重庆市第一中学2014-2015学年七年级（下）期末数学试卷（解析版

2014-2015学年重庆市第一中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在下列方框内. 1．2﹣2的值是（ ） A．﹣4 B．4

C．

D．﹣

2．下列图形是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．下列各组数是勾股数的是（ ） A．3，4，5 B．7，8，9 C．9，41，47 4．计算（a3b）2的结果是（ ） A．a6b B．a6b2 C．a5b2 D．a3b2 5．下列事件为确定事件的是（ ） A．明天要下雨 B．水中捞月 C．守株待兔

D．任意掷一枚图钉，落地后针尖朝上

6．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D=70°，则∠CEB等于（ ）

D．52，122，132

A．70° B．80° C．90° D．110°

7．如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面一次写上数字1，2，3，5，若自1转动转盘当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（ ）

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A． B． C． D．

8．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（ ）

A．8 B．10 C．11 D．12

9．为了缓解交通压力，改变堵车现状，我市决定对机场路机械改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停了几天，不过施工队加快了进度，按时完成某路段的改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的变化情况的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

10．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）

A．（3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定

11．用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案需要的黑色五角星的个数是（ ）

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A．10 B．11 C．12 D．13

12．关于多项式﹣2x2+8x+5的说法正确的是（ ）

A．有最大值13 B．有最小值﹣3 C．有最大值37 D．有最小值1

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案填在下列方框内.

13．台湾新北市八仙水上乐园6月27日晚间疑似粉尘爆炸，目前已造成逾200多人灼伤，据了解，此次引起粉尘爆炸的粉末爆炸的粉尘成分主要是玉米粉，玉米粉的爆炸下限为每立方米45000000微克，把数45000000用科学记数法表示为 ． 14．计算：（π﹣2015）0﹣|2|= ．

15．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系： x y 0 10 1 10.5 2 11 3 11.5 4 12 5 12.5 则y关于x的关系式为 ．

16．AB的中垂线交AB于点D，∠C=90°，如图，在△ABC中，交BC于点E，连接AE，若∠BED=70°，则∠CAE的度数为 ．

17．已知m2﹣5m﹣1=0，则

= ．

18．已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG=16，BC=24，则FH= ．

三、解答题：（本题共8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

第3页（共28页）

19．作图题：（要求：在下列空白处尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要作答．） 已知：∠α，线段c，求作：△ABC，时∠A=∠α，AB=2c，BC=3c．

20．计算：

（1）（a﹣b）2+b（2a+b）；

（2）[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x．

21．如图，∠A=90°，∠D=90°，AC与BD相交于点E，BE=EC． 求证：△ABC≌△DCB．

22．为规范学生的在校表现，我校某班实行了操行评分制，根据学生的操行分高低分为A、B、C、D四个等级，现对该班本学期的操行等级进行了统计，并绘制了不完整的两种统计图，请根据图象回答问题：

（1）该班的总人数为 人，得到等级A的学生人数占总人数的百分比为 ；（2）补全条形统计图；

（3）据统计获得等级A的学生中有2名男生，其余全为女生，现班主任打算从操行等级为A的学生中任意抽取一名为代表，参加下学期开学的“国旗下的讲话”演讲活动，请求出抽到女生的概

率．

23．读一读：

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式子“1×2×3×4×5×^×100”表示从1开始的100个连续自然数的积，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1×2×3×4×5×^×100”表示为

n，这里“π”是求积符号．例如：

1×35×7×9×^×99，即从1开始的100以内的连续奇数的积，可表示为（2n﹣1），又如

13×23×33×43×53×63×73×83×93×103可表示为n3，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：

2×4×6×8×10×…×100 （1）（即从2开始的100以内的连续偶数的积）用求积符号可表示为 ；（2）1×××…×

用求积符号可表示为 ；

（3）计算：（1﹣）．

24．如图，△ABC中，∠ABC=90°，D为BC上一点，且BD=AB，连接AD，E是AC上一点，∠ABE=∠BDE且∠C+2∠EBC=90°． （1）求证：DE2+BE2=DB2； （2）已知DE=2，求BE的长．

