2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理2018042313

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第三章 三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：

角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 180?°π角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝??? 180?π?弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． lrl＝|α|r S＝lr＝|α|r2 1212yx 1

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )

(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( )

(4)若点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝( ) A.

5

55 5

－

2

B.

25

5

C．－25D．－ 5

＋2＝5(O为坐标原点)，所以sin α＝

2

解析：选B 因为|OP|＝

2

25

＝.

55

3．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

解析：选D 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．

4

4．已知角α的终边过点P(8m,3)，且cos α＝－，则m的值为( )

51A．－ 2C．－3 2

1B. 2D.3 2

2

解析：选A 由题意得1

解得m＝－. 2

4＝－，且m<0.

5m2＋328m5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． π

解析：设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝6，

31

所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.

2答案：6π

4π

6．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．

3

4π4π?4π?解析：与角－终边相同的角是2kπ＋?－?，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边33?3?2π

相同的角是. 3

2π答案： 3

考点一 象限角及终边相同的角

基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题. 1．给出下列四个命题： 3π

①－是第二象限角；

4②

4π

是第三象限角； 3

③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

3π4ππ4π

解析：选C －是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，4333故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－

3

360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确，故选C.

2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，

则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 76545

解得－≤k<－(k∈Z)，

360360从而k＝－2或k＝－1，

代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°

3．终边在直线y＝3x上的角的集合为__________________． 解析：在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴正半轴的夹

???ππ

角是，终边在直线y＝3x上的角的集合为?α?α＝kπ＋，k∈Z?.

33???

?

答案： ?α

?

?α＝kπ＋π，k∈Z?

? ?3??

α

4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．

2π

解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，

2

παπαα∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是42222第三象限角．

答案：一或三

[怎样快解·准解]

1．象限角的两种判断方法

(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

θ*

2．求或nθ(n∈N)所在象限的方法

n(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n.

4

θ*

(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N)所在的象限．

n[注意] (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．

(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．

考点二 扇形的弧长及面积公式的应用

基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于基础题. 1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 C．1或4

B．4 D．2或4

解析：选C 设扇形的半径为r，弧长为l， 2r＋l＝6，??则?1

rl＝2，??2

??r＝1，

解得?

??l＝4

??r＝2，

或???l＝2.

l4l2

从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.

r1r2

2．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm. 解析：由弧长公式l＝|α|r，得

2

r＝20361136360＝，∴S扇形＝lr＝×20×＝. 100ππ22ππ180

360答案： π

3

3．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角

2是原来的________倍．

解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为. 3

将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，

23l2l则弧度数变为＝3·，

1rr2

lr 5

即弧度数变为原来的3倍． 答案：3

[怎样快解·准解]

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．

考点三 三角函数的定义及应用

题点多变型考点——追根溯源

任意角的三角函数正弦、余弦、正切的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现.,常见的命题角度有： 利用三角函数定义求值； 三角函数值符号的判定； 三角函数线的应用. [题点全练] 角度(一) 利用三角函数定义求值

1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )

4A．－ 53C. 5

3B．－

54D. 5

解析：选B 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝55；当t<0时，cos θ＝－. 55

t5|t|

.

当t>0时，cos θ＝

232

因此cos 2θ＝2cosθ－1＝－1＝－.

55

2．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－________.

5

解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，

13∴cos α＝

555＝－，解得x＝或x＝－(舍去)，

1322x2＋36－x511

，则＋＝13sin αtan α

?5?∴P?－，－6?，

?2?

6

12sin α12

∴sin α＝－，∴tan α＝＝，

13cos α5则

111352＋＝－＋＝－. sin αtan α12123

2答案：－

3

[题型技法] 利用三角函数定义求三角函数值的方法

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．

角度(二) 三角函数值符号的判定

3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A．sin α>0 C．sin 2α>0

B．cos α>0 D．cos 2α>0

解析：选C 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin acos α>0，故选C.

cos α4．若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )

tan αA．第一象限角 C．第三象限角

B．第二象限角 D．第四象限角

解析：选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由

cos α

<0可知cos α，tan α异号， tan α

则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．

[题型技法] 三角函数值符号及角的位置判断

已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．

角度(三) 三角函数线的应用

5．函数y＝lg(3－4sinx)的定义域为________． 322

解析：∵3－4sinx>0，∴sinx<，

4∴－33

7

2

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ππ??∴x∈?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 33??ππ??答案：?kπ－，kπ＋?(k∈Z) 33??

