数学分析知识点总结

第一章实数集与函数

§1实数

授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：

(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）

教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：

引 言

上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．

[问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．

一、实数及其性质

1

、

实

数

q?有理数:任何有理数都可以用分数形式(p,q为整数且q?0)表示，?p? ?也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.?? ?无理数:用无限十进不循环小数表示.R??x|x为实数?--全体实数的集合．

[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下

讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于i?9正有限小数x?a0.a1a2?an,其中；0?ai??,nan?1a0为,非负2整数,,a0.a1?,an?1(an?01)9999,?，记x?y，对于正整数x?a0,则记x?(a0?1).9999?；对于负有限小数（包括负整数）则先将?y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为 0＝0.0000?

1

例： 2.001?2.0009999?；

3?2.9999?；?2.001??2.009999?；?3??2.9999?

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？

2、两实数大小的比较

1）定义1给定两个非负实数x?a0.a1?an?，y?b0.b1?bn?. 其中a0,b0为非负整数，ak,bk(k?1,?2,为整数，0?ak?9,0?bk?9．若有

ak?bk,k?0,1?,，则称2x与y相等，记为x?y；若a0?b0或存在非负整数l，

使得ak?bk,k?0,1,2,?,l，而al?1?bl?1，则称x大于y或y小于x，分别记为x?y或y?x．对于负实数x、y，若按上述规定分别有?x??y或?x??y，则分别称为x?y与x?y（或y?x）．

规定：任何非负实数大于任何负实数．

2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．

定义2（不足近似与过剩近似）：x?a0.a1?an?为非负实数，称有理数

xn?a0.a1?an为实数x的n位不足近似；xn?xn?110n称为实数x的n位过剩近

似，n?0,1,2,?.

对于负实数x??a0.a1?an?，其n位不足近似xn??a0.a1?an?剩近似xn??a0.a1?an.

注：实数x的不足近似xn当n增大时不减，即有x0?x1?x2??； 过剩近似

xn110n；n位过

当n增大时不增，即有x0?x1?x2??．

命题：记x?a0.a1?an?，y?b0.b1?bn?为两个实数，则x?y的等价条件

是：存在非负整数n，使xn?yn（其中xn为x的n位不足近似，yn为y的n位过剩近似）． 命题应用

例1．设x,y为实

x?y，证明存在有理数r，满足x?r?y．

2

证明：由x?y，知：存在非负整数n，使得xn?yn．令r?为有理数，且

x?xn?r?yn?y．即x?r?y．

12?xn?yn?，则r

3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．P289?P302）．

1）封闭性（实数集R对?,?,?,?）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．

2）有序性：?a,b?R，关系a?b,a?b,a?b，三者必居其一，也只居其一. 3）传递性：?a，b，c?R，若a?b,b?c，则a?c． 4）阿基米德性：?a,b?R,b?a?0??n?N使得na?b． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．

6）一一对应关系：实数集R与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设?a,b?R，证明：若对任何正数?，有a?b??，则a?b．

（提示：反证法．利用“有序性”，取??a?b）

二、绝对值与不等式

1、绝对值的定义

?a,实数a的绝对值的定义为|a|????aa?0a?0．

2、几何意义

从数轴看，数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离．|x?a|表示就是数轴上点x与a之间的距离． 3、性质

1）|a|?|?a|?0;|a|?0?a?0（非负性）； 2）?|a|?a?|a|；

3）|a|?h??h?a?h，|a|?h??h?a?h.(h?0)； 4）对任何a,b?R有|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）； 5）|ab|?|a|?|b|； 6）

ab?|a||b|（b?0）．

3

三、几个重要不等式

1、a2?b2?2ab, sinx ? 1. sinx ? x . 2、均值不等式:对?a1,a2,?,an?R?,记 M(ai)? a1?a2???annn? 1n?a, (算术平均值)

ii?1n1 G(ai)? H(ai)?na1a2?an??n????ai??, (几何平均值) ?i?1?n1a1?1a2???1an?11nn?i?11ai?nn?ai?11i. (调和平均值)

有平均值不等式:H(ai) ? G(ai) ? M(ai),即：

n1a1?1a2???1an?na1a2?an?a1?a2???ann

等号当且仅当a1?a2???an时成立.

3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)

?x??1,有不等式(1?x)?1?nx, n?N.

n当x??1且x?0,n?N且n?2时,有严格不等式(1?x)n?1?nx. 证：由1?x?0且1?x?0, ? (1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n (1?x).? (1?x)n?1?nx.

4、利用二项展开式得到的不等式:对?h?0,由二项展开式 (1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h,

3n 有 (1?h)n?上式右端任何一项. ［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数：??一 实数及其性质?二 绝对值与不等式.

[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3

4

§2数集和确界原理

授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理

教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：

(1)掌握邻域的概念；

(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.

引 言

上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！

1、证明：对任何x?R有：(1)|x?1|?|x?2|?1；(2)

|x?1|?|x?2|?|x?3|?2.

?x?1?1?(x?2)?1?x?2,?x?1?x?2?1） （（1）（2）x?1?x?2?1,x?2?x?3?1,x?2?x?3?2.三式相加化简即可） （

2、证明：|x|?|y|?|x?y|.

3、设a,b?R，证明：若对任何正数?有a?b??，则a?b. 4、设x,y?R,x?y，证明：存在有理数r满足y?r?x.

[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的

思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.

本节主要内容：

1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集；

3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.

一 、区间与邻域

1、区间（用来表示变量的变化范围）

5

将对此作进一步讨论.

