高考数学模拟试题

高三模拟试题

数 学(文科）

满分：150分 考试时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题 满分50分

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i -

2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ）

A ．{3,2,0}--

B ．{0,1,2}

C ． {2,0,1,2}-

D ．{3,2,0,1,2}--

3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ）

A ．2

B ．12

C ．12

- D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）

A ．4π

B ．32

π C .3π D .2π 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2π- B . (,0)6π- C . (,0)6π D . (,0)3π

6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）

A ．10-

B ．3-

C ． 4

D ．5 7. 已知圆22:20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l ，若

与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（ ）

A. 10x y -+=

B. 10x y --=

C. 10x y +-=

D. 10x y ++=

8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a Λ，

则65a a ?的最大值是( )

正视图 侧视图

俯视图 1

k k =+结束 开始

1,1k s ==5?k < 2s s k =-

输出s

否 是

A ．94

B ．6

C ．9

D ．36

9．已知变量,x y 满足约束条件102210x y x y x y +-≥??-≤??-+≥?

，设22z x y =+，则z 的最小值是（ ） A. 12

B. 2

C. 1

D. 13 10. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0≥x 时，?????+∞∈--∈+=)

,1[|,3|1)1,0[),1(log )(21x x x x x f ，则函数

)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ）

A ．12-a

B ．12--a

C ．a --21

D ．a

21- 第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11. 命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是_______________________．

12

．函数()f x =的定义域是 ． 13．抛物线22y x =-的焦点坐标是__________．

14.

若23mx m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围为__________．

15.某学生对函数()cos f x x x =的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数()f x 在[,0]π-上单调递增，在[0,]π上单调递减； ②点(,0)2π

是函数()y f x =图象的一个对称中心；

③函数()y f x =图象关于直线x π=对称；

④存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立；

⑤设函数()y f x =在(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,x x L 则212x x π

π<-<．

其中正确的结论是__________．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）

16．(本小题满分12分)

在ABC ?中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足：A c A b sin 2sin 2= （1）求C ；

（2）当]0,3[π-

∈x 时，求函数()()x B x A y -++=sin sin 3的值域．

17. (本小题满分13分)

某中学举行了一次“交通安全知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

（1）写出,,,a b x y 的值；

（2）若现在需要采用分层抽样的方式从5个小组中抽取25人去参加市里的抽测考试，

则第1,2,3组应分别抽取多少人？

（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加交通安全知识的志愿宣传活动.求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率.

18. （本小题满分12分） 已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为正实数，12

x =是()f x 的一个极值点 （1）求a 的值；

（2）当12b >

时，求函数()f x 在[,)b +∞上的最小值.

组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60） 8 0.16

第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组 [90，100] 2 b 合计 ▓ ▓ 50 60 70 80 90 100 成绩（分） 0.040 x y 0.008

频率

组距

D 1B

19. (本小题满分13分)

如图，矩形11A B BA 和矩形11A ADD 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面分别相交于直线AB 、CD ，其中AB ∥CD ，1112

AB BC BB CD ====，60ABC ∠=o （1） 证明：平面1BB C 与平面1DD C 的交线平行于平面11A B BA ；

（2） 证明：AD ⊥平面1AA C ；

（3） 求几何体111A B D ABCD -的体积.

20. （本小题满分12分） 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ????????

的前n 项和n T .

21.（本小题满分13分）

已知椭圆22

221(0)x y a b a

b

+=>>(0,1) （1）求此椭圆的方程；

（2）已知定点)0,1(-E ，直线2y kx =+与此椭圆交于C 、D 两点．是否存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.

高考模拟数学（文科）试卷参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. B

2. C

3. B

4. B

5. C

6. A

7. D

8. C

9. A 10. D

解析：

1． 经计算得321i i i

+=-+，故虚部为1-，选B. 2．{|2}R C B x x =≥-，因此(){2,0,1,2}R A C B ?=-，选C.

3. 2(3,2),3(5,13)x x -=-+=+a b a b ，由向量共线的条件得3(13)5(2)x x +=-，解得12

x =，选B. 4. 根据三视图可知这是一个圆柱体，易知选B.

