2018年高考数学一轮总复习专题41三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式练习理

专题4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式

真题回放

1. 【2017课标II，理14】函数f?x??sin2x?是 。 【答案】1 【解析】

3cosx?34（x??0,????2??）的最大值

【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。

【考点解读】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。

2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终 边关于y轴对称.若sin??【答案】?【解析】

7913，cos(???)=___________.

- 1 -

【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.

【考点解读】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，?与?关于y轴对称，则??????2k? ，若?与?关于x 轴对称，则????0?2k? ，若?与?关于原点对称，则??????2k? k?Z. 3.【2017江苏，5】 若tan(?【答案】

75?π4)?16, 则tan?? .

tan(??]??4【解析】tan??tan[(???4)??4)?tan?41?6?116?751?tan(???4)tan?4．故答案为

75．

1?【考点】两角和正切公式

【考点解读】三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 4.【2016高考新课标2理数】若cos(?4??)?35，则sin2??（ ）

（A）

725 （B） （C）?5115 （D）?725

【答案】D

- 2 -

5.【2015高考新课标1，理2】sin20ocos10o?cos160osin10o =( ) （A）?32 （B）

32 （C）?12 （D）

12

【答案】D

【解析】原式=sin20ocos10o?cos20osin10o =sin30o=

12，故选D.

?36.【2015高考上海，文17】已知点 A的坐标为(43,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）. A.

332 B.

523

C.

112 D.

132

【答案】D

考点分析

1.了解任意角的概念；

2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 知识链接

- 3 -

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

??按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.

(2)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式

角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式

3.任意角的三角函数

三角函数 正弦 余弦 正切 |α|＝(弧长用l表示) π?180?①1°＝ rad；②1 rad＝??° 180?π?弧长l＝|α|r lrS＝lr＝|α|r2 1212设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α ＋ － － ＋ y叫做α的正x切，记作tan α ＋ － ＋ － Ⅰ 各象Ⅱ 限符Ⅲ 号 Ⅳ ＋ ＋ － － 三角函 数线 - 4 -

有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 融会贯通

题型一 象限角与终边相同的角

典例1. 终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。

?52π4??【答案】－π，－π，，π?

333??3

典例2. 若角?是第二象限角，试确定2?，

?2的终边所在位置．

?2【答案】角2?的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上,象限.

的终边在第一象限或第三

（2）k???4??2?k???2 ,k?Z，当k?2n ,n?Z时，

- 5 -

∴ 2n??∴

?2?4??2?2n???2 ,n?Z，

的终边在第一象限．

当k?2n?1 ,n?Z时， ∴2n??∴

?25?4??2?2n??3?2 ,n?Z，

的终边在第三象限．

?2综上所述，的终边在第一象限或第三象限．

【变式训练】

1.若sin??0且sin2??0，则角θ的终边所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 答案：A

??sinθ>0

解析： 由?

??sin2θ>0

D．第四象限

??sinθ>0，

，得?

??cosθ>0

，

故θ终边在第一象限．

2.终边在直线y＝3x上的角的集合为________． π

【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z}

3

π

【解析】终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．

3【解题技巧与方法总结】 1．终边在某直线上角的求法步骤

(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。 (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。 (4)求并集化简集合。

α*

2．确定kα，(k∈N)的终边位置的方法

kα

先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能

kα

取值讨论确定kα或的终边所在位置。

k题型二 三角函数的定义

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典例1. 若角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝【答案】－

6 4

2

m，则cosθ的值为________. 4

典例2. 已知角α的终边与单位圆的交点P?x，

A.3 【答案】B

3122

【解析】由|OP|＝x＋＝1，得x＝±，tan α＝±3.

42【变式训练】

1. 已知角α的终边上有一点P(t，t＋1)(t>0)，则tan α的最小值为( )

1

A．1 B．2 C.

2【答案】B

D.2

2

??3?

?，则tan α＝( ) 2?

D．±

3 3

B．±3 C.

3

3

t2＋11

【解析】根据已知条件得tan α＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tan α取得最小值

tt2π??2π

2.已知角α的终边上一点P的坐标为?sin，cos?，则角α的最小正值为( )

33??

A.5π

6

2π5π

B. C. 33

D.11π

6

【答案】D

【解题技巧与方法总结】

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值。先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解。

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(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。

(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。

题型三 利用诱导公式化简求值

35sin???2???2?cos?cos???2????2典例1.若sin(???)?，?是第三象限的角，则

sin （ ）

A．

12 B．?12 C．2 D．?2

【答案】B.

典例2. 已知sin(???)?lg13，求cos(3???)cos(??)[cos(???)?1]?cos(??2?)cos?sin(32

10???)?cos?【答案】18

【解析】由题有?sin???lg310???cos?cos?[?cos??1]13，?sin??13，

原式?1?cos?cos?(?cos?)?cos?

?1?cos??11?cos??21?cos?2?2sin?2?18

【变式训练】 1.若

sin(???)?cos(??2?)sin??cos(???)?12，则tan??（ ）

A． 1 B．?1 C．3 D．?3 【答案】D

【解析】利用三角函数的诱导公式可知

sin(???)?cos(??2?)sin??cos(???)?sin??cos?sin??cos??12，显然

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cos??0，所以有

tan??1tan??1?12，可求得tan???3，故正确选项为D.

2.化简

sin(k???)cos?(k?1)????sin?(k?1)????cos(k???),k?Z

【答案】当k?2n,n?Z时，原式??1 当k?2n?1,n?Z时，原式?1

【知识链接】 六组诱导公式

角 函数 正弦 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α －sin_α cos_α[π－α ππ－α ＋α 22sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α －sin_α 余弦 cos_α －cos_α 来源:] －tan_α －cos_α sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α 对于角“

kπ

2

±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶

不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 【方法技巧】

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其

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步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化． 题型四 扇形的弧长及面积公式

典例1. 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。 【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，

2r＋rθ＝10??则?12

θ·r＝4??2

??r＝1

????θ＝8

r＝4??

(舍)?1

θ＝，?2?

1

故扇形圆心角为。

2

典例2. 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【解析】设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40。

S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，

当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2。 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大。

典例3．已知一扇形所在圆的半径为10cm,扇形的周长是45cm,那么这个扇形的圆心角为__________ rad． 【答案】2.5

1212

【变式训练】

1. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 ( )

2

A. 2 B. sin2 C.

sin1【答案】C

12

【解析】 ∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝，故选C.

sin1sin1

2. (1)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，试求这两个角的大小(用弧度表示).

(2)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；

(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【解析】(1)设所求两角分别为α，β(α＞β). 因为1°＝

π

rad，所以由题意可得180

D. 2sin1

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