复变函数第二章答案

可复制、编制，期待你的好评与关注！ 第二章 解析函数

1．用导数定义，求下列函数的导数：

(1) ()Re .f x z z =

解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z

?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z

?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z

?→?=+?+? 000

Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.

2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =?

解:

22222222()||()()

()(),f z z z z z z z z

x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++

这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+

2222222,

2,

2,2.x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++==

要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析.

(2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+-

解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=-

226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==-

四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析.

3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.

可复制、编制，期待你的好评与关注！ (1)

(,).az b c d cz d

++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, d z c =-为奇点, 2

22()(

)()()()()()()().()()

az b f z cz d az b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++ 当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()a f z d

'=. 4.若函数()f z 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,试证()f z 必为常数. (1) ()f z 在区域D 内解析;

(2) 2;v u =

(3) arg ()f z 在D 内为常数;

(4) (,,).au bv c a b c +=为不全为零的实常数 证 (1) 因为()f z 在D 中解析,所以满足C R -条件

,,u v u v x y y x

????==-???? 又()f z u iv =-也在D 中解析,也满足C R -条件 ()(),.u v u v x y y x

??-??-==-???? 从而应有0u u v v x y x y

????====????恒成立,故在D 中,u v 为常数, ()f z 为常数. (2) 因()f z 在D 中解析且有2()f z u iu =+,由C R -条件,有

2,2.u u u x y u u u y

x ???=????????=-????

可复制、编制，期待你的好评与关注！ 则可推出0u u x y

??==??,即u C =(常数).故()f z 必为D 中常数. (3) 设()f z u iv =+,由条件知arctan v C u

=,从而22(/)(/)

0,0,1(/)1(/)v u v u y x v u v u ????==++ 计算得 2

222()/0v u u u v u x x u v ??-??=+，2222()/0,v u u u v u y y u v ??-??=+ 化简,利用C R -条件得

0,0.u u u v y x u u u v x

y ???--=????????-=???? 所以

0,u u x y ??==??同理0,v v x y

??==??即在D 中,u v 为常数,故()f z 在D 中为常数. (4) 法一：设0,a ≠则()/,u c bv a =-求导得

,,u b v u b v x a x y a y

????=-=-???? 由C R -条件 ,,u b u v b v x a y x a y

????==???? 故,u v 必为常数,即()f z 在D 中为常数.

设0,0,0a b c =≠≠则bv c =,知v 为常数,又由C R -条件知u 也必为常数,所以()f z 在D 中为常数.

法二：等式两边对,x y 求偏导得：00x x y

y au bv au bv +=??+=?，由C R -条件，我们有 0,00x y x x y y au bu u a b bu au u b a -=-?????=? ? ?+=?????

即， 而220a b +≠，故0x y u u ==，从而u 为常数，即有()f z 在D 中为常数.

可复制、编制，期待你的好评与关注！ 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 22

2222()|()|4|()|.f z f z x y

??'+=?? 证: 设 222(),

|()|,f z u iv f z u v =+=+ 222(),|()|()().u u u u f z i f z x y x y

????''=

-=+???? 而 2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y

u u v v u u v v u v u v x x x x y y y y ????+=+++??????????????=+++++++????????????

又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故

222222220,0.u u v v u v x y x y

????=+==+=???? 则

22222222()|()|4(()())4|()|.u u f z f z x y x y

????'+=+=???? 6.由下列条件求解解析函数().f z u iv =+

(1)22()(4);u x y x xy y =-++

解: 因22363,u v x xy y x y

??==+-??所以 22(363)v x xy y dy =+-?

22333(),x y xy y x ?=+-+

又222263(),363,()3,v u xy y x x xy y x x x x

????''=++=--=-??而所以 则 3()x x C ?=-+.故

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(1)()(1)()2(1)2(1)(1)()2(1)(1)(2)(1)f z u iv

x y x xy y i x y xy y x C i x x iy y i x iy x y i xy i Ci z i x y xyi iz i Ci

i z x y xyi Ci

i z Ci

=+=-++++--+=-+--+-+--+=---?-+=---+=-+ (2) 23;v xy x =+

解: 因23,2,v v y x x y

??=+=??由()f z 解析,有 22,2().u v x u xdx x y x y

φ??====+??? 又23,u v y y x ??=-=--??而(),u y y

φ?'=?所以()23,y y φ'=--则2()3.y y y C φ=--+ 故 22()3(23).f z x y y C i xy x =--+++

(3) 2(1),(2);u x y f i =-=-

解: 因2,2(1),u u y x x y ??==-??由()f z 的解析性,有2(1),v u x x y ??=-=--??

22(1)(1)(),v x dx x y φ=--=--+? 又2,v u y y x ??==??而(),v y y

φ?'=?所以2()2,(),y y y y C φφ'==+则

22(1),v x y C =--++ 故

22()2(1)((1)),f z x y i x y C =-+--++

由(2)f i =-得(2)(1),f i C i =-+=-推出0.C =即

2222()2(1)(21)

(21)(1).f z x y i y x x i z z i z =-+-+-=-+-=--

7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().

f z u iv =+

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