第2章工业机器人运动学2013

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第2章工业机器人运动学§ 2.1 工业机器人位姿描述1. 点的位置描述如图2-1所示,在直角坐标系

{A}中,空间任一点P的位置可用(3×1)的位置矢量AP表示为(2.1) 图2-1 点的位置描述

其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。

第2章工业机器人运动学2. 点的齐次坐标如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系

{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:

(2.2)

齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个非零因子ω 时, 即

第2章工业机器人运动学

(2.3)

其中:a=ωpx, b=ωpy, c=ωpz。该列阵也表示P点,齐次坐标的表示不是惟一的。

第2章工业机器人运动学3. 坐标轴方向的描述如图，用 i 、 j 、 k 来表示直角坐标系中 X 、 Y 、 Z 坐标轴

的单位向量, 用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向, 则有

规定:①列阵[a b c 0]T中第四个元素为零,

且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;

图2-2

坐标轴方向的描述

②列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。

第2章工业机器人运动学例如, 在图2-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为

其中: a=cosα , b=cosβ , c=cosγ 。当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为

第2章工业机器人运动学4.动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位

置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为 (4×4)的方阵。如上述直角坐标系可描述为:

(2.4)

第2章工业机器人运动学5. 刚体位姿的描述机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态, 则这个刚体在空间上是唯一确定的, 可用唯一一个位姿矩阵进行描述。如图2-3所示, 设O′X′Y′Z′为与刚体Q固连的一个坐标系, 称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为:

图 2-3 刚体的位置和姿态描述

第2章工业机器人运动学令n、o、a分别为X′、 Y′、 Z′坐标轴的单位方向矢量, 即

刚体的位姿表示为(4×4)矩阵:

第2章工业机器人运动学例1 如图表示连于刚体的坐标系{B}位于OB点，xb=10,yb=5,zb=0。ZB轴与画面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系 {A}有一个30°的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的 (4×4)矩阵表达式。解：XB的方向阵列：n=[cos30° cos60° cos90° 0]T=[0.866 0.500 0.000 0]T YB的方向阵列：o=[cos120° cos30° cos90° 0]T=[-0.500 0.866 0.000 0]T ZB的方向阵列：a=[0.000 0.000 1.000 0]T 坐标系{B}的位置列阵：p=[10.0 5.0 0.0 1]T 所以坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为： YB (xb,yb,zb) OB {B} XB 30°

YA {A} OA XA

第2章工业机器人运动学6. 手部位姿的描述机器人手部的位姿如图2-4所示, 可用固连于手部的坐标

系{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量惟一确定, 即: (1) 原点: 取手部中心点为原点OB; (2) 接近矢量: 关节轴方向的单位矢量 a; (3) 姿态矢量: 手指连线方向的单位矢量o ; (4) 法向矢量: n为法向单位矢量, 同时垂直于a、o矢量, 即n=o×a。

图 2-4 机器人手部的位置和姿态描述

第2章工业机器人运动学手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p ,手部的方向矢量为 n 、o 、a 。手部的位姿可由(4×4)矩阵表示:

(2.5)

第2章工业机器人运动学例2 图表示手部抓握物体Q,物体为边长2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。解：因为物体Q形心与手部坐标系O’X’Y’Z’ 的坐标原点O’相重合，所以手部位置的(4× 1) 列阵为P=[1 1 1 1]T

o nO’

手部坐标系X’轴的方向可用单位矢量n来表示：n: α =90°,β =180°,γ =90° nx=cosα=0; ny=cosα=-1; nz=cosα=0

Y’Q Y

a X’ Z’ X

同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位矢量o和α 来表示。手部位姿可用矩阵表达为：