流体力学II教材 - 图文

流体力学II（Viscous Fluid and Gas Dynamics）讲义

第一章、粘性不可压缩流体运动基本方程组（学时数：6）

1-1．绪论

流体力学是力学的一个重要分支，主要研究流体介质（液体、气体、等离子体）的特性、状态，在各种力的作用下发生的对流、扩散、旋涡、波动现象和质量、动量、能量传输，以及同化学、生物等其他运动形式之间的相互作用。它既是一门经典学科，又是一门现代学科，对自然科学和工程技术具有先导作用。

历史上，力学包括流体力学，曾经经历基于直观实践经验的古代力学、基于严密数学理论的经典力学、基于物理洞察能力的近代力学三个阶段。在人类早期的生产活动过程中，力学即与数学、天文学一起发展。17世纪，Newton基于前人的天文观测和力学实验，发明了微积分，并总结出机械运动三大定律和万有引力定律，发表了著名的《自然哲学的数学原理》一书。由于原理是普适自然与工程领域的规律，从而使力学成为自然科学的先导。从17世纪开始，人们逐步建立了流体力学的基本理论体系，从Pascal定律、Newton粘性定律、Pitot管测速，到Euler方程和Bernoulli方程，标志着流体动力学正式成为力学的一个分支学科。18世纪，人们着重发展无粘流体的位势理论。到了19世纪，为了解决工程实际问题，开始注重粘性的影响，Navier-Stokes方程的建立为流体力学的进一步发展奠定了完整的理论基础，但该方程解的存在性与光滑性的证明至今仍是一大难题。20世纪初，Prandtl凭借出色的物理洞察能力，提出边界层理论，从而开创了流体力学的近代发展阶段，使力学成为人类实现“飞天”梦想的重要理论先导。60年代以来，由于超级计算机、先进测试技术的发展和应用，力学进一步凸显宏微观结合和学科交叉的特征，进入现代力学发展新阶段。

刚刚过去的2011年，人类遭遇了一系列极端事件：日本海底地震导致海啸和福岛核电站泄露事故；澳大利亚飓风；我国干旱洪水灾害等异常气候问题。这些极端事件的预测预警都是流体力学的前沿问题。同一年，美国航天飞机历经30年130多次飞行之后终于宣布全面退役，其中一个重要原因是存在防热系统不可靠的安全隐患，这也是流体力学工作者亟待解决的一个重要课题。因此，现代流体力学不仅是一门重要的基础学科，而且在航空航天、海洋海岸、环境能源、生物医学、材料信息等诸多与国家经济、社会发展密切相关的工程技术领域里，仍然具有不可或缺的先导作用。

本课程的教学目的是：在流体力学I的基础上，针对各种与科学技术发展和人类生活、经济活动紧密相关的流体力学问题，主要是粘性流体和气体动力学问题，建立相应的数学模型，综合运用数学、力学和数值模拟方法对模型进行求解，并根据求解结果解释实验现象，进而认识客观事物的规律性。粘性流体和气体动力学知识的应用面广，涉及问题非常复杂，是力学专业高年级学生具备解决实际问题能力的重要一环，并且有利于形成新的学科交叉型思维。

主要内容：粘性流体和气体动力学的各种模型方程，Navier-Stokes方程的精确解和近似解，量纲分析方法，层流边界层理论，激波现象，湍流初步。 基本要求：掌握粘性流体和气体动力学的基本理论知识和主要物理概念，掌握综合运用数学、力学和数值模拟方法对模型进行求解并对实验现象进行解释的基本方法，能运用所学知识分析和解决一些实际问题。 主要参考书：

1.周光炯等著《流体力学》（第二版），高等教育出版社，2000年6月 2.叶敬棠等著《流体力学》，复旦大学出版社，1989年5月 3.[美]W.F.休斯等著《流体动力学》，科学出版社，2002年3月 4.[德]H.欧特尔等著《普朗特流体力学基础》（第11版），科学出版社，2008年6月 5.林建忠等著《流体力学》，清华大学出版社，2005年9月 6.[苏]谢多夫著《力学中的相似方法与量纲理论》，科学出版社，1982年12月 7.[美]F.M.怀特著《粘性流体动力学》，机械工业出版社，1982年12月

1-2．Navier-Stokes方程组的导出

在单相单组分连续介质、各向同性Newton流体、热力学过程为准静态过程的前提下，流体运动的基本方程组可写成

??d? ????V?0 （1-1）

dt??dV??1?F???[P] （1-2） dt?????1??1dV2(e?)?F?V???([P]?V)???(k?T)?qR （1-3） dt2????2 [P]?2?[S]?(p????V)[I]??p[I]?[?] （1-4）

3 e?CvT （1-5） p?R?T，

1?u?uj[S]?(sij)?(i?) （1-6）

2?xj?xi??ui?uj?),i?j??(?x?x?ji （1-7） [?]?(?ij)?????2?(?ui?1??V),i?j??xi3?T?110T3???0()20 （1-8）

T0T?110????T上列方程组中，自变量是t和x（x?{x1,x2,x3}），F和qR是单位质量流体上的体积力和辐射热，k是热传导系数，?是动力粘性系数，R是气体普适常数，Cv是等容比热，[P]是应力张量，[S]是应变率张量，[?]是粘性应力张量，[I]是单位张量，未知量有密度?、速

???????TT,,}，方度V（V?{u1,u2,u3}）、内能e、温度T和压强p，微分算子??{?x1?x2?x3程组是封闭的。

如果假定流体为不可压缩，则上述方程组可以简化为

????V?0 （1-9） ???dV??1?2??F??p??V （1-10） dt??dT ?C???k?2T??qR （1-11）

dt??方程组（1-9），（1-10）就称为Navier-Stokes方程组，其中只包含未知量V和p，可以与（1-11）解耦。能量方程（1-11）是温度T的控制方程，其中?称为粘性耗散函数，它与粘性应力

??张量[?]以及速度场V之间的关系为

????????([?]?V)?(??[?])?V （1-12）

????T[?]??(?V??V) （1-13）

????T这里?V是并矢张量，?V是它的转置，即

??T??T?????uj?u?V?(?Vij)?()， ?V?(?Vij)?(i) （1-14）

?xi?xj 直角坐标系中Navier-Stokes方程组的分量形式为

?u?v?w???0?x?y?z?u?u?u?u1?p??2u?2u?2u?u?v?w?Fx??(??)?t?x?y?z??x??x2?y2?z2?v?v?v?v1?p??v?v?v?u?v?w?Fy??(2?2?2)?t?x?y?z??y??x?y?z?w?w?w?w1?p??2w?2w?2w?u?v?w?Fz??(??)?t?x?y?z??z??x2?y2?z2 进一步假定为定常流动，体积力为重力，则沿着流线有变形的Bernoulli方程

222 （1-15）

??12p212p1?22?V2??gz2?V1??gz1???V?dl （1-16） 2?2??1

1-3．Navier-Stokes方程组的定解条件提法

???? （1）初始条件：V(x,y,z,0)?V0(x,y,z)，p(x,y,z,0)?p0(x,y,z)；

（2）自由面条件：一般仍用理想流体自由面上的运动学条件和动力学条件，也有假定自由面形状为已知而要增加切向应力平衡的情况；

???V?，p??p?； ??????? （4）固壁边界条件：V?VW，固壁静止时V （3）无穷远条件：VW??W?0，比理想流体多了一个切向速

度限制条件，所以Euler方程或Laplace方程都不能适定求解，无旋性也无法保持。

在固壁边界处经常要计算无量纲的壁面摩擦系数Cf和热量吸收系数h，分别定义为

?TqW??n （1-17）? h? Cf?W，

1Ts?TfTs?Tf?V?22Ts和Tf分别为壁面附近固壁其中?W和qW分别为单位面积上的壁面摩擦阻力和热流通量，

和流体的温度，n是从流体指向固体的固壁法线方向。

?k

1-4．柱面坐标系Or?z和球面坐标系OR??中Navier-Stokes方程组的分量形式

???VV1?V??Vz （1-18） (??V)r?z?r?r???rrr???z???VV1?V?V?1?V? （1-19） (??V)R???R?2R??cot???RRR??RRsin???

（1）速度场的散度

（2）迁移加速度

??????V?2?((V??)V)r?z?((V??)Vr?)er?

r?????VrV?? ?((V?（1-20） ?)V??)e??((V??)Vz)ez

r???V???其中V?。 ??Vr??Vz?rr???z????????V?2?V?2?VRV??V?2cot??((V??)V)R???((V??)VR?)eR?((V??)V? ?((V??R?R??)VVRV??V?V?cot????)e? 其中V??r???V?V??V??R?R?R???Rsin???。 （3）压强梯度

(?p)?pr?z?(?r,1?pr??,?p?z) (?p)R???(?p?R,1?pR??,1?pRsin???) （4）粘性项

(?2V??)Vr2?V??r?z?(?2Vr?r2?r2??)er?

?(?2VV?2?V??r?2?r2?r2??)e???Vzez ??21?1?2?2其中?2?r2?r?2?2。 (?2V???rr??2?z)22?V?1?V??R???(?VR?R2(VR????V?cot??sin???))eR?

?(?2V?2?VV??V???R2R2sin2?(??sin??2???cos?))e??

?(?2V?2?V?V?V???RR2sin2?(??sin????cos??2))e? 其中???22?1?2cot??1?22?R2?R?R?R2??2?R2???R2sin2???2。 （5）速度场的梯度

???Vr?V??Vz???r?r?r?(?V??)r?z??1?VrV?1?V?V1?V??rz??r???rr???rr??? ??Vr?V??V?z???z?z?z???)e??

（1-21）

（1-22）

（1-23）

（1-24）

（1-25） （1-26） ??(?V)R?????VR??R?1?VRV????R???R???VR?Vsin??????Rsin???V??R1?V?VR?R??R?V??V?cos???Rsin???V????R?1?V?? （1-27）

?R????V??VRsin??V?cos??????Rsin?? （6）粘性耗散函数

?Vr2?V1?V?Vr2)?2(?)?2(z)2? ?rr??r?z?VV1?Vr21?Vz?V?2?Vr?Vz2 ?(???? )?(?)?(?)] （1-28）

?rrr??r???z?z?r?V1?V?VR21?V?VRV??R????[2(R)2?2(?)?2(??cot?)2?

?RR??RRsin???RR?VV1?VR21?V?V?1?V?2 ?(????)?(?cot??)?

?RRR??R??RRsin???1?VR?V?V?2 ?( ??)] （1-29）

Rsin????RR?r?z??[2( （7）热流通量

??Tk?T?T qr?z?(?k,?,?k) （1-30）

?rr???z??Tk?Tk?T qR???(?k,?,?) （1-31）

?RR??Rsin???

1-5．涡输运方程

???? 定义速度场的涡量????V，将Navier-Stokes方程组写成Lamb形式

?????1???VV2??????()???V?F??p???? （1-32） ?t2??在体积力有势的条件下取旋度得

????2??d??????(???)V??? （1-33） dt? 由于方程（1-33）相比于理想流体的Helmholdz方程右端多了一个粘性扩散项，旋涡将

在流体中逐渐扩散，所以一般粘性流体运动都是有旋的。不过，在一些特殊的条件下，Navier-Stokes方程组也可以存在无旋解，例如： （1）整个流场以匀速运动，速度到处相同；

（2）一个半径为a的无限长直圆柱绕着对称轴以角速度?旋转，引起周围流体的旋转运动，就相当于一根环量为??2??a的无限长直涡线诱导的理想不可压缩流动（满足同样的边界条件和无穷远条件），所以是无旋的。 如果这个圆柱突然停止旋转，则在其邻近由于粘性而产生速度梯度和旋涡，并且将逐渐向流场中扩散，下面我们来求解这个涡量场。采用柱面坐标系，根据问题特征有

2????????????V?V?e?， ???zez， ??er， ?V???0， ????0

?r涡输运方程（1-33）简化为

??z??2?z1??z ?(2?) （1-34）

?t??rr?r定解条件则有

?z(?,t)?0 （1-35） ?z(r,0)?0，

解析解为

A?z(r,t)?et??r24?t??a2， A? （1-36）

2?