5. 由已知得()sin 2()6g x x π=-，易知(,0)6π为其一个对称中心，选C.

6. 经过计算易知选A.

7. 由已知得直线2l 的斜率为1-，且直线2l 过圆C 的圆心(1,0)-，根据直线的点斜式可计算得选D. 8. 1101210()10302a a a a a ++++=

?=K ，于是1106a a +=，即566a a +=，又0n a >所以25656()92

a a a a +?≤=，当且仅当563a a ==时等号成立，故选C. 9. 由约束条件可作出可行域可知，z 的最小值就是原点到直线10x y +-=距离的平方，经计算可得选A.

10. 作出()y f x =的图像如下所示，则()()F x f x a =-的零点即为函数()y f x =与y a =图像交点的横坐标，由图可知共有五个零点，不妨设为12345,,,,x x x x x 且12345x x x x x <<<<，从图中可看出1x 与2x 关于直线3x =-对称，4x 与5x 关于直线3x =对称，故12452(3)230x x x x +++=?-+?=，当(1,0)x ∈-时12

()log (1)f x x =--+，因此由12

log (1)x a --+=解得312a x =-，故1234512a x x x x x ++++=-

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥

12. {|221}x x x -≤≤≠且 13. 108-（，）

14. 5(,]12

m ∈-∞ 解析：

由题意得(2)3x m -恒成立，又22x -≤≤，当2x =时03≥-恒成立；当22x -≤<时20x -<只

需m ≤即可，

令32

k x =-，则只需min m k ≤.若

设y =，则32y k x -=-，其表示两点(,),(2,3)x y 之间连线的斜率，

其中点(,)x y 在半圆224(0)x y y +=≥上，则当过点(2,3)的直线与圆相切时斜率k 有最值，易知其中一条切线为：2x =，不妨设另一条切线方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，

2=得512k =为最小值，故512

m ≤. 15. ④⑤ 解析：()cos f x x x =为奇函数，则函数()f x 在[,0]π-和[0,]π上单调性相同，所以①错．由于(0)0f =，()f ππ=-，所以②错．再由(0)0f =，(2)2f ππ=，所以③错． |()||cos ||||cos |||f x x x x x x ==≤g ，令1M =，则||()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，所以④对．由()cos sin 0f x x x x '=-=cos sin 0x x x -=，显然cos 0x ≠所以

1tan x x =程1tan x x =的实根就是()f x 的极值点。在除(,)22

ππ-外的正切函数的每一个周期内1tan y y x x

===与且只有一个交点，从下面的图像中易观察125(,),(,)424

x x ππππ∈∈，故212x x ππ<-<，所以⑤对. 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）

16. （本小题满分12分）

解：（1）由已知A c A b sin 2sin 2=得sin cos sin b c A A A

=根据正弦定理得： sin sin cos B C A =，而sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+

由此可得 sin cos 0A C =，又因为三角形中sin 0A ≠

所以cos 0C =，得2C π∠=

…………6分 （2）由（1）知2A B π+=

， 所以sin()sin()sin[()]cos()22

B x A x A x A x ππ-=--=-+=+

()(

)()()sin cos 2sin 6y A x B x A x A x A x π=++-=+++??=++ ??

? 因为]0,3[π-∈x ，[0,]2A π∈，故2(,)663

A x πππ++∈- 所以2sin (1,2]6y A x π?

?=++∈- ??

