海文高数部分内容(赵达夫)

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一、函数、极限与连续

（一） 本章的重点内容与常见的典型题型

１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2） 利用两个重要极限，两个重要极限即

1?1??1?lim?1???lim?1???lim?1?x?x?e,n??x?0?n?x???x? sinxlim?1;x?0xnx（3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5） 利用夹逼定理；

（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用

关系式求出极限；

（7） 利用定积分求某些和式的极限； （8） 利用导数的定义；

（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。

２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。

３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。 通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：

１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数； ２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型； ３．无穷小的比较；

４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；

５．求分段函数的复合函数。

（二） 知识网络图

1

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“ε－Ｎ”定义 极限概念 “ε－Ｘ”定义 “ε－δ”定义 唯一性 极限性质 有界性 保号性 夹逼定理 １极限存在准则 单调有界数列有极限 n1?? lim?1???en??n? ?２两个重要的极限 sinx３函数的连续性 lim?1x?0x 0?型、型４用导数的定义 0?５洛必达法则 ???型、0??型 ?001、?、0型６等价无穷小替换 ７泰勒公式 ８用函数极限求数列极限 无穷小量与无穷大量的定义、关系 无穷小量的运算性质 无穷小量与极限的关系 无穷小量的阶、等价无穷小量 初等函数的连续性 分段函数连续性判定 闭区间上连续函数的性质

数列整体有界 函数局部有界 极限

求极限的主要方法 转换 无穷小量 连续的概念

最值定理 介值定理

连续性

可去

第一类——左右极限都存在 跳跃

第二类——左右极限中至少有一个不存在

间断点的分类

（三）典型题型分析及解题方法与技巧

2

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题型一 求复合函数

?x?1?e,x?0,求f?g(x)?与g?f(x)?. ［例1.1］设f(x)??x?x?,g(x)??22??x,x?0,

题型二 利用函数概念求函数的表达式

［例1.2］已知f(x)?ex,f??(x)??1?x且?(x)?0,求?(x)并写出它的定义域．

2

题型三 判断函数的性质

［例1.3］设f(x)?xtanxex,则f(x)是（ ） （A） 偶函数 （B）无界函数 （C） 周期函数 （D）单调函数.

2题型四 求极限的方法

3x2?52sin?［例1.4]］填空题 limx??5x?3x

［例1.5］求下列极限

__. __?1?limx?01?tanx?1?sinx; x?1?cosx?

3

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?2?xlim???

4x2?x?1?x?1x?sinx2;

1x.

?3?limx?0?1?cosx?ln?1?x?3sinx?x2cos

［例1.6］ 求下列极限

??1?lim?x?011??;22??sinxx?

???3????1???2limsinln1??sinln?1????;??x??????????x??? ???x??

21??3limsin?cos??x????.

xx??

［例1.7］ 选择题

x2?1x1e?1的极限是（ ）. 当x?1时，函数

x?1

4

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（A）2; （B）0；

（C）?； （D）不存在但不为?.

?a?sinx?x?,x?0,?3?x［例1.8］ 设f?x??? 问a 为何值时limf?x?存在.

x?0?12sinx?xsin?t2?dt,x?0,?0??x??

［例1.9］求limx?0xx2??0cos?t2?dt2sinx10.

［例1.10］ 选择题 设函数f?x???1?cosx0x5x6sin?t?dt,g?x???，则当x?0时，f?x?

562是g?x?的（ ）

（A） 低阶无穷小 （B） 高阶无穷小

（C） 等价无穷小 （D） 同阶但不等价的无穷小

1x2t2?x2dt. ［例1.11］求lim?0?1?t?ex??x

［例1.12］确定a，b，c值，使limx?0?

ax?sinx3ln1?t??xb?C?C?0?. dtt5

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___,____,____.

［例1.36］以?x?表示不超过x的最大整数，试确定常数a的值，使

2????x?ln?1?e????ax?存在，并求出此极限.

lim?????x?0?1???ln?1?e??x??????

［例1.37］选择题

设常数ai?0?i?1,2,3?,?1??2??3.则方程0 （ ）. （A）没有根； （B）正好有一个根； （C）正好有两个根； （D）正好有三个根.

aa1a?2?3? x??1x??2x??3二、一元函数微分学

（一）本章的重点内容与常见的典型题型

一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章节都要涉及到它.