一、函数的定义

１．定义１ 设D,M?R，如果存在对应法则f，使对?x?D，存在唯一的一个数y?M与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作

f:D?M

x|?y .

数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为

f(x).全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D).

即f(D)??y|y?f(x),x?D?.

２．几点说明

（1）函数定义的记号中“f:D?M”表示按法则f建立D到M的函数关系，x|?y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x|?f(x).习惯上称

x自变量，y为因变量.

（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法

则.所以函数也常表示为：y?f(x),x?D.

由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则. 例如：1）f(x)?1,x?R, g(x)?1,x?R\\?0?.（不相同，对应法则相同，定义域不同）

2）?(x)?|x|,x?R, ?(x)?x,x?R.（相同，只是对应法则的表达

2形式不同）.

（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即“函数y?f(x)”或“函数f”.

（4）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于a?D，f(a)称为映射f下a的象.a称为f(a)的原象.

11

（5）函数定义中，?x?D，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.

二 、函数的表示方法

1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）. 2 可用“特殊方法”来表示的函数.

1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.

,?0?1x??,，0例如 sgxn??x0（符号函数） ??1x,?0?（借助于sgnx可表示f(x)?|x|,即f(x)?|x|?xsgnx）. 2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）

例 １）y?[x]（取整函数）

比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4. 常有 ?x??x??x??1, 即0?x??x??1.

与此有关一个的函数y?x??x???x?（非负小数函数）图形

是一条大锯，画出图看一看.

２）狄利克雷（Dirichlet）函数

?1,当x为有理数,D(x)??

?0,当x为无理数,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.

３）黎曼（Riemman）函数

pp?1,当x?(p,q?N,为既约分数),??qq R(x)??q?0,当x?0,1和(0,1)内的无理数.?三 函数的四则运算

给定两个函数f,x?D1,g,x?D2，记D?D1?D2，并设D??，定义f与g在

D上的和、差、积运算如下： F(x)?f(x)?g(x),x?DH(x)?f(x)g(x),x?D；G(x)?f(x)?g(x),x?D；. 12

若在D中除去使g(x)?0的值，即令D??D\\?xg(x)?0,x?D2???，可在D?上定义f与g的商运算如下；L(x)?f(x)g(x)?,x?D.

注：１）若D?D1?D2??，则f与g不能进行四则运算.

２）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：

f?g,f?g,fg,fg.

四、复合运算

１．引言

在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.

例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率E为

E?2?mv?1222??E?mgt.

2v?gt??1抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数f(v)?入f，即得

f(v(t))?12mgt2212mv,v?gt2，把v(t)代

.

这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.

[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；

y?f(u)?arcsinu,u?D?[?1,1],u?g(x)?2?x,x?E?R2.

就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.

2．定义（复合函数） 设有两个函数y?f(u),u?D,u?g(x),x?E，

E??xf(x)?D??E?，若E???，则对每一个x?E?，通过g对应D内唯一一个

值u，而u又通过f对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在E?上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y?f(g(x)),x?E?或y?(f?g)(x),x?E?.简记为

f?g.称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变

13

量.

3. 例子

例 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2. 求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定义

域.

例

2

_____.

⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?__________ ⑵

f(x)? ( )

1?1?2f?x???x?2.x?x? 则

A. x2, B. x2?1, C. x2?2, D. x2?2.

例 讨论函数y?f(u)?u,u?[0,??)与函数u?g(x)?1?x,x?R能否

2进行复合，求复合函数.

4 说明 １）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？

例如：

y?sin?x12y?siun?u,v?,v，?1复x2合成：

x?,. ?[1,1]２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解

时也要注意定义域的变化.

①y?loga1?x2,x?(0,1)?y?logau,u?z,z?1?x.

2②y?arcsinx2?1?y?arcsinu,u?v,v?x2?1. ③y?2sin2x?y?2,u?v,v?sinx.

u2五、反函数

１.引言

在函数y?f(x)中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(u)?u,u?t2?1, 那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量.

习惯上说函数y?f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现

14

时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.

２.反函数概念

定义设f:X?R是一函数，如果?x1，x2?X, 由

x1?x2?f(x1)?f(x2)

(或由f(x1)?f(x2)?x1?x2)，则称f在X上是 1-1 的. 若f:X?Y，Y?f(X)，称f为满的.

若 f:X?Y是满的 1-1 的，则称f为1-1对应. f:X?R是1-1 的意味着y?f(x)对固定y至多有一个解

x，f:X?Y是1-1 的意味着对y?Y，y?f(x)有且仅有一个

解x.

定义 设f:X?Y是1-1对应.?y?Y, 由y?f(x)唯一确定一个x?X, 由这种对应法则所确定的函数称为y?f(x)的反函数，记为x?f?1(y).

反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

f:X?Yf?1

(恒等变换）

:Y?X显然有

ff(f?1?f?I:X?X?1?f?1?I:Y?Y?f:X?Y (恒等变换)

.

从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为

y?f?1)?1(x), 这样它的图形与

y?f(x)的图形是关于对角线y?x对称的. y 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.

但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子 ?x,f(x)???3?x,0?x?11?x?2 它的反函数即为它自己.

实际求反函数问题可分为二步进行：

?10 x 1. 确定 f:X?Y的定义域X和值域Y，考虑 1-1对应条件.固定 y?Y，解方程

f(x)?y 得出 x?f(y).

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?1 2. 按习惯，自变量x、因变量y互换，得 y?f(x).

