四川省绵阳市南山中学2016届高三零诊考试数学试题（文） Word版

2015年8月

绵阳南山中学2015年秋季2016届零诊考试

数 学 试 题（文科）

命题范围：绵阳市统考一诊内容 命题人：张家寿 审题人：王怀修

一、选择题：每小题5分，共12小题，共60分.

1. 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的真子集共有 ( )． A.1个 B.3个 C.5个 D.7个

?log3x,x?02. 已知函数f(x)??x，则f(9)?f(0)?( )

2,x?0?A.0 B.1 C.2 D.3 3. 公比为2的等比数列?an?的各项都是正数，且a4a10?16，则a6等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 4．曲线y??x3?3x2在点(1,2)处的切线方程为( )

A．y?3x?5 B．y??3x?5 C．y?3x?1 D．y?2x 5. 已知函数f(x)?sin(x??2)，g(x)?cos(x??2)，则下列结论中正确的是( )

A．函数y?f(x)?g(x)的最小正周期为2? B．函数y?f(x)?g(x)的最大值为1 C．将函数y?f(x)的图象向右平移D．将函数y?f(x)的图象向左平移

?2单位后得g(x)的图象

单位后得g(x)的图象

26．如下左图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是( )．

?- 1 -

7. 下列判断正确的是( )

A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p?q”为真命题 B. 命题“若xy?0，则x?0”的否命题为“若xy?0，则x?0” C. “sin??1?”是“??”的充分不必要条件 26D. 命题“?x?R,2x?0”的否定是“ ?x0?R,2x0?0”

8. 设f?(x)是f(x)的导函数，且f?(x)?x2?3x?4, 则y?f?x?1?+ln2的单调减区间为( )

?3? A.??4,1? B.??5,0? C.??,???

?2??5?D.??,??? ?2?9. 定义一种运算(a,b)?(c,d)?ad?bc，若函数f(x)?(1，log3x)?(tan13?1x,())，45x0是方程f(x)?0的解，且0?x0?x1，则f(x1)的值( ) A．恒为负值 B．等于0 C．恒为正值 D．不大于

0

?y?2x?2x?3?10. 设实数x，y满足?x?y?2?0，则的取值范围是( )

y?1?x?2??5??5? A. ?，5? B.?,1? C.

?7??7?1??7????，?，???? ??5??5???17?，? D. ?5?5?????????11. 已知M是?ABC内一点，且AB?AC?23，?BAC?30?，若?MBC、?MAB、

?MAC的面积分别为

141、x、y，则?的最小值是( )

xy2A. 18 B. 16 C. 9 D. 4

1c12. 已知正实数a、b、c满足??2,clnb?a?clnc,其中e是自然对数的底数，则

eabln的取值范围是( ) a

- 2 -

?1?A. ?1，??? B. ?1,?ln2? C. ???,e?1? D.

?2??1，e?1?

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

113．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f?(x)?0，且f(?)?0，则不

2等式f(x)?0的解集为 .

14．已知f(x)?x3?ax2?4x有两个极值点x1、x2，且f(x)在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则a的取值范围是 . 15．已知?ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且

bcosC??2a?c?cosB,则y?

1?2cos2B的值为 .

16. 已知定义在R上的奇函数f?x?满足f?x?4???f?x?，且x??0,2?时，

f?x??log2?x?1?. 现有以下甲，乙，丙，丁四个结论： 甲：f?3??1；

乙：函数f?x?在??6,?2?上是增函数； 丙：函数f?x?关于直线x?4对称；

丁：若m??0,1?，则关于x的方程f?x??m?0在??8,8?上所有根之和为-8. 则其中正确结论的序号是______________．

三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，

b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)． (1)若m∥n，请判定△ABC的形状；

π

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝3，求△ABC的面积．

18．（10分）已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.

(1)求数列{an}的通项公式；

- 3 -

(2)若等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

19．（12分）已知二次函数f?x??ax2?bx,若f?x?1?为偶函数，且集合A=?xf(x)?x?为单元素集合. （1）求f?x?的解析式;

（2）设函数g(x)?[f(x)?m]ex，若函数g(x)在x?[?3,2]上单调，求实数m的取值范围． 20．（12分）南山中学近几年规模不断壮大，学生住宿异常紧张，学校拟用1000

万元购一块空地，计划在该空地上建造一栋至少8层，每层2000平方米的学生电梯公寓．经测算，如果将公寓建为x(x≥8)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．

(1)写出拟修公寓每平米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式； (2)该公寓应建造多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