本章内容归纳起来，有四大部分.

1. 概念部分：导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系；

2. 运算部分：基本初等函数的倒数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式；

3. 理论部分：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

4. 应用部分：利用导数研究函数的性态（包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线），最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在几何、物理等方面的应用.

常见题型有：

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1. 求给定函数的导数或微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程确定的函数求导. 2. 利用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式.如“证明在开区间至少存在一点满足??”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等． 3. 利用洛必达法则求七种未定型的极限.

4. 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。

5. 利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。

（二）知识网络图

导数的概念

导数的定义 导数的几何意义 切线方程的求法 基本初等函数的导数 导数的四则运算 反函数的导数 隐函数的导数 复合函数的导数 高阶导数 罗尔定理

拉格朗日中值定理 柯西中值定理

导数的计算

导数

中值定理

应用 洛必达法则求极限 函数的单调区间 研究函数性质 函数的极值、最值 及几何应用 曲线的凹凸性及拐点 渐近线、函数作图

经济应用 边际、弹性

经济中的最大值和最小值应用

微分

微分概念 微分的计算

一阶微分形式不变性

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（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一 有关一元函数的导数与微分概念的命题

［例2.1］选择题

设f?x0??0,f?x?在x?x0连续，则f?x?在x0可导是f?x?在x0可导的（ ）条件.

（A）充分非必要； （B）充要； （C）必要非充分； （D）非充分非必要. ［例2.２］填空题 设f?x?在x0处可导，则 （1）limh?0f?x0?3h??f?x0??______;

hf?x0?h??f?x0?h??______;

h（2）limh?0（4）lim?f?x0?n??（5）limx?0????1???n?1???f?x0????_____;

2n???x?_____;

f?x0??f?x0?x?f?x0?xn??f?x0?yn?（6）当n??时，xn与yn为等价无穷小，则lim

n??xn?_______.

［例2.3］选择题

设f?x?在x?a处的某个定义域内有定义，则f?x?在x?a处可导的一个充分条件是（ ）.

（A）limh?f?a?h???

????1???fa???存在； ?h??13

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（B）limh?0f?a?2h??f?a?h?存在；

hf?a?h??f?a?h?存在；

2hf?a??f?a?h?存在.

h（C）limh?0（D）limh?0

［例2.4］已知f?x?是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式：

f?1?sinx??3f?1?sinx??8x???x?，其中??x?是当x?0时比x高阶的无穷小，

且f?x?在x?1处可导，求曲线y?f?x?在6,f?6?处的切线方程。

［例2.5］求下列函数在指定点处的导数 （1）f?x???arcsinx?

（2）设f?x????a?bx????a?bx?，其中??x?在x?a处可导，求f'?0?；

（3）设函数f?x?在x?0处可导，且f'?0??求f'?3?.

14

??1?sinx，求f'?0?；

1?sinx1，又对任意的x，有f?3?x??3f?x?，3万学教育·海文考研 TEL:029-85213835 85210011

题型二 利用导数定义函数方程

［例2.6］设f?x?在???,???上定义，且f'?0??a?a?0?，又?x,

y????,???有f?x?y??

f?x??f?y?，求f?x?.

1?f?x?f?y?类似题：设f?x?在?0,???上有定义，且f'?1??a?a?0?，又对?x,

y??0,???，有f?xy??f?x??f?y?，求f?x?.

题型三 可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论

［例2.7］设F?x??g?x???x?，??x?在x?a处连续，但又不可导，又g'?a?存在，则g?a??0是F?x?在x?a处可导的（ ）条件. （A）充要； （B）充分非必要； （C）必要非充分； （D）非充分非必要

23［例2.8］函数f?x??x?x?2x?x有（ ）个不可导点.

??（A）3； （B）2； （C）1； （D）0.

题型四 求函数导数与微分

［例2.9］求下列函数的导数与微分 （1）设y?e

15

tan1x?sin1，dy； x

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三、一元函数积分学

（一）本章的重点内容与常见的典型题型

本章和一元函数微分学一样，重点内容可分为概念部分、运算部分、理论证明部分以及应用部分.

1. 概念部分：原函数的概念，定积分、不定积分的概念，以及反常积分的概念.考试的重点偏重对定积分概念的理解上.

