福建省师大附中2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷（有答案）（精选）

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷

高三文科数学

（满分：150分，时间：120分钟）

说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。

第Ⅰ卷 共60分

一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.设集合A?A．

?yy?2,x?R?,B??xxx2?1?0,则AB?（***）

???1,1?

B．

?0,1?

C．

??1,???

D．

?0,???

2.命题“?x0?(0,??)，lnx0?x0?1”的否定是（***）

A．?x0?(0,??)，lnx0?x0?1 C．?x?(0,??)，lnx?x?1 3.已知i是虚数单位，复数

B．?x0?(0,??)，lnx0?x0?1 D．?x?(0,??)，lnx?x?1

5i在复平面上所对应的点位于（***） 92+i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 y24.已知双曲线x?2?1的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为（***）

b2A．y??33x B．y??x C．y??3x D．y??5x 325.已知函数f(x)?sin?移

π?π?1??x???????，x?为f(x)图象的对称轴，将f(x)图象向左平

2?3?2???3个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为（***） A.g(x)??cosC.g(x)?sin?11x B.g(x)?cosx 222π?π??1?1x?g(x)?sinx? D.??? 2326????6.已知抛物线y2?4x的焦点为F，准线l与轴的交点为K，抛物线上一点P，若PF?5，则

?PFK的面积为（***）

A.4 B.5 C.8 D.10

(x2?1)cosπx7.函数f(x)=的部分图象大致为（***）

|x|yyy11y1O1111xOxOxO1x

A B C D

8.直线y?kx?1与圆?x?2???y?1??4相交于P、Q两点.若PQ?22，则k的取值范

22围是（***）

?3?A．??,0? B．??1,1? C.

?4??33??3,3?,??? D．??? 33??9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（***）

A．8?2? 3

B．24?? C

．

24?(25?1)?D．24?(5?1)?

10.若四边形ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?，E,F分别为BC,CD的中点，则AE?EF?（***）

1133A．? B． C．? D．

222211.在?ABC中，?BAC?90，BC?2AC?23，点D在边BC上，且sin?BAD?则CD?（***）

A．

27，73 4B．

3 3C．

23 3D．

43 3x2y212.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分別为F1,F2，过F2的直线与椭圆交于A,B两

ab点，若?F1AB是以A为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（***）

A．

2 B．2?3 C.5?2 D．6?3 2第Ⅱ卷 共90分

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 直线l1:ax?2y?6?0与直线l2:x?(a?1)y?a?1?0平行，则实数a的值为*** ． 14.已知向量a???1,3?，b??1,t?，若a?2b?a，则向量a与向量b的夹角为*** ．

2???2x,x?0,?15.设函数f(x)??1则函数F(x)?f(x)?x的零点的个数是*** ．

??,x?0,?x16.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，?ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为*** ． 三、解答题（要求写出过程，共70分） 17.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差d为1，且a1,a3,a4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列bn?2an?5?n，求数列{bn}的前n项和Sn.

18．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?sinxcos(x?（1）求函数f(x)的最大值；

（2）已知?ABC的面积为43，且角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)?求a的值.

19.（本小题满分12分）

?1)?cos2x. 621，b?c?10，23nn2?,n?N*. 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?22（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{1}的前n项和为Tn.

a2n?1a2n?120.（本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程是??2cos?，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半

?3x?t?m??2轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?（t为参数）.

1?y?t?2?（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A,B两点，且|PA|?|PB|?1，求实数m的值. 21．（本小题满分12分）

x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴长为2．

ab2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l:y?kx?m与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，若kOM?kON=点(m,k)在定圆上． 22.（本小题满分12分） 函数f?x???lnx?5，求证：412ax??a?1?x?2?a?R?. 2（Ⅰ）求f?x?的单调区间； （Ⅱ）若a?0，求证：f?x???3. 2a福建师大附中2018-2019学年下学期期中考试卷

高三文科数学参考答案

一、 选择题：

1~6 BCACBA 7~12 CBDACD 二、 填空题： 13. -1 14. 三、 解答题：

17.解析：（Ⅰ）在等差数列{an}中，因为a1,a3,a4成等比数列，

所以a32?a1a4，即(a1?2d)2?a12?3a1d， 解得a1d?4d2?0. 因为d?1， 所以a1??4，

所以数列{an}的通项公式an?n?5. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?n?5,

所以bn?2an?5? 15. 2 16. 183 4?n?2n?n.

