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第六章 导 数

第01讲：导数的概念、几何意义及其运算

常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：

C'?0(C为常数);(xn)'?nxn?1,n?N?；

(ax)'?axlna；

x'x(sinx)'?cosx;(coxs)'??sinx;(e)?e;11''(lnx)?;(logax)?logae

xx法则1： [u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)

法则2： [u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)

''u(x)u(x)v(x)?u(x)v(x)'法则3： []?(v(x)?0) v(x)v2(x)（一）基础知识回顾：

1.导数的定义：函数y?f(x)在x0处的瞬时变化率

f(x??x)?f(x)?y00称为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f/(x0)或lim?lim?x?0?x?x?o?xf(x0??x)?f(x0)y/x?x0，即f/(x0)?lim

?x?0?x如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x?(a,b)，

都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)。称这个函数f(x)为

///函数y?f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)＝y＝

f(x??x)?f(x) lim?x?0?x///导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数

y?f(x)在x0处的导数y/?f?f(x??x)?f(x);

x?x0，就是导函数f/(x)在x0处的函数值，即y/x?x0＝f/(x0)。

2. 由导数的定义求函数y?f(x)的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量

?ff(x??x)?f(x)?f; （3）.取极限，得导数y/＝lim。 ??x?0?x?x?x3.导数的几何意义：函数y?f(x)在x0处的导数是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处的切

（2）.求平均变化率

线的斜率。 因此，如果f?(x0)存在，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为______________________。

4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：

?n/n?11??（1）公式(x)?nx的特例：①(x)??______; ②???_______, ③(x)???x?_________.

（2）法则：①[c?f(x)]?________; ②若y?f(u),u??(x)，则y?=_______________.

/x（二）例题分析： 例1. 已知y=

1，用导数的定义求y′. xx?1例2.设曲线y?在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ D）

x?1A．2 B．1 C．?1 D．?2

22134x?x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ） 331212（A） （B） （C） （D）

99332 例4.已知直线l1为曲线y?x?x?2在点（1，0）处的切线， l2为该曲线的另一条切

例3.曲线y=线，且l1?l2.

（Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

第02讲： 导数在研究函数中的应用

（一）基础知识回顾：

1. 设函数y?f(x)在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则

y?f(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则y?f(x)是这个区间内

单调递减.

2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数y??f?(x)； （2）解方程f?(x)?0； （3）使不等式f?(x)?0成立的区间就是递增区间，使f?(x)?0成立的区间就是递减区间。

3. 求函数y?f(x)的极值的方法：

（1）求导数y??f?(x)； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）；

（3）如果在根x0附近的左侧f?(x)____0，右侧f?(x)____0，那么f(x0)是y?f(x)的极

大值；如果在根x0附近的左侧f?(x)____0，右侧f?(x)____0，那么f(x0)是y?f(x)4．在区间 ?a,b?上求函数 y?f(x)的最大值与最小值 的步骤：

（1）求函数 y?f(x)在(a,b)内的导数； （2）求函数 y?f(x)在(a,b)内的极值 ； （3）将函数y?f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)作比较， 其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值

的极小值

第03讲： 导数的实际应用

（一）基础知识回顾：

1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点x，且f(x)是这个函数的

00极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。

2.定积分的几何意义：

?baf(x)dx表示由直线__________,_________,__________和曲线

y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。

3．微积分基本定理（牛顿---莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F?(x)?f(x)，那么

?baf(x)dx?F(b)?F(a)。常常把F(b)?F(a)记作F(x)|a。

b

高中数学专题六 数列

数列知识点总结

第一部分 等差数列

一 、 定义式： an?an?1?d 二 、 通项公式：an???am?(n?m)d

??a1?(n?1)d一个数列是等差数列的等价条件：an?an?b(a，b为常数)，即an是关于n的一次函数，因为n?Z，所以an关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 、 前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na中间项?na1?d