例 求 y?sh(x)?e?e2x?x ：R ? R的反函数.

x?x 解 固定y，为解 y?e?e，令 ex?z，方程变为

2zy?z2?1 z2?2zy?1?0 z?y?y?1 ( 舍去y?22y?12)

得x?ln(y?y2?1)，即y?ln(x?x2?1)?sh?1(x)，称为反双曲正弦.

定理 给定函数y?f(x)，其定义域和值域分别记为X和Y， 若在Y上存在函数g(y)，使得 g(f(x))?x, 则有g(y)?f?1(y).

分析：要证两层结论：一是y?f(x)的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证g(y)?f?1(y).

证 要证y?f(x)的反函数存在，只要证f(x)是X到Y的 1-1 对应.

?x1，x2?X，若f(x1)?f(x2)， 则由定理条件，我们有

g(f(x1))?x1 g(f(x2))?x2

?x1?x2，即 f:X?Y 是 1-1 对应.

再证g(y)?f?1(y).?y?Y，?x?X，使得y?f(x). 由反函数定义 x?f?1(y)，再由定理条件

g(y)?g(f(x))?x.

?g(y)?f?1(y)

*例 f:R?R，若f(f(x))存在唯一（?|）不动点，则f(x)也?|不动点. 证 存在性，设x即

f(x)是f * *?f[f(x)]，f(x)?f * *?f[f(x)]，

* *?f的不动点，由唯一性

f(x)?x，

*即存在f(x)的不动点x.

唯一性： 设x?f(x)，x?f(x)?f(f(x))， 说明 x是f?f的不动点，由唯一性，x=x. 从映射的观点看函数.

*设函数y?f(x),x?D.满足：对于值域f(D)中的每一个值y，Ｄ中有且只有一个值x，使得f(x)?y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上

的函数，称这个函数为f的反函数，记作

y=f(x) y=f(x) y=f -1 (x) 0 0 16 f?1:f(D)?D,(y|?x)或x?f?1(y),y?f(D).

３、注释

a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是Ｄ与f(D)之间的一个一一映射，称ff(D)?D；

?1为映射f的逆映射，它把

b) 函数f与ff(f?1?1互为反函数，并有:f?1(f(x))?x,x?D,

(x))?y,y?f(D).

c) 在反函数的表示x?f?1(y),y?f(D)中，是以y为自变量，x为因变量.若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数f?1可以改写为

y?f?1(x),x?f(D).

应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.

六 、初等函数

1.基本初等函数（６类）

常量函数 y?C（Ｃ为常数）； 幂函数 y?x?(??R)； 指数函数y?ax(a?0,a?1)；

(?对数函数 y?loagxa0a?,；

三角函数 y?sinxy,?coxs?y,tg?x；,y

tgxarcctgx反三角函数 y?arcsxiny?,axrc?ycoasrc,?tgx. y注：幂函数y?x?(??R)和指数函数y?ax(a?0,a?1)都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.

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定义２．给定实数a?0,a?1，设x为无理数，我们规定：

?sup?ar|r为有理数?,当a?1时,?x a??r?xr?inf?a|r为有理数?,当0?a?1时.?r

[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” ２．初等函数

定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数

如：y?2sinx?cosx,y?sin(),y?logax?2x1esinx?1xx2,y?|x|.

不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.

注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.

例２．求下列函数的定义域.

（１） y?xx?1； （２） y?ln|sinx|.

3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则 （1） f(x) 是初等函数, 因为 f(x) ??f(x)?2.

（2）?(x)?max?f(x) , g(x)? 和 ?(x)?min?f(x) , g(x)?都是初等函数, 因为 ?(x)?max?f(x) , g(x)?? ?(x)?min?f(x) , g(x)? ?（3）幂指函数 ?f(x)? ?f(x)?

［作业］ P15： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11

g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)? .

?f(x)?0?是初等函数,因为

ln?f(x)?g(x)g(x) ?e?eg(x)lnf(x).

§4具有某些特性的函数

授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数

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教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.

教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定

义；

会求一些简单周期函数的周期.

教学重点：函数的有界性、单调性.

教学难点：周期函数周期的计算、验证.

教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：

引 言

在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.

一、有界函数

1、有上界函数、有下界函数的定义

定义1设f为定义在D上的函数，若存在数M(L)，使得对每一个x?D有f(x)?M(f(x)?L)，则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下）界.

注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集；

（2）又若M(L)为f在D上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y?sinx，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；

（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；

（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f在D上有界?f(D)是一个有界集?f在D上既有上界又有下界?f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.

2、有界函数定义

定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个x?D有|f(x)|?M，则称f为D上的有界函数.

注：（1）几何意义：f为D上的有界函数，则f的图象完全落在y?M和y??M之间；

（2）f在D上有界?f在D上既有上界又有下界；例子：

y?sinx,y?cosx；

（3）关于函数f在D上无上界、无下界或无界的定义.

3、例题

例1 证明f:X?R有界的充要条件为：?M,m，使得对,m?f(x)?M.

证明 如果f:X?R有界，按定义?M>0，?x?X有f(x)?M，即

?x?X

19

?M?f(x)?M,取m??M,M?M即可.

反之如果?M,m使得?x?X,m?f(x)?M，令M0?max?M?1,m?，则

f(x)?M0，即?M0?0，使得对?x?X有f(x)?M0，即f:X?R有界.

1x例2．证明 f(x)?例

x?D为(0,1]上的无上界函数.

D

上的有界函数.证明：（1）

3．设f,g为

x?Dx?Dinff(x)?infg(x)?inf?f(x)?g(x)?；

（2）sup?f(x)?g(x)??supf(x)?supg(x).

x?Dx?Dx?D例4验证函数 f(x)?5x2x?32在R内有界.

