山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9：圆锥曲线

山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9：

圆锥曲线

一、选择题 1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ．）已知双曲线

()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 （ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．23

【答案】B

【解析】抛物线的焦点为,即c =.双曲线的渐近线方程为b

y x a

=

,由

b

a

=,即b =,所以22222b a c a ==-,所以223c a =,即23,e e ==即离心率为3,选 B ．

2 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆方程22

143

x y +=,双曲线

22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为

（ ）

A B C ．2 D ．3 【答案】C 【 解析】椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中1,2a c ==,所以双曲线的离心率为2

21

c e a =

==,选 C ．

3 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知抛物线x y 42

=的焦点为F ,

准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =,则直线

AF 的倾斜角等于

（ ）

A ．712π

B ．23

π

C ．

34

π

D ．

56

π 【答案】B 抛物线的焦点坐标为(1,0)F ,准线方程为1x =-.由题意4PF PA ==,

则(1)4P x --=,即3P x =,所以243P y =?,即P y =±不妨取(1,P -,则设

直线AF 的倾斜角等于θ,则tan θ=

=所以23

π

θ=,选 B ． 4 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）方程1169

x x y y

+=-的曲线即为函数()y f x =的图像,对于函数()y f x =,有如下结论:①()f x 在R 上单调递减;②函数()4()3F x f x x =+不存在零点;③函数()y f x =的值域是R;④若函数()g x 和

()f x 的图像关于原点对称,则函数()y g x =的图像就是方程

116

9

y y x x +

=确定的曲

线.其中所有正确的命题序号是 （ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③④

D ．①②③

【答案】D

【解析】当0,0x y ≥≥,方程为22

1169x y +=-,此时方程不成立.当0,0x y <<,方程为

221169x y +=,此时y =-.当0,0x y ><,方程为22

1169x y -=-,即

y =-.当0,0x y <>,方程为22

1169

x y -+=-,即y =.做出函数的图象如图由图象可知,函数在R 上单调递减.

所以①成立.②由()4()30F x f x x =+=得3

()4

f x x =-.因为双曲线221169x y -=-和

221169x y -+=-的渐近线为34

y x =±,所以()4()3F x f x x =+没有零点,所以②正确.由图象可函数的值域为R,所以③正确.若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称,则函

数()y g x =的图像就是方程1169x x y y --+=-,即1169

x x y y

+=,所以④错误,所以选

D ．

5 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）抛物线2

12y x =-的准线与

双曲线22

193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为 （ ）

A B ．C ．2

D ．【答案】D

【解析】抛物线2

12y x =-的准线为3x =,双曲线22193x y -=的两渐近线为y x =

和y x =,令3x =,分别解得12y y ==,所以三角形的低为

(-=,高为3,

所以三角形的面积为132

?=,选 D ．

6 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于 （ ）

A

B

C ．3

2 D

【答案】A

【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=,所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =,双曲线的渐近线为b

y x a =±,不妨取b

y x a =,即0bx ay -=,因为渐近线与圆相切,所以圆心

到直线的距

离2d ==,即

22294()b a b =+,所以

2254b a =,222245b a c a ==-,即2295a c =,

所以29,5e e ==选A ．

7 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）以双曲线2

2

163x y -=的右焦点为圆心

且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是 （

） A

．(

22x y -+= B

．(223x y +=

C ．(

)223x y -+= D ．()2233x y -+=

【答案】D

【解析】双曲线的右焦点为(3,0),

双曲线的渐近线为y x =±,

不妨取渐近线

y x =,

即20y

-=,所以圆

心到直线的距离等于圆的半径,即

r ====所以圆的标准方程为22(3)3x y -+=,选 D ．

8 ．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 为抛

物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 （

） A ．54 B ．7

4 C ．3

2 D ．3

4

【答案】A 抛物线的焦点为1(,0)4F ,准线方程为1

4x =-.因为|AF|+|BF|=3,所以设A 到

准线的距离为AC ,B 到准线的距离为AD ,则3AC AD +=,则线段AB 的中点M 到准线的距离为3

2,所以线段AB 的中点M 到y 轴的距离为315

244-=,选A ．

9 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知双曲线22

221x y a b

-=的实轴长为

2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是 （ ）

A ．3y x =±

B

．y x = C

．y =

D ．2y x =±

【答案】C 由题意知22,24a c ==,所以1,2a c ==,

所以b =

=又双曲线

的渐近线方程是b

y x a

=±

,

即y =,选 C ．

10．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）双曲线22

2

12:1(0,0)

