西南交大考试高等数学IIB复习题

高等数学（二）复习题

一、填空：

（1）设向量a≠0,那么，向量b平行于a的充分条件是：存在唯一实数λ，使得（b=λa）。 （2）既有大小又有方向的量统称为（向量）。

（3）向量a与各个坐标轴的夹角分别为α、β、γ，称为（ 方向角 ），方向角满足

222

cosα+cosβ+cosγ=( 1 )

（4）设两个点A=(x1,y1,z1) 、B=(x2,y2,z2)，则向量 在三个坐标轴上的投影x2-x1，y2-y1，

z2-z1叫做向量 的（ 坐标），记其坐标表达式为：（ =（x2-x1，y2-y1，z2-z1） ）

（5）a·b0表示向量a在向量b上的（投影）

(6 )设向量a=i+3j-2k与b=2i+6j+ek垂直，则e=（ 10 ）

11?x,y)|x?y?0,x?y?0}x?yx?y的定义域为 {(（7）函数

yy?z?2z?arctan?2x ?x，则?x （8）已知函数 y

z?

（9）交换积分次序，?

（10）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

20dy?2yy2f(x,y)dx＝

?40dx?1f(x,y)dy2xx?(x?y)ds? 2 L（11）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为 y ? C 1e ? C 2 e

x?3x4x?y2z?22{(x,y)|y2?4x,0?x2?y2?1}ln(1?x?y)（12）函数的定义域为 ；

22xy（13）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz? e dx ? 2 e dy ；

（14）交换积分次序，

?e1dx?2lnx0f(x,y)dy＝ 0 e ；

?1dy?yf(x,y)dxe（15）已知L是抛物线y?x上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则

?

Lyds?1(55?1) 12 ；

xy?(C?Cx)e???y?2y?y?012（16）已知微分方程，则其通解为 .

1且（17）、 函数y?arcsin(x?3)的定义域为 X ? x ? 0 .

(n?2)21lim2a（18）、n??3n?3n?2= .

2y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy? . 2dx（19）、已知

?（20）、定积分

1?1(x2006sinx?x2)dx? 0 .

（21）、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数

57dy?2??2??0,（ 或 ?0,? ） ??dx?3??3?

1?1?x2x（22）、 函数的定义域为 2 ? x ? 4 .

??1?axedx,a?0?（23）、0= 3 .

y?dx（24）、已知y?sin(2x?1)，在x??0.5处的微分dy? . sinx2dx2?3（25）、定积分?11?x= .

1

1?21x643y?3x?4x?1的凸区间是 . 2?5y4（26）、函数

（27）两条直线的方向向量的夹角叫做 两直线夹角

（28）设x2+y2+z2-4z=0,则 =（ ）

（29）f(x,y)在点（x,y）可微分是f(x,y)在该点连续的（ 充分 ）条件，f(x,y)在点（x,y）连

续是f(x,y)在该点可微分的（ 必要 ）条件

（30）球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积为（ 2a2(π-2)） （31）锥面

被柱面z2=2x所割下部分曲面的面积为（

）

（32）经过点（0，-3，2）且与直线平行的直线为（ ）

（33）利用幂级数的展开式求ln3 =( 1.0986 ) (误差不超过0.0001)

(34)设z=（x-2y）y，则 =( y(x-2y)y-1 ),

(35 )设z=z(x,y)是由方程 =0所确定的函数，则x +y =( z )

(36)设f(x,y)=x+(y-1)arcsin ,则f(1,2)=( 1+0.25π ), fˊx(1,2)=( 1.5 ) (37)设

,则dz=( )

(38)设f(x,y)=e-xsin(x+2y),则fˊx(0 ,0.25π)=（ -1 ），fˊy(0 ,0.25π)=（ 0 ）

(39)取定了法向量亦选定了侧的曲面称为（ 有向曲面 ）

(40)对于空间区域G，如果G内的任一闭区面所围成的区域完全属于G，则称G是（空间二维单连通区域）如果G内的任一闭区线总可以张成一片完全属于G的曲面，则称G是（空间一维单连通区域）