解法一 由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x,当x?0时,有 f(x) ?5x2x?32?5x2x?32?5x26x?526?3.

f(0) ?0?3,

? 对 ?x?R, 总有 f(x) ?3, 即f(x)在R内有界.

解法二 令 y?根.

? ??52?24y2?0, ? y2?解法三 令 x?32524?4, ? y?2.

5x2x?32, ? 关于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有实数

????tgt, t???,?对应x?( ?? , ?? ). 于是 2?22?f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?

?526sin2t, ? f(x) ?526sin2t?526.

二、单调函数

定义3设f为定义在D上的函数，?x1,x2?D,x1?x2, （1）若f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为D上的严格增函数.（2）若

f(x1)?f(x2)，则称f为D上的减函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为D上的严格减函数.

例5．证明：y?x3在(??,??)上是严格增函数.

3322证明：设x1?x2，x1?x2?(x1?x2)(x1?x1x2?x2) 33如x1x2?0，则x2?0?x1?x1?x2

20

2233如x1x2?0，则x1?x1x2?x2?0,?x1?x2

3?0即得证. 故x13?x2例6．讨论函数y?[x]在R上的单调性.

??x1,x2?R，当x1?x2时，有?x1???x2?，但此函数在R上的不是严格增函数.

注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f可能单调，也

可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；

2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分.

更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.

总结得下面的结论：

?1?1定理1．设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f，且f在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数.

证明：设f在D上严格增函数.对?y?f(D),有x?D,使f(x)?y.下面证明这样的x只有一个.事实上，对于D内任一x1?x,由于f在D上严格增函数，当

x1?x时

f(x1)?y，当x1?x时f(x1)?y，总之

f(x1)?y.即

?y?f(D),都只存在唯一的一x?D,使得f(x)?y，从而

例7 讨论函数y?x2在(??,??)上反函数的存在性；如果y?x2在(??,??)上不存在反函数，在(??,??)的子区间上存在反函数否？

结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.

例8 证明：y?ax当a?1时在Ｒ上严格增，当0?a?1时在R上严格递减. 三、奇函数和偶函数

定义4. 设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数.若对每一个x?D有（1）f(?x)??f(x)，则称f为D上的奇函数；（2）f(?x)?f(x)，则称f为D上的偶函数.

注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y轴对称；

（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)?x,x?[0,1]没有必要讨论奇偶性.

奇函数:y=sinx??偶函数:y=sgnx?（3）从奇偶性角度对函数分类：?；

非奇非偶函数:y=sinx+cosx??既奇又偶函数:y?0?（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左

边或右边即可四、周期函数 1、定义

设f为定义在数集D上的函数，若存在??0，使得对一切x?D有f(x??)?f(x)，则称f为周期函数，?称为f的一个周期.

2、几点说明：

（1）若?是f的周期，则n?(n?N?)也是f的周期，所以周期若存在，则

21

不唯一.如y?sinx,??2?,4?,?.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”.如y?sinx，周期为2?；

（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）y?x?1，不是周期函数；2）y?C（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.

第二章数列极限

引 言

为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为,,,?,,?如此，一直无尽地变

234n1111下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.

在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知：S??r2,l?2?r），但这两个公式从何而来？

要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.

问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.

辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.

按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为

ln?2nRsin?n

显然，这个ln不会等于l.然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长. n越大，近似程度越高.

但是，不论n多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.

为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n??.直观上很明显，当n??时，ln?l，记成limln?l.——极限思想.

n??即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.

除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.

22

§1数列极限的概念

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的??N定义的清晰概念.深刻理解数列发

散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的??N定义证明数列的有关命题，并能运用??N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.

教学重点：数列极限的概念.

教学难点：数列极限的??N定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序：

一、什么是数列

1 数列的定义

数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；

若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称f:N??R为数列. 注：1）根据函数的记号，数列也可记为f(n),n?N?；

2）记f(n)?an，则数列f(n)就可写作为：a1,a2,?,an,?，简记为?an?，

即?f(n)|n?N????an?；

3）不严格的说法：说f(n)是一个数列. 2 数列的例子

?(?1)n?1111?111?（1）?（2）?1??:2,1?,1?,1?,?； ?:?1,,?,,?；

234n?435??n?（3）?n2?:1,4,9,16,25,?； （4）?1?(?1)n?1?:2,0,2,0,2,?

二、什么是数列极限

1．引言

对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）；

第1天截下第2第3

? ?

12111天截下??2，

222111天截下?2?3，

222，

第n天截下?

11n?122?12n，

23

?

?

得到一个数列： ,不难看出，数列??11222,123,?,12n,?

11?的通项nn?2?2?随着n的无限增大而无限地接近于零.

一般地说，对于数列?an?，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数

a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.不具有这种特性的数列就不

是收敛的数列，或称为发散数列.

据此可以说，数列??1?是收敛数列，0n??2?是它的极限.

数列?n2?,?1?(?1)n?1?都是发散的数列.

需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.

以?1??为例，可观察出该数列具以下特性：

?n??1?随着n的无限增大，an?1?1n无限地接近于1?随着n的无限增大，1?1n?1|无限减少?|1?1n1n与

1的距离无限减少?随着n的无限增大，|1?小，只要n充分大.

如：要使|1? 要使|1?1n1n?1|?0.1，只要n?10?1|会任意

即可； 即可；

?1|?0.01，只要n?100??