2. 运算部分：变上限积分及其导数；定积分和不定积分的换元法和分部积分法. 3. 理论部分：变上限定积分及其求导定理，牛顿—莱布尼茨公式，积分中值定理. . 应用部分：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量；

5. 综合性试题.

（二）知识网络图

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原函数，不定积分

第一换元法（凑微分法）

基本积分表 换元积分法 二次根式——用三

不定积分

积分法 角函数换元

第二换元法

分部积分法

最简根式

有理函数的积分——部分分式法

几类函数的积分 简单三角函数有理式的积分

定义——分割，近似代替，求和，取极限

定积分的概念 几何意义——平面图形面积的代数和

1、?kf?x?dx?k?f?x?dxaabb??定积分的性质

ba??f?x??g?x???dx??af?x?dx??ag?x?dxbb2、对积分区间可加性ba

bcf?x?dx??f?x?dx??f?x?dxabac3、?f?x?dx???f?x?dxab4、比较性质：f?x??g?x?,a?x?b定积分

??f?x?dx??g?x?dxaabb５、估值定理 ６、积分中值定理

微积分基本定理

原函数存在定理——变限积分求导 牛顿—布莱尼兹公式 经济应用 平面图形应用 旋转体的体积 无穷限积分 瑕积分

定积分的应用

广义积分

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（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一 有关原函数与定积分概念，性质的命题

［例3.1］填空题

（1）设xf?x?dx?arcsinx?C，则

??dx?_________; f?x?

（2）limsinn????n?cos2k?1nk??_________. n

［例3.2］设f?x?为连续函数，且f?x??x?2

［例3.3］判断下列结果是否正确. （1）

?f?t?dt，求f?x?.

01??0sinx?sinxdx??35?025?sinxcosxdx?sin2x0；

5321?1?（2）?2dx??????2；

?1x?x??111

d?1?1?（3）?； arctandx?arctan???1dx?x?x?12?11

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（4）若m?f?x??M，则m?b?a??

［例3.4］函数F?x???f?x?dx?M?b?a?.

ab?x?2?xesintsintdt（ ）.

（A）为正数； （B）为负数； （C）恒为零； （D）不是常数. ［例3.5］选择题

?sinx4342设M??2?cosxdxN?sinx?cosx?dx,P?????1?x2?22???x2??2?sin3x?cos4x?，则

2（ ）.

（A）N?P?M； （B）M?P?N； （C）N?M?P； （D）P?M?N. ［例3.6］选择题

设f?x?为连续函数，F?x?是f?x?的原函数，则（ ）. （A）当f?x?是奇函数时，F?x?必为偶函数； （B）当f?x?是偶函数时，F?x?必为奇函数； （C）当f?x?是周期函数时，F?x?必为周期函数； （D）当f?x?是单调增函数时，F?x?必为单调增函数.

［例3.7］设f?x?在?a,b?上连续，x??a,b?，证明：

1?xlim?f?t?h??f?t??dt?f?x??f?a?.

?h?0h??0?

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题型二 求分段函数的原函数与定积分

［例3.8］设f?x???

［例3.9］计算I?

［例3.10］设f?x?在???,???内满足f?x??f?x????sinx，且

??sin2x,x?0,求f?x?的原函数F?x?.

??ln?2x?1?,x?0,?31x?x?2?dx.

f?x??x,x??0,??，计算I??

3??f?x?dx.

题型三 不定积分与定积分的计算

arctanexdx. ［例3.11］求?2xe

［例3.12］求

??2xdx2?1?x?12.

［例3.13］设f?lnx??

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ln?1?x?，计算?f?x?dx. x

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［例3.14］填空题

???dx2?x?7?x?2?________.

［例3.15］设函数S?x???x0costdt，

（1）当n为正整数，且n??x??n?1??时，证明：

2n?S?x??2?n?1?；

（2）求limS?x?x???x.

［例3.16］设f?x?在???,???上有定义，对于任意的x，f?x?y??f?x??f?y?，求?a?af?x??1?cosx?dx.

［例3.17］求?bax?x?a??b?x?dx.

［例3.18］设f?x???xsint??tdt，求??00f?x?dx.

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y，恒有：

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（类似）设f?x??

?2x?1eydy，求?f?x?dx.

123x2［例3.19］设f?x?1??ln2且f???x???lnx，求???x?dx.

x?22

［例3.20］求

???xe?x0?1?e??x2dx.