图1.1 涡输运方程解析解的示意图

从图1.1中可以看到，流场中任一确定的r位置处，涡量都从初始时刻的零值开始，先有一个比较快速的增加过程，达到最大值后则开始逐渐减小，经过很长时间重新趋向于零。随着r增大（离开圆柱较远），涡量的最大值变小，并且到达最大值的时间也变长。这个例子描述了一个典型的在流体粘性作用下旋涡扩散过程。

1-6．方程组的守恒形式

对一般可压缩流动方程组有

???? ???(?V)?0 （1-37）

?t?????????(?V)???(?VV?p[I]?[?])??F （1-38） ?t?????????Es ???(V(Es?p)?[?]?V?k?T)??F?V??qR （1-39）

?t????????????V2)，VV是并矢张量，定义为VV?(VVij)?(uiuj)。 其中，Es??(e?2 对不可压缩流动则可简化为

????V?0 （1-40） ??????p???V1???(VV?[I]?[?])?F （1-41） ?t??在二维直角坐标系中分量形式可写成

??????????u?F(u)?G(u)?? ???H(u) （1-42）

?t?x?y其中

?u?{0,u,v}T （1-43） ??p??u??v?u F?{u,uu??2,vu?(?)}T （1-44）

???x??x?y????u?vp??vT G?{v,uv?(?),vv??2} （1-45）

??y?x???y???H?{0,Fx,Fy}T （1-46）

1-7．量纲分析方法与?定理

（1）用长度[L]、时间[T]、质量[M]和温度[?]四个基本量纲表示的常用物理量量纲列出如下：速度[LT]，密度[ML]，体积力[LT]，应力（压强、壁面剪应力）

2?12?2?1?1[ML?1T?2]，[T?1]，运动粘度[LT]，动力粘度[MLT]，应变率（角速度）内能[LT]，

?1?3?2气体常数（比热）[LT?]，热传导系数[MLT?]，耗散函数[MLT]，辐射热

2?2?1?3?1?1?3[L2T?3]，壁面热流通量[MT?3]，热量吸收系数[MT?3??1]。

（2）?定理：独立的无量纲参数个数=物理量个数-基本量纲个数。

（3）在单相单组分连续介质、各向同性Newton流体、热力学过程为准静态过程的前提下，流体运动的基本方程组中特征物理量有??、U?、p?、T?、L、?、t0、g、?、

k、R、Cp、Cv共13个，所以应有9个独立的无量纲参数。无量纲参数的取法并不是唯

一的，一种常见的形式是

2U?p?L??U?LSt?， ?， Fr?， Eu?， ， R?e2gL??U?U?t0?2CpCp?U?U?， Ec?， ??， Ma? （1-47） Pr?CpT?Cvk?RT?其中?和Ma在可压缩流动问题中使用，Pr和Ec则在考虑热力相似时使用。另外还有两个无量纲参数也比较常见

Pe?RePr?Cp??U?Lk， Nu?(??1)PeM?2a3??U?LkT? （1-48）

它们分别称为Peclet数和Nussel数。

1-8．方程组的无量纲化（不考虑热辐射）

对于粘性不可压缩流体方程组，设特征物理量为U?，L，?，T?，g，?，k，C，

2U?L?U?LC?2t0?和p???U?，引入无量纲参数Fr?， Re?， Pr?，

gLU??k2U?Ec?以后得到

CT???*?*?V?0 （1-49）

??*??**??*1??*?*?V1*2?**?(V??)V?F??p??V （1-50） *?tFrRe?***11*2*?T*??(V??)T?(?T?Ec?*) （1-51） *?tRePr??????????*x**VFtpT?****其中x?， t?， V?， F?， p?， T?，??2U?g?U?/L2t0p?T?L为无量纲变量。

对于粘性可压缩流体方程组，在不考虑体积力的条件下，又可设特征物理量为U?，L，

??，T?，?，Cp，Cv，R，k，t0?L22，p????U?和e??U?，引入无量纲参U?3??U?L??U?L数Re?， Nu?以后得到

kT?????? ???(?V)?0 （1-52）

?t???????(?V)1???(?VV)???p???[?] （1-53） ?tRe?????Es121???(V(Es?p))??T???([?]?V) （1-54） ?tNuRe其中变量已经全部无量纲化，为了书写简单起见把“*”号省略了。

第二章、Navier-Stokes方程的精确解（学时数：6）

2-1．Navier-Stokes方程的精确解、近似解和数值解概述

粘性流体运动的基本方程，即Navier-Stokes方程的建立为流体力学的发展和实际应用奠定了完整的理论基础，但该方程解的存在性与光滑性的证明至今仍是一大难题。不仅如此，从1844年Stokes导出Navier-Stokes方程算起，已经过去了170多年，但已知的该方程的精确解平均还不到一年一个，说明求解该方程存在着数学上的极大困难。20世纪60年代以后，伴随着超级计算机的发展和应用，计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）迅速崛起，采用各种离散逼近方法求得Navier-Stokes方程的数值解占了流体力学研究的半壁江山。除了精确解、数值解之外，还有一种方法叫近似解，也就是凭借物理的洞察能力，求解前先对Navier-Stokes方程进行各种简化，然后求得简化后方程的解析解。有些文献中对精确解和近似解不加区分，只要采用的是解析推导方法而不是数值离散方法得到的解都称为精确解或解析解。本课程则对这两者提出明显的区别：精确解的表达式能够满足完整的Navier-Stokes方程，近似解则不可能。

这一章将讨论Navier-Stokes方程能够找到精确解的几种典型情况：Couette类型的流动，Poiseuille类型的流动，不定常的Stokes流动和旋转坐标系中的Ekman流动。第三章和第四章将分别讨论小Reynolds数和大Reynolds数条件下Navier-Stokes方程的近似解。至于Navier-Stokes方程的数值解法，将在《计算力学》等课程中再介绍，本课程中只给出几个简单的例子作为说明。

2-2．Couette类型的定常流动

对于理想流体来说，如果固体壁面在其自身所占空间范围里切向移动或旋转，都不会引起流体的运动。粘性流体则不一样，由于粘性作用，紧贴着固壁的那层流体会跟着固壁移动或旋转，然后它又带动相邻的第二、第三…层流体移动或旋转，并且由于存在切向的速度差，流体微团会发生旋转，产生的涡量从壁面逐步向流体内部扩散。这种由于固体壁面切向运动引起的粘性流动一般就称为Couette类型的流动，它又可以分为平面固壁平移、圆柱体的旋转和圆柱体的平移等几种情况。

（1）平面问题：假设位于y?0处的无限大平板以常速度u1沿着x轴正向平移，同时位于y?h处的无限大平板则以常速度u2沿着x轴正向平移，两平板间充满动力粘度为?的不可压缩流体，要求流体速度分布。

根据问题的物理特征，可以判断（注意：这种判断是求Navier-Stokes方程精确解的关键，实质是寻找一种特殊形式的精确解）v?w?0，以及

????0，未知函数是?t?zu?u(x,y)和p?p(x,y)。又根据连续性方程

?u ?0 （2-1）

?x和y方向动量方程

?p ?0 （2-2）

?y可得u(y)的控制方程为

?d2u1dp?dy2??dx?const （2-3） ??u?u1,uy?h?u2?y?01dpyy（2-4） ?u(y)?y(y?h)?u1(1?)?u2

2?dxhhh2dp不失一般性令u1?0， P??，得

2?u2dxyy u?u2(1?P?P) （2-5）

hh

图2.1 平面Couette流动速度剖面

在板面恒温且不考虑压力梯度的条件下又有

?d2T???(u2?u1)2?dy22kh （2-6） ??T?T1,Ty?h?T2y?0??yy2 （2-7） ?T(y)??(u?u)y(y?h)?T(1?)?T211222khhh相对静止或无粘流体而言，由于粘性作用，流体中的温度升高，并且升高的幅度随着无量纲参数PrEc???u2kh2的增大而增大。

（2）旋转问题：假设半径r?r1的无限长圆柱面以常角速度?1绕着对称轴旋转，同时半径r?r2的无限长圆柱面则以常角速度?2绕着对称轴旋转，两圆柱同心，其间充满动力粘度为?的不可压缩流体，要求流体速度分布。

根据问题的物理特征，取圆柱坐标系Or?z，可以判断Vr?Vz?0，以及

???V?(r)未知函数是V??V?(r)和p?p(r)。此时连续性方程自动满足，???0，

?t???z的控制方程为

设

u?f1(y)cos?t?f2(y)sin?t，可得 u0???f1''?f2?0,f2''?f1?0? （2-49） ?????f1(0)?1,f1(?)?f2(0)?f2(?)?0?y) （2-50） 2??u同样由。 ?0.01，可以看到这时涡扩散距离为?~?u0?u(y,t)?u0e??y2?cos(?t? 下面介绍几种直接数值求解（2-48）的差分格式，计算中的初值由（2-50）给出。

?1nnnn?un?u?s(u?2u?ujjj?1jj?1),1?j?J?1,0?n?N?1??j?y0u0cosj?y0,0?j?J?j?u0e （2-51） ?n2u0?u0cos2ns?y0,0?n?N?n?uJ?0,0?n?N???tnn?y??y。（2-51）称为FTCS格式，其中uj?u(yj,t)?u(j?y,n?t)， s??， 022??y113我们采用J?100， N?5000， u0?1， ?y0?0.05， s?,,进行数值试验，

424所得结果如图2.3所示。

图2.3 Stokes第二问题的数值解

nFTCS格式是显式推进的格式，知道了前一时刻的函数值uj就能直接计算后一时刻函数值

11?1un，不必求解代数方程组，但其数值稳定性不易得到保证，从图2.3可以看到在s?,j42时能够稳定，但在s?3时就已经失稳。（2-51）中的内点推进格式可以改成 4?1?1n?1?1nun?s(un?un（2-52） jj?1?2ujj?1)?uj,1?j?J?1,0?n?N?1

或者

sn?1sn?1n?1n?1nn un?(u?2u?u)?u?(uj?1?2unjj?1jj?1jj?uj?1),1?j?J?1,0?n?N?1（2-53）

22（2-52）和（2-53）分别称为BTCS格式和Crank-Nicolson（C-N）格式，它们都是隐式差分格式，从uj到uj的推进过程需要求解联立代数方程组，但能无条件数值稳定。

nn?1 2-5．Ekman流动--随地球旋转的运动坐标系

（1）Ekman发现，在北冰洋极地附近，伴随着海面上大冰块的平移，其下方的海水将会出现一种旋转流动，不同深度处的水流方向是不同的，速度大小则随着水深衰减。这种流动被称为Ekman流动，其主要成因是流体的粘性和地球自转，所以能够用旋转坐标系中Navier-Stokes方程的精确解来描述。旋转坐标系中Navier-Stokes方程形式为

???T其中Vr?{u,v,w}是相对速度分布，它仍应满足连续性方程（1-9）。

????????1?d'Vr?????????2???f???(??r')?2??Vr??'p??'Vr （2-53） dt????????? （2）物理模型：不考虑相对加速度、体积力和压强梯度，又由于2Vr???r'而忽略牵连加速度。根据Ekman流动特征，选取直角坐标系（以下均省略'记号），其中z轴垂直

??海平面向上，海平面位于z?0处。可以判断：w?0， ??0 ? u?u(z)，

?x?yv?v(z)。

（3）控制方程形式为

???u''?2v?0,v''?2u?0? （2-54） ?????u(0)?u0,v(0)?v0,u(??)?v(??)?0令W?u?iv， W0?u0?iv0，可得

?d2W??i2W?0? （2-55） ??dz2?W(0)?W,W(??)?00????u(z)?(u0cosz?v0sinz)e???z? （2-56）

z???v(z)?(u0sinz?v0cosz)e （2-57）

???4?1?62?1 （4）对Ekman现象的解释：??0.7?10sec， ??10msec，速度方向旋转一个周期约等于海面向下0.7m水深，所以能够明显观测得到。

?