[题型技法] 利用三角函数线求解三角不等式的方法

对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．

[题“根”探求]

1．思维趋向要明确

(1)看到角α终边上的点或终边所在的直线想到三角函数定义的应用． (2)看到角α所在的象限想到三角函数值符号的判断．

(3)看到三角式比较大小、解三角不等式(方程) 想到三角函数线的应用． 2．二级结论要谨记 (1)三角函数值符号的结论： 一全正、二正弦，三正切、四余弦．

?π?(2)当α∈?0，?时，①sin α<α1. 2??

[冲关演练]

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，4

点A的纵坐标为，则cos α的值为( )

5

4A. 53C. 5

4B．－

53D．－

5

4

解析：选D 因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所

533

以A点的横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－. 55

2．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 C．第三象限

??cos α<0，

解析：选B 由题意得?

?tan α<0?

B．第二象限 D．第四象限

??cos α<0，

??

?sin α>0，?

所以角α的终边在第二象限．

8

3．函数y＝ sin x－

2

的定义域为________． 2

解析：因为sin x≥

22

，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连22

接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范

???π3π

??. 2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z围，故满足条件的角x的集合为x?44???

π3π??答案：?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z

44??

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A．2 C．6

B．4 D．8

112

解析：选C 设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2212

＝×4×r，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6. 2

2．已知点P?A.C.5π 611π

6

1??3

，－?在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

2??2

B.D.2π

35π 3

解析：选C 因为点P?1??3

，－?在第四象限，

2??2

1

－23

根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，

33

2又θ∈[0,2π)，可得θ＝

11π

. 6

3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有( ) A．α＋β＝90°

B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z

9

D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z

解析：选C 因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.

4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )

A．(－2,3] C．[－2,3)

B．(－2,3) D．[－2,3]

解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半

??3a－9≤0，

轴上，所以有?

?a＋2＞0，?

解得－2＜a≤3.

5．下列选项中正确的是( ) A．sin 300°＞0

B．cos(－305°)＜0 D．sin 10＜0

?22π?＞0

C．tan?－

3???

解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； 22π2π22π

因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；

333

7π

因为3π＜10＜，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，

2

?22π?＜0，sin 10＜0，故D正确． tan?－

3???

??6．集合?α

??

?kπ＋π≤α≤kπ＋π，k∈Z?42?

??

?中的角所表示的范围(阴影部分)是??

( )

πππ

解析：选C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与

424πππ

≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此242ππ

时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，结合图象知选C.

42

7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.

10

解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°

8．在直角坐标系xOy中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．

解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，

设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)． 答案：(－1，3)

9．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 12

αr21

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，

124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.

2R＋αR答案：1∶2

10．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m， ∴r＝|OP|＝(－3)＋m(O为原点)， 即r＝3＋m. ∴sin α＝＝22

2

2

2

2

2m，则m＝________. 4

mr2mm＝， 422

∴r＝3＋m＝22， 即3＋m＝8，解得m＝±5. 答案：±5

B级——中档题目练通抓牢

1．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )

A.π

3

B.π 2

2

C.3 D.2

解析：选C 设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧

11

长为3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为

3RR＝3.

πsin θcos θ

2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋5|sin θ||cos θ|＋

tan θ

的值为( )

|tan θ|A．1 C．3

解析：选B 由α＝2kπ－B．－1 D．－3

π

(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，5

又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

1

3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )

54A. 33C．－ 4

3B. 44D．－

3

解析：选D ∵α是第二象限角，∴x<0. 又由题意知

1＝x， x2＋425

x解得x＝－3. 44

∴tan α＝＝－. x3

25

4．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则

327扇形的弧长与圆周长之比为________．

2r解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，

31?2r?2α??2?3?5则＝， 2πr275π∴α＝. 6

5π2r·35l6

∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. c2πr18

12

5

答案： 18

5．(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________．

π

解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin4π25π5π2＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出

42442

?π5π?满足题中条件的角x∈?，?.

4??4

答案：?

?π，5π?

?4??4

11

6．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

|sin α|sin α(1)试判断角α所在的象限；

?3?(2)若角α的终边上一点M?，m?，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的

?5?

值．

11

解：(1)由＝－，得sin α<0，

|sin α|sin α由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．

?3?22

(2)因为|OM|＝1，所以??＋m＝1，

?5?

4

解得m＝±. 5

又α为第四象限角，故m<0， 4

从而m＝－，

5

4－5ym4

sin α＝＝＝＝－.

r|OM|15

7．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

13

341

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝5－5＝－5. 当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－341

5＋5＝5.

(2)当a＞0时，sin θ＝3?π?5∈??0，2??，

cos θ＝－45∈???－π2，0???

，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 3?4?5·sin??－5??＜0；

当a＜0时，sin θ＝－3?π?5∈??－2，0??，

cos θ＝4?π?5∈??