x y C m b b m

-=>>与椭圆222

22:1(0)x y C a b b a +=>>有相同的焦点,双曲线C 1的离心率是e 1,椭圆C 2的离心

率是e 2,则2212

11

e e + （ ）

A ．12

B ．1 C

D ．2

【答案】D 双曲线的222c m b =+,椭圆的222c a b =-,所以22222

c a b m b =-=+,即

222

2m a b =-,所以2222222222222

12112222()2a b a a b a b e e c c c c ---+=

+===,选 D ． 11．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=＞＞与

抛物线2

2()y px p =＞0相交于A,B 两点,公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ,则双曲线

C 的离心率为

（ ）

A

B

．1+C

．D

．2【答案】B 抛物线的焦点为(

,0)2p F ,且2

p

c =,所以2p c =.根据对称性可知公共弦AB x ⊥轴,且AB 的方程为

2p x =,

当2p x =时,A y p =,所以(,)2

p

A p .所以

1(

,0)2

p

F -,

即1,AF AF

p ==

=,所以2p a -=,即

1)22c a

-?=,所以1c a ==,选

B ．

12．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）过双曲线

)0(122

22>>=-a b b y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线,切点为E,

延长FE 交抛物线cx y 42=于点O P ,为坐标原点,若1OE (OF OP)2=+

,则双曲线的离心率为 （

） A ．233+ B ．231+ C ．25 D ．25

1

+

【答案】D

【 解析】抛物线的焦点坐标为2(,0)F c ,准线方程为x c =-.圆的半径为a ,因为1

OE (OF OP)2=+ ,所以E 是FP 的中点,又E 是切点,所以OE FP ⊥,连结2PF ,则2PF FP ⊥,且22PF a =,所以,2PE b PF b ==,则22PF a =,过P 做准线的垂线PM ,

则22PM PF a ==,所以MF ===,在直角

三角形2FPF 中,22PF PF FF MF ?=?,即222c b a ?=?,所以

22222()c b a a b -=,即222222(2)()c c a a c a -=-,整理得422430c a c a -+=,即

42310e e -+=,解得2e ==,所以2e =,即

2e ===,所以e =,选

D ．

13．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若点P 是以()0,10-A 、()

0,10B 为焦点,实轴长为22的双曲线与圆x 2+y 2 =10的一个交点,则|PA|+ |PB|

的值为 （

） A ．22 B

．24

C ．34

D ．26

【答案】D 由题意知2a c ==所以2221028a b

c a ==-=-=,所以双曲线方程为2

2

128x y -=.不妨设点P 在第一象限,则由题意知

2222(2)40PA PB a PA PB c ?-==??+==??,所以222()2

PA PB PA PB PA PB -=+-,解

得232PA PB

=,所以222()272PA PB PA PB PA PB +=++=,所以PA PB +==选 D ．

14．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设F 1,F 2分别是双曲线

2

2221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使22()

0OP OF F P +?=

,O 为坐标原点,且

12||

||PF PF =

,则该双曲线的离心率为 （

） A

1+ B C + D 【答案】A

由22()0OP OF F P +?= 得22()()0OP OF OP OF +?-= ,即22

20OP OF -= ,所以

2OP OF c ==

,所以△PF 1F 2中,边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2

|的一半,可得12PF PF ⊥,所

以2221

24PF PF c +=,又12||||PF PF

=

,解得12,PF PF c ==

,又122PF PF c a -=-=,所以1c a ==+,1+,选A ．

15．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知三个数2,8m ，构成一个等比

数列,则圆锥曲线22

12

x y m +=的离心率为 （ ）

A B C D 【答案】C 因为三个数2,8m ，构成一个等比数列,所以2

2816m =?=,即4m =±.若4m =,则圆锥曲线方程为

22

142

x y +=,此时为椭圆,其中

2224,2,422a b c ===-=,所以2,a c ==,离心率为c e a ==

若4m =-,则圆锥曲线方程为

22

124

y x -=,此时为双曲线,其中2222,4,426a b c ===+=,所以

a c ==,离心率为c e a ==

=所以选 C ． 16．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦

点F 与双曲22

145

x y -=的右焦点重合,抛物线的准 线与x 轴的交点为K,点A 在抛物

线上且AK =A 点的横坐标为 （ ）

A ．

B ．3

C ．

D ．4

【答案】B 抛物线的焦点为(

,0)2p ,准线为2

p

x =-.双曲线的右焦点为(3,0),所以32

p

=,即6p =,即26y x =.过F 做准线的垂线,垂足为M,则

AK AM =,即KM AM =,设(,)A x y ,则3y x =+代入26y x =,解

得3x =.选

B ．

17．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）过双曲线

22

221x y a b

-=(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆222x y a +=的切线,切点为E,延长FE 交抛物线2