?bn?2n)?(1?2?3??n)

Sn?b1?b2?b3??(2?22?23?2(1?2n)n(1?n)n(n?1)???2n?1??21?222………………12分 18. 解析：（Ⅰ）

311cosx?sinx)?cos2x?222∴函数f(x)的

3113111?1?sinxcosx?cos2x?(sin2x?cos2x)??sin(2x?)?222224264f(x)?sinx(最大值为

3. 4（Ⅱ）由题意f(A)?1?11?1sin(2A?)??，化简得sin(2A?)?. 264262

A?(0,?)，?2A?由

??13???5?，?A?. ?(,)，?2A??6663661bcsinA?43得bc?16，又b?c?10， 2?b?2,c?8或b?8,c?2.

在ABC中，根据余弦定理得

a2?b2?c2?2bccosA?52.

?a?213.

19.解析：（Ⅰ）当n?1时,a1?S1?1;

当n?2时,an?Sn?Sn?1?2?n 又a1?1适合上式

故数列?an?的通项公式为an=2-n. （Ⅱ）由（Ⅰ）知

11111??(?),

a2n?1a2n?1(3?2n)(1?2n)22n?32n?1从而数列???1?的前n项和为

?a2n?1a2n?1?+(11n……………12分 ?)]?2n?32n?11?2n11111Tn?[(?)+(?)+2-11132222220. 解析：（Ⅰ）由??2cos?，得：??2?cos?，∴x?y?2x，即(x?1)?y?1， 22∴曲线C的直角坐标方程为(x?1)?y?1. ……2分

?3x?t?m??2由?，得x?3y?m，即x?3y?m?0，

1?y?t?2?∴直线l的普通方程为x?3y?m?0.……5分

?3x?t?m??222（Ⅱ）将?代入(x?1)?y?1，得： ?y?1t?2??3??1?2??t??1， ?2t?m?1???2????2整理得：t?3(m?1)t?m?2m?0，

22由??0，即3(m?1)?4(m?2m)?0，解得：?1?m?3.

22设t1,t2是上述方程的两实根，则t1?t2??3(m?1),t1t2?m?2m， ……7分 又直线l过点P(m,0)，由上式及t的几何意义得

2|PA|?|PB|?|t1t2|?|m2?2m|?1，解得：m?1或m?1?2，都符合?1?m?3，因此实

数m的值为1或1?2或1?2. ??10分 21.解析：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知e?c3222?，2b?2，a?b?c． a2x2?b?1,a?2，∴椭圆C的标准方程为?y2?1．……………4分

4(Ⅱ)证明：设M(x1,y1),N(x2,y2)，

?y?kx?m?222联立?x2得(4k?1)x?8kmx?4m?4?0， 2??y?1?4依题意，??(8km)?4(4k?1)(4m?4)?0，化简得m?4k?1，①

222228km4m2?4，………………………6分 x1?x2?2,x1x2?24k?14k?1y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2，

若kOM?kON2y1y255?，即4y1y2?5x1x2， ?，则

x1x2442∴4kx1x2?4km(x1?x2)?4m?5x1x2，

4(m2?1)?8km∴(4k?5)+4km?()?4m2?0， 224k?14k?12即(4k2?5)(m2?1)?8k2m2?m2(4k2?1)?0， 化简得m2?k2?5，② …9分

4由①②得0?m2?6,1?k2?5．

5204∴点(m,k)在定圆x2?y2?5上．（没求k的范围不扣分）……12分

422. 解：

1ax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)（Ⅰ）f?(x)???ax?(a?1)?…1分 ?xxx??)上单调递减； 当a≤0时，f?(x)?0，则f(x)在(0，①

…………………3分

当a?0时，由f?(x)?0解得x?②

11，由f?(x)?0解得0?x?． aa11即f(x)在(0，)上单调递减；f(x)在(，??)上单调递增；

aa1??)；a?0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，综上，a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，af(x)的单调递增区间是(，??)． ………5分

11(Ⅱ) 由（Ⅰ）知f(x)在(0，)上单调递减；f(x)在(，??)上单调递增，

aa11则f(x)min?f()?lna??1．………………………6分

a2a要证f(x)≥?即证lna+

1a313，即证lna?， ?1≥?2a2a2a1?1≥0．……8分 a构造函数?(a)?lna?11a?11?1，则??(a)??2?2，

aaaa由??(a)?0解得a?1，由??(a)?0解得0?a?1，

1)上单调递减；?(a)在(1，??)上单调递增； 即?(a)在(0，1∴ ?(a)min??(1)?ln1??1?0，

1即lna?

13成立．…………12分 ?1≥0成立．从而f(x)≥?a2a

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