0，2??，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos??3?－5??4?·sin 5＞0.

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． C级——重难题目自主选做 已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， ?2r＋l＝8，(1)由题意可得?

??1

?2

lr＝3，

解得???

r＝3，

?l＝2

或???

r＝1，

?

?

?

l＝6，

∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.

(2)法一：∵2r＋l＝8，

∴S1124·2r≤1?4?l＋2r?2??2?＝1扇＝lr＝l4×??8?2??2

?

＝4，

当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8，

14

112

∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，

22当且仅当r＝2，l＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

9π

1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )

49

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)

4C．k·360°－315°(k∈Z)

5π

D．kπ＋(k∈Z)

4

π

＋2kπ或4

lr解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为

k·360°＋45°(k∈Z)，结合选项知C正确．

2．已知点P?A.C.5π 611π

6

1??3

，－?在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

2??2

B.D.2π

35π 3

解析：选C 因为点P?1??3

，－?在第四象限，

2??2

1

－23

所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，

33

2又θ∈[0,2π)，可得θ＝

11π

. 6

3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )

A.π 3

B.π 2

C.3 D.2

解析：选C 设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长为3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为

3RR＝3.

15

4．下列选项中正确的是( ) A．sin 300°＞0

B．cos(－305°)＜0 D．sin 10＜0

?22π?＞0 C．tan?－

3???

解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； 22π2π22π

因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；

333

7π

因为3π＜10＜，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，

2

?22π?＜0，sin 10＜0，故D正确． tan?－

3???

πsin θcos θ5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋5|sin θ||cos θ|＋

tan θ

的值为( )

|tan θ|A．1 C．3

解析：选B 由α＝2kπ－B．－1 D．－3

π

(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，5

又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

6．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°

7．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 12

αr21

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，

124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.

2R＋αR答案：1∶2

16

8π

8.点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为

3________．

8π

解析：设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达

38π2πππ1π3

点Q，则∠AOQ＝－2π＝(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝，cos＝，sin＝，

33332323??1

所以点Q的坐标为?，?.

?22?

3??1

答案：?，?

?22?

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

4

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

5

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．

?4?22

解：(1)设点B的纵坐标为m，则由题意m＋?－?＝1，

?5?

3?43?且m>0，所以m＝，故B?－，?， 5?55?3

53

根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

44－5(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝

???β??

π

，故与角α终边相同的角β的集合为3

?β＝π＋2kπ，k∈Z?3?

??

?. ??

10．已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， 2r＋l＝8，??

(1)由题意可得?1

lr＝3，??2

17

??r＝3，解得?

?l＝2?

??r＝1，

或?

?l＝6，?

l2l∴α＝＝或α＝＝6.

r3r(2)法一：∵2r＋l＝8，

111?l＋2r?21?8?2

∴S扇＝lr＝l·2r≤??＝×??＝4，

244?2?4?2?

当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8，

112

∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，

22当且仅当r＝2，l＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. B级——拔高题目稳做准做

3π 3π??1.已知点P?sin ，cos?落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为

44??( )

A.C.π

45π 4

B.D.3π 47π 4

lrlr3π3π

解析：选D 由sin ＞0，cos ＜0知角θ是第四象限角，

443π

cos

4

因为tan θ＝＝－1，θ∈[0,2π)，

3πsin

47π

所以θ＝.故选D.

4

2.已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是( ) A．若α，β是第一象限的角，则cos α＞cos β B．若α，β是第二象限的角，则tan α＞tan β C．若α，β是第三象限的角，则cos α＞cos β D．若α，β是第四象限的角，则tan α＞tan β 解析：选D 由三角函数线可知选D.

18

3.若角α是第三象限角，则

α

是第________象限角． 2

3π

解析：因为2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，

2πα3π

所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)．

224当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋

πα3πα

＜＜2nπ＋，是第二象限角， 2242

3πα7πα

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，是第四象限角，

2242α

综上知，当α是第三象限角时，是第二或四象限角．

2答案：二或四

4.(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为_____________．

解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，ππ25π5π2

sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化

442442

?π5π?规律标出满足题中条件的角x∈?，?.

4??4

答案：?

?π，5π?

4??4?

3

5.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．

cos α解：设α终边上任一点为P(k，－3k)， 则r＝k＋－3k2

2

＝10|k|.

当k＞0时，r＝10k， ∴sin α＝

－3k＝－3

110k，＝＝10， cos αk10

10k3

∴10sin α＋＝－310＋310＝0；

cos α

－3k3

当k＜0时，r＝－10k，∴sin α＝＝，

－10k10

19

1－10k＝＝－10， cos αk3∴10sin α＋＝310－310＝0.

cos α3

综上，10sin α＋＝0.

cos α

6．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

341

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－. 555341

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.