4y cx =于点P,O 为原点,若12

OE (OF OP )=+ ,则双曲线的离心率为 （ ）

A B C D

【答案】A

【解析】因为12

OE (OF OP )=+

,所以E 是,F P 的中点.设右焦点为1F ,则1F 也是抛

物线的焦点.连接1PF ,则12PF a =,且1PF PF ⊥,所以2PF b =

=,设

(,)P x y ,则2x c a +=,则2,x a c =-过点F 作x 轴的垂线,点P 到该垂线的距离为2a ,

由勾股定理得22244y a b +=,即2224(2)44()c a c a c a -+=-,

解得e =

,选A ． 18．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）圆锥曲线C 的两个焦

点分别为12,F F ,若曲线C 上存在点P 满足1PF ∶12F F ∶2PF =4∶3∶2,则曲线C 的

离心率为 （ ）

A ．23

32或 B ．2

23或

C ．1

22或 D ．1

3

22或

【答案】D 因为1PF ∶12F F ∶2PF =4∶3∶2,所以设14,PF x =123F F x =,22,0PF x x =>.若曲线为椭圆,则有124262,PF PF x x x a +=+==1232F F x c ==,所以椭圆的离心率为231

262c x

a x ==.

若曲线为双曲线,则有124222,PF PF x x x a -=-==1232F F x c ==,所以椭圆的离心率为233

222c

x

a x ==.所以选 D ．

19．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））双曲线22

221(0,0)

x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为12,l l ,点P 在第一象限内且在1l 上,若2l ⊥PF 1,2l //PF 2,

则双曲线的离心率是 （

） A

B ．2 C

D

【答案】B

【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -,右焦点2(,0)F c ,渐近线1:b

l y x a =,2:b

l y x a =-,

因为点P 在第一象限内且在1l 上,所以设000(,),0P x y x >,因为2l ⊥PF 1,2l //PF 2,所以12PF PF ⊥,即1212OP F F c ==,即2

2

200x y c +=,又00b

y x a =,代入得

22200()b x x c a +=,解得00,x a y b ==,即(,)P a b .所以1PF b k a c =+,2l 的斜率为b a -,

因为2l ⊥PF1,所以()1

b b a

c a ?-=-+,即2222

()b a a c a ac c a =+=+=-,所以

2220c ac a --=,所以220e e --=,解得2e =,所以双曲线的离心率2e =,所以选 B ．

二、填空题

20．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设F 是抛物线C 1:24y x =的

焦点,点A 是抛物线与双曲线C 2:2

2

221(0,0)x y a b a b -=＞＞的一条渐近线的一个公共点,且

AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为

【答案】【解析】抛物线的焦点为(1,0)F .双曲线的渐近线为b y x a =±

,不妨取b y x a

=,因为AF x ⊥,所以1A x =,所以2A y =±,不妨取(1,2)A ,又因为点(1,2)A 也在b y x a

=上,所以2b a

=,即2b a =,所以22224b a c a ==-,即225c a =,所以25e =,

即e =所

21．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）若双曲线

()22

22

10x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______. 【答案】332 抛物线的焦点坐标为(,0)2b ,由题意知()5232

b c b c --=-,2c b =,所以222244()c b c a ==-,即2243a c =,

所以2a =,

所以c e a ===. 22．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设双曲线22

1x y m n

+=的离心率为2,且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同,则此双曲线的方程为______. 【答案】2

213

x y -= 抛物线的焦点坐标为(0,2),所以双曲线的焦点在y 轴上且2c =,所以双曲线的方程为221y x n m -=-,即220,0a n b m =>=->,

所以a =

又2c e a ===,解得1n =,所以222413b c a =-=-=,即3,3m m -==-,所以双曲线的方程为2

213

x y -=. 23．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直,则 双曲线的离心率等于______________.

【答案】 双曲线的渐近线为b y x a =±.直线210x y +-=的斜率为12

y =-.因为b y x a =与直线210x y +-=垂直,所以1()12

b a ?-=-,即2b a =.所以22225

c a b a =+=,

即25,e e ==.