二、选择填空：

(1)设a,b为两个非零向量，λ为非零常数，若a+λb与b垂直，则λ=（ B ）

A B C 1 D a·b

(2)设向量a=-i+j+2k, b=i+4k,则向量a在b上的投影为（ B ）

A B 1 C D -1

(3)a0为单位矢量，它同时垂直于向量b=3i+j+4k及c=i+k，则a0=( A )

(4)设a={1，1，1}，b={1，1，-2}，c={2，2，-4}，d={1，-1，0}则：（ B ）

A b 平行于c×d B a垂直于b,d,c C c垂直于b,d,a D b平行于a

(5)设3个矢量a,b,c满足关系式a·b=a·c,则：（ D ）

A 必有a=0或b=c B 必有a=b-c=0 C 当a=0时，必有b=c D 必有a垂直于（b-c） (6)设向量a=xi+3j+2k,b=-i+yj+4k,如果a平行b,那么（ D ）

A x=-1,y=-3 B x=-1,y= C x= -0.5,y= -6 D x= -0.5,y=6

?x?3y?2z?1?0?（7）设直线L为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（ C ）

A. L平行于? B. L在?上 C. L垂直于? D. L与?斜交 （8）已知?是由曲面4z?25(x在柱面坐标系下化成三次积分为（ C ） A.

22(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将???22?y2)dv??2?0d??rdr?dz002502r235 B.

?2?0d??rdr?dz002?2500435

?C.

2?0d??r3dr?5dz D.

?0d??r2dr?dz?x?y?3z?0?（9）设直线L为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则L与?的夹角为（ A ）；

???A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

?z?33z?f(x,y)z?3xyz?a（10）设是由方程确定，则?x（ B ）； yzyzxzxy2222A. xy?z B. z?xy C. xy?z D. z?xy

（11）微分方程y???5y??6y?xe的特解y的形式为y?（ B ）；

A.(ax?b)e B.(ax?b)xe C.(ax?b)?ce D.(ax?b)?cxe （12）已知?是由球面x?y?z?a三次积分为（ D ）； A

22222x2x2x2x2x??dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成

??2?0?0d??2sin?d??rdr0a2 B.

?2?0?0d??2d??rdr02?a

a0C.

?2?0d??d??rdr00?a D.

?0d??sin?d??r2dr0?

2n?1nxn（13）已知幂级数n?12，则其收敛半径为（ A ）.

??1A. 2 B. 1 C. 2 D.

2 x2?1y?2x?3x?2的( A )间断点 (14)、x?2是函数

（A）可去 （B）跳跃

（C）无穷 （D）振荡

1?x(15)、积分= ( D )

(A) ? (B)??

(C) 0 (D) 1

(16)、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是 ( A ) 。 （A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。

x?10x2dx?(17)、

1xsintdt的一阶导数为 ( A ) .

（A）sinx （B）?sinx （C）cosx （D）?cosx

??1,?1,k}与b?{2,?2,?1}相互垂直则k?( C ). (18)、向量a?{（A）3 （B）-1 （C）4 （D）2

x2?1y?x?1的 ( C )间断点 x?1(19)、是函数

（A）可去 （B）跳跃

（C）无穷 （D）振荡 (20)、若

(A)1 (B)a

(C)-1 (D) ?a

a?0,f(0)?0,f?(0)??1,limx?0f(ax)?x= ( D )

(21)、在[0,2?]内函数y?x?sinx是( B )。

（A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。

????}则a?b为( B ). (22)、已知向量a?{4,?3,4}与向量b?{2,2,1（A）6 （B）-6 （C）1 （D）-3

f(x0)为极值，y?ef(x)，则dy(23)已知函数f(x)可导，且 ( C ) . ?dxx?x0

（A）ef(x0) （B）

f?(x0) （C）0 （D）f(x0)