5553?π?(2)当a＞0时，sin θ＝∈?0，?，

2?5?4?π?cos θ＝－∈?－，0?，

5?2?则cos(sin θ)·sin(cos θ) 4?3?－＝cos ·sin??＜0； 5?5?

3?π?当a＜0时，sin θ＝－∈?－，0?，

5?2?4?π?cos θ＝∈?0，?，

2?5?则cos(sin θ)·sin(cos θ) 4?3?＝cos?－?·sin ＞0. 5?5?

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

20

1.同角三角函数的基本关系

22

(1)平方关系：sinα＋cosα＝1；

sin α

(2)商数关系：tan α＝.

cos α2．诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆规律 3．特殊角的三角函数值 角α 角α的弧度数 sin α cos α tan α 0° 0 30° π 61 23 23 345° π 42 22 21 60° π 33 21 23 90° π 21 0 120° 2π 33 21－ 2－3 150° 5π 61 2－3 23 3180° π 一 2kπ＋ α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α cos α －tan α 四 π－α sin α －cos_α －tan_α 五 π－α 2cos α sin α 六 π＋α 2cos_α －sin α 函数名不变符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 函数名改变符号看象限 0 1 0 0 －1 －0

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sinα＋cosβ＝1.( ) sin α

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )

cos α

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．已知sin α＝

5π

，≤α≤π，则tan α＝( ) 52

B．2 1

D．－

2

21

2

2

A．－2 1C. 2

π2解析：选D 因为≤α≤π，所以cos α＝－1－sinα

2＝－ 1－?

25?5?2

?＝－5， ?5?

sin α1

所以tan α＝＝－. cos α2

4

3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )

37A．－ 92C. 9

2B．－

97D. 9

422

解析：选A 将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sinα－2sin αcos α＋cosα

3167＝，即sin 2α＝－. 99

4．sin 210°cos 120°的值为( ) 1A. 43C．－ 2

B．－3 43 4

D.

1?1?1

解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－×?－?＝.

2?2?41cos θ

5．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.

2sin θcos θsin θcos θ1

解析：tan θ＋＝＋＝＝2.

sin θcos θsin θcos θsin θ答案：2

?52π?＝________.

6．sin 2 490°＝________；cos?－

3???

1

解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－. 2

?52π?＝cos52π＝cos?16π＋π＋π? cos?－?3?3?3????

π?π1?＝cos?π＋?＝－cos＝－.

3?32?11

答案：－ － 22

22

考点一 三角函数的诱导公式

基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题. 1．(2018·天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则2 017π??sin?α－＝( )

2???

4

A．－

53C. 5

3B．－

54D. 5

2 017π?43?解析：选B ∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α＝，cos α＝，∴sin?α－?2?55?π?3?＝sin?α－?＝－cos α＝－. 2?5?

2．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A．1 C．0

B．－1 D．2

解析：选C 原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°·sin 261°

＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.

3．已知A＝kπ＋α

sin α

＋

kπ＋α

cos α

(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )

A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2}

D．{1，－1,0,2，－2}

sin αcos α

解析：选C 当k为偶数时，A＝＋＝2；

sin αcos α－sin αcos α

当k为奇数时，A＝－＝－2.

sin αcos α故A＝{2，－2}．

cos?

4．已知f(α)＝

?π＋α?2?sin?3π－α???2????

π－α

－π－α

?25π?的值为________．

，则f?－

3???

解析：因为f(α)＝

?π??3π?cos?＋α?sin?－α?

?2??2?－π－απ－α

23

＝

－sin α

－cos α?sin α

－cos α?－

?cos α

???

＝cos α，

?25π?＝cos?－25π?＝cosπ＝1. 所以f?－???3?3?32??

1答案： 2

3?π??5π?5．已知tan?－α?＝，则tan?＋α?＝________.

?6?3?6?解析：tan?

?5π＋α?6?＝tan?π－π＋α??6??

?

??

??π??＝tan?π－?－α?? ??6??

3?π?＝－tan?－α?＝－. 3?6?答案：－

3

3

[怎样快解·准解]

1．熟记常见的互余和互补的2组角 互余的角 互补的角 ππππππ－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等 363644π2ππ3π＋θ与－θ；＋θ与－θ等 33442．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 3．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角．

(3)用因式分解将式子变形，化为最简．

也就是：“统一角，统一名，同角名少为终了．” 考点二 同角三角函数的基本关系及应用

重点保分型考点——师生共研

同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题. [典题领悟]

24

sin α＋cos α2

1．若tan α＝2，则＋cosα＝( )

sin α－cos αA.