24．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知抛物线24y x =的焦点F 恰好是

双曲线22

221x y a b

-=()0,0>>b a 的右顶点,且渐近线方程为y =,则双曲线方程为___________________. 【答案】2

2

13y x -=

抛物线的焦点坐标为(1,0),即1a =.双曲线的渐近线方程为b y x a

=±=,即

b =,所以双曲线的方程为2

2

13y x -=. 25．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知点P 是抛物线2

4y x

=上的动点,点P 在y 轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当||4a >时,||||PA PM +的最小值是____________.

【答案】

1-

【解析】当4x =时,24416y =?=,所以4y =±,即4y =,因为||4a >,所以点A 在抛物线的外侧,延长PM 交直线1x =-,由抛物线的定义可知1PN PM PF =+=,当,三点,,A P F 共线时,||||PA PF +最小,此时为

||||PA PF AF +=,又焦点坐标为(1,0)F ,所以AF ==,即

1PM PA ++的最小值为,所以PM PA +的最小值为1.

26．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知F 是抛物线2y x =的焦点,M 、N 是该抛物线上的两点,3MF NF +=,则线段MN 的中点到x 轴的距离为__________.

【答案】54 【解析】抛物线的焦点为1

(0,)4,准线为14

y =-.,过M,N 分别作准线的垂线,则','MM MF NN NF ==,所以''3MM NN MF NF +=+=,所以中位线''

3'22MM NN PP +==,所以中点到x 轴的距离为1315'4244PP -=-=.

27．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）若圆C 以抛物线24y x =的焦点为

圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆

的标准方程是________________;

【答案】22(1)

13x y -+=

【 解析】抛物线的焦点为(10)，,准线方程为1x =-,则圆心到准线的距离为2,则圆的半

=,所以圆的标准方程为22(1)13x y -+=. 28．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点为12,F F ,上顶点为A,离心率为12

,点P 为第一象限内椭圆上的一点,若112:2:1PF A PF F S S ??=,则直线1PF 的斜率为

______________.

因为椭圆的离心率为12,所以12

c e a ==,即2a c =.设直线1PF 的斜率为,(0)k k >,则直线1PF 的方程为()y k x c =+,因为112:2:1PF A PF F S S ??=,即

1122PF A PF F S S ??=,

即2,所以4kc b kc -=,解得3b kc =-,(舍去)或5b kc =,又222a b c =+,即222225a k c c =+,所以

2222425c k c c =+,解得2325

k =,

所以k = 三、解答题

29．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知定点(,0)2p A (p 为常数,p>O),B

为z 轴负半轴七的一个动点,动点M 使得AM AB =,且线段BM 的中点在y 轴上 (I)求动点脚的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)设EF 为曲线C 的一条动弦(EF 不垂直于x 轴),其垂直平分线与x 轴交于点 T(4,0),当p=2时,求EF 的最大值.

【答案】

30．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知圆的方程为224x y +=,过点

(2,4)M 作圆的两条切线,切点分别为1A 、2A ,直线12A A 恰好经过椭圆22

22

1(0)x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设AB 是椭圆122

22=+b y a x ()0>>b a 垂直于x 轴的一条弦,AB 所在直线的方程

为(||x m m a =<且0),m P ≠是椭圆上异于A 、B 的任意一点,直线AP 、BP 分别交定直线m

a x l 2

:=于两点Q 、R ,求证4OQ OR ?> .

【答案】

解:(Ⅰ) 观察知,2x =是圆的一条切线,切点为1(2,0)A ,

设O 为圆心,根据圆的切线性质,12MO A A ⊥, 所以12112

A A MO k k =-=-, 所以直线12A A 的方程为1(2)2

y x =-

- 线12A A 与y 轴相交于(0,1),依题意2,1a b ==, 所求椭圆的方程为2

214

x y += (Ⅱ) 椭圆方程为2

214

x y +=,设),,(00y x P ),,(n m A ),,(n m B - 则有2200440x y +-=,22440m n +-= 在直线AP 的方程)(00m x x m y n n y ---=-中,令4x m

=,整理得 2000(4)(4).()

Q m y mx n y m m x -+-=- ① 同理,2000(4)(4).()

R m y mx n y m m x ---=- ② ①?②,并将220011,4y x =-22114

n m =-代入得 R Q y y ?22222

00220(4)(4)()m y mx n m m x ---=-

=222220022011(4)(1)(4)(1)44()m x mx m m m x -?-

+-?--=220220(4)()()m m x m m x ---=22(4)m m

-. 而24416,,Q R Q R OQ OR y y y y m m m ?????=?=+? ? ?????