第三章、Navier-Stokes方程的近似解（学时数：6）

3-1．小球在无界粘性不可压缩流体中匀速缓慢运动问题的Stokes解法

（1）Reynolds数Re???U?L是粘性流动中最重要的无量纲参数，根据它的大小不?同可以形成对Navier-Stokes方程作近似处理的几种思路：当Re?1时，忽略方程中非线性的对流项，简化为类似热传导方程的Stokes方程求解，必要时引入部分对流项进行修正；当Re?1时，忽略方程中的粘性扩散项，简化为理想流体的Euler方程，并采用Prandtl边界层理论进行求解。本章讨论Re?1条件下Navier-Stokes方程的近似解。

所谓Re?1条件下的流动，应该满足U??1（特征速度很小），或L?1（流场特征尺度很小）。显然，由于小球在无界粘性不可压缩流体中作匀速缓慢直线运动而引起的流体运动，能够满足小Re数流动的条件。

在小Re数条件下，Navier-Stokes方程可简化为Stokes方程

????V?0 （3-1） ????V??1?2??F??p??V （3-2） ?t??2流动定常并且不考虑体积力时，（3-2）式进一步简化为

??1 ?V??p （3-3）

?在球面坐标系OR??中，方程（3-1）和（3-3）的分量形式为

?VRV1?V?V?1?V? ?2R??cot???0 （3-4）

?RRR??RRsin????V21?V?1?p （3-5） ?2VR?2(VR???V?cot??)?R??sin?????RV?V?V21?p （3-6） ?2V??22(Rsin2?????cos?)?Rsin???2???R???VV?V21?p （3-7） ?2V??22(Rsin???cos???)?Rsin?????2?Rsin????22?1?2cot??1?2???2?其中??。 ?R2R?RR2??2R??R2sin2???2 （2）控制方程与定解条件提法：取OR??为原点在球心处、跟随小球一起匀速直线运动的球面坐标系，对称轴（??0）的正向与小球运动方向一致，流体相对该坐标系的速

???T度设为V?{VR,V?,V?}。根据问题的对称性可得V??0， ?0，所以方程组（3-4）

??2~（3-7）又可简化为

?VRV1?V?V? ?2R??cot??0 （3-8）

?RRR??R?V?1?p?2VR2?VR1?2VRcot??VR2?????(V??V?cot?) （3-9） R??R?R2R?RR2??2R2??R2??V?1?p?2V?2?V?1?2V?cot??V?2?VR?????? （3-10）

?R???R2R?RR2??2R2??R2??R2sin2?这就是未知函数VR(R,?)、V?(R,?)和p(R,?)的控制方程。定解条件如下

VRR?a?V?R?a?0， VRR????u0cos?， V?R???u0sin? （3-11）

其中a为小球半径，u0为小球的速度。

（3）相对速度与压强分布求解：设VR?f(R)?cos?， V???g(R)?sin?，

p???h(R)?cos??p0，代入控制方程可得

2Rf'?(f?g)?0 g?f'?f

R2244h'?f''?f'?2(f?g)?0 ? h'?f'?'f 'RRR122h?g''?g'?2(f?g)?0 h?Rg''?2g'?f' RRR?R3f''''?8R2f'''?8Rf''?8f'?0

11?f(R)?C1?C2R2?C3?C43

RRC1C1g(R)?C1?2C2R2?3?43

2R2R1h(R)?10C2R?C32

R利用定解条件（3-11）可知

C1??u0， C2?0， C3?31au0， C4??a3u0 22?VR??[1?3a1a3 ?()]?u0cos? （3-12）

2R2R3a1a3 V??[1??()]?u0sin? （3-13）

4R4R3?a p??u0cos??p? （3-14）

2R2相对坐标系下绝对速度则是

13aa3VR'?VR?u0cos??(?3)?u0cos? （3-15）

2RR13aa3V?'?V??u0sin???(?3)?u0sin? （3-16）

4RR （4）相对坐标系和绝对坐标系中的流动图案：在一个子午面内，仍以小球运动方向为

x轴正向建立静止坐标系Oxy，则有R2?(x?u0t)2?y2， ??tan?1对速度分量可以写为

y。所以，绝

x?u0tu09aa33a3a3Vx?VR'cos??V?'sin??[(?3)?(?3)cos2?] （3-17）

8RRRRu03a3a3Vy?VR'sin??V?'cos??(?3)sin2? （3-18）

8RR据此可以作出瞬时流线图并与理想流体有势流动比较（图3.1，上半部分相对静止坐标系，下半部分相对运动坐标系），其中无粘流体的相对速度分布为

a VR??[1?()3]?u0cos? （3-19）

R1a V??[1?()3]?u0sin? （3-20）

2R绝对速度分布则为

所以，Vx???2u0a3 Vx?(1?3cos2?)3 （3-21）

4R3a3 Vy?u0sin2?3 （3-22）

4Ru0a3u03aa3???0，而根据Stokes流则有Vx????(?3)?0，静止坐标32R4RR2系中两者方向恰好相反！在运动坐标系中看，主要差别则在于流线疏密（速度大小）不同。

Stokes流动 有势流动

图3.1 小球运动的Stokes流动与势流瞬时流线图比较

（5）Stokes球阻公式及其应用：因为

pRRpR??VR93a2?a??p?2???p??(?2)2?u0cos?

?R2RR?V?1?VRV?3?a3??(??)??u0sin? 4?RR??R2R所以积分可得整个小球匀速缓慢运动中所受流体阻力为

F????(pRRcos??pR?sin?)R?ads

3?2 u)asin?d???6??u0a （3-23）0?02a这就是著名的Stokes球阻公式。如果固体小球改为粘度为?0的球形液滴，并假设运动过

??2??(p?cos??程中不发生变形（习题8-26），则有

1?F??6??u0a?1??0特别，气泡在液体中运动，?0??，所以，F??4??u0a。

Stokes球阻公式对物体形状不太敏感，如一个半径为a的薄圆盘正面运动时阻力

32F??16?u0a，侧面运动时则F???u0a。

3 根据Stokes球阻公式可以得到液滴在空气中下落时速度满足的方程

2?3?0 （3-24）

43?du4 ?a(?1?)??a3(?1??)g?6??au （3-25）

32dt3其中?1和?分别为液滴和空气密度，速度u以向下为正。假设初始速度为零，则有

?u(t)?ut?[1?e式中终极速度

9?t2(???)a212] （3-26）

2g (?1??)a2 （3-27）

9?3?53在一个大气压和20?C条件下，?1?998kg/m， ??1.2kg/m， ??1.8?10Pa?s，

时u?0.99ut，在t?0.01a?10?m的雾滴ut?0.012m/s，在t?0.005s7s1时

ut?ut???u?0.9999ut。所以，液滴下落过程中不定常阶段只占总时间中的极小比例（a?10?m的

雾滴降落一公里需要将近一天），通常可以忽略不计。又由于下降速度与a成正比，所以大

雾滴能够追上小雾滴并形成更大的雾滴，最后发展为降雨。

若已知a、?1、?，则根据终极速度公式（3-27）可知?就是ut的反比例函数，测出

ut就能推算出粘度?，这就是应用于测量石油粘度的落球式粘度计的工作原理。

（6）其他小Re数假定下Stokes方程的典型解还有：小球匀速缓慢旋转而引起的流动（习题8-23）；两块半无限大非平行平板间辐射流动（习题8-24）；球壳匀速缓慢旋转而引起内部流体的流动；两同心球壳以不同角速度缓慢旋转而引起的流动。 3-2．小球在无界粘性不可压缩流体中匀速缓慢运动问题的Ossen修正

（1）Stokes解法的局限性：Stokes流动中有?，a，u0，F四个特征物理量，组成唯一的独立无量纲参数

F，Stokes公式则刻画了这一无量纲参数的相似律。如果考虑?u0a?2无限长细圆柱匀速缓慢运动时所受流体阻力这样一个二维问题，则特征物理量仍是这四个，但由于此时F的量纲单位是[MT]而不是[MLT?2]，所以相似律变成

F为常数，也就?u0是说受力与圆柱大小无关！这称为Stokes悖论，说明Stokes解误差随着距离增大而增大。 （2）Ossen修正思想：把相对坐标下的速度看作均匀流与小球引起的扰动的叠加（注意并不是在Stokes解法的基础上叠加扰动，否则无法求解，称为Whitehead悖论），保留一阶小量得到控制方程组，定解条件还是和Stokes解法时一样。在Ossen修正下控制方程为

??????V'?0??1???? （3-28） ????2???V'??p'?(V??)V'???0??????????T其中V'?{VR,V?,0}为扰动速度，V?V0?V'。（3-28）式的分量方程可以写成

?VRV1?V?V? ?2R??cot??0 （3-29）

?RRR??R?V??2VR2?VR1?2VRcot??VR2????(V??V?cot?) R?R2R?RR2??2R2??R2???Vu?V1?p'???[?u0cos?R?0sin?(R?V?)] （3-30） ??R??RR???2V?2?V?V?1?2V?cot??V?2?VR????? ?R2R?RR2??2R2??R2??R2sin2???Vu?V1?p'? ?[?u0cos???0sin?(??VR)] （3-31）

?R????RR?? （3）Ossen修正的结果：流线呈前后不对称形态，如图3.2所示。

图3.2 小球运动的Ossen修正流线图

在Ossen修正下，粘性阻力计算公式为

2ua3 Re?0 （3-32） Re)，

16?通过逐次逼近还能得到更高阶近似解，直到Re?6的范围内都能够与实验较好吻合。

F??6??u0a(1? （4）在工程计算中，常定义阻力系数

CD?F12?u0A2 （3-33）

其中A为迎流面积，在圆球情况下A??a，所以根据Stokes球阻公式有

2CD?24 （3-34） Re243(1?Re) （3-35） Re161 2 而根据Ossen修正公式则有

CD?这两个公式与实验数据之间的误差如表3.1所示。

0.1 0.25 0.5 Re Stokes公式误差（%） 1.5 4.5 6.5 12 23 1.5 6 11.5 Ossen公式误差（%） 表3.1 Stokes公式与Ossen修正公式误差比较 3-3．润滑流动

（1）问题提法：轴在轴承中高速转动时引起狭缝中润滑油流动，称为润滑流动，是一种重要的粘性不可压缩流动。轴的转速很高，可以达到每分钟100转以上，若轴的直径L?0.1m，则其线速度u0?0.5m/s，如果油温达到350K，其运动粘性系数

??41.7?10?6m2/s，所以流动Reynolds数Re?u0L??0.8?104。但是，由于这种狭缝

中流场的两个方向特征尺度存在极大差异，若以h表示狭缝的特征厚度，则以只要Re?h~10?3，所Lu0L??2?104，最大的粘性项将远远大于对流项，仍然能够作为小Re数流动