16

5

16B．－

58D．－

5

2

8C. 5

sin α＋cos αsin α＋cos αcosαtan α＋12

解析：选A ＋cosα＝＋2＝2sin α－cos αsin α－cos αsinα＋cosαtan α－1＋

116＝.

tanα＋15

2

3ππ

2．已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )

8421

A. 21C．－ 4

1B．±

21D．－

2

322

解析：选D 因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)＝cosα－2sin αcos α

831ππ2

＋sinα＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，因为<α<，所以cos α

8442－sin α<0，

1

所以cos α－sin α＝－.

2

3．已知α为第二象限角，则cos α·1＋tanα＋sin α· 解析：原式＝cos α

sinα＋cosα

＋sin α 2cosα

2

22

1

1＋2＝________. tanαsinα＋cosα

＝cos 2sinα

2

2

11

α·＋ sin α·，

|cos α||sin α|

因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0， 11所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，

|cos α||sin α|即原式等于0. 答案：0

4．(2018·泉州质检)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________. 解析：由(sin θ＋3cos θ)＝1＝sinθ＋cosθ，得6sin θcos θ＝－8cosθ，又4

因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.

3

2

2

2

2

25

4

答案：－

3

[解题师说]

1．掌握3个应用技巧 技巧 解读 主要利用公式tan θ＝切弦互化 sin θ 化成正cos θ表达式中含有sin θ，cos θ与适合题型 sin θ弦、余弦，或者利用公式＝tan θ tan θ.(如典题领悟第1、3题) cos θ化成正切 1＝sinθ＋cosθ＝cosθ(1＋tanθ)2222“1”的变换 表达式中需要利用“1”转化． π2＝tan＝(sin θ±cos θ)?2sin θcos 4(如典题领悟第4题) θ 利用(sin θ±cos θ)＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 2表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ.(如典题领悟第2题) 和积转换 2．谨记3个解题关键 (1)利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用．

(2)同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．

(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

[冲关演练]

3

1．(2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－，则sin α·(sin α－cos α)＝( )

4A.21 25

B.25 21

4C. 55D. 4

2

2

sinα－sin αcos α

解析：选A sin α(sin α－cos α)＝sinα－sin αcos α＝22

sinα＋cosα

?－3?2－?－3??4??4?tanα－tan α3????21＝，将tan α＝－代入，得原式＝＝，故选A. 2

tanα＋14325?－?2＋1

?4???

2

26

1

2．若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．

311

解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，

33将其代入sinα＋cosα＝1，

10922

得cosα＝1，∴cosα＝，易知cos α<0， 91031010∴cos α＝－，sin α＝，

1010故sin α＋cos α＝－

10 5

10. 5

2

2

答案：－

1

3．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则tan α＝________.

51??sin α＋cos α＝，5解析：由?

??sin2α＋cos2α＝125sinα－5sin α－12＝0， 43

解得sin α＝或sin α＝－. 55

4

因为α是三角形的内角，所以sin α＝，

513

又由sin α＋cos α＝，得cos α＝－，

554

所以tan α＝－.

34

答案：－

3

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

5

1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝( )

121

A. 5

1B．－

5

2

消去cos α，整理得

27

C.

513 D．－513

解析：选D 因为tan α＝－5sin α5

12，所以cos α＝－12，

所以cos α＝－12

5

sin α，

代入sin2α＋cos2

α＝1，解得sin α＝±513，

又α是第四象限角，所以sin α＝－5

13

.

2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π

2，则θ等于( A．－π6 B．－π3

C.π6

D.π3

解析：选D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，

所以tan θ＝3.因为|θ|＜ππ

2，所以θ＝3.

3．若π－θ＋θ－2πsin θ＋＝1

π＋θ

2，则tan θ＝( ) A．1 B．－1 C．3

D．－3

解析：选D 因为si

π－θ＋θ－2πsin θ＋π＋θ

＝

sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12

，

所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3. 4．计算：sin 11π6＋cos 10π

3＝( )

A．－1 B．1 C．0

D.13

2－2

解析：选A 原式＝sin??π?2π－6???＋cos??π?

3π＋3??? )

28

π?π1π11?＝－sin＋cos?π＋?＝－－cos＝－－＝－1. 3?62322?144

5．若tan α＝，则sinα－cosα的值为( )

21A．－ 53C. 5

1B. 53D．－

5

1442222

解析：选D ∵tan α＝，∴sinα－cosα＝(sinα＋cosα)·(sinα－cosα)

2tanα－13＝＝－. 2

tanα＋15

π?12π???α＋6．(2018·湖南郴州模拟)已知sin?＝，则cos?－α?＝( ) ?3?13??6?A.5

12

B.12 13

2

5C．－ 1312D．－

13

π?12?解析：选B 因为sin?α＋?＝， 3?13?ππ?π?????－α所以cos?＝sin?－?－α?? ?