任给无论多么小的正数?，都会存在数列的一项aN，从该项之后(n?N)，

1??|?1???1|??n???.即???0,?N，当n?N时，|?1??1???1|??n?.

1如何找Ｎ？（或N存在吗？）解上面的数学式子即得：n??即可.这样???0,当n?N时，|?1????1?n?1?11?1|?????n?nN1n?，取N?[]?1?1.

1n综上所述，数列?1??的通项1?随n的无限增大，1?无限接近于1，

1???1|??n??即是对任意给定正数?，总存在正整数N，当n?N时，有|?1??1??1???以n??.此即

1为极限的精确定义，记作lim?1?n????11?n??,1??1. 或?1?nn?2.数列极限的定义

24

定义1 设?an?为数列, a为实数,若对任给的正数?,总存在正整数N,使得当n?N时有|an?a|??, 则称数列?an?收敛于a,实数a称为数列?an?的极限,并记作liman?a或an?a(n??).

n??(读作:当n趋于无穷大时,an的极限等于a或an趋于a).由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n???写成n??,即liman?a或

n??an?a(n??).

若数列?an?没有极限，则称?an?不收敛，或称?an?为发散数列. [问题]：如何表述?an?没有极限？

3.举例说明如何用??N定义来验证数列极限 例1.证明: lim1npn???0(p?0)12. ,要使 |

1np证明:???0 不妨设?? 只要n?(),取

211p－0|<

1np

?11?N=?()P??1 ?2? 则当n>N时,有 |

1np－0|=

1np≤

1?1?p(?()P??1)?2?1

例2 求证 limqn?0,n??(0?q?1).

证明: ???0, 不妨设??1，要使 qn?0?qn?? ，只要 nlgq?lg?（注意这里 lgq?0,lg??0），只要 n???. 取N??lg??，则当 n?N时，lgq?lgq?lg?就有 qn?0??， 即 limqn?0.

n??例3 求证limnn??a?1(a?0).

n证法1 先设a?1，???0，要使

a?1?na?1??， 只要 na?1??，

只要 1lga?lg(1??)，只要 n?lga.

lg(1??)n 取 N??lga???， 当 n?Nlg(1??)??1a时，就有

1?1.

na?1??，即 limn??na?1.对

0?a?1，令 b?，则 limnn??a?limnn??b证法2 令na?1?h，则 a?(1?hn)n?1?nhn???hnn?nhn，0?hn?a

nn???0n, 要使

na?1?hn??n, 只要 a??，取N??a?，只要n?N，就有

???n??a?1??，即limn??a?1.

25

n例4 证 lima?0(a?1).

n??n!n证明: 因为

???0aaaaaaaaa????????????c?n!12[a][a]?1n[a]!nn[a](c?a[a][a]!)，

， 要使

ann!?0?a只要c?a??，取 N??c?a?，则只要 n?N，??，???nn!??nn就有

ann!?0??，即limn42nan??n!?0.

例5 limn???0.

n(n?1)2!?3?2证明:4n?(1?3)n?1?n?3? ?n(n?1)(n?2)3!3n(n?1)(n?2)3!?3???33n?

?3, n?3.

n2, 就有 6n?427?n2注意到对任何正整数k, n?2k时有 n?k? 0?n42n?6n227n(n?1)(n?2)?6n27(n?1)(n?2)?1?n?4? ?2427?1n?1n.

于是，对???0, 取 N?max{ 4 , ?? }.??.

???例6 limnn??a?1, a?1.

证法一 令 na?1??n, 有 ?n?0. 用Bernoulli不等式，有

1nn1 a?(1??n)?1?n?n?1?n(a?1), 或 0?an?1?证法二 （用均值不等式） 0?na?1n?an. ?

a?1?nna?1?1?1??n?1个a?n?1n?1?a?1n?an. ?

例7 lim证

0?nn??n?1.

一

n：

n 1n?2

2n?n?2n

?1?2n?2nn?2时

.

，

n?1?n?1??2nnnnn证二： n?(n)?(1?n?1)?n(n?1)2!(nn?1)2 （二项式展开）

? nn?1?2n?1

2?1] 因此，???0，取N?[

?2 ，则当n?N时就有 0?nn?1??即

26

附：此题请注意以下的错误做法：

n?(1?nn?1)n?1?n(nn?1)?nn?1?n?1n?1?1n???1???1n

?n?11?? （注意 1?3n221n不趋于零）

例8：证明limn??n?4?3

证明：由于

3n22n?4?3?12n?42?12n （n?3） （*）

因此，???0只要取

12n?? 便有

3n22n?4?3??

12由于（*）式是在n?3的条件下成立的，故应取N?max{3,[时就有

3n22?]}，当n?Nn?4?3?? 即 lim3n22n??n?4?3

总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份. 4 关于数列的极限的??N定义的几点说明 （1）关于?：① ?的任意性.定义1中的正数?的作用在于衡量数列通项an与常数a的接近程度，?越小，表示接近得越好；而正数?可以任意小，说明an与常数a可以接近到任何程度；②?的暂时固定性.尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N；③?的多值性.?既是任意小的正数，那么,3?,?2等等，同样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式|an?a|??2?中的?可用,3?,?2等来代替.从而“|an?a|??”可用“|an?a|??”代替；④

2?正由于?是任意小正数，我们可以限定?小于一个确定的正数.