(24)已知函数f(x,y)在点（0，0）的某个邻域内连续且 （ A ）

（A）点（0，0）不是f(x,y)的极值点 （B）点（0，0）是f(x,y)的极大值点

（C）点（0，0）是f(x,y)的极小值点 （D）无法判断（0，0）是否为f（x,y）的极值点

（25）设函数f(x,y)在点（0，0）的某个邻域内有定义，且f x(0,0)=3 , f y(0,0)=-1,则有（ C ）

（A）

（B）曲面z=f(x,y)在点（0，0，f(0,0)）的一个法向量为（3，-1，1） （C）曲线

在点（0，0，f(0,0)）的一个切向量为（1，0，3）

（D）曲线在点（0，0，f(0,0)）的一个切向量为（3，0，1）

（26）两平面2x+3y+4z+4=0与2x-3y+4z-4=0 ( B )

(A) 相交且垂直 (B) 相交但是不重合 (C)平行 (D)重合

（27）平面π：4x-2z=5 与直线L:2x=5y=z-1的位置关系为（ A）

(A) 平行 (B) L在平面π上 (C) 垂直 (D) L与π只有一个交点但是不垂直

(28)设f(x,y)= ,则f(x+y,x-y) = ( B )

(A) (B) (C) (D)

(29)若函数f(x,y)在区域内有二阶偏导数，则下列结论正确的是（ D ）

(A) 必有 (B)f(x,y)在D内可导

(C) f(x,y)在D内连续 (D) 以上都不对

（30）已知f(x+y,x-y)=x2+y2，则 （ C ）

三、解答题

（1）已知三点M(1.1.1.) 、A（2.2.1）、B（2.1.2），求∠AMB

解：做向量 、 ，∠AMB就是向量 、 的夹角，这里 =（1.1.0）， =（1.0.1），从而

代入两个向量夹角余弦表达式得：

由此可得：∠AMB=60o

（2）已知a={1,2.,-1},b={2,-1,0},c=(1,2,-2)求向量2a+3b-c在x轴、y轴、z轴上的投影。 解：2a={2,4,-2} ,3b={6,-3,0}

2a+3b-c={2+6-1,4-3-2,-2+0-(-2)}={7,-1,0}

由此可知2a+3b-c在x轴、y轴、z轴上的投影为7，-1，0

（3）设a={2，1，-1}，b={-1,1,3}, 求aⅹb

解：

x?1y?2z?3x?2y?1z????LL10?1211的平面方程 12(4)求过直线:且平行于直线：

解： A(1,2,3)s1?{1,0,?1}s2?{2,1,1}

???in?s1?s2?1????jk???0?1?i?3j?k1

?21?平面方程为 x?3y?z?2?0

?z?z22(5)已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y

解： 令u?xy2v?x2y

?z?z?u?z?v?????f1??y2?f2??2xy ?x?u?x?v?x ?z?z?u?z?v?????f1??2xy?f2??x2?y?u?y?v?y

(6)D?{(x,y)x?y?4}，利用极坐标求

222x??dxdyD

解：D:0???2?0?r?2，

22?0?

??xdxdy???rDD23cos?drd???cos?d??r3dr022?4?

2x2f(x,y)?e(x?y?2y)的极值 (7)求函数

2x21??fx(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?0(,?1)?2x解： 得驻点2 f(x,y)?e(2y?2)?0?y?

A?fxx(x,y)?e2x(4x?4y2?8y?4),B?fxy(x,y)?e2x(4y?4),C?fyy(x,y)?2e2x

?A?2e?0,AC?B2?4e2?0

11, ? 1)??e?极小值为 f (

2 2

?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy?LL(8)、计算曲线积分， 其中为摆线?y?1?cost从点

O(0,0)到A(?,2)的一段弧

解：P?2xy?3sinx,曲线积分与路径无关 2? 积分路线选择：L1:

?P?Q?2x?,?Q?x2?ey，有?y?x

y?0,x从0??，L2:x??,y从0?2

L1L2?L(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy??Pdx?Qdy??Pdx?Qdy?200

??3sinxdx??(?2?ey)dy?2?2?e2?7?1f(x?1)dx?x?00?（9）设 求 ?1?xf(x)??