22一个数列是等差数列的另一个充要条件：Sn?an2?bn(a，b为常数，a≠0)，即Sn是关于n的二次函数，因为n?Z，所以Sn关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 、 性质结论

1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，

如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a与b的等差中项A?a?b；

2在等差数列?an?中，若m?n?p?q，则

am?an?ap?aq；若m?n?2p，则am?an?2ap；

3.若等差数列的项数为2nn?N?，则S偶?S奇?nd，

???S奇S偶?an； an?1若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，

?S奇S偶?n n?14.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设A?a1?a2???an,，

B?an?1?an?2???a2n，

C?a2n?1?a2n?2???a3n，则有2B?A?C；

5.a1?0,Sm?Sn,则前Sm?n(m+n为偶数)或Sm?n?1(m+n为奇数)最大

22

第二部分 等比数列

一 、 定义：

an?q(n?2,an?0,q?0)?{an}成等比数列。 an?1二 、 通项公式：an?a1qn?1，an?amqn?m

数列{an}是等比数列的一个等价条件是：

当q?0且q?0时，an关于n的图像是指数函数图像的分Sn?a(bn?1),(a?0,b?01，）点表示形式。

(q?1)?na1?n三、 前n项和：Sn??a1(1?q)a1?an?1q；

?(q?1)?1?q1?q?(注意对公比的讨论)

四、 性质结论：

1.a与b的等比中项G?G?ab?G??ab(a,b同号)；

22.在等比数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

若m?n?2p，则am?an?ap；

23.设A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，

C?a2n?1?a2n?2???a3n， 则有B2?A?C

第三部分 求杂数列通项公式an

一． 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。 第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，

an?1?1?an?1，

2an?1?1111两边取倒数??2??{}是公差为2的等差数列an?1?1an?1an?111???2(n?1)，从而求出an。

an?1a1?1例如：第二类：

(n2?1)an?n2an?1?n(n?1)? n?1n?n?1?an?an?1?1??an?是公差为1的等差数列 nn?1n??n?11?12n?an?a1?an?

n1n?1二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

例如an?nan?1?an?nn??1a?n【注: n!?n(n?1)(n?2)?1】

求通项公式an的题，不能够利用构造等比或者构造等差求an的时候，一般通过递推来求an。

第四部分 求前n项和Sn

一 、 裂项相消法：

?2?????an?na!1

1111??????11111?22?33?4（nn?1）1,2,3,4,?的前n和是：39278111111111(?)?(?)?(?)???(?)、

1111122334nn?1（+12+3+4+?）+（+++??）11n392781???1n?1n?1二、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

求：

Sn=x?3x2?5x3???(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn (x?1)Sn=x?3x2?5x3???(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn (x?1)① xSn=x2?3x3?5x4??(2n-5)xn-1?(2n-3)xn?(2n-1)xn+1 (x?1)②

①减②得：

(1?x)Sn=x??2x2?2x3???2xn-1?2xn???2n?1?xn+1?x?2x2?1?xn-1?1?x??2n?1?xn+1

从而求出Sn。

三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法

例：等差数列求和：

Sn=a1?a2?a3???an?2?an?1?anSn=an?an?1?an?2???a3?a2?a1两式相加可得：

2Sn=?a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????a3?an?2???a2?an?1???a1?an??n?a1?an??Sn

高中数学专题九 概率

概率部分知识点

?

事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )

?随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件

A在n次实验中发生了m次，

当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为P?A??

m n?概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有0?P?A??1

可能事件,则有P????1,P????0③如果事件 ② 用?和?分别表示必然事件和不A和B互斥,则有:P?A?B??P?A??P?B?

?古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事

件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是

1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为 nmP?A??

n?几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域D中随机地取

一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为

P?A??d的侧度 （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，

D的侧度线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域

D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的

可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对

立事件 ，事件A的对立事件 记为：A

,则 P?AB??P?A?P?B?， ?独立事件的概率：若A , B 为相互独立的事件事件若A1 , A2, ... , An 为两两独立的事件,则 P?A1A2...An??P?A1?P?A2?...P?An?