????0。设轴位于y?0处，以速?t?z来处理。这一问题一般用直角坐标系求解：x方向为轴的转动方向，y方向为狭缝厚度方向，z方向则为轴径方向，由问题的物理模型可得度u0平移；轴承壁面y?h(x)，为固定壁面。

（2）Reynolds压力方程：通过量级比较将二维定常Navier-Stokes方程简化得到

?u?v（3-36） ??0

?x?ydp?2u （3-37） ??2 （注意并非常数）

dx?y及其定解条件

uy?0?u0， uy?h(x)?0 （3-38）

vy?0?0， vy?h(x)?0 （3-39）

px?0?p0， px?L?p0 （3-40）

将（3-37）式关于y积分两次并利用边界条件（3-38）得

yh2dpyyu?u0(1?)?(1?) （3-41）

h2?dxhh从而

?uydhydpdhyhd2py2d2p?u02??? ?xhdx2?dxdx2?dx22?dx2?uy2dhy2dpdhy2hd2py3d2pv???dy??u02??? （3-42）

?x2hdx4?dxdx4?dx26?dx2再利用边界条件（3-39）即可得Reynolds压力方程

dh3dpdh()?6u0 （3-43） dx?dxdxCdp??uQ??2(6u0?1)?122(0?v)

dxhhh2h其中体积流量

Qv??h(x)0u0hh3dpudy?? （常数）

212?dx只要确定了h(x)的形式，通过Reynolds压力方程（3-43）及其定解条件（3-40）就能求出压强分布p(x)，再代入（3-41）式和（3-42）式又能得到速度分布。 （3）两平板间润滑流场的计算：设h(x)?h1(1?xx)?h2，则有 LLuQvdpdpdhh2?h1dp???12?(02?3) dxdhdxLdh2hhuQuQuQuQ12?L12?L?p?p0?(?0?v2?0?v2)?(?0?v2?0?v2)

h2?h12h2h2h12h1h2?h12h2h2h22h2u0h1h26?uLhh， p?p0?202(1?1)(1?2)

h1?h2hhh1?h2 结论1：当h1?h2时才有p?p0，能够产生支承力，如图3.3所示。

Qv??pyxy?0???u?y???y?0u0hdpu3h1h2???4?0[1?] h2dxh2h(h1?h2)?F??pyxdx??0L2?u0LK?1(2lnK?3)

(K?1)h2K?1P??L06?u0L2K?1h1(p?p0)dx?(lnK?2)， 其中K??1 2(K?1)2h2K?1h2?Fh2~~10?3 PL?1 结论2：摩擦力与正压力之比远小于固体之间的摩擦系数（10），而且此比值与流体粘度无关，仅与窄缝几何特征有关。

pmax?p(2Kh22Kh2K?1h?h)， 其中?h2?12 K?1K?122结论3：压力最大值出现在中点的下游，使得轴在转动的同时轴心在轴套中作圆周运

动，如图3.3所示。

图3.3 楔形狭缝中润滑流动

（4）如果将式（3-40）改成

p'x?0?p1， p'x?L?p2 （3-44）

则有

Qv'?(u0?p2?p1hhh1h2)12 （仍然是常数） 6?Lh1?h22h2h12122p'?(p?p0)?2[p1h1(1?2)?p2h2(1?2)] 2h1?h2hhLKLP'??(p'?p2)dx?P?(p1?p2)

0K?12p2?p1h12h2pyx'?pyx?

y?0y?0Lh2h1?h2Kh2F'?F?(p1?p2)

K?1

第四章、粘性不可压缩流体的层流边界层（学时数：8）

4-1．绪论

?62 （1）在常温条件下，水和空气的运动粘性系数分别为?水?10m/s和

?空气?1.5?10?5m2/s，所以如果流场特征长度L?0.01m，特征速度u0?0.01m/s，则

两种流体的Re数分别为Re水?100和Re空气?6.67。由此可知，对于江河湖海中的水流、建筑物的绕流、机翼绕流等大量实际问题而言，流动Re数都是很大的。与小Re数问题相反，大Re数条件下对流项远远大于粘性项，所以对Navier-Stokes方程作近似处理的基本思想是忽略方程中的粘性扩散项，简化为理想流体的Euler方程求解。但由于理想流体在固壁边界上只能满足无分离条件，不能同时满足无滑移条件，与粘性流体边界条件存在本质的不同，将导致数学上不适定的矛盾。

（2）Prandtl边界层理论的基本思想和物理模型：20世纪初，Prandtl凭借出色的物理洞察能力，通过实验观测提出边界层理论，从而开创了流体力学的近代发展阶段。所谓边界层，指的是紧贴着固壁的厚度远远小于固壁特征长度的一个流体薄层，在它之外的地方流体粘性可以忽略不计，但在其中则对流项与粘性项同样重要。因此，求解大Re数问题的过程可以是：先根据理想流体的势流理论给出边界层外流场的解并确定边界层外边界上的函数值，以此作为定解条件求解边界层内的Prandtl方程并计算壁面上的摩擦阻力、热流通量等参数，必要时用边界层厚度作为壁面形状的修正重新计算势流解并进行迭代。 （3）二维边界层厚度定义

（3-1）速度边界层名义厚度y??(x)（注意并非流线）的定义是

uue(x)?0.99 （4-1）

y??(x)其中ue(x)为边界层外边界上势流速度值，x为沿壁面方向的坐标。 （3-2）位移（排挤）厚度

?d(x)???0?uu(1?)dy??(1?)dy （4-2）

0ueue （3-3）动量损失厚度

?uuuu?m(x)??(1?)dy??(1?)dy （4-3）

0u0uuueeee （3-4）温度边界层名义厚度y??t(x)：

?TTe(x)?0.99 （4-4）

y??t(x)其中Te(x)为边界层外边界上势流温度值。

4-2．二维定常流的Prandtl边界层方程

（1）Prandtl边界层方程的导出：考虑直角坐标系中二维定常Navier-Stokes方程，其中x方向为流体沿壁面绕流方向，y方向为边界层厚度方向。因为边界层的定义，y方向特征尺度远远小于x方向，所以Navier-Stokes方程可通过量级比较简化为

?u?v（4-5） ??0

?x?y

?u?u1?p??2u （4-6） u?v???2?x?y??x??y?p ?0 （4-7）

?y?T?Tk?2T??u2u?v??() （4-8） ?x?yC??y2C??y定解条件则有

uy?0?vy?0?0， Tuy???ue(x)， T或者

y??ty?0?TW （4-9）

?Te(x) （4-10）

uy???ue(x)， Ty???Te(x) （4-11）

这是关于原始变量u(x,y)， v(x,y)， p(x,y)的Prandtl方程，其中（4-8）式可以与（4-5）、

（4-6）、（4-7）解耦。

（4-6）式在y??(x)处有

uedue1?p （4-12） ??dx??x又注意到（4-7）式，所以（4-6）式可以消去压力项改写为

due??2u?u?uu?v?ue? （4-13） ?x?ydx??y2（4-5）和（4-13）构成关于u(x,y)， v(x,y)的方程组，不显含p(x,y)，是Prandtl方程

的第二种形式。

再由（4-5）式引进流函数?(x,y)

u?????， v?? （4-14） ?y?x又得到以流函数为未知量的Prandtl方程的第三种形式和定解条件

due??3????2????2???ue? （4-15） 23?y?x?y?x?ydx??y其定解条件写成

?y?0????y?0，

y?0???y?ue(x) （4-16）

y?? （2）边界层内近壁处的流动分析和Prandtl边界层方程的适用范围：考虑边界层内非常

靠近固壁的部分，此时可忽略（4-6）式中的对流项而得到

?2u1dp?due???u （4-17） ?y2?dx?edxduedp?2u?0??0?2?0；如图4.1所示，在绕流物体前缘，流线加密，顺压梯度，dxdx?yduedp?2u?0??0?2?0；存在分离点，在绕流物体后缘，流线变疏，逆压梯度，dxdx?yduedp?2u?0??0?2?0；分离区内边界层厚度迅速增大，且流动变为湍流，Prandtldxdx?y方程不再适用。

图4.1 边界层内近壁区的流动分析与流动分离

需要指出，实验发现分离点与壁面最高点并非都重合，以圆柱绕流为例：当无穷远处来流为Re数较低的层流（亚临界）时，分离点出现在壁面最高点之前的??83?处（从前驻点起算）；而当无穷远处来流为Re数较高的湍流（超临界）时，由于惯性作用，分离点出现在壁面最高点之后的??140?处，如图4.2所示。

图4.2 层流与湍流流动分离

4-3．半无限长平板边界层的Blasius解法

dueyx，?0。设平板特征长度为L，取无量纲变量x*?，y*?dxL?Lu?

考虑位于x轴正半轴的半无限长平板无攻角绕流所产生的二维层流边界层，其对应的势流速度ue(x)?u???*??，则有如下形式的无量纲控制方程和定解条件（已省略*号） ?Lu????2????2??3??? （4-18）

?y?x?y?x?y2?y3?y?0????y?0，

y?0???y?1 （4-19）

y?? 由于半无限长平板实际上并不存在特征长度，?也不应依赖L，而只依赖x，所以可

设

*???u?x?f(控制方程变为

y?xu?)??u?x?f(?) （4-20）

2f'''(?)?f(?)?f''(?)?0 （4-21） f'(?)?1 （4-22） f(0)?f'(0)?0，

（4-21）式称为Blasius方程。为了数值积分的需要，再作变换f(?)???F(?*)，其中

13????， ?为待定常数，F(?*)则满足

2F'''(?*)?F(?*)?F''(?*)?0 （4-23）

*13 F''(0)?1 （4-24） F(0)?F'(0)?0，

这样就能够从??0开始通过数值积分逐次计算F(?)、F'(?)和F''(?)值，直到

****F'(?*)收敛，作为F'(?)并计算出??(F'(?))?1.5，以及

2uF'(?*)?f'(?)??3F'(?*)? （4-25） u?F'(?)从而得到边界层内速度分布和边界层厚度。例如，采用如下数值积分公式

(??*)2(??*)3 Fj?1?Fj????F'j??F''j??FjF''j （4-26）

212(??*)2* F'j?1?F'j????F''j??FjF''j （4-27）

4??* F''j?1?F''j??FjF''j （4-28）

2*结果得到

??* 0.5000 F'(?) 2.1668 0.1000 2.1008 0.0500 2.0931 0.0100 2.0869 0.0050 2.0862 0.0010 2.0856 0.0005 2.0855 ? 0.31353 0.32841 0.33024 0.33169 0.33188 0.33202 0.33204 表4.1 平板边界层Blasius解法的数值计算结果

据此可有平板边界层的Blasius解

?1.5?0.33206 （4-29） ??(F'(?)) F'(?)?2.0854，

55代入（4-25）式得到的速度分布与Nikuratse的实验数据相比，在1.08?10?Re?7.28?10范围内吻合得很好。根据Blasius解，边界层名义厚度