=2221212=1+m m m + ∵||2m <且0m ≠,∴221204,3m m <<> ∴4OQ OR ?>

31．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））

已知两定点(

)),E F ,

动点P 满足0PE PF ?= ,由点P 向x 轴作垂线PQ,垂足为Q,点M

满足)1PM MQ = ,点M 的轨迹为C.

(I)求曲线C 的方程;

(II)若线段AB 是曲线C 的一条动弦,且2AB =,求坐标原点O 到动弦AB 距离的最大值.

【答案】

32．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知椭圆C:22

2210x y (a b )a b

+=>>的离

心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线0l :x y -+=与以原点为圆心,以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设M 是椭圆的上顶点,过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A,B 两点,设两直线的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=4,证明:直线AB 过定点(12

-

,-l). 【答案】

33．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>

的焦距为

,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A . (Ⅰ)若6AB BF ?=- ,求ABF ?外接圆的方程;

(Ⅱ)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213

x y a b +=相交于两点G 、H ,设P 为N 上一点,且满足OG OH tOP += (O 为坐标原点),

当PG PH -< 时,求实数t 的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由题意知

:c =

c e a =

=又222a b c -=, 解得

:a b ==椭圆C 的方程为:22

163x y += 可得

:B

,F ,设00(,)A x y ,

则00()AB x y =--

,BF = , 6AB BF ?=-

,00)6y --=-,

即00y x =

由220000163x y y x ?+=???=

?000x y =????=??,

或00x y ?=????=??

即(0,A ,

或

A ①当A 的坐标为(0,

时,OA OB OF ===,

∴ABF ?外接圆是以O 为圆心,即22

3x y

+= ②当A

的坐标为时,1AF k =,1BF k =-,所以ABF ?为直角三角形

,其外接圆是以线段AB 为直径的圆,

圆心坐标为

,半径为12AB =, ABF ∴?外接圆的方程为22

5((

3

x y -+= 综上可知:ABF ?外接圆方程是223x y +=,或225((3x y -+=

(Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.

设:(2)GH y k x =-,11(,)G x y ,22(,)H x y ,(,)P x y 由22(2)12

y k x x y =-???+=??得:2222(12)8820k x k x k +-+-= 由422644(21)(82)0k k k ?=-+->得:212

k <(*) 22121222

882,1212k k x x x x k k -+==++

PG PH -<

,HG ∴<

2x -< 422222648220(1)[4](12)129

k k k k k -∴+-?<++ 214k ∴>,结合(*)得:21142k << OG OH tOP += ,1212(,)(,)x x y y t x y ∴++= 从而21228(12)x x k x t t k +==+,1212214[()4](12)

y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上,2222284[]2[]2(12)(12)

k k t k t k -∴+=++,整理得:22216(12)k t k =+ 即22

8812t k =-+

,2t ∴-<<

2t << 34．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ,与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若123λλ+=-,试证明:直线l 过定点并求此定点.

【答案】解:(1)设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ,焦距为2c , 由题意知 b =1,且2222222）

（）（）（c b a =+,又222a b c =+ 得32=a 所以椭圆的方程为1322

=+y x

(2) 由题意设),(),,(),0,(),,0(22110y x N y x M x Q m P ,设l 方程为)(m y t x -=,

由MQ PM 1λ=知),(),(110111y x x m y x --=-λ

∴111λy m y -=-,由题意01≠λ,∴111-=

y m λ 同理由2PN NQ λ= 知22

1m y λ=- ∵321-=+λλ,∴0)(2121=++y y m y y (*)

联立???-==+)

(3322m y t x y x 得032)3(22222=-+-+m t y mt y t

∴需0)3)(3(4422242>-+-=?m t t t m (**) 且有3

3,32222212221+-=+=+t m t y y t mt y y (***) (***)代入(*)得023222=?+-mt m m t ,∴1)(2=mt ,

由题意0

得l 方程为1+=ty x ,过定点(1,0),即P 为定点

35．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知椭圆22

22:1x y C a b

+=()0a b >>的

1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点,过F 2的直线l 与C 相交于A 、B 两

点,1F AB ?的周长为.

(I)求椭圆C 的方程;

(II)若椭圆C 上存在点P,使得四边形OAPB 为平行四边形,求此时直线l 的方程.

【答案】

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