25．2015年5月中旬，中国和俄罗斯海军在地中海海域举行了代号为“海上联合﹣2015（1）”的联合军事演习，这是中国第一次地中海举行军事演习，也是这个海军距本土最远的一次军演，某天，“临沂舰”、“潍坊舰”两舰同时从A、B两个港口出发，均沿直线匀速驶向演习目标地海岛C，两舰艇都到达C岛后演习第一阶段结束，已知B刚位于A港、C港之间，且A、B、C在一条直线上，如图所示，l临、l潍分别表示“临沂舰”、“潍坊舰”离B港的距离行驶时间x（h）变化的图象． （1）A港与C岛之间的距离为 ；

（2）分别求出“临沂舰”、“潍坊舰”的航速即相遇时行驶的时间；

（3）若“临沂舰”、“潍坊舰”之间的距离不超过2km时就属于最佳通讯距离，求出两舰艇在演习第一阶段处于最佳通讯距离时的x的取值范围．

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26．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC． （1）如图1，连接BD，若∠BAD=90°，AD=7，求DC的长度；

（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC；（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

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2014-2015学年重庆市第一中学七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在下列方框内. 1．2﹣2的值是（ ） A．﹣4 B．4

C．

D．﹣

【考点】负整数指数幂．

【分析】根据有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数计算． 【解答】解：2﹣2=故选C．

【点评】本题主要考查了负整数指数幂的运算，是基础题，需要熟练掌握．

2．下列图形是轴对称图形的是（ ）

=．

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．

【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误； B、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．

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故选B．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．下列各组数是勾股数的是（ ） A．3，4，5 B．7，8，9 C．9，41，47 【考点】勾股数．

【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A、是，因为32+42=52； B、不是，因为72+82≠92； C、不是，因为92+412≠472；

D、不是，因为（52）2+（122）2≠（132）2． 故选：A．

【点评】考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．

4．计算（a3b）2的结果是（ ） A．a6b B．a6b2 C．a5b2 D．a3b2 【考点】幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式=a6b2． 故选B．

【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．

5．下列事件为确定事件的是（ ） A．明天要下雨 B．水中捞月 C．守株待兔

D．任意掷一枚图钉，落地后针尖朝上

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D．52，122，132

【考点】随机事件．

【分析】确定事件就是一定发生或一定不发生的事件，依据定义即可判断． 【解答】解：A、明天要下雨，是随机事件，选项错误； B、水中捞月是不可能事件，是确定事件，选项正确； C、守株待兔是随机事件，选项错误；

D、任意掷一枚图钉，落地后针尖朝上是随机事件，选项错误． 故选B．

【点评】本题考查了确定事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D=70°，则∠CEB等于（ ）

A．70° B．80° C．90° D．110° 【考点】平行线的性质． 【专题】压轴题．

【分析】由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．

【解答】解：∵DF∥AB， ∴∠BED=∠D=70°， ∵∠BED+∠BEC=180°， ∴∠CEB=180°﹣70°=110°． 故选D．

【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等，注意数形结合思想的应用．

7．如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面一次写上数字1，2，3，5，若自1转动转盘当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（ ）

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A． B． C． D．

【考点】几何概率．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：根据题意可得：转盘被等分成四个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，有3个扇形上是奇数，

故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是． 故选C．

【点评】本题主要考查了概率的求法，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

8．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（ ）

A．8 B．10 C．11 D．12

【考点】勾股定理．

【分析】由AB=10，AD=8，BD=6，可知BD⊥AC，根据勾股定理可求出BC． 【解答】解：∵AB=10，AD=8，BD=6， ∴AB2=AD2+BD2， ∴BD⊥AC

∴BC2=BD2+DC2=100，BC=10 故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理和逆定理，属于基础题，关键在于定理的掌握和运用．

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9．为了缓解交通压力，改变堵车现状，我市决定对机场路机械改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停了几天，不过施工队加快了进度，按时完成某路段的改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的变化情况的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误． 【解答】解：∵y随x的增大而减小， ∴选项A错误；

∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天， ∴选项B错误；

∵施工队随后加快了施工进度， ∴y随x的增大减小得比开始的快， ∴选项C错误；选项D正确； 故选D

【点评】本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．

10．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）

A．（3

+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定

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【考点】平面展开-最短路径问题．

【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB． 【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开， 则矩形的长和宽分别为6和8， 故矩形对角线长AB=