?(x)?5与实验结果?(x)?5.83?xu?u? （4-30）

?x相比，定性一致，定量上则偏小；又与Stokes第一问题的解

相比，定性也一致，定量上则稍大，说明它比Stokes第一问题更接近实验结果。记

Rex?u?x?，又有

?x?5R12ex? （4-31）

?d1?15?x??(1?f')d??1.72Rex2 （4-32） xx0u?1?15?x??f'?(1?f')d??0.664Rex2 （4-33）

0xxu??mHdm??d （4-34） ?2.59 （称为形状因子）

?m?u?y??u?f''(0)y?0?W??u??2?0.332?u? （4-35） ?xu?x （4-36）

?Cf??W12?u?2?0.664R12ex ?长度为L的平板上的总阻力

F???Wdx?0.6640L?Lu?2?u? （4-37）

?CDf?F12?u?L2 ?1.328R （4-38）

453312eL?式（4-36）和式（4-38）分别在6?10?Rex?6?10和10?ReL?4?10范围内与实验吻合得很好。

在平板前缘附近x?0，Rex很小，所以存在奇性，Blasius解不适用；实际平板又总是有限长度，所以后缘和尾流也有影响。修正公式有

CDf?1.328R12eL?12eL???1 （郭永怀，1953） （4-39） ?4.12ReL?1 （今井功，1957） （4-40） ?2.326ReLCDf?1.328RCDf?1.328R

12eL1974） （4-41） ?2.668R （Stewartson，

78eL? 4-4．相似解

due??3????2????2???ue? （4-15） 2?y?x?y?x?ydx??y3

（1）仍从流函数形式的方程出发

?y?0????y?0，

y?0???y?ue(x) （4-16）

y??作自变量代换??y，其中g(x)的形式由ue(x)决定，相应地未知函数变成g(x)y??2?ueu?????''，?'(?)?， ????udy??ue??'?gd??ue?g??， ?ue??'，200?ygue?yue?3?ue?2??????'''?u'??'??g'????'' ， ， ?(u?g)'???u?g'????'eee?y3g2?x?yg?x??(?)满足的常微分方程（Falkner-Skan方程）定解问题为

?'''?gg?(ue?g)'???''?g2g2? ue'?(1??'2)?0 （4-42）

?'(?)?1 （4-43） ?(0)??'(0)?0，

其中

?(ue?g)'??1，

?mue'??都应该是常数，这也就是存在相似解的条件。

（2）如果ue(x)?cx，其中c和m都是已知常数(m??)，即是绕夹角为角形壁面的流动（复势W(z)?12?2?1?mcm?1x，则可取g(x)?z）

m?1cm?1m?12?x?

m?1ue的

?2m（m?），所以此时相似解存在（当m?0时即Blasius解）。

2??m?1c （3）如果ue(x)?，这是源汇势流的表达式（c?0是源，c?0是汇），相当于扩张

xc管和收缩管内沿轴向的流动，可取g(x)?x ??1?0， ???，也存在相似解。

??1?1， ??? （4）如果ue(x)?e，其中p是常数，则又可取g(x)?epxp?x2

??1?pp， ??，2??也能有相似解，但其实际意义不明确。

（5）在不存在相似解的时候，Smith和Cluter（1963），Sheridan（1968）提出变换

??ue?x?F(x,?) （4-44）

ue，可得F满足的方程为 ?x1??2?F'?F F'''?FF''??2?(1?F'2)?x?(F'?F'') （4-45）

2?x?xxdue其中F'、F''、F'''依次表示F关于?的一、二、三阶导数，?2?。利用

uedx其中??ydf1df'1?(3fn?4fn?1?fn?2)?O(?x2)，?(3f'n?4f'n?1?f'n?2)?O(?x2) dxn2?xdxn2?x又可得关于Fn(?)?F(xn,?)的常微分方程边值问题为

1??2nxFn'''?FnFn''??2n?(1?Fn'2)?n[3(Fn'2?FnFn'')?

22?x ?4(Fn?1'Fn'?Fn?1Fn'')?(Fn?2'Fn'?Fn?2Fn'')] （4-46）

Fn(0)?Fn'(0)?0， Fn'(?)?1 （4-47）

（4-46）右端的Fn?1、Fn?2、Fn?1'、Fn?2'均看作已知，所以可仿照Blasius解求出数值解。

4-5．动量积分方程与近似解法

（1）因为Prandtl方程是一个非线性的偏微分方程，不能采用数理方程中常规的方法（如分离变量法）将它化为常微分方程然后求解，相似解法可以看作一种利用物理概念得到的特殊的将偏微分方程化为常微分方程的途径，但其适用对象比较有限。本节介绍的近似解法，针对边界层外势流速度分布ue(x)形式比较一般，不存在相似解的流场，通过将Prandtl方程从y?0到y??积分平均一次，从而消去自变量y得到一个近似的常微分方程----Von-Karmann动量积分方程，并从中求得近似解。

（2）Von-Karmann动量积分方程的导出

?u?v（4-5） ??0

?x?ydue??2u?u?u （4-13） u?v?ue??x?ydx??y2uy?0?vy?0?0 （4-9） uy???u?ue(x)，

?yy???2u?2?y???0 （4-48）

y??将此方程组从0到?关于y积分得

??0??udu?u?uudy??vdy?uee????0?x?ydx?y??ue0due????W dx????u?u?v?dy??udy??uv??0?x?0?y?0v?ydy 0??u??v?0?xdy???0?ydy??vy??

???u????udu??uuee???W??2udy?ue?dy??(u2)dy?ue?dy

0000dx??x?x?x?x?uuu1?22?m??d??[2(1?)?(1?)]dy?2?(ue?ueu?2u2)dy

0ueueueue0?u?dd?md?uuudu2?(1?)dy??[()?(2)]dy ?00dxudxdxueuedxuee1 ?2ue??0due?u?uu2due(ue?u?2u?2)dy

?xdx?xuedx1due ?2uedx1due ?2uedx??0u21(2?u)dy?2ueue??0[ue?u?2?(u)]dy ?x?x??0duu21?(2?u)dy?2(W?uee??) ueue?dx?1due ?W2?2?ueuedx所以

??0u2(2?u?ue)dy ued?m?W1due??(2?m??d) （4-49） dx?ue2uedx这就是Von-Karmann动量积分方程，它的另一种形式是

dud2 (?ue?m)??ue?de??W （4-50）

dxdxd?m?Wduuy??f()?f(?)，其中f(?)应满 （3）平板情况：e?0 ?，假设2dx?u?u??dx足f(0)?0， f''(0)?0， f(1)?1， f'(1)?f''(1)???0（可根据不同精度要求提不同个数条件，从而得到f(?)的不同形式，参见习题8-36），如最简单的取f(?)??

??m????(1??)d??01?6， ?W??u??f'(0)?1???u?1?，

?d?6?， ?dxu???(x)?12?x3?x?x?2?u?， ?d?， ?m?， ?W?，与Blasius解相

u?u?3u?12u?x比较误差较大。

（4）一般有压力梯度情况的Pohlhausen解法：仍设??y，并假定 ?(x)u（4-51） ?a(x)???b(x)??2?c(x)??3?d(x)??4

ue?2u?2?yuedue?2due??， ?2b(x)?????x( )?dx?dxy?0uy???ue a?c?d?1??2 a?2??6

?u?y?0 a?3c?4d?? ? c??2?y???2

?2u?y2?0 6c?12d?? d?1?y???6?u??(2??2?3??4)?(??3?2?3?3??4)?f(?) ue61?d???(1?f)d??01?120(36??)

5?2?m???f(1?f)d??(37??)

0315314411??W??ue?f'(0)???ue?(2?)

??6??代入Von-Karmann动量积分方程可得

d2uedued?1due??g(?)?(2/)?h(?) （4-52） dxuedxdxdx其中

5515120?2784??79?2??3444??4?2??33， h(?)?12 g(?)?2525(12??)(37??)(12??)(37??)1212从中解得?(x)以后即可计算?(x)、?d、?m、?W等物理量。

4-6．温度边界层

（1）Reynolds类比：在不考虑体力、压力梯度和粘性耗散函数（PrEc?1），且壁面温度为常数的条件下，取无量纲变量x?*uvxy***， y?， u?， v?，

u?u?LLT*?T?TWuLC?， Re??， Pr?，则无量纲边界层流动控制方程组为（已省略*号）

T??TW?k?u?v（4-5） ??0

?x?y?u?u1?2uu?v? （4-53） ?x?yRe?y2?T?T1?2Tu?v? （4-54） 2?x?yRePr?yuy?0?vy?0?Tuy???Ty??y?0?0 （4-55）

?1 （4-56）

设由式（4-5）和（4-53）解得u?f1(x,y,Re)，则可以定义壁面摩擦系数

Cf??W12?u?2?2?uRe?y?y?02（4-57） f2(x,Re)

Re又假定能量方程（4-54）的解为T?f3(x,y,Re,Pr)，定义壁面热量传递的无量纲系数（Nusselt数）

Nu?所以

qWL?T?k(TW?T?)?y?f4(x,Re,Pr) （4-58）

y?0NuRe?f(x,Re,Pr)?Re （4-59） Cf2此式称为壁面处热量传递与动量传递的Reynolds类比，它不受外势流动边界条件的限制，

并且可以近似地推广到包括压力梯度和粘性耗散函数甚至湍流的情况。 （2）相似解：同样在壁面恒温条件下，将??y， ??ue(x)?g(x)??(?)和g(x)F(?)?T?T?代入流函数形式的能量方程

TW?T????T???Tk?2T??2?2???() （4-60）

?y?x?x?yC??y2C??y2可得

F''?或者写成

C?g?(ue?g)'??F'?(ue??'')2?0 （4-61） kk(TW?T?)*F''??1Pr?F'?PrEc(ue??'')2?0 （4-62）

2uu?C?*其中?1?(ue?g)'， Pr?， Ec?， ue?e。若存在相似解，则必

C(TW?T?)u??kg须?1为常数，并且ue??''只是?的函数，它对应以下两种情况： （i）忽略粘性耗散函数并且速度边界层存在相似解；

（ii）ue(x)为常数，即平板边界层。

（3）忽略粘性耗散函数的平板温度边界层的解：因为ue(x)?u?，仍可取g(x)?式（4-62）简化为

*?xu?，F''?Pr ?F'?0 （4-63）

2 F(?)?0 （4-64） F(0)?1，

?1???d?1注意到?'''????'' ? ?''?Ae20，所以其解为

2e??F(?)???Pr2Pr2?0?(?)d?d??0????0e??(?)d[?''(?)]????d??[?''(?)]?0?PrPrd? （4-65）

d?当Pr?1时，因为?'(0)?0， ?'(?)?1，所以式（4-57）又可写成

F(?)?1??'(?) ?

T?Tu （4-66） ?Wu?TW?T?1??t表示此时边界层内温度与速度呈同样的分布，所以?t??。一般而言则有?Pr3，不同

?Pr数下边界层内温度分布F(?)如图4.3所示，可以看到随着Pr数增大，?t明显变小，反

映热传导效应变得很弱。

图4.3 平板边界层内温度分布

又有

qW(x,Pr)??k?T?y?k(TW?T?)y?0u??A(Pr) （4-67） ?xqWx?Rex?A(Pr) （4-68）

k(TW?T?)1L2k qW??qW?dx?(TW?T?)ReL?A(Pr) （4-69）

0LLqWLNu??2ReL?A(Pr) （4-70）

k(TW?T?)Nu(x,Pr)?NuRNuR?eLA(Pr) （4-71）?exA(Pr)， CDf0.664Cf0.664其中

A(Pr)??F'(0)?数值如表4.2所示。

0.6 0.7 Pr [?''(0)]Pr??0[?''(?)]d?Pr （4-72）

0.8 0.307 0.9 0.320 1.0 0.332 1.1 0.344 7.0 0.645 10.0 0.730 15.0 0.835 A(Pr) 0.276 0.293 表4.2 A(Pr)随Pr数的变化

在0.6?Pr?10的范围内，有近似公式

A(Pr)?0.332P （4-73）

13ru?0???当P时， 温度边界层内 ?(?)??， F(?)???'?1，?rtu???e??0?1?Pr?241?Pr?24d?

ed?A(Pr)?1???1?''(0)?Pr?3121?''(0)?Pr?312?0e1?Pr?24?d?Pr? （4-74）

当Pr??时，?t?? ? 温度边界层内

u1??'??''(0)??， ?(?)??''(0)??2， u?2e??F(?)?d?

