.5??30.32????8374601207.9?????33717085??, X T y =?48249.3?,

12.6958??271.6231???0.6362???13.3866?0.00795??，??= (X TX )?1X T y =?0.1660?????.

?20304.1???1016.5?T ?1 ?12.6958( X X )=

?1016.550.9166?0.6362又

Q = ( y ??X???)T ( y ??X???) = 0.2523,

n= 4.2212, U = Syy ??Q = 3.9689.

在显著性水平??= 0.01下, 用F检验法检验H0：??1 = ??2 = 0.

i?1y= 2.3323,

Syy??(yi?y)23.9689/2因为统计量F =0.2523/10= 78.6601＞F0.01 (2 ??1, 13 ??2 ??1 ) = 7.5594, 所以拒绝H0, 即Y与2个变量x1, x2之间存在特别显著的线性相关关系.

再用t检验法检验假设H1：?i = 0，i=1,2，可知变量x1， x2对y的影响显著. 故x与y之间的经验公式为 y = 271.6231????????x +0.1660x2 . 7．

先把苹果编号1～12,把1～4和5～8放在天平两边:

（1）两边持平：就在9～12中,再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；

（2）两边不平:假设1234重5678轻,则进行第二次称量125和349；若平了就在678

中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的, 再称1与2即可；若125轻349重,则坏的是5。

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