（2）关于N：① 相应性，一般地，N随?的变小而变大，因此常把N定作N(?)，来强调N是依赖于?的；?一经给定，就可以找到一个N；②N多值性. N的相应性并不意味着N是由?唯一确定的，因为对给定的?，若N?100时能使得当n?N时,有|an?a|??,则N?101或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是N的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的N也不必限于自然数，只要N是正数即可；而且把“n?N”改为“n?N”也无妨. （3）数列极限的几何理解：在定义1中，“当n?N时有|an?a|??”?“当

Nn?N

时有a???an?a??” ?“当n?N时有an??a??,a????U(a;?)”

27

?所有下标大于N的项an都落在邻域U(a;?)内；而在U(a;?)之外，数列?an?中

的项至多只有N个（有限个）.反之，任给??0，若在U(a;?)之外数列?an?中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N，则当n?N时有an?U(a;?)，即当n?N时有|an?a|??，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1? 任给??0，若在U(a;?)之外数列?an?中的项只有有限个，则称数列

?an?收敛于极限a.

由此可见：1）若存在某个?0?0，使得数列?an?中有无穷多个项落在U(a;?0)之外，则?an?一定不以a为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响. 例1．证明?n2?和?(?1)n?都是发散数列. 例2．设limxn?limyn?a，作数列如下：?zn?:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?. 证

n??n??明 limzn?a.

n??例3．设?an?为给定的数列，?bn?为对?an?增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列?bn?与?an?同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等. 三、无穷小数列

在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若liman?0，则称?an?为无穷小数列.

n??n?1?1??1??(?1)??1?如??,?2?,??,?n?都是无穷小数列.

nnn???????2?数列?an?收敛于a的充要条件：

定理2.1 数列?an?收敛于a 的充要条件是?an?a?为无穷小数列. [作业] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.

§2 收敛数列的性质

教学内容：第二章 数列极限——§2 收敛数列的性质.

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保

号性、保不等式性；

（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学程序：

引 言

28

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证liman?a的方法，

n??这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质

性质1（极限唯一性） 若数列{an}收敛，则它的极限唯一.

证一：假设a与b都是数列{an}的极限，则由极限定义，对???0，

?N1,N2??，当

n?N1时，有 an?a??； n?N2时，有 an?b??

取N?max(N1,N2，则当n?N时有

|a?b|?|(an?b)?(an?a)|?|an?a|?|an?b|?2?

由?的任意性，上式仅当a?b时才成立.

证二：（反证）假设{an}极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a,b

liman?an??b?aan?b且a?b故不妨设a?b，取???0 ，limn??2a?b2由定义，?N1??，当n?N1时有 an?a???an?a??? 又?N2??，当n?N2时有 an?b???an?b???a?b2?ana?b2

因此，当n?max(N1,N2)时有 an?矛盾，因此极限值必唯一.

性质2（有界性）如果数列{an}收敛，则{an}必为有界数列.即?M?0，使对?n有 |an|?M

an?a取??1，?N?0使得当n?N时有 a?a?1 证明：设limnn??即 |an|?|a|?|an?a|?1?|an|?|a|?1

29

令 M?max(1?|a|,|a1|,|a2|,?,|aN|)

则有对?n |an|?M即数列{an}有界

注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如{(?1)n} ②在证明时必须分清何时用取定?，何时用任给?.上面定理3.2证明中

必须用取定?，不能用任给?，否则N随?在变，找到的M也随?在变，界M的意义就不明确了.

an?a，liman?b， 性质3（保序性）设limn??n?? （1） 若a?b，则存在N使得当n?N时有an?bn

（2） 若存在N，当n?N时有an?bn，则a?b（不等式性质） 证明：（1）取??a?b2?0，则存在N1，当n?N1时 |an?a|?a?b2a?b2

从而an?a?a?b2?

a?b2又存在N2，当n?N2时 |bn?b|???bn?b?a?b2?a?b2

当n?max(N1,N2)时 bn?a?b2?an

（2）（反证）如a?b，则由⑴知必?N当n?N时an?bn这与已知矛盾

an?a?b则?N，当n?N时a?b.特别地，若推论（保号性）若limnn??liman?a?0，则?Nn??，当n?N时an与a同号.

思考：如把上述定理中的an?bn换成an?bn，能否把结论改成

liman?limbnn??n??？

aan?a，则liman?例：设an?0（n?1,2,?），若limn??n??

证明：由保序性定理可得 a?0

30

2若a?0，则???0，?N1，当n?N1时有an???an??即

limn??an?0?a

a?

若a?0，则???0，?N2，当n?N2时有 |an?a|?|an?a|an?a|an?a|a? |an?a|????

数列较为复杂，如何求极限？

{an?bn}、{anbn}性质4（四则运算法则）若{an}、{bn}都收敛，则{an?bn}、(an?bn)?liman?limbn，limanbn?limanlimbn特别地，也都收敛，且 limn??n??n??n??n??n??limcan?climan，c为常数如再有limbn?0则{n??n??n??anbn1}也收敛，且 limanbnn???limann??limbnn??

证明：由于an?bn?an?(?1)bn，算的结论即可.

anbn?an?bn，故只须证关于和积与倒数运

limbn?b，an?a，?N1，?N2，???0，设lim当n?N1时 an?a??；n??n??当n?N2时 bn?b??

取N?max(N1,N2)，则当n?N时上两式同时成立.