（结果精确到1元）

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用

) 建筑总面积

6cos4x＋5sin2x－4

21. （12分）已知函数f(x)＝.

cos2x

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的周期和单调区间；

- 4 -

(3)若关于x的不等式f(x)≥m2-m有解，求实数m的取值范围．

22. （14分）已知函数f(x)?xlnx. （1）求函数f(x)的单调区间和最小值； （2）若函数F?x??f?x??a3在?1,e?上是最小值为，求a的值； x211（3）当b?0时,求证:bb?()e（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）.

e

零诊参考答案(数文)

一、选择题： BDBCC CDB A A AD

二、填空题：13. ?-?，-???0，?; 14. a?; 15. 0; 16. 甲,丁

2??2?2?三、解答题

ab

17.解：(1)∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，

2R2R

∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形． (2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.

由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. ∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

11π∴S＝absinC＝×4×sin＝3

223

18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

2

???a1＋a1q＝10，?a1＝1，－－则?∴?∴an＝a1qn1＝3n1. 23

?a1＋a1q＋a1q＋a1q＝40，???q＝3.

?1??1?7

∴等比数列{an}的通项公式为an＝3n1.

－

(2)设等差数列{bn}的公差为d，则T3＝b1＋b2＋b3＝3b2＝15，∴b2＝5. 又∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)， 即(3＋5)2＝(1＋b1)(9＋b3)，64＝(6－d)(14＋d)．∴d＝－10或d＝2.

- 5 -

???b1＝15，?b1＝3，?∴(舍去)或? ?d＝－10?d＝2.??

n?n－1?n?n－1?∴Tn＝nb1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n.

2219. （1）f?x??1x2?x 2（2）若g?x?在??3,2?上单调递增，则g??x??0在x???3,2?上恒成立，

?12?12?x??m?x?2x?1即?在上恒成立，即x??3,2????1 x?2x?1?me?0??22??min??若g?x?在??3,2?上单调递减，则g??x??0在x???3,2?上恒成立，

即??12?x?2x?1?m?ex?0在x???3,2?上恒成立， ?2?即m???12?x?2x?1??7?m????,?1???7,??? ?2?max1000?100005000＝560＋48x＋ ( x≥8，x∈N* )；

2000xx20. 解(1)依题意得y＝(560＋48x)＋

(2)提示：均值不等式失效，求导或由x=10时，y=1540；x=11时，y=1543.

故该公寓应建造10层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为1540元． πkππkππ

21. 解：(1)由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为{x|x≠＋，22424

k∈Z}．

kππ

∴f(x)的定义域关于原点对称．当x≠＋，k∈Z时，

24

424

6cosx＋5sinx－46cosx－5cos2x＋1(2cos2x－1)(3cos2x－1)f(x)＝＝＝＝3cos2x－1，

cos2xcos2xcos2x

∴f(x)是偶函数．

1＋cos2x132π

(2)∵f(x)＝3cos2x－1＝3×－1＝＋cos2x.∴T＝＝π，∴f(x)的最小正周期为π.

222ω

增

区

间

为

??????k??,k???(k?Z)?k?,k???、42?4???????????k??,k?-?、?k??,k??(k?Z)24?4?????

，减区间为

kππ11

(3)当x≠＋(k∈Z)时，0≤cos2x≤1且cos2x≠，∴－1≤3cos2x－1≤2且3cos2x－1≠，

2422

11

∴f(x)的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}．由关于x的不等式f(x)≥m2-m有解得2≥m2-m

22解得－1≤m≤2 22.

解

：

（

1

）

?f?(x)?lnx?1(x?0),令f?(x)?0,即lnx??1?lne?1.

- 6 -

1?x?e?1?.e

1?x?[,??).

e1e∴f(x)单调递增区间为[,??)，单调递减区间

同理，令f?(x)?0可得x(0,].

1e为(0,].

由此可知y?f(x)min?f()??.

（2）F??x??1e1e1ex?a 2x33，?a????-1,??，舍22当a?-1时，F（x）在?1,e?上单调递增，F?x?min??a?去；

当a?-e时，F?x?在?1,e?单调递减， F?x?min?F(e)?3e， ?a??????,-e?舍去； 22若a???e,?1?，F?x?在?1,?a?单调递减，在??a,e?单调递增，

?F?x?min?F??a??ln??a??1?综上所述：a??e

3，a??e???e,?1?. 2 （3）由（I）可知当b?0时，有f(b)?f(x)min??,?blnb??11111bb即ln(b)???ln()e. ?b?()e.

eee1e1， e

- 7 -

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