=10，

即蚂蚁所行的最短路线长是10． 故选B．

【点评】本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．

11．用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案需要的黑色五角星的个数是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律，再把7代入即可求出答案． 【解答】解：当n为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有当n为偶数时，中间一行有+1个，故共有则当n=13时，共有3×（故选C．

【点评】此题考查了图形的变化类，通过分析、归纳、总结得出规律是本题的关键，培养了学生的观察能力和空间想象能力．

12．关于多项式﹣2x2+8x+5的说法正确的是（ ）

A．有最大值13 B．有最小值﹣3 C．有最大值37 D．有最小值1 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

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，故共有3（）个，

+1个，

）=12；

2

+13的形式， 【分析】利用配方法将已知多项式转化为﹣2（x﹣2）然后利用非负数的性质进行解答．

【解答】解：﹣2x2+8x+5=﹣2（x﹣2）2+13， ∵（x﹣2）2≥0，

∴﹣2（x﹣2）2+13≤13，即多项式﹣2x2+8x+5的最大值为13，没有最小值． 故选：A．

【点评】本题考查了非负数的性质和配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案填在下列方框内.

13．台湾新北市八仙水上乐园6月27日晚间疑似粉尘爆炸，目前已造成逾200多人灼伤，据了解，此次引起粉尘爆炸的粉末爆炸的粉尘成分主要是玉米粉，玉米粉的爆炸下限为每立方米45000000微克，把数45000000用科学记数法表示为 4.5×107 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：45000000=4.5×107， 故答案为：4.5×107．

【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14．计算：（π﹣2015）0﹣|2|= ﹣1 ． 【考点】实数的运算；零指数幂．

【分析】根据零指数幂，绝对值进行计算即可． 【解答】解：原式=1﹣2 =﹣1， 故答案为﹣1．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值等考点的运算．

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15．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系： x y 0 10 1 10.5 2 11 3 11.5 4 12 5 12.5 则y关于x的关系式为 y=0.5x+10 ． 【考点】函数关系式．

【分析】根据题意可知，弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y=kx+10．代入求解．

【解答】解：设弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系为y=kx+10． 由题意得 10.5=k+10，解得k=0.5， ∴该一次函数解析式为y=0.5x+10， 故答案为y=0.5x+10

【点评】主要考查了用待定系数法求函数的解析式，关键是根据弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系．

16．AB的中垂线交AB于点D，∠C=90°，如图，在△ABC中，交BC于点E，连接AE，若∠BED=70°，则∠CAE的度数为 50° ．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据直角三角形的性质求出∠B和∠BAC的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠EAD的度数，计算得到答案．

【解答】解：在直角△BDE中，∠BED=70°，则∠B=20°， ∴∠BAC=70°， ∵ED是AB的中垂线， ∴EA=EB， ∴∠EAD=∠B=20°，

∴∠CAE=∠BAC﹣∠EAD=50°，

第14页（共28页）

故答案为：50°．

【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

17．已知m2﹣5m﹣1=0，则【考点】完全平方公式．

【分析】由已知条件可以得到m﹣=5，根据完全平方公式求出m2+理成m2﹣5m+m2+

，然后代入数据计算即可．

的值是27，把所求多项式整

= 28 ．

【解答】解：∵m2﹣5m﹣1=0， 两边同时除以m得，m﹣=5， 两边平方，得： m2﹣2m?+∴m2+

=25，

=27，

=m2﹣5m+m2+

，

∵2m2﹣5m+=1+27， =28．

故答案为：28．

【点评】本题主要考查完全平方公式，巧妙运用乘积二倍项不含字母点的特点，把多项式整理成已知条件和完全平方式的平方项是解本题的关键，要求同学们在平时的学习中要多动脑，多观察，多总结．

18．已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG=16，BC=24，则FH=

．

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【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】连结GE，根据折叠的性质和矩形的性质可得△EFG与△EDG是直角三角形，DE=AE=FE，再根据HL即可证明△EFG≌△EDG．根据全等三角形的性质可得DG=FG=16，可设AB=BF=DC=x，在Rt△BCG中，根据勾股定理可求BF的长，再在Rt△BFH中，根据勾股定理可求FH=BH的长． 【解答】解：连结GE． ∵E是边AD的中点， ∴DE=AE=FE，