题型四 证明积分等式与不等式

［例3.21］设f?x?，g?x?在区间??a,a??a?0?上连续，g?x?为偶函数，且f?x?满足条件f?x??f??x??A（A为常数）. （1）证明：

?a?af?x?g?x?dx?A?g?x?dx；

0a?（2）能利用（1）的结论计算

?2??2sinxarctanexdx.

［例3.22］对于x?0，证明f?x????t?t?sin20x2ntdt（n为自然数）的最大值不超过

1?2n?2??2n?3?

.

［例3.23］设f?x?在?a,b?有二阶连续导数，f?a??f?b??0，M?

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maxf\?x?.证明：

?a,b??f?x?ab?b?a?dx?123M.

［例3.24］设f?x?在?0,1?可导，f?0??0，0?f'?x??1.

试证：

??10f?x?dx?2??f?x?dx.

01题型五 综合题

［例3.25］设f?x?在?0,???上可导，f?0??0，且其反函数为g?x?.若

?

f?x?0g?t?dt?x2ex，求f?x?.

［例3.26］设f?x?在???,???上连续，以T为周期.令F?x??求证：

?f?t?dt

0x（1）F?x?一定能表示成F?x??kx???x?，其中k为某常数，??x?是以T为周期的周期函数； （2）lim1x1ftdt???x??x?0T?f?x?dx；

0T（3）若又有f?x??0x????,???，n为自然数，则nT?x??n?1?T时，有

??n?f?x?dx??f?t?dt??n?1??f?x?dx.

000TxT题型六 定积分的几何应用

［例3.27］（1）由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0围成平面图形的面积

S?__________；

（2）下列可表示双纽线x?y?222??x2?y2围成平面区域的面积是（ ）;

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?（A）2（B）4（C）2?40cos2?d?； cos2?d?； cos2?d?；

??40??401?2（D）?4cos2?d?.

20（3）由曲线y?x?x?1??2?x?与x轴围成平面图形的面积S?（ ）； （A）

?10x?x?1??2?x?dx??x?x?1??2?x?dx；

1202（B）?（C）?（D）

?x?x?1??2?x?dx；

?x?x?1??2?x?dx??x?x?1??2?x?dx；

01212?x?x?1??2?x?dx.

0??x?a?t?sint?,（4）由参数方程??0?t?2??（摆线）及x轴围成平面图形的面积

??y?a?1?cost?.S?__________.

［例3.28］设曲线L1:y?1?x2?0?x?1?，x轴和y轴所围成的区域D被曲线

L2:y?ax2分成面积相等的两部分，其中a?0是常数.试确定a的值.

2［例3.29］已知抛物线y?px?qx（其中p?0,q?0）在第一象限内与直线x?y?5相

切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S， （1）问p和q何值时，S达最大值? （2）求出此最大值.

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［例3.30］过坐标原点作曲线y?lnx切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形

D.

（1）求D的面积A；

（2）求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

ex?e?x［例3.31］曲线y?与直线x?t?t?0?及y?0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕

2x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V?t?，侧面积为S?t?，在x?t处的底面积为F?t?.

S?t?（1）求的值；

V?t?（2）计算极限lim

［例3.32］设曲线方程y?e?xS?t?.

t???F?t??x?0?.

（1）把曲线y?e?x，x轴，y轴和直线x?????0?所围成的平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V???；求满足V?a??????1 2limV???的a；

（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.

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主讲：赵达夫

【讲授科目】：高等数学。

【学术背景】：北京交通大学数学系教授，工科数学部主任，高等数学课程学科带头人。 【辅导地位】：是久负盛名的考研辅导专家。

【授课特点】：赵老师从事考研辅导工作的多年，施教遍及华夏。岳老师授课风趣幽默，思维活跃，重点突出，易懂易记，深入浅出，点题明辨。化抽象为通俗，化推理为易懂，深受广大考生的好评价。

【名师风采】：主编《考研数学复习指南》、《数学题型分析及模拟试题》、《研究生入学考试数学标准化模拟试卷》等资料。

目 录

一、函数、极限与连续 ............................................................................................................... 1

二、一元函数微分学 .................................................................................................................. 11

三、一元函数积分学 ................................................................................................................. 21

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pd07.html