??0e?d?1?1??''(0)?Pr?312A(Pr)? ?0.3413Pr （4-75）

?0ed?近似公式（4-74）适用范围为0.005?Pr?0.05，（4-75）适用范围为Pr?10。

[例4-1]考虑绕半无穷平板的层流流动，假定来流的速度和温度分别为1m/s和300K，

平板温度为350K，试求离开平板前缘0.04m处，流体分别为空气、水、机油和水银时，边界层的名义速度厚度和名义温度厚度。 基本计算公式：?(x)?5 当T?300K时， ?空气?15.89?10m/s?62?xu?，?t(x)??(x)?Pr?1/3

，

Pr,空气?0.707??空气?3.99?10?3m?3?3，

?t,空气?4.47?10?3m

?水?0.86?10m/s，Pr,水?5.83??水?0.93?10m，?t,水?0.52?10m ?机油?550?10m/s?62?62，

Pr,机油?6400??机油?23.45?10?3m，

?t,机油?1.26?10?3m

?水银?0.1125?10m/s?62，

Pr,水银?0.0248??水银?0.34?10?3m，

?t,水银?1.25?10?3m

若改为按T?350K计算，则有

?62 ?空气?20.92?10m/s，

Pr,空气?0.700??空气?4.57?10?3m?3?3，

?t,空气?5.15?10?3m

?水?0.37?10m/s，Pr,水?2.29??水?0.61?10m，?t,水?0.46?10m ?机油?41.7?10m/s?62?62，

Pr,机油?546Pr,水银?0.0196??机油?6.46?10?3m??水银?0.31?10?3m，

?t,机油?0.79?10?3m

?水银?0.0976?10m/s?62，，

?t,水银?1.16?10?3m

在本题条件下，按照PrEc?2?u?k(TW?T?)计算可知：

184.6?10?7855?10?6?4 (PrEc)空气??0.14?10；(PrEc)水??0.28?10?4；?3?326.3?10?50613?10?5048.6?10?20.1523?10?2?5；。都能(PrEc)机油??0.067(PE)??0.36?10rc水银?3?3145?10?508540?10?50满足PrEc?1，因此，计算温度边界层时忽略粘性耗散函数是合理的。

[例4-2]考虑空气绕一长1m平板的层流流动，来流的速度和温度分别为25m/s和300K，平板温度为400K。试求：(a) 后缘处速度与温度边界层名义厚度；(b) 后缘处每

单位面积的热流量和壁面剪切应力；(c) 每单位展宽平板上的总阻力和总传热量。 当T?300K时，

?62?3 (a) ??15.89?10m/s，Pr?0.707???3.99?10m，?t?4.47?10m；

?3 (b) ReL?u?L??1.57?106，A(Pr)?0.332Pr1/3?0.296，??1.1614kg/m3，

k?26.3?10?3W/(m?K)?qW?1ReL?A(Pr)?k(TW?T?)?975.43W/m2L，

?W?0.3322?u??0.19N/m2； ReL0.6642?u??0.38N，qWL?2ReL?A(Pr)?k(TW?T?)?1951W。 ReL?3 (c) F? 若改为按T?400K计算，则有

?62?3 (a) ??26.41?10m/s，Pr?0.690???5.14?10m，?t?5.82?10m；

(b)

ReL?0.95?106，

A(Pr)?0.293，

k?33.8?10?3W/(m?K)，

??0.8711kg/m3?qW?965.26W/m2，?W?0.19N/m2；

(c) F?0.38N，qWL?1931W。

可以看出两种计算结果差别很小，实际应用中都可以采用。

第五章、粘性不可压缩流体的湍流运动（学时数：8）

5-1．绪论

（1）湍流（Turbulent Flow，日语写作“乱流”），顾名思义，是一种湍急而且紊乱的流动。与此相对应的是层流（Laminar Flow），流速较低并且流线层次分明的流动。1883年，Reynolds发表的著名实验，深刻地揭示了这两种流动的显著差别，并且将其原因归结为Reynolds数这一无量纲参数大小的不同。需要指出，湍流现象的紊乱不同于无规则的分子热运动，它是在时间和空间的连续介质尺度上的无规则运动，也就是说其中各个流体质点（而不是分子）上的各种物理量都是随机脉动的。

（2）从Reynolds实验中可以知道，在Reynolds数低于2?10时，管道中的流动不可能是湍流状态，管道中心的红墨水呈现为一条细细的流线，与周围的清水能够明显区分。当Reynolds数大于2?10之后，管道中的流动开始从层流状态向湍流状态过渡，管道中心的红墨水线渐渐变粗，直到与周围的清水相互掺混，也就是达到了完全湍流状态。层流向湍流过渡的主要判据是Reynolds数，但其临界值是不确定的（随着实验条件的不同而不同，在2?10?10范围里都有可能）。虽然湍流运动一定发生在大Reynolds数条件之下，但在研究湍流问题时并不能忽略方程中的粘性项，因为这种流动中存在着剧烈的质量、动量、能量交换。

（3）在从层流向湍流过渡的过程中，有个细节值得引起注意：并不是整个管道中所有位置同时都出现了掺混，而是先有管道内间隔一定距离的一段段地方出现掺混（在一个固定位置看，则是间隔一定时间出现一段，再过一段时间又出现一段），随着Reynolds数的升高间隔距离越来越小，直到整个管道完全变成湍流状态。把这一段段出现掺混的地方称为湍栓，它与交通流中经常可以观测到的一段拥挤一段通畅的情形很相似，所以可以借助交通流的实验观测手段对两者进行比拟和分析。

（4）湍流研究的主要方向包括：实验观测；数值模拟（大涡模拟、DNS等）；层流稳定性分析；湍流统计理论；湍流模式理论。工程应用上主要关注管道湍流引起的沿程阻力变化，管壁粗糙度的影响，湍流传热与燃烧效率的提高，河道水湍流与泥沙输运等问题。在本章里，首先给出一个层流稳定性分析方法的例子，然后按照Reynolds平均法则从Navier-Stokes方程出发建立描述粘性不可压缩流体湍流运动的Reynolds方程，再介绍Prandtl混合长理论并得到无界固壁附近二维定常简单剪切湍流速度分布，最后介绍工程上常用的湍流模式理论和圆管中湍流计算公式。

3533 5-2．层流向湍流过渡（层流稳定性）的一个例子

考虑两块无限大平板之间的二维粘性流场，其层流解一般为平面Couette流和平面Poiseuille流的叠加，设为u?u(y)， p?p(x)。假设这一流动受到某种小扰动，使得

u?u?u'(x,y,t)， v?v'(x,y,t)， p?p?p'(x,y,t) （5-1）

它们满足

?u?v??0 （5-2） ?x?y?u?u?u1?p??2u?2u?u?v???(?) （5-3） ?t?x?y??x??x2?y2?v?v?v1?p??2v?2v?u?v???(?) （5-4） ?t?x?y??y??x2?y2在保留到一阶小量的条件下，扰动量u'、v'、p'满足的方程是

?u'?v' ??0 （5-5）

?x?y?u'?u'?u1?p'??2u'?2u' ?u?v'???(?) （5-6）

?t?x?y??x??x2?y2?v'?v'1?p'??2v'?2v'?u???(?) （5-7） ?t?x??y??x2?y2?v'?u'????引入涡量的扰动量?'?和扰动速度的流函数?：u'?，v'??，可得 ??x?y?y?x ?'???2? （5-8）

??'??'?2u??2?'?2?' ?u?v'2?(2?2) （5-9）

?t?x?y??x?y这是???'型方程，（5-9）的无量纲形式是

??'??'?2u1?2?'?2?'?u?v'2?(2?2) （5-10） ?t?x?yRe?x?y再取?的Fourier级数中的代表项

????(y)?e?t?[cos(?x??1t)?isin(?x??1t)] （5-11） h其中??2?，h为平板之间距离的一半，?为扰动波的波长（不同Fourier分量应有不

?同的波长），代入（5-10）可得??的幅值?(y)满足的Orr-Sommerfeld方程（???1?i?2）

?i(u?)(?''??2?)?u''???(?''''?2?2?''??4?) （5-12）

??Re2对应的定解条件是

（5-13） ?(?h)??'(?h)??(h)??'(h)?0

如果?(y)存在非零解，那么系数之间应满足一定条件

?i??i(?,Re)， i?1,2 （5-14）

图5.1给出了（5-14）确定的?2(?,Re)?0曲线，这是一条层流失稳的临界曲线（?2?0即失稳），由此得到失稳的临界Reynolds数为1.06?10，比Reynolds实验结果要大很多，说明二维线性稳定性理论误差是比较大的。

4图5.1 平板间粘性流动的稳定性

5-3．Reynolds平均法和Reynolds方程组

（1）Reynolds平均法基本思想：将湍流流场中流体微团的任一物理量（速度、压强等）

f都分解为平均量f和脉动量（或涨落量）f'两部分，认为它们之和f?f?f'应满足1Navier-Stokes方程。平均量定义为f?T（10?5?T2Tt?2t?f?d?，其中T应大于湍流脉动周期

，又小于宏观不定常运动的特征时间。 ?10?2sec）

（2）Reynolds平均法性质：f?f， f?g?f?g， f?g?f?g， f'?0，

f?g?f?g?f'g'， f'g'?0，

?f?f， ?f??f。 ??t?t （3）Reynolds方程组导出：将Navier-Stokes方程写成张量形式

?ui ?0 （5-15）

?xi?ui?ui1?p??2ui?uj???， i?1,2,3 （5-16） ?t?xj??xi??xj?xj取Reynolds平均得平均量满足的方程

?ui?0 （5-17） ?xi?ui?ui1?p??2ui??uj????(u'iu'j)， i?1,2,3 （5-18） ?t?xj??xi??xj?xj?xj（5-18）称为Reynolds输运方程，其中最后一项与脉动量有关，称为Reynolds应力（?'ij???u'iu'j），方程因此无法封闭，形成了统计理论和模式理论两种研究方向。 又有张量形式能量方程

?u?uj?ui?T?T?2T?C(?uj)?k??(i?) （5-19）

?t?xj?xj?xj?xj?xi?xj同样取Reynolds平均得

?u?uj?ui?T?T?2T??C(?uj)?k??(i?)??C(u'jT') （5-20）

?t?xj?xj?xj?xj?xi?xj?xj （4）Reynolds应力的物理意义：在层流时，流体的粘性应力是由于两层相邻流体接触

面上存在着分子的交换，相对速度较快的流体中分子平均速度也比较快，它们进入相对速度较慢的流体后使得后者的速度变快，反之亦然。在湍流中，不仅有接触面上分子的交换，而且由于存在着强烈的脉动，使得两部分流体之间还有连续介质尺度上的流体微团的交换，相对速度较快的流体微团进入相对速度较慢的流体后使得后者的速度变快，反之亦然，这就是Reynolds应力的物理意义。由于一个流体微团包含大量分子，所以湍流的粘性、动量交换和能量交换，都要比层流剧烈得多，Reynolds应力也远远大于层流粘性应力。