???6??2?6π?12?＝sin?α＋?＝，故选B.

3?13?

3

7．已知α是第一象限角，且sin(π－α)＝，则tan α＝________.

5

33

解析：因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，因为α是第一象限角，所以cos α＝

554sin α3

，所以tan α＝＝. 5cos α4

3

答案： 4

π??cos?α－?2??

8．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

5π??sin?＋α??2?

?π?cos?－α?

?2?

解析：原式＝π?sin?2π＋＋α2?

?

??

·(－sin α)·cos α

29

＝

sin α?πsin?＋α?2

???

·(－sin α)·cos α

＝

sin α2

·(－sin α)·cos α＝－sinα. cos α

2

答案：－sinα

α＋π

9．化简：

tan－α－sin α

解析：原式＝π－α

3

?5π－α??2???

－α－2π

＝________.

－cos α－tan αcosα

23

?π－α??2???

sin αcos αcos αsin αcosα

＝＝＝－1. 2

sin α－sin αcosα3－cosαcos α答案：－1

10．已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x的方程4x＋px－2＝0的两根，则θ等于________．

1

解析：由题意知sin θ·cos θ＝－，

2

2

?sinθ＋cosθ＝1，

联

立

22

??1sin θ·cos θ＝－，?2?

得

2

?sin θ＝，?2?2cos θ＝－??2

或

2

?sin θ＝－，?2?2cos θ＝，??2

又θ为三角形的一个内角，∴sin θ＞0，则cos θ＝－3π∴θ＝. 43π答案： 4

B级——中档题目练通抓牢

2， 2

32

1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )

4

30

A.

64

25

B.D.

48 2516 25

2

C．1

3cosα＋4sin αcos α2

解析：选A 因为tan α＝，所以cosα＋2sin 2α＝＝22

4sinα＋cosα3

1＋4×

4641＋4tan α

＝＝. 2

tanα＋1?3?2＋125

?4???

2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(3)＝3，则f(2 018)的值为( )

A．－1 C．3

B．1 D．－3

解析：选D 因为f(3)＝asin(3π＋α)＋bcos(3π＋β) ＝－asin α－bcos β＝3，所以asin α＋bcos β＝－3， 所以f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β) ＝asin α＋bcos β ＝－3.

?θπ?1

3．(2018·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin?＋?＝时，

?22?3

是( )

A．1 C．±1

B．－1 D．0

1－sin θ

的值θθcos－sin22

θ1?θπ?1

解析：选B ∵sin?＋?＝，∴cos＝，

23?22?3θθθ

∴在第一象限，且cos

θθ??－?cos －sin?22?1－sin θ?∴＝＝－1.

θθθθcos －sin cos －sin22224π5π?4π?4．sin·cos·tan?－?的值是________． 36?3?π?π?π??解析：原式＝sin?π＋?·cos?π－?·tan－π－

3?6?3??

31

π??π??π??＝?－sin ?·?－cos?·?－tan? 3??6??3??＝?－?

?333??3?

?×?－?×(－3)＝－4. 2??2?

33

答案：－ 4

5．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则

sinπ－α＋5cos2π－α

＝

2sin??3π?2－α???

－sin－α________.

解析：由已知得，－sin α＝2cos α，即tan α＝－2， 所以sinπ－α＋5cos2π－α

2sin??3π?2－α???－sin－α＝sin α＋5cos α

－2cos α＋sin α

＝

tan α＋5－2＋tan α＝－3

4

.

答案：－34

6．已知

sin(3π

＋θ)＝

1cosπ＋θ3，求cos θ[cosπ－θ

－1]

cosθ－2π

?3π?的值．

sin?θ－?cosθ－sin?3π?

2?－π

??2＋θ??

?

解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝1

3，

所以sin θ＝－1

3，

所以原式＝

－cos θ

cos θ

－cos θ－1＋

π－θ

－sin??3π?2－θ???

π－θ

＋cos θ

＝11＋cos θ＋cos θ

－cos2

θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋1

1－cos θ ＝

2

1－cos2

θ

32

＋

＝

22

＝＝18. 2sinθ?1?2

?－3???