（1） |anbn?ab|?|(an?a)bn?a(bn?b)|?|an?a||bn|?|a||bn?b|

由收敛数列的有界性，?M?0，对?n有|bn|?M 故当n?N时，有 |anbn?ab|?(M?|a|)?

anbn?ab 由?的任意性知limn??bn?b?0 （2） limn?? 31

由保号性，?N0?0及k?0，对?n?N0有|bn|?k（如可令k?取

|1bn?1b|?|bn?b||bnb|N?max(N0,N2)|b|2）

，

则当

n?N时有

?|bn?b|k|b|??k|b|由?的任意性得 limn??1bn?1b

用归纳法，可得有限个序列的四则运算： limNN(k)nn???xk?1Nk?1???limk?1Nk?1n??xn(k)， .

?? limn???x(k)n?limn??xn(k)但将上述N换成?，一般不成立.事实上?或?本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.

性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列{an}、{bn}、{cn}，如?N，当n?N时有

an?cn?bn，且liman?limbn?l，则limcn?l n??n??n??an?limbn?l????0，?N1,N2 证明：limn??n??k?1k?1当n?N1时， l???an?l??；当n?N2时， l???bn?l??

取N0?max(N1,N2,N)，则当n?N0时以上两式与已知条件中的不等式同时

cn?l 成立，故有n?N0时 l???an?cn?bn?l???|cn?l|??即limn??该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.

bn?a，则推论：若?N，当n?N时有a?cn?bn（或bn?cn?a）且limn??limcn?an??

32

a例：求证lim?0（a?0） n??n!n证明：?k??使得k?a，从而当n?k时有 0?ann!?a1?a2???ak?ak?1???an?akk!?an

kkaaalimalim?0由推论即可得结论 由于n????n??nk!nk!例：设a1，a2，?，am是m个正数，证明

nnnlinma1?a2??am?maa1x,a2(,?,am) n??证明：设A?max(a1,a2,?am)，则 A? m?1?limn??例1： limnnna1?a2??am?nnnnmA

m?1，由迫敛性得结论.

n??a?1(a?1)

nna?1?0， a?(1?hn)，得0?hn? 在证明中, 令h?nhn?0.

an，由此推出

由此例也看出由xn?zn?yn和limxn?a?limyn, 也推出limzn?a.

n??n??n??例2： 证明 limnn??n?1.

证明： 令 nn?1?h,

nn?(1?hn)n?1?nhn?n(n?1)2hn???hn2n?n(n?1)2hn2(n?3)，

0?hn?2

n?1两边夹推出 hn?0，即nn?1.

在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例； 例3： 求极限 lim4n?6n?122

3n?n?924?6?4n?6n?1n解 lim?limn??3n2?n?9n??3?1?nn??1nn292?43.

例4： 求极限 lim(1?a???an)n??(0?a?1).

33

解 lim(1?a???a)?limnn??1?ann??(例5：limn??3n?1n?n?1n1n)?lim3n?1n1n1?alimn???11?a.

?lim(3?n??n?1n1nn??)lim(1?n??1n)

?(lim3?limn??n??)(lim1?limn??n??)?3?1?3

例6：求limamnmk?am?1nm?1k?1???a1n?a0???b1n?b0n??bkn?bk?1n，m?k，am?0，bk?0

解：原式?limn??amnm?k?am?1nm?k?1???a1n1?k1?k?a0n?k?kbk?bk?1n?1???b1n?b0n?am,m?k?b??m ?0,m?k??分子分母最高次数相同即：有理式的极限??分子最高次低于分母最2n?4n?53n?10n?7332，为最高次系数之比高次，则为0

如 limn???23

n(n?1?n)?lim例7：limn??n??nn?1?n?lim11?1nn???1?11?1?12

例8：设a,b?0，证明 lim证明： max(a,b)?二 数列的子列

1、引言

nnn??a?bnnn?max(a,b).

nnmax(a,b)?na?b?n2max(a,b)n?max(a,b).

极限是个有效的分析工具.但当数列?an?的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道?an?没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. 2、 子列的定义 定义1 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且

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n1?n2?n3???nk??，则数列

an1,an2,?,ank,?称为数列?an?的一个子列，简记为?an?.

k注1 由定义可见，?an?的子列?an?的各项都来自?an?且保持这些项在?an?k中的的先后次序.简单地讲，从?an?中取出无限多项，按照其在?an?中的顺序排成一个数列，就是?an?的一个子列（或子列就是从?an?中顺次取出无穷多项组成的数列）.

注2 子列?an?中的nk表示an是?an?中的第nk项，k表示 an是?ankkkk?中的

第k项，即?an?中的第k项就是?an?中的第nk项，故总有nk?k. 特别地，若nk?kk，则an?an，即?ankk???a?.

n注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项以后得到的子列，称为?an?的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列.

如?a2k?,?a2k?1?都是?an?的非平凡子列.由上节例知：数列?an?与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.

那么数列?an?的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

定理2.8 数列{an}收敛的充要条件是：{an}的任何非平凡子列都收敛． 证明： 必要性 设liman?a,{an}是{an}的任一子列．任给??0，存在正数

n??kN，使得当k?N时有ak?a??.由于nk?k,故当k?N时有nk?N，从而也有． an?a??，这就证明了{an}收敛（且与{an}有相同的极限）

kk 充分性 考虑{an}的非平凡子列{a2k}，{a2k?1}与{a3k}．按假设，它们都收敛．由于{a6k}既是{a2k}，又是{a3k}的子列，故由刚才证明的必要性，

lima2k?lima6k?lima3k.k??k??k?? （9）

又{a6k?3}既是{a2k?1}又是{a3k}的子列，同样可得

lima2k?1?lima3k. （10）

k??k??（9）式与（10）式给出

lima2k?lima2k?1．

k??k?? 35

所以由课本例7可知{an}收敛．

由定理2．8的证明可见，若数列{an}的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{an}必收敛于同一个极限．于是，若数列{an}有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{an}一定发散．例如数列{(?1)n},其偶数项组成的子列{(?1)2n}收敛于1，而奇数项组成的子列{(?1)2k?1}收敛于?1，从而{(?1)n}发散．再如数列{sinn?}，它的奇数项组成的子列{sin2k?1?}即为{(?1)k?1}，

22由于这个子列发散，故数列{sinn?}发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．

2§3 数列极限存在的条件

教学内容：第二章 数列极限 ——§3 数列极限存在的条件

教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具. 教学要求：（1）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；

（2）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性.