5-4．Prandtl混合长理论

（1）Boussinesq假定：借鉴层流粘性应力的形式，将Reynolds应力写成

?'ij???u'iu'j??t?ui （5-21） ?xj其中?t称为湍流粘性系数，或者涡粘性系数。

（2）Prandtl“混合长”概念：考虑二维定常简单剪切湍流情况，设平均速度分布为u(y)，类比于分子平均自由程有一个湍流脉动的距离l'，在该距离内认为流体质点没有发生动量交换，所以由u?u?u'?u(y)?l'dudu ? u'?l'；然后再假定两个坐标方向上的

dydydududu ? u'v'?c1c2l'2，这里的l就?l2dydydy?ui的方向一致，在?xj22脉动应该具有同样量级，即v'?c1l'称为“混合长”。

（3）用混合长表示的湍流粘性应力：注意到粘性应力?'ij应该与定常二维简单剪切湍流情况下就有

?'yx???u'v'??t所以涡粘性系数

dududu??l2? （5-22） dydydy?t??l2du （5-23） dy?ui联系起来了，通过适当选取l的表达式，就有可能?xj （4）最后应该指出，Prandtl混合长理论的基本假设其实并不具有实际物理意义，其真正的意义在于把?'ij直接和平均量

求解湍流平均量的Reynolds方程组。由于在?'ij的表达式中没有出现脉动量的更高阶项，也不需要补充其他方程，所以它被称为“0方程模式”。

5-5．无界固壁附近二维定常简单剪切湍流速度分布

（1）这一节我们讨论无界固壁附近二维定常简单剪切湍流问题，通过Prandtl混合长理论导出其中湍流平均速度场的表达式。根据问题假设，平均速度只有一个分量u(y)，并且不考虑压强梯度项，所以控制方程可以简化成为

ddu[(???t)]?0 （5-24） dydy定解条件则有

u(0)?0， ?yx(0)??W （5-25）

?(???t)du??W （5-26） dy其中涡粘性系数?t由（5-23）式表示。

（2）粘性底层：在紧贴壁面的很薄的一层里，由于壁面限制了湍流脉动的发生，使得层流粘性应力占据主导地位，所以

???t?u?*?Wy （5-27） ??Wuu*y??定义壁面摩擦速度u?，引进无量纲变量u?*， y?，则有

?u?u??y? （5-28）

（3）湍流核心层：在粘性底层以外的地方，由于湍流粘性远远大于层流粘性，所以

duu* ???t?? （5-29）

dyl进一步假定l?ky，其中k?0.4为von- Karmann常数，又有

1 u??lny??? （5-30）

k1??这里无量纲常数??????ln???， ??则是粘性底层与湍流核心层之间分界处的y值。

k （4）根据实测数据定出常数，得到整个二维定常简单剪切湍流平均速度分布为

,y??11.5?y?u?? ? （5-31） ??2.5lny?5.5,y?11.5?如果考虑粘性底层与湍流核心层之间还有一个过渡层，则又有

?,y??5y?? u???5.0lny??3.05 , 5?y??30 （5-32）

??2.5lny??5.5,y?30?

5-6．湍流模式理论

（1）0方程模式，即只在Reynolds方程组的基础上补充关于涡粘性系数的代数方程而不是微分方程使方程组能够封闭求解，其中最常见的就是混合长模式，此外还有von-Karmann模式

dud2u2 ?t??k/(2) （5-33）

dydy23其中k为von- Karmann常数。

（2）2方程模式，也叫k??模式：把涡粘性系数写成

?t?C??K2其中K和?分别称为湍流脉动动能（或湍动能）和湍动能耗散率，定义为

? （5-34）

1 K?u'2?v'2?w'2 （5-35）

2??u'?u'?u'?v'?v'?v'?w'2?w'2?w'2??()2?()2?()2?()2?()2?()2?()?()?()

??x?y?z?x?y?z?x?y?z （5-36） C?则是一个待定的无量纲常数。然后，通过补充两个关于K和?的微分方程使Reynolds方程组能够封闭求解。

在二维简单剪切湍流条件下，K和?满足的补充方程可以写成

?t?K?K?K??u2?3?(?u)?[(??)]??t()?CDK2 （5-37） ?t?x?yPrK?y?yl??????t????u2?2?(?u)?()?C1?t()?C2? （5-38） ?t?x?yPr??yK?yK这里又引入了PrK、Pr?、C1、C2、CD等五个无量纲常数以及有量纲参数l，它们都需要通过实验确定。

（3）二维定常湍流运动中无量纲守恒型k??模式方程的统一形式为

???????? (u?)?(v?)?(?)?(?)?s （5-39）

?x?y?x?x?y?y其中u、v是无量纲的平均速度分量，?是未知函数，在不同的方程中有不同的意义，?和s则是?的某个已知函数。

取??1， ??s?0，得到连续性方程

?u?v（5-40） ??0

?x?y?1K2?u?1K2?v?p1K2[(?C?)]?[(?C?)]??C?取??u， ??， s?，?xRe??x?yRe??x?xRe?得到x方向动量方程

?2??1?u?1?v?u?p （5-41） (u)?(uv)?[2(??t)]?[(??t)(?)]??x?y?xRe?x?yRe?x?y?x其中

?t?C?K2为无量纲的涡粘性系数，K和?则为无量纲的湍动能和湍动能耗散。取??v，

? （5-42）

?1K2?u?1K2?v?p1K2[(?C?)]?[(?C?)]????C?， s?，又得到y方?xRe??y?yRe??y?yRe?向动量方程

???1?u?v?1?v?p(uv)?(v2)?[(??t)(?)]?[2(??t)]? （5-43） ?x?y?xRe?y?x?yRe?y?y1?t?u2?v2?v?u2取??K， ??， s??t[2()?2()?(?得到湍动能K的?)]??，

RePrK?x?y?x?y方程

??K??K???1?1(uK)?(vK)?[(?t)]?[(?t)]? ?x?y?xRePrK?x?yRePrK?y?u?v?v?u??t[2()2?2()2?(?)2]?? （5-44）

?x?y?x?y??u2?v2?v?u2?21?t)]?C2?取???， ??， s?C1?t[2()?2()?(?，得到

K?x?y?x?yKRePr?湍动能耗散率?的方程

???1????1???(u?)?(v?)?[(?t)]?[(?t)]? ?x?y?xRePr??x?yRePr??y?u2?v2?v?u2?2?C1?t[2()?2()?(?)]?C2 （5-45）

K?x?y?x?yK其中参数可取为：C??0.09， C1?1.44， C2?1.92， PrK?1.0， Pr??1.32。数

?值计算与实验结果对照发现，各向同性区域吻合良好，但在速度梯度大的强剪切流场中误差较大。 （4）模型参数辨识：一般思想是将通过模型数值计算得到的结果与实测数据进行比较，然后改变参数重新进行比较，这样反复多次，再利用最小二乘法等方法建立目标泛函的极值问题，从中求解确定最优化参数值。结果发现，参数PrK和Pr?灵敏度较低，所以一般可以略去不必进行辨识；对于轴对称管流这一类简单剪切流动而言，上述参数的通用值比较

有效，C?、C1、C2的差值分别在2.22%，3.40%，4.95%左右；在二维后向台阶流动这一类典型分离流动中，参数通用值误差就较大，建议取C??0.497， C1?1.482，

C2?1.657；而在轴对称突扩管流问题中，则建议C??0.103， C1?1.507， C2?1.946。

5-7．圆管中的定常湍流

?p、Qv、?、?、D和e六个，其中l是某一段管l道长度，?p是相应的压降（平均压强梯度），D是平均管径，e是管壁表面的粗糙度（实际管径与平均管径D的偏差的绝对值的平均值）。对应的独立无量纲参数有三个：

Qv?pDDe是湍流平均速度?，这里uave?ReD?uave、 和沿程阻力系数??211?D?uavel?D224e分布在管道截面上的平均值。理论分析的主要任务是根据ReD和的数值确定管内流动的

D?p4e?2??W ? ?W??uave ? 单位长状态和???(ReD,)的函数形式，然后利用lDD8度圆管受到的总阻力F??D?W。

（2）光滑管的情况：e?0，实验发现此时管内湍流平均速度分布表达式仍可以采用

（1）问题提法：特征物理量有根据Prandtl混合长理论给出的对数律公式

?,y??11.5y?u?? ? （5-31） ?,2.5lny?5.5y?11.5?u*yD?不过这里无量纲坐标y?中的y??r， r是以圆管中心为原点的径向坐标。根据

?2?式（5-31），光滑也可以理解为粗糙度e?11.5?u*。

因为线性底层通常很薄，所以在计算uave时可以将它略去而得到

8DD?2urdr?(2.5lny?5.5)(?y)dy ?D2?02Du*8D?2.5ln?5.5?2?2.5?2(lny?ylny)dy

0?D2u*D?2.5ln?1.75 （5-46）

2?u*DReD?u*2?)， 因为??8(，所以有 2?42uave11uave??2.035lg(ReD?)?0.913 （5-47） *?8uuave8?u*D2?D20调整为

1??2.0lg(ReD?)?0.8 （5-48）

36式（5-48）称为Prandtl-Schlichting公式，适用范围3?10?ReD?4?10。

由于通过（5-48）式计算?是一个隐函数，不易求得，所以又引入幂函数壁面律（

1律） 7uu*y1 ?8.562()7 （5-49）*u?于是有

115**1uave8DuyD8u49D?2?28.562()7(?y)dy?2?8.562()7?()7 *uD0?2D?12021ReD149umax49uave1778 （5-50） ???8.562()/(*)?5.0282ReD*60u602u从而得到

??0.3164R514（层流eD ?Hagen-Poiseuille公式有??64ReD） （5-51）

35?1式（5-51）称为Blasius公式，适用范围3?10?ReD?10。 当ReD?10时，可以改用

1壁面律 101uu*y10 ?11.5() （5-52）*u?12?uave1111 ??0.1390ReD （5-53） ? *?7.586ReD，

u （3）粗糙管的情况：Nikuratse通过大量实验发现，由对数律公式导出的

uumax2y??2.5ln （5-54） **uuD其实与管的粗糙度无关，都能与湍流核心区的数据很好吻合。因此，若把速度分布写成

uu*y ?2.5ln?B （5-55）

u*?umaxu*D其中B?*?2.5ln为一常数，则粗糙度的影响只是体现在B的取值上。根据

u2?Prandtl-Schlichting的实验

B?5.5?2.5ln(1?0.3当

u*e?) （5-56）

u*e??70时可近似为

B?5.5?2.5ln(0.3u*e?)?8.5?2.5lnu*e?u*e （5-57） （

由此可知B的极限值为5.5（e?0）和8.5?2.5ln入（5-55）计算uave可得

u*e????）。将B的表达式代

1uave1.752.52?u*e9.428e???ln[?(1?0.3)]?1.07?2.035lg(?) **??8u88uDReD?D1与Prandtl-Schlichting公式相类似调整系数后得

1??1.14?2.0lg(9.35e?) （5-58） DReD?式（5-58）称为Colebrook公式，适用范围ReD?4160?(又有近似表达

?0.9??0.25(5.74ReD?lgD0.85)。为了克服隐式计算困难，2ee?2 ) （5-59）

3.7De9.35?的完全粗糙管，则又有Nikuratse公式 DReD?1e ?1.14?2.0lg （5-60）

D?D适用范围ReD?4160?()0.85。

2e 工程计算时首先要根据管壁材料查表5.1确定粗糙度e，根据已知条件算出uave和ReD，然后选用（5-48）、（5-51）、（5-53）、（5-58）、（5-59）、（5-60）中适当的公式计算（也

e可以通过查Moody图）确定???(ReD,)，再计算?W和单位长度圆管所受流体阻力F以

D*及u，最后根据粗糙情况和流态确定速度剖面。

对于 冷拔管 熟铁或钢管 e(mm) 0.0003 0.0015 0.046 材料 玻璃 涂沥青铸铁 0.12 马口铁 0.15 铸铁 0.26 铆接钢管 0.18-0.9 0.3-3.0 0.9-9.0 木管 混凝土 表5.1 工业管道的粗糙度