2

7．已知关于x的方程2x－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

2

(1)sinθcos θ

sin θ－cos θ＋1－tan θ的值； (2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

2

解：(1)原式＝sinθcos θ

sin θ－cos θ＋ 1－

sin θ

cos θ2

2

＝sinθcossin θ－cos θ＋θ

cos θ－sin θ sin2

θ－cos2

＝θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝

3＋1

2

， 故sin2

θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋1

2. (2)由已知，得sin θ＋cos θ＝

3＋12，sin θcos θ＝m2

， 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2

，可得m＝3

2

. ?(3)由?sin θ＋cos θ＝3＋1

?

2，??sin θcos θ＝3

4，

?sin θ＝3?得??

2，或?sin θ＝1

??

2，

?cos θ＝1

2

??cos θ＝3

2

.

又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π

6. C级——重难题目自主选做 2

2

已知f(x)＝cos

nπ＋xnπ－xcos

2

n＋

π－x]

(n∈Z)．

33

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f??π?2 018???＋f??504π?1 009???

的值．

解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， 2

f(x)＝

coskπ＋x2

kπ－xcos

2k＋

π－x]

2

2

2

＝cosx·sin－xcosx－sin x2

cos2π－x＝－cos x2

＝sin2

x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， 2

2

f(x)＝

cosk＋

π＋x]·sink＋π－x]

cos

2k＋＋1]π－x}

2

＝cos[2kπ＋π＋x2

[2kπ＋π－xcos2

k＋π＋π－x 2

＝cos

2

π＋xπ－xcos2

π－x ＝－cos x2

sin2

x－cos x2

＝sin2

x，

综上得f(x)＝sin2

x.

(2)由(1)得f??π?2 018???＋f??504π?1 009??

?

＝sin2

π22 018＋sin1 008π

2 018 ＝sin2

π2?π?2 018＋sin?π

?2－2 018?? ＝sin

2

π2 018＋cos2π

2 018

＝1. (二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π

2，则θ等于( A．－π

6

B．－π3

C.π6

D.π3

解析：选D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，

)

34

ππ

所以tan θ＝3.因为|θ|＜，所以θ＝.

2311π10π

2．计算：sin ＋cos ＝( )

63A．－1 C．0

B．1 13

D.－ 22

π?π???解析：选A 原式＝sin?2π－?＋cos?3π＋? 6?3???π?π1π11?＝－sin＋cos?π＋?＝－－cos＝－－＝－1.

3?62322?144

3．若tan α＝，则sinα－cosα的值为( )

21A．－ 53C. 5

1B. 53D．－

5

1442222

解析：选D ∵tan α＝，∴sinα－cosα＝(sinα＋cosα)·(sinα－cosα)

2tanα－13＝＝－. 2

tanα＋15

4．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(3)＝3，则f(2 018)的值为( )

A．－1 C．3

B．1 D．－3

2

解析：选D 因为f(3)＝asin(3π＋α)＋bcos(3π＋β) ＝－asin α－bcos β＝3，即asin α＋bcos β＝－3， 所以f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β) ＝asin α＋bcos β ＝－3.

7

5.若sin α＋cos α＝(0＜α＜π)，则tan α＝( )

131A．－ 312C．－ 5

B.12 5

1D. 3

7

解析：选C ∵sin α＋cos α＝(0＜α＜π)，①

13

35

49

∴两边平方得1＋2sin αcos α＝，

16960

得sin αcos α＝－. 169

又0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， 2892

∴(sin α－cos α)＝1－2sin αcos α＝，

16917

∴sin α－cos α＝，②

13

125

由①②解得sin α＝，cos α＝－，

131312

故tan α＝－. 5

α＋π

6．化简：

－α－sin α

解析：原式＝π－α

3?5π－α??2???

－α－2π

＝________.

－cos α－tan αcosα

23

?π－α??2???

sin αcos αcos αsin αcosα

＝＝＝－1. 2

sin α－sin αcosα3－cosαcos α答案：－1

7.(2017·江西上饶一模)已知________.

π

解析：∵＜α＜π，∴cos α＜0.∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos

29π?12222?α，∴sin α＝，cos α＝－，则sin?α－?＝－cos α＝. 2?333?

22

答案：

3

8.sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值为________．

解：原式

＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°

9π?π?＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin?α－?＝2?2?

36

＝?－??3??3?11

?×?－?＋2×2＋1＝2. 2??2?

答案：2

9.已知α为第三象限角，

π???3π＋α?sin?α－?·cos?π－α?2???2?

f(α)＝

－α－π－α－π(1)化简f(α)；

3π?1?(2)若cos?α－?＝，求f(α)的值． 2?5?

π???3π?sin?α－?·cos?＋α?π－α

2???2?