,则 A , B 中最多有一个发生,可能都不发生，但不说明：① 若A , B 为互斥事件可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：

表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件A,B是互斥事件，则有

P?A?B??P?A??P?B?⑦ 一般地，如果A1,A2,...,An 两两互斥，则有P?A1?A2?...?An??P?A1??P?A2??...?P?An?⑧ P?A??1?PA⑨ 在本教

材中A1?A2?...?An 指的是A1,A2,...,An 中至少发生一个

??

?例题选讲：新课标必修3概率部分知识点总结及典型例

题解析

?

事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )

?随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件

A在n次实验中发生了m次，

当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为P?A??m n 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

?概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有0?P?A??1

可能事件,则有P????1,P????0③如果事件 ② 用?和?分别表示必然事件和不A和B互斥,则有:P?A?B??P?A??P?B?

?古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事

件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是

1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为 nmP?A??

n?几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域D中随机地取

一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为

P?A??d的侧度 （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，

D的侧度线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对

立事件 ，事件A的对立事件 记为：A

,则 P?AB??P?A?P?B?， ?独立事件的概率：若A , B 为相互独立的事件事件若A1 , A2, ... , An 为两两独立的事件,则 P?A1A2...An??P?A1?P?A2?...P?An?

,则 A , B 中最多有一个发生,可能都不发生，颜老师说明：① 若A , B 为互斥事件但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件A,B是互斥事件，则有

P?A?B??P?A??P?B?⑦ 一般地，如果A1,A2,...,An 两两互斥，则有P?A1?A2?...?An??P?A1??P?A2??...?P?An?⑧ P?A??1?PA⑨ 在本教

材中A1?A2?...?An 指的是A1,A2,...,An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题

??

?例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A

意义为“选取2个球都是其它颜色球”

? PA?11114 ? ? P?A? ?1 - PA?1 - ?

(6?5)151515214 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .

15????

解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有

6?5?15种情况，设事件 A 为“选24?3?14 取2个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有4?2?214 所以P?A??

1514答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .

15解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：

42244342244314? , ? , ?， 则有 P?A??? ? ? ? ?? 6565656565651514答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .

15评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用

不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!

变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A，

意义为“选取3个球都是白球”

4?3?23C4143?2?1 ?4?3?2?1 ? PA?3?? P?A? ?1 - PA?1 - ?

654555C6(6?5?4)3?2?1????答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为

4 . 56?5?4?20种情况，设事件 A

3?2?13解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有C6?为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有

4?3164?16， 所以 P?A??? 22054答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .

522?C4?1?4?2?解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A的

情况如下：

红 白 白

2431??? 65454321 1红2白 白 白 红 ???

65454231白 红 白 ???

65452141 红 红 白 ???

6541524112红1白 红 白 红 ???

654154211 白 红 红 ???

65415114? 所以 P?A??3??3?5155答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为

4 . 5变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率： （1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次

解：设事件A为“第1次抽到的是次品”， 事件B为“抽到的2次中，正品、次品各一次”

214?2?2?4424424? ，P?B???（或者P?B??????） 636?696666914答：第1次抽到的是次品的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为

39则 P?A??变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？

【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来

解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少1人抽到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”

?P31P313?33?333? （1）P?A???? 或者P?A??2?????6510?6?510?P6P321?321?14????PB?1?PB?1?? （2）PB??? 则 或者PB??2??55655?5?P6??????答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

34，少1人抽到选择题的概率为 . 105变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不

放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？

【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球 略解:P?A??32233?63? ?????? ?或者 PA?? ?2??54545?5C5?变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？ 略解: P?A??42244?22?44?????? 66666?66?69例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？

【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量

解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 D，事件“发放急救物品无效”为A ，距离水池10米范围为区域 d ，即为图中的阴影部分， 则有P?A??d测度D测度