又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠BFE=90°， ∴∠D=∠EFG=90°． 在Rt△EFG与Rt△EDG中，

，

∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）； ∴DG=FG=16，

设DC=x，则CG=16﹣x，BG=x+16 在Rt△BCG中， BG2=BC2+CG2，

即（x+16）2=（16﹣x）2+242， 解得x=9， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵∠AEB=∠FEB， ∴∠CBE=∠FEB， ∴BH=EH，

设BH=EH=y，则FH=12﹣y，

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在Rt△BFH中， BH2=BF2+FH2， 即y2=92+（12﹣y）2， 解得y=

，

=．

．

∴12﹣y=12﹣故答案为：

【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度，关键是作出辅助线构造全等三角形．

三、解答题：（本题共8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19．作图题：（要求：在下列空白处尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要作答．） 已知：∠α，线段c，求作：△ABC，时∠A=∠α，AB=2c，BC=3c．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】首先根据作一个角等于已知角的方法作∠A=∠α，∠A的两边上截取AB=2c，再以B为圆心3C长为半径画弧交∠A的另一边为C点，△ABC即为所求． 【解答】解：如图所示：

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．

【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 20．计算：

（1）（a﹣b）2+b（2a+b）；

（2）[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x． 【考点】整式的混合运算．

【分析】（1）根据整式的混合运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．

（2）根据整式的混合运算顺序，首先计算中括号里面的乘方和乘法，再计算加法，求出中括号里面的算式的值是多少；然后用所得的结果加上x，求出算式[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x的值是多少即可．

【解答】解：（1）（a﹣b）2+b（2a+b） =a2+b2﹣2ab+2ab+b2 =a2+2b2

（2）[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x =[2xy﹣y2﹣8x2+4xy+9x2+6xy+y2]+x =[x2+12xy]+x =x2+12xy+x

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

21．如图，∠A=90°，∠D=90°，AC与BD相交于点E，BE=EC． 求证：△ABC≌△DCB．

第18页（共28页）

【考点】全等三角形的判定． 【专题】证明题．

【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠DBC，再由AAS证明△ABC≌△DCB即可． 【解答】证明：∵BE=EC， ∴∠ACB=∠DBC， 在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（AAS）．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形全等的判定方法是解决问题的关键．

22．为规范学生的在校表现，我校某班实行了操行评分制，根据学生的操行分高低分为A、B、C、D四个等级，现对该班本学期的操行等级进行了统计，并绘制了不完整的两种统计图，请根据图象回答问题：

（1）该班的总人数为 60 人，得到等级A的学生人数占总人数的百分比为 36° ； （2）补全条形统计图；

（3）据统计获得等级A的学生中有2名男生，其余全为女生，现班主任打算从操行等级为A的学生中任意抽取一名为代表，参加下学期开学的“国旗下的讲话”演讲活动，请求出抽到女生的概

，

率．

【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式．

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【分析】（1）该班的总人数=D级人数÷对应的百分比，得到等级A的学生人数在扇形统计图中的圆心角度数=

×360°，

（2）利用A，C能的人数补全条形统计图；

（3）一共有6种情况，抽到的代表中是女生的有4种情况，即可得出P． 【解答】解：（1）该班的总人数为8÷

=60（人），

得到等级A的学生人数为60﹣28﹣8﹣60×30%=6（人） 得到等级A的学生人数在扇形统计图中的圆心角度数是故答案为：60，36°． （2）如图，

×360°=36°，

（3）得A的总人数为6人，其中2男4女，任意抽取一名为代表，抽到女生的概率为=， 【点评】本题主要考查了条形统计图，圆形统计图，解题的关键是读懂条形统计图，从统计图中获得准确的信息．

23．读一读：

式子“1×2×3×4×5×^×100”表示从1开始的100个连续自然数的积，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1×2×3×4×5×^×100”表示为

n，这里“π”是求积符号．例如：

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1×35×7×9×^×99，即从1开始的100以内的连续奇数的积，可表示为（2n﹣1），又如

13×23×33×43×53×63×73×83×93×103可表示为n3，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：