?62 [例5-1]设汽油流过内径D?130mm的铸铁管，已知?汽油?0.37?10m/s，

?汽油?670kg/m3，若体积流量Qv?40L/s，试求湍流核心区的平均速度剖面，并确定单位长度管壁对流体的阻力F。

e (a) 查表5.1知铸铁e?0.26mm，所以?0.002；

D4QvDD0.856 (b) 计算uave?，?3.014m/s?R?u?1.059?10?4160()； aveeD2?D?2e (c) 查Moody图或用公式（5-60）计算得??0.0234；

?2 (d) 计算?W??uave?17.80Pa，所以F??W?D?7.269N/m；

8?Wu*e*?0.16m3s?/?114.?53，为70 (e) 计算u?完全粗糙管，所以??yu)，5。 u?u*(2.5ln?8.max?3.635m/s（同样条件下层流时umax?6.028m/s）

e （4）最后指出，只要将公式中的D改成

S De?4 （5-61）

L其中S为过水面积，L为湿周，则本节内容可以近似应用到其他截面形状的管道以及有自

由面的管道或渠道湍流问题中去。

第六章、空气动力学基本方程组与一维定常流（学时数：6）

6-1．绪论

?9

（1）气体和液体是两大类主要的流体。空气（以及其他气体）相对液体而言，由于其分子平均自由程要大得多（常温下为l?3.3?10m），在外力作用下体积改变比较明显，所以一般需要考虑其可压缩性。气体的压缩性可以用等温过程下的压缩性系数

???1d?1d?()T和等压过程下的热膨胀系数?T??()p定义。本章将会指出，虽然空?dp?dT气总是存在可压缩性特征，但在流体动力学问题研究中，只有在流动速度很高时才有必要考虑可压缩性效应，否则仍然可以当作不可压缩流体处理。 （2）由于空气的分子平均自由程比液体要大很多，所以空气流动时流体微团表面之间的动量交换能力比液体要小很多，也就是说空气的动力粘性系数很小，一般可以当作无粘流体对待，本章中若无特殊说明均假定空气为无粘流体。 （3）研究空气动力学问题必须遵循空气的各种热物理性质，这些热物理性质由空气微团的温度、压强、密度、熵等参量来刻画，在准静态假定下（下一章将要讨论的激波过程不能满足这一假定）这些参量是时间、空间坐标的确定函数。根据热力学知识，温度、压强、密度、熵四个参量中，可以任意取定两个，另外两个则由它们所决定。同样由于空气的分子平均自由程比较大，空气微团之间的热传导能力也比较小，加上空气的无粘假定，可以认为空气流动时流体微团是绝热的，绝热的准静态过程一定是等熵过程，所以本章中若无特殊说明均假定空气运动过程为绝热（或等熵）过程。

（4）随着人类航空航天能力的日益增强，飞行器到达的位置离地球越来越远，空气也越来越稀薄，这就对连续介质假定的适用范围提出了挑战。根据近年来的研究，把连续介质假定的适用范围限制在标。

ld??0.15，其中?为空气密度，x为与地球之间径向距离坐?dx 6-2．连续性方程

（1）Euler形式：在连续介质假定的适用范围内，空气运动中必须遵循的质量守恒定律可以表示为

???? ???(?V)?0 （6-1）

?t或者

??1d? ???V?0 （6-2）

?dt （2）只考虑径向速度的一维Lagrange形式：设初始位于?处的空气微团的密度为?0，它在运动中一般位置坐标和密度分别为r(?,t)和?(?,t)，则有

11ra?1?r?() （6-3） ??0???其中a?1,2,3分别表示直角、柱面、球面三种坐标系。

（3）一维不定常流与河道水力学方程的比拟（水气比拟）：考虑垂直二维平面中河道水力学问题的连续性方程（不可压缩）

?u?v??0 （6-4） ?x?y假定静态水深为d，则底面固壁边界条件为

uy??d?vy??d?0 （6-5）

在自由面y??(x,t)上，有运动学边界条件

d????? （6-6） ??uy??dt?t?x因为其两个方向特征长度存在显著差异而将连续性方程（6-4）从y??d到y??积分一

vy???次并利用（6-5）和（6-6）得

??v?u????dy?dy?udy?u?vy???vy??d ??d?x??d?yy???x??d?x??????????udy??(Hu)?0

?d?t?x?t?x?1其中u(x,t)?H(x,t)???d则表u(x,y,t)dy表示x位置处水平流速的平均值，

??d??d示x位置处的动态水深，H的不同就反映了该位置上流体质量的不同。注意到d与时间无

?关，所以有

?H? ?(Hu)?0 （6-7）

?t?x与一维可压缩流动的连续性方程（6-1）具有相同形式。同样能够证明垂直积分平均之后的x方向动量方程也和一维可压缩流动的形式相同，因此就可以用比较容易观测的水位变化值H(x,t)来比拟更难观测的密度变化值?(x,t)，尤其是可以用H存在明显间断的水跃或涌潮来比拟空气动力学中的激波过程。

6-3．动量方程

（1）Euler形式

????????1?V?(V??)V?f??p （6-8） ?t??p?gg??z??z，若T?273K，则要?z?80m时，才有 （2）因为ppRT?p?0.0，所以在小空间假定下可以忽略体积力。1 p （3）只考虑径向速度的一维Lagrange形式

?r ?u(?,t) （6-9）

?t?u1?p1r?p????()a?1 （6-10） ?t??r?0???其中u(?,t)在a?1,2,3时分别表示u、Vr、VR三种不同坐标系下的径向速度。

6-4．能量方程

?????V2V21(e?)?(V??)(e?)????(pV) （6-11） ?t22?

（1）Euler形式

（2）几种等价形式：利用动量方程和连续性方程可将（6-11）改写成

????????1??dedV11??V????(pV)?V?(?p)???(pV) dtdt????pd?p?d1 ????V?2??p() （6-12）

??dtdt?1p又因为根据热力学关系，内能e?CvT?（其中空气的比热比??1.4），所以

??1?ddt(p11dpd1??1ded1??)????1[?dt??pdt(?)]????1[dt?pdt(?)]?0 ?dSdt?0 其中熵的表达式

S?Cvlnp?? 此式说明绝热的准静态过程一定是等熵过程，应满足等熵方程。

（3）只考虑径向速度的一维Lagrange形式

?e?t??p??t(1?)

6-5．方程组的封闭与定解条件提法

（1）Euler形式

??????(?V??)?0 ?V?t?????t?(V??)V???1??p ??t(e?V22)?(V????)(e?V22)??1???(pV??) 为封闭方程组需补充完全气体状态方程

p?R?T 和内能表达式

e?CRTvT???1 其中自变量为(x,y,z,t)，未知量有?、V??、p、T、e共5个，正好封闭。

通常还要用到焓的表达式

i?e?p?RT??CpT???1 （2）只考虑径向速度的一维Lagrange形式

1??1ra?1??()r 0????r?t?u ?u?t??1?(r)a?1?p 0???6-13）

6-14）

6-15）

（6-1）

（6-8） 6-11） 6-16）

6-17） 6-18） （6-3） （6-9）

6-10） （ （ （ （ （ （ （ （ ?e?1 ??p() （6-15）

?t?t? p?R?T （6-16）

RT （6-17） e?CvT???1其中自变量为(?,t)，未知量有?、r、u、p、T、e共6个，也正好封闭。这一形式的

方程组可以用于爆轰波之类问题的研究。 （3）定解条件提法

?????)0V （3-1）初始条件：V(x,y,z,0(x,y，,z )p(x,y,z,0)?p0(x,y,z)，

?(x,y,z,0)??0(x,y,z)或T(x,y,z,0)?T0(x,y,z)。

??F? （3-2）固壁速度条件：?V??F?0，其中F(x,y,z,t)?0为运动固壁方程。

W?t （3-3）固壁温度条件：TW?TW或者

?T?n?0。

W 6-6．方程组的守恒形式与特征形式

??? ?(?u)?0 （6-18）

?t?x?u?u1?p ?u??0 （6-19）

?t?x??x

（1）守恒形式（以一维流动为例）

?u2?u21?(e?)?u(e?)?(pu)?0 （6-20） ?t2?x2??x?u2TTuE??(e?)记m??u， s， ?{?,m,Es}?{u1,u2,u3}，则有

????2?u?F(u) ??0 （6-21）

?t?x???这就称为守恒型方程组，其中通量矢函数F(u)的表达式为

???m2TF(u)?{F1,F2,F3}?{m,?p,u(Es?p)}T

?3??m2??1m3mT?(??1)Es,???E} ?{m, s22?2??23u2u3T3??u2??1u2?(??1)u3,???} （6-22） ?{u2, 2u12u12u1定义Jacobi矩阵

???FA???u???010???3?????u2(3??)u??1?（6-23） ??2??22u3u32?(??1)u??u(e?)?(??1)u??(e?)?u????222????????不难验证Au?F(u)，表明通量矢函数F(u)是齐次线性函数。又可知A有特征值如下

?1?u， ?2,3?u??p??u?a （6-24）

其中a为声速，物理意义将在下面指出。

（2）特征形式（也以一维流动为例，能量方程则采用等价的等熵方程形式）

?????u ?u???0 （6-18）

?t?x?x?u?u1?p ?u??0 （6-19）

?t?x??x?p?p (?)?u(?)?0 （6-25）

?t??x?记

p??????a?a(??1)a2(?u)?2a?(?u)

?t?x?t?x1?p2a?aa2???(lnD) ??x??1?x??1?x2?a2u?a?u???a?0 ??1?t??1?x?x?u?u2a?aa2??u??(lnD) ?t?x??1?x??1?x?2a?2aa2??(u?)?(u?a)(u?)?(lnD) （6-26） ?t??1?x??1??1?xdx这就称为特征型方程组。从中可以看到，在第一条特征线（迹线）??1?u上，熵（或

dt2adx者D）是不变量；在另外两条特征线如果流场是匀熵的，那么u???2,3?u?a上，

??1dt2a和u?就分别是不变量。这就构成了特征线算法的理论基础。

??1???D?， a2??p??D????1??Dp??1?，则有

（3）声速与扰动的传播

（3-1）扰动传播的物理模型：假定考虑一个均匀流场，某时刻在其中某位置上流动参量发生一个小的扰动，使得压强、密度有微幅升高（或下降）。由于空气的可压缩性，它会对紧邻的流体微团产生影响，使它们的压强、密度有相应的微幅升高（或下降），然后再影响与它们相邻的流体。因此，这种小扰动在空气中是以波的形式逐渐传播的，典型的例子就是人讲话时，声带的振动对空气产生“升压，降压，升压，降压，……”的连续扰动，这种扰动波通过空气作为介质传递到听者的鼓膜而引起鼓膜的振动，就听到了声音。所以，在空气动力学研究中，一般把小扰动的传播速度就称为声速，但它不是一个常数，而是与压强、密度、温度、熵等地位相当的一个热力学变量，又具有速度量纲。

（3-2）声速公式的导出：考虑一维流动（同样可推广到柱面或球面坐标系中只有径向速度的情况），假定未受到扰动时空气静止，压强和密度分别为p0和?0。取扰动波阵面处的流体薄层为控制体（匀速运动），如图6.1所示，波阵面后的扰动量u'、p'和?'都为小量。控制体上没有流体堆积，所以按相对坐标下的质量守恒和动量定理得

?0a?(?0??')(a?u')??0a??'a??0u'

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