?，即值域为(1,2]-…………12分 17．（本小题满分13分）

解：（1）由题意可知，样本总人数为

,5016.08=,04.050

2==∴b 16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．…………4分

（2）第1,2,3组应分别抽取4,8,10人…………8分

（3）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ．

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,AB AC AD BC BD CD AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY

共15种情况．

设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，

有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． 所以93()155

P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率

35…………13分 18. （本小题满分12分） 解：222

(-21)()(1)x

ax ax e f x ax +'=+ （1）因为12

x =是函数()y f x =的一个极值点， 所以1()02

f '= 因此1104a a -+= 解得43a =

D 1

B 经检验，当34=

a 时，21=x 是)(x f y =的一个极值点，故所求a 的值为3

4. ………………………5分

（2）由（1）可知，

22248

(1)3

3()4(1)

3

x

x x e f x x -+'=+ 令()0f x '=，得1213

,22

x x ==

()f x 与'()f x 的变化情况如下：

所以，()f x 的单调递增区间是(,),(,),22-∞+∞ 单调递减区间是(,)22

当

1322b <<时，()f x 在3[,)2b 上单调递减，在3

(,)2

+∞上单调递增

所以()f x 在[,)b +∞上的最小值为3

()2

4

f = 当3

2

b ≥

时，()f x 在[,)b +∞上单调递增， 所以()f x 在[,)b +∞上的最小值为22

3()134b b

e e

f b ab b ==++

………………………………12分

19. （本小题满分13分）

（1）证明：在矩形11A B BA 和矩形11A ADD 中1AA ∥1BB ，1AA ∥1DD ∴1BB ∥1DD

又1BB ?平面1DD C ，1DD ?平面1DD C

∴1BB ∥平面1DD C

不妨设平面1BB C 与平面1DD C 的交线为l ，

平行的性质定理知

1BB ∥l

又 l ?平面11A B BA ，1BB ?平面11A B BA

∴l ∥平面11A B BA …………4分

（2）在矩形11A B BA 和矩形11A ADD 中11,AA AB AA AD ⊥⊥且AB AD A =I ∴1AA ⊥平面ABCD

在ABC ?中1AB BC ==，60ABC ∠=o ∴ABC ?为正三角形且1AC =

又梯形ABCD 中AB ∥CD

∴120BCD ∠=o ，故60ACD ∠=o

又∵2CD =，在ACD ?

中由余弦定理可求得AD =∴222AC AD CD +=，故AC AD ⊥

又∵1AA ⊥平面ABCD

∴1AA AD ⊥,而1AA AC A =I

∴AD ⊥平面1AA C …………9分

（3

）11111111113232

C AA B B C AA

D D V V V --=+=

???+??=…………13分 20. （本小题满分12分）

解：（1）由122(n n a S n +=+∈Z *）得*122(n n a S n N -=+∈，2n ≥），

两式相减得：12n n n a a a +-=， 即*13(n n a a n N +=∈，2n ≥）， ∵{}n a 是等比数列，所以213a a =，又2122,a a =+ 则11223a a +=，∴12a =，

∴123n n a -=g . …………………………………6分

（2）由（1）知123n n a +=g ，123n n a -=g

∵1(1)n n n a a n d +=++ ，∴1

431

n n d n -?=+，………8分 令123111n T d d d =+++…1n d +，

则012

234434343n T =

++???+…1143n n -++g ① +?+?=213

4334231n T …114343n n n n -+++g g ② ①-②得01222113434343

n T =+++g g g …1114343n n n -++-g g 111(1)111525331244388313

n n n n n --++=+?-=--g g 1152516163n n n T -+∴=-g . ………………12分

21. 解：（1

）根据题意，222222331, 1.2c a a b b a b c c ?=??=???==????=+=????

解得， 所以椭圆方程为2

213

x y +=. ………………………………5分 （2）将2y kx =+代入椭圆方程，得22

(13)1290k x kx +++=，由直线与椭圆有两个交点，

所以22(12)36(13)0k k ?=-+>，解得21k >. 设),(11y x C 、),(22y x D ，则1221213k x x k +=-+，122

913x x k ?=+，若以CD 为直径的圆过E 点，则0=?，即0)1)(1(2121=+++y y x x ，

而1212(2)(2)y y kx kx =++=212122()4k x x k x x +++，所以

212121212(1)(1)1)(21)()5

x x y y k x x k x x +++=+++++（2229(1)12(21)501313k k k k k ++=-+=++，解得76

k =,满足21k >. 所以存在7,6

k =使得以线段CD 为直径的圆过E 点． ………………………………13分

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