解：(1)f(α)＝－α－π－α－π＝

－cos αα

－tan α

－tan αα

＝－cos α.

.

3π?11?(2)∵cos?α－?＝，∴－sin α＝， 2?55?1

从而sin α＝－.

5

262

又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sinα＝－，

526

∴f(α)＝－cos α＝.

5

10．已知关于x的方程2x－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

sinθcos θ

(1)＋的值； sin θ－cos θ1－tan θ(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

sinθcos θ

解：(1)原式＝＋ sin θ－cos θsin θ

1－

cos θsinθcosθ

＝＋ sin θ－cos θcos θ－sin θsinθ－cosθ＝＝sin θ＋cos θ. sin θ－cos θ由条件知sin θ＋cos θ＝

3＋1

， 2

2

2

2

2

2

2

2

37

sinθcos θ3＋1

故＋＝. sin θ－cos θ1－tan θ2(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝

3＋1m，sin θcos θ＝， 22

2

2

又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)，可得m＝3＋1

?sin θ＋cos θ＝，?2(3)由?

3

sin θcos θ＝，??43?sin θ＝，?2得?

1

cos θ＝??2

3

. 2

1

sin θ＝，?2?或?

3

cos θ＝.??2

ππ

又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝. 36B级——拔高题目稳做准做

?θπ?1

1．(2018·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin?＋?＝时，

?22?3

是( )

A．1 C．±1

B．－1 D．0

1－sin θ

的值θθcos－sin22

θ1?θπ?1

解析：选B ∵sin?＋?＝，∴cos＝，

23?22?3θθθ

∴在第一象限，且cos

θθ??－?cos －sin?22?1－sin θ?∴＝＝－1.

θθθθcos －sin cos －sin2222

?ππ?且sin

2.(2018·湖南衡阳模拟)已知θ∈?－，?，θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，

?22?

则tan θ的可能取值是( )

A．－3 1C．－ 3

1

B．3或

31

D．－3或－

3

38

解析：选C 由sin θ＋cos θ＝a， 两边平方可得2sin θ·cos θ＝a－1. 由a∈(0,1)，得sin θ·cos θ＜0.

2

?ππ?又∵θ∈?－，?， ?22?

?π?∴cos θ＞0，sin θ＜0，θ∈?－，0?. ?2?

又由sin θ＋cos θ＝a＞0，知|sin θ|＜|cos θ|.

?π?∴θ∈?－，0?，从而tan θ∈(－1,0)．故选C.

?4?

3.sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°＝________. 解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时， sinα＋sinβ＝sinα＋cosα＝1，

设S＝sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°， 则S＝sin89°＋sin88°＋sin87°＋…＋sin1°， 两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5. 答案：44.5

π52sin αcos α－cos α＋14.已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－，则的值为

251－tan α________．

解析：因为cos α－sin α＝－1

所以1－2sin αcos α＝.

54

所以2sin αcos α＝.

5

492

所以(sin α＋cos α)＝1＋2sin αcos α＝1＋＝. 55π35

因为0＜α＜，所以sin α＋cos α＝. 25与cos α－sin α＝－cos α＝

5

联立，解得 5

5， 5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

525，sin α＝.所以tan α＝2. 55

45

－＋1

2sin αcos α－cos α＋15559所以＝＝－. 1－tan α1－255

39

答案：

595－5

5.在△ABC中， (1)求证：cos

2

A＋B＋cos2

C22

＝1. (2)若cos??π?2＋A???sin??3π?2＋B??

?

tan(C－π)＜0，

求证：△ABC为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 所以

A＋B＝π

－C222

， 所以cosA＋BC2＝cos??π?2－C2???

＝sin2，

所以cos

2

A＋B＋cos2

C22

＝1. (2)因为cos??π?2＋A???sin??3π?2＋B???

tan(C－π)＜0， 所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0. 因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，所以???

cos B＜0，

或???

cos B＞0，

??

tan C＞0

?

?

tan C＜0，

所以B为钝角或C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形． 2

2

6．已知f(x)＝

cos

nπ＋xnπ－xcos

2n＋

π－x]

(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f??π?2 018???＋f??504π?1 009???

的值．

解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， 2

2

f(x)＝

coskπ＋xkπ－xcos

2

k＋

π－x]

2

2

2

＝cosx·sin－xcosx－sin x2

cos2π－x＝－cos x2＝sin2

x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， 2

f(x)＝

cosk＋

π＋x]·sin2

k＋π－x]

cos

2k＋＋1]π－x}

2

2

＝cos[2kπ＋π＋x[2kπ＋π－xcos2

k＋

π＋π－x 40

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pcy3.html