80?50?2?80?10?2?50?10?4??答：略

??10?24

1000?1000颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一

般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的

变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚

硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？ 略解：P?A??d测度D测度224 ?2?232??4?4?1?4??1变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a , 现有一直径等于a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？

2【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径

解：如图，正三角形ABC内有一正三角形 A1B1C1 ，其中

AB?a , A1D?B1E?A1F?AD1a , AD?BE?1 6tan30??33?3??a a??1??a ，? A1B1?AB?2AD?a?33?6??当圆心落在三角形 A1B1C1 之外时，硬币与网格有公共点

CC1FA1ADaB1EBa/6? 有公共点的概率 P?S?ABC-S?A1B1C1

S?A1B1C12323?3?2?1??aa??44?3????0.82 32a4答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .

中 ， AB?5 , AC?7 , 在正方形内变式训练3：如图，已知矩形ABCD 任取一点P , 求 ?APB?90?的概率？ 1?5????5?2?2?略解：P?A?? ?5?756变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r < a的

DC AB2P硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率？

解：设事件A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM，垂足 为M， 线段OM的长度的取值范围为? 0 , a ? ，其长度就是 几何概型所有的可能性构成的区域D的几何测度，只有当

2a rM0? OM ? a时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足

事件A 的区域d的几何测度，所以

P?A???r,a?的长度?a?r ?0,a?的长度aa?r a答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为

【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D和区域d，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。

蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为2a（a ? 0 ） ， 向平面内任意的投掷一枚长为l ?l ? 2a ?的针，求针与平行线相交的概率？

解：以x表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以?表示针与此直线的交角，如图易知0?x?a , 0? ? ? ? ，有这两式可以确定x -? 平面上的一个矩形?，这是为了针与平行线相交，其充要条件为x?lSin?，有这个不等式表示的区域A为图中的2S阴影部分，由等可能性知 P?A??A?S?

2a ??0lSin? d?l2?

??a?a已知,则以?值代入上式即可计算P?A?的值 , 反过来,如果已知P?A? 的值, 如果l , a 则也可以利用上式来求?，而关于P?A?的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，

既: 如果 投针N 次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为

n ，于是，NP?A??lnl N? 于是 , ?? ? aNa n注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出?. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算

?，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 ?的.

会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过

时即可离去，求两人能会面的概率？

解：设“两人能会面”为事件A，以 x和y分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充 要条件为： x?y?15 在平面上建立如图所示的 坐标系，则?x,y?的所有可能的结果是边长为60的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，

SA602?4527由几何概型知，P?A?? ??S?16602答：两人能会面的概率

7 . 16◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点

M，求AM?AC的概率？

【分析】点M随机的落在线段AB上，故线段AB为区域

D，当点M位于如图的AC'内时AM?AC，故线段

AC'即为区域d

'解: 在AB上截取AC?AC ，于是

AC'AC2 P(AM?AC)?PAM?AC???ABAB2?'?答：AM?AC的概率为

2 2【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC中，在?ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM?AC的概率？

'CB内部任意作一条射线CM， 错解：在AB上截取AC?AC ，在?A满足条件的M看

作是在线段AC上任取一点M，则有

'AC'AC2 P(AM?AC)?PAM?AC???ABAB2?'?【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本事件的等可能性.

正解：在?ACB内的射线是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，在AB''上截取AC?AC ，则?ACC?67.5? ，故满足条件的概率为

67.5?0.75 90评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域D和d，求出其测度，

再利用几何概型来求概率. 例3.

利用随机模拟法计算曲线y?x2,y?0,和x?2所围成的图形的面积.

【分析】在直角坐标系中作出长方形（y?x2,y?0,y?4,x?2 所围成的部分，用随机

模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值） 解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上 的随机数，a0?rand,b0?rand

（2）进行平移变换：a?2a0,b?4b0，其中a,b分 别随机点的横坐标和纵坐标

（3）假如作N次试验，数处落在阴影部分的点数N1， 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由

NSN1? 得出 S?81?2.7 8NN评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是

利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.