?1x?0 x?1??1?e

解：

2?t2?x?2?d2y?2（10）、已知?y?1?t，求dx

解：

x（11）、计算积分?

2cosxdx

解：原式 ?xarcsinx??x

11?x2dx2??xarcsinx??121?x2d(1?x2)2?

?（12）、计算积分

10arctanxdx

解：原式

（13）、计算积分

?202?x2dx

解：

dyy（14）设e?xy?1?0所确定的隐函数y?f(x)的导数dx解 ：

（15）、计算积分

x?0。

?arcsinxdx

解

?0?（16）、计算积分

sin3x?sin5xdx

解：

四、大题

1.（1）判别级数n?1?(?1)n?1?n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；

（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1?nx?n的和函数

n?1?un?131nn?1nn?1lim?lim???1??un?(?1)n?1n??3nn?1n??un3n?13n3解：（1）令收敛，

??(?1)n?1n?1?n3n?1绝对收敛。

?n?n?1n?1（2）令

s(x)??nx?x?nxn?1?xs1(x)?xn?1?

?

x0s1(x)dx???nxdx??xn?n?10n?1xx1?s1(x)?()??1?x1?x(1?x)2

?s(x)?x(1?x)2x?(?1,1)

2.（1）（6?）判别级数n?1

敛；

?(?1)?n?12nsin?3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收

xn?(?1,1)?4（2）（）在区间内求幂级数n?1n的和函数 .

?

n?1un?123lim?lim??1n???n??un?3un?(?1)n?12nsinn2nsinn33解：（1）令

2n?1sin?

??2sinnn?1??3n收敛，

??(?1)n?12nsinn?1??3n绝对收敛

xns(x)??n?1n（2）令

??

n????x1s?(x)??????xn?1?1?x， n?1?n?n?1?s(x)??s?(x)dx?s(0)??ln(1?x)0x

3、(12?)利用高斯公式计算

z?x2?y2(0?z?1)的下侧

解：构造曲面

?

??2xdydz?ydzdx?zdxdy?，?为抛物面

?1:z?1,上侧

?1??2xdydz?ydzdx?zdxdy???2xdydz?ydzdx?zdxdy????(2?1?1)dv?4???dv?4???2?011

0d??rdr?2dz?8?1(1?r2)rdr?2?0r? 4? 6?

?I?2????2xdydz?ydzdx?zdxdy?1

?2????dxdy??Dxy

42y?3x?4x?1的凹凸区间及拐点。 4.求函数

解：

x?xy?y?xe5求微分方程 满足 yx?1?1的特解

11xx?y?y?e?P?解： ,Q?exx

?通解为

y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdxdxdx?C]?e?x[?exe?xdx?C]?11

11?[?ex?xdx?C]?[(x?1)ex?C]x x

1xy?[(x?1)e?1]y?1x代入x?1，得C?1，?特解为

226、（1）求由y?x及y?x所围图形的面积；(6?)

（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6?)

解：（1） （2）、

3at?x???1?t2?3at2?7、已知， 求在t?2处的切线方程和法线方程。 y?2?1?t?

1.

8、（1）求由y?x及y?0,x?2所围图形的面积；(6?) （2）求所围图形绕 解：（1）、 （2）

3y轴旋转一周所得的体积。(6?)

解：（1） （2）、

3at?x???1?t2?3at2?7、已知， 求在t?2处的切线方程和法线方程。 y?2?1?t?

1.

8、（1）求由y?x及y?0,x?2所围图形的面积；(6?) （2）求所围图形绕 解：（1）、 （2）

3y轴旋转一周所得的体积。(6?)

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