教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学程序：

引 言

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列?an?极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极限a，故可用an作为a的近似值.

本节将重点讨论极限的存在性问题.

为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.

从收敛数列的有界性可知：若?an?收敛，则?an?为有界数列；但反之不一定对，即?an?有界不足以保证?an?收敛.例如?(?1)n?.但直观看来，若?an?有界，又?an?随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.

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为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列

定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(a?an?1)，则称?an?为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．

1?2例如：???为递减数列；?n??n??(?1)n?为递增数列；??不是单调数列.

n??二、单调有界定理

〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列?an?，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.

定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限.

几何解释：单调数列{an}只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点

an沿数轴移向无穷远；（2）an无限趋于某一个定点A，即an?A(n??).

证明：不妨设{an}单调增加有上界，把{an}看作集合，有确界原理，

sup{an}??存在

即：（1）?n，an??；（2）???0，?n0?N使an????

0由于{an}单调增加，故当n?n0时有????an?an??????

0an?? # 即当n?n0时 |an??|??亦即limn??例1：a?0，证明数列a1?an?a?a???a，a2?a?a，a3?a?a?a，??，

a，??收敛，并求其极限.

证明：从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. 易见an?a?0，且a2?a?a1，a3?a?a2，?，an?a?an?1，?

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2从而 an?a?an?1?a?an两端除以an得 an?1?aan

?n，an?a?a?an?1?a故{an}有界即得极限存在

2an?l设limn??2，对等式an?a?an?1两边取极限，则有liman?lim(a?an?1)?n??n??

liman?1?a?l2?l?a?l?1?n??1?4a2

因{an}为正数列，故l?0，因此取l?1?1?4a2即为所求极限

n例2：求lim（k为一定数，a?1） n??nacn?1cn1n?1k11k()?(1?)a?1，则?N，当anank解：记 cn?n?Nna)kkn，则cn?0且

?1，

?时 (1?a11n故n?N后，{cn}单调递减，又有 cn?0?极限一定存在，设为A 由 cn?1?1a(1?1n)cn两边取极限得 A?12?k1aA（a?1）?A?0

例3 设 an?1??13????1n?, ( ??2 ). 证明数列{an}收敛.

例4 a?0, x1?0. xn?1?法, 亦即迭代法 ).

1?a??xn??. 求limxn. ( 计算a的逐次逼近?n??2?xn??解：由均值不等式, 有 xn?1?注

xn?1xn?1?a??xn????2?xn???n,xn?axn?a. ? {xn}有下界;

意到对有↘,

xn?a, 有

1?a?1?a?1????1?22?2?xn?( a )??2????1. ? xn?? 38

limxn?n??a.

三、柯西收敛准则

1、引言

单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则. 2、Cauchy收敛准则

定理（Ｃauchy收敛准则）数列?an?收敛的充分必要条件是：对任给的??0，存在正整数N，使得当n,m?N时有|an?am|??.

an?a，?N，证明：“?” {an}收敛，则存在极限，设lim则???0，当n?Nn??时有|an?a|??/2?当n,m?N时有 |an?am|?|am?a|?|an?a|?? “?”先证有界性，取??1，则?N，n,m?N?|an?am|?1 特别地，n?N时 |an?aN?1|?1?|an|?|aN?1|?1

设 M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,|aN?1|?1}，则?n，|an|?M

an?a 再由致密性定理知，{an}有收敛子列{an}，设limk??kk???0，?N1，n,m?N1?|an?am|??/2

?K，k?K?|an?a|??/2

k取N?max(K,N1)，当n?N时有nN?1?N?1?N

? |an?a|?|an?anN?1|?|anN?1?a|??/2??/2??

an?a 故limk??Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）

?收敛准则的另一表示形式：???0，?N，当n?N时，对?P?Z=有

Cauchy 39

|an?P?an|??

3、说明

a) Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.

b) Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.

c) Cauchy准则把??N定义中an与a的之差换成an与am之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.

例：如数列{an}满足|an?1?an|?q|an?an?1|（n?2,3,?）且0?q?1，证明数列{an}收敛.

证明：令|x2?x1|?c?0

|an?1?an|?q|an?an?1|?q|an?1?an?2|???q2n?1|x2?x1|

?|an?p?an|?|an?p?an?p?1|?|an?p?1?an?p?2|???|an?1?an|

?c(qn?p?2?qn?p?3???qn?1)?cqn?1(1?q???qp?1)?cqn?11?q

???0，（不妨设0???c1?q），取N?[1?ln(1?qclnq)?]，则当n?N时，对

任给自然数p有 |an?p?an|?12cqn?11?q??.故由Cauchy收敛准则知数列{xn}收敛.

例：证明数列 an?1????1n发散

证明：要证：??0?0，对?N，必有m0?N，n0?N使得 |am?an|??0

00设m?n则|am?an|?1n?1?1n?2???1m?1n?1?1n?2???1n?(m?n)

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