另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：

S??

20x3x dx?3220?2.7

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

例2：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？

例3：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸

出2个球，球两个球颜色不同的概率？

例4. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？

例5：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a , 现有一直径等于a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？

F2CC1 .

ADA1aa/6B1EB

例6：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM?AC的概

率？

例7、利用随机模拟法计算曲线y?x2,y?0,和x?2所围成的图形的面积.

期望、方差、正态分布

期望、方差知识回顾：

1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … P 则称 E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的数学期望，简称期望．

2.期望的一个性质: E(a??b)?aE??b 3.若?～B（n,p），则E?=np 4.方差:D?＝(x1?E?)2?p1＋(x2?E?)2?p2＋…＋(xn?E?)2?pn＋…． 5.标准差:D?的算术平方根D?叫做随机变量ξ的标准差，记作??．

6.方差的性质： D(a??b)?a2D?； 若?～B（n,p），则D??np(1?p)

正态分布知识回顾：

1.若总体密度曲线就是或近似地是函数f(x)?12??e?(x??)22?2,x?R的图象，则其分布叫

正态分布，常记作N(?,?2)．f(x)的图象称为正态曲线．

三条正态曲线：①??1,??0.5；②??0,??1；③??1,??2，其图象如下图所示：

观察以上三条正态曲线，得以下性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线x??对称，且在x??时位于最高点．

③当x??时，曲线上升；当x??时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

注意: 当??0,??1时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是

f(x)?1e2??x22,x?R．相应的曲线称为标准正态曲线．

12???(x??)22?22. 正态总体的概率密度函数：f(x)?的平均数（期望值）与标准差；

e分别表示总体,x?R,式中?,?是参数，

当??0时得到标准正态分布密度函数：f?x??3.正态曲线的性质：

① 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x＝? 对称； ③ 曲线在x＝?处达到峰值

1e2?6?x22,x????,???.

1?2?；

④ 曲线与x轴之间的面积为1；

4. ?,?是参数?,?是参数的意义:

① 当?一定时，曲线随?质的变化沿x轴平移；

② 当?一定时，曲线形状由?确定：?越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； ，表示总体分布越分散。 ?越小，曲线越“高瘦”

5．对于N(?,?2)，取值小于x的概率F?x?????x????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1??F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????

典型例题：

18.（本小题满分12分）

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为

则P(A1)?Ai(i?1，2，3)，

432、、，且各轮问55543P(A2)?，，55P(A3)?2， 5?该选手被淘汰的概率

P?P(A1?A1A2?A2A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)

?142433101??????． 555555125?1)?P(A1)?，2，3，P(?（Ⅱ）?的可能值为11， 5428P(??2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???，

55254312P(??3)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???．

5525??的分布列为

? P 1 2 3 1 58 2512 25181257?E??1??2??3??．

5252525解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为

则P(A1)?Ai(i?1，2，3)，

43P(A2)?，，55P(A3)?2． 5?该选手被淘汰的概率P?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) 432101?1????．

555125（Ⅱ）同解法一．

18．（本小题满分12分）

某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1~i(i?1，2，3)分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次

射击结果互不影响．

（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为?，求随机变量?的分布列及数学期望．

解．（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为

Ai(i?1，2，3)，则P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2，

P(AiAi)?P(Ai)P(Ai)?0.2?0.8?0.16．

（Ⅱ）?可能取的值为0，1，2，3．

?的分布列为

0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 ? P E??0?0.008?1?0.032?2?0.16?3?0.8?2.752.

19．(本小题满分12分)

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用?表示，椐统计，随机变量?的概率分布如下：

? 0 p

(Ⅰ)求a的值和?的数学期望；

0.1 1 2 3 a 0.3 2a （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

??的概率分布为

? P 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 ?E??0*0.1?1*0.3?2*0.4?3*0.2?1.7

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件

A2表示“两个月内每月均被投诉12次”

则由事件的独立性得

1P(A1)?C2P(??0)?2*0.4*0.1?0.08P(A2)?[P(??1)]2?0.32?0.09?P(A)?P(A1)?P(A2)?0.08?0.09?0.17

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

20.

