高三总复习教师版2013高中数学技能特训：1-2 命题、量词、逻辑联结词

1-2 命题、量词、逻辑联结词

基础巩固强化

1.(2011·河南质量调研)下列四个命题中的真命题为( ) A．?x0∈Z,1<4x0<3 B．?x0∈Z,5x0＋1＝0 C．?x∈R，x2－1＝0 [答案] D

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[解析] ∵1<4x0<3，∴

4411

－?Z，故B错误；∵x2－1＝0，∴x＝±1，故C错误；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝(x＋)2

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＋>0，故选D. 4

2．(文)(2011·广东汕头一模)命题“?x>0，都有x2－x≤0”的否定是( ) A．?x>0，使得x2－x≤0 C．?x>0，都有x2－x>0 [答案] B

(理)(2011·湖南湘西州联考)命题“?x∈R,2x＋x2≤1”的否定是( ) A．?x∈R,2x＋x2>1，假命题 B．?x∈R,2x＋x2>1，真命题 C．?x∈R,2x＋x2>1，假命题 D．?x∈R,2x＋x2>1，真命题 [答案] A

[解析] 因为x＝0时，20＋02＝1，所以“?x∈R,2x＋x2>1”是假命题．

3．(2012·东北三校联考)已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是( )

A．p∧q为真 B．(綈p)∨q为真 C．p∧(綈q)为真 [答案] C

[分析] 先判断命题p、q的真假，再按照或、且、非的定义及真值表做出判断． [解析] ∵x∈R，∴2>0,2>0，∴2＋2≥22·2＝2，∴p为真命题；q为假命题(如

x－x D．?x∈R，x2＋x＋2>0

B．?x>0，使得x2－x>0 D．?x≤0，都有x2－x>0

D．(綈p)∧q为真

x－xx－xy＝为奇函数，但其图象不过原点)，∴p∧q为假，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，(綈p)x∧q为假，故选C.

4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 [答案] C

[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与

1

y不都是偶数”．

5．(2012·安阳模拟)已知命题p：?m∈R，m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )

A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 [答案] A

[解析] 由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由

q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.

6．(2011·广东省东莞市一模)已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x<3x；命题q：?x∈(0，π

)，cosx<1，则下列命题为真命题的是( ) 2

A．p∧q B．p∨(綈q) C．(綈p)∧q [答案] C

[解析] 在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x<3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C.

7．(2011·南京一调)设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“非p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是________．

[答案] (4，＋∞)

[解析] ∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又p或q为真命题，∴q为真命题． 若a>1，由loga2<1知a>2，又f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，且p为假命题，∴

D．p∧(綈q)

a>4，因此得，a>4；

若0

8．(2012·洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题： ①y＝1是幂函数；

②函数f(x)＝2x－log2x的零点有1个； ③x－1(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)； ④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件； ⑤函数y＝x3是在O(0,0)处的切线是x轴．

其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ④⑤

[解析] y＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，由两图象没有交点知函数f(x)＝2x－log2x没有零点，②错误；x＝1是不等式x－1(x－2)≥0的解，③错误；x<1?x<2，而x<2?/ x<1，④正确；y′＝(x3)′＝3x2，∴切线的斜率k＝0，过原点的切线方程为y＝0，⑤正确．

9．(2011·长沙调研)下列结论：

①若命题p：?x∈R，tanx＝1；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3； ③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)

[答案] ①③

[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确； ②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③.

10．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

[解析] ∵“p且q”是真命题， ∴p为真命题，q也为真命题．

若p为真命题，∵x∈[1,2]时，a≤x2恒成立， ∴a≤1.

若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0， ∴a≥1或a≤－2，

综上知所求实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.

能力拓展提升

11.(2012·合肥第一次质检)下列命题： ①?x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立； ②若log2x＋logx2≥2，则x>1；

③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；

④若命题p：?x∈R，x2＋1≥1，命题q：?x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题．其中真命题为( )

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ [答案] A

[解析] 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要log2x>0，∴x>1，故②正确；由a>b>0得11cc0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题qabccababab是真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故④错误．所以选A.

12．(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )

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A．若向量a、b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若a ab4

C．若b2＝ac，则a、b、c成等比数列 D．?x∈R，使得sinx＋cosx＝成立

3[答案] D

[解析] 对于A，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定是a＝0或b＝0； 对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；

对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件； 对于D，因为sinx＋cosx＝2sin(x＋命题正确．

13．(2012·南昌市一模)已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c?b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有________个．

[答案] 3

[解析] a、b、c换成平面α、β、γ，则“α∥β且α⊥γ?β⊥γ”是真命题；

π4

)∈[－2，2]，且∈[－2，2]，所以该43

a、b换成平面α、β，则“α∥β且c⊥α?c⊥β”是真命题； b、c换成平面β、γ，则“a∥β且a⊥γ?β⊥γ”是真命题； a、c换成平面α、γ，则“b∥α且α⊥γ?b⊥γ”是假命题．

14．(文)(2012·南通市调研)已知命题p1：函数y＝ln(x＋1＋x2)是奇函数，p2：函数1

y＝x为偶函数，则在下列四个命题：

2

①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中， 真命题的序号是________． [答案] ①④

[解析] ∵ln(－x＋1＋x2)＝ln12

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＝－ln(x＋1＋x)，∴p1是真命题，又函数

1＋x2＋xy＝x的定义域为{x|x≥0}，∴p2为假命题，∴綈p1假，綈p2真，∴p1∨p2真，p1∧p2假，(綈p1)∨p2假，p1∧(綈p2)真．

(理)方程

x24－t＋y2t－1

＝1表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆；

②若14； 5

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1

其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④

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[解析] 显然当t＝时，曲线方程为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当1

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时，方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线，而当1t－1>0，方程

2表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.

15．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点． (1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么→OA·→OB＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

[解析] (1)证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，6)、B(3，－6)． ∴→OA·→OB＝3.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0. ?y＝2x，由?

?y＝kx－32

，

得ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.

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又∵x1＝y21，x2＝y2，

22∴→OA·→OB＝x1x2＋y1y2 1

＝(y1y2)2＋y1y2＝3. 4

综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么→OA·→OB＝3”是真命题．

(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果→OA·→OB＝3，那么直线过点

T(3,0)．

该命题是假命题．

?1?

例如：取抛物线上的点A(2,2)，B?，1?，此时→OA·→OB＝3，

2??2

直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．

3

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