如图，A地到火车站共有路径两条L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0.1 0 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

20.（本小题满分13分）

某银行柜台设有一个服务窗间统计结口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时果如下：

从第一个顾客开始办理业务时计时.

（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（Ⅱ）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.

高中数学专题十 排列组合

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于

各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成

m一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.

公式：

m1.An?n?n?1??n?2?……?n?m?1??n!?n?m?!

2.

规定：0!?1

(1)n!?n?(n?1)!,(n?1)?n!?(n?1)! (3)

(2) n?n!?[(n?1)?1]?n!?(n?1)?n!?n!?(n?1)!?n!；

nn?1?1n?1111 ?????(n?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!

三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1.

公式

：

n?n?1?……?n?m?1?Amn!C?n??m!m!?n?m?!Ammmn0规定：Cn?1

Cn?Cn，Cn?Cn2.组合数性质： ①

；②

mn?mmm?1m01nn ?Cn，C?C?……?C?2?1nnn；③；④

rrr?1rrrrr?1rrrr?1② 注：Crr?Crr?1?Crr?2??Cn ?1?Cn?Cr?1?Cr?1?Cr?2??Cn?1?Cn?Cr?2?Cr?2??Cn?1?Cn?Cn?1m1m2若Cn?Cn则m1=m2或m1+m2?n

四、二项式定理可以用以下公式表示：

其中，

又有

等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。

五．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序

还是无序 ③分步还是分类。

3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法） (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）相邻问题：捆邦法：

（4）隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题

例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．

例2.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

例3.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？ .

例4.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

例5．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男

生和女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法 分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

高考练习

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )

A．40 B．50 C．60 [解析] 选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A．36种 [解析] 选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )

A．6个 [解析] 18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )

A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人 [解析] 2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )

A．45种 [解析] 28种

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )

A．24种 [解析] 36(种)．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )

B．36种 C．38种

D．108种

B．36种 C．28种

D．25种

B．9个 C．18个

D．36个

B．48种 C．72种

D．96种 D．70

A．33 [解析] 选A.

B．34 C．35 D．36

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )

A．72

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )

A．50种 [解析]选C.

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

[解析] 2400(种)．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答) [解析] 1260(种)

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． [解析] 1 080种．

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 72种．

B．60种 C．120种

D．210种

B．96 C．108

D．144

[解析] 108个．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【解析】选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种

[解析]： 1008种

高中数学专题十一 圆

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

半径。

2、圆的方程

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心

22?a,b?，半径为r；

?22?（2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0

DE?，半径为r?1D2?E2?4F 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为???,??222当D2?E2?4F?0时，表示一个点； 当D2?E2?4F?0时，方程不表示任何图

形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到距离为

d?Aa?Bb?CA?B22l的

，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；

d?r?l与C相交

（2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有 ??0?l与C相离；??0?l与C相切；??0?l与C相交

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

2①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r (课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；

当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含； 当d?0时，为同心圆。

2??2（4）球体的表面积和体积公式：V球=4?R3 ； S球面=4?R

3 高考练习

2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 ( ) A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4

B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4

14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点

P的轨迹方程为 .

（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为?，则球的表面积为（ ）

（A）82?

（B）8?

（C）42?

（D）4?

（?2，0）（4）已知直线l过点，当直线l与圆x2?y2?2x有两个交点时，其斜率k的取值

范围是 （ ）

（?22，22）（A） （?2，2）（B）

（C）（?22 （D） ，）44?ABC的外接圆的圆心为O，（15）两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，

则实数m =

⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A．16? B．20? C．24? D．32?

????????（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的最小值为 （ ）

(A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22 .

11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N．若

0该球面的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为 （ ）

A．7?

B．9?

C．11?

D．13?

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