2×4×6×8×10×…×100（1）（即从2开始的100以内的连续偶数的积）用求积符号可表示为 ；

（2）1×××…×用求积符号可表示为 ；

（3）计算：（1﹣）．

【考点】有理数的乘法． 【专题】阅读型；新定义．

【分析】（1）2×4×6×8×10×…×100（即从2开始的100以内的连续偶数的积），由新定义可得公式；（2）由新定义可得结果； （3）由新定义可知：

（1﹣

）表示××

×

×…×

的乘积．

【解答】解：（1）2×4×6×8×10×…×100（即从2开始的100以内的连续偶数的积）用求积符号可表示为

，

故答案为：

（2）1×××…×

；

用求积符号可表示为，

故答案为： （3）

（1﹣

；

）=××××…×=．

【点评】此题主要考查了有理数的乘法，理解新定义是解答此题的关键．

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24．如图，△ABC中，∠ABC=90°，D为BC上一点，且BD=AB，连接AD，E是AC上一点，∠ABE=∠BDE且∠C+2∠EBC=90°． （1）求证：DE2+BE2=DB2； （2）已知DE=2，求BE的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】（1）利用等量代换得出∠BDE=90°，利用勾股定理得出结论；

（2）作∠BAC的平分线交BE于点H，证得BH=EH=BE，RT△ABE≌RT△BDE，进一步得出结论即可．

【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠EBC=90°， ∵∠ABE=∠BDE， ∴∠BDE+∠EBC=90°， ∴∠BDE=90°， ∴DE2+BE2=DB2． （2）解：如图，

作∠BAC的平分线交BE于点H，则∠BAC=2∠BAH， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAC+∠C=90°， ∵∠C+2∠EBC=90°，

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∴∠EBC=∠BAH，

∵∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°， ∴∠BAH+∠ABE=90°，

∴∠AHB=90°=∠BED，BH=EH=BE， 在RT△ABH与RT△BDE中，

，

∴RT△ABE≌RT△BDE， ∴BH=DE=2， ∴BE=2BH=4．

【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，搞清角与边之间的数量关系解决问题．

25．2015年5月中旬，中国和俄罗斯海军在地中海海域举行了代号为“海上联合﹣2015（1）”的联合军事演习，这是中国第一次地中海举行军事演习，也是这个海军距本土最远的一次军演，某天，“临沂舰”、“潍坊舰”两舰同时从A、B两个港口出发，均沿直线匀速驶向演习目标地海岛C，两舰艇都到达C岛后演习第一阶段结束，已知B刚位于A港、C港之间，且A、B、C在一条直线上，如图所示，l临、l潍分别表示“临沂舰”、“潍坊舰”离B港的距离行驶时间x（h）变化的图象． （1）A港与C岛之间的距离为 200km ；

（2）分别求出“临沂舰”、“潍坊舰”的航速即相遇时行驶的时间；

（3）若“临沂舰”、“潍坊舰”之间的距离不超过2km时就属于最佳通讯距离，求出两舰艇在演习第一阶段处于最佳通讯距离时的x的取值范围．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）从图象可以看出A港与C岛之间的距离为A、B间的距离+B、C间的距离就可以求出结论；

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（2）根据A、B之间的距离和行驶时间可以求出其速度，就可以求出从B到C的时间，从而求出a，根据图象求出l临、l潍的解析式，然后由其解析式构成方程组求出其解就可以得出“临沂舰”、“潍坊舰”的航速即相遇时行驶的时间；

（2）分两种情况列出方程求出其解就可以得出答案． 【解答】解：（1）由图象，得 A港与C岛之间的距离为：200km； 故答案为：200km；

（2）“临沂舰”的航速：40÷0.5=80（km/h）， “潍坊舰”的航速：160÷2=60（km/h）， a=0.5+160÷80=2.5，

设l潍的解析式为y2=k2x，l临的解析式为y1=k1x+b1，由图象得， 160=3k2，

，

解得：k2=60，

∴y2=60x，y1=80x﹣40， 当y1=y2时， 60x=80x﹣40， x=2，

，

∴相遇时行驶的时间为2h；

（3）当y2﹣y1=2时，则60x﹣（80x﹣40）=2， 解得x=

，

当y1﹣y2=2时，则（80x﹣40）﹣60x=2， 解得x=

≤x≤

．

∴处于最佳通讯距离时的x的取值范围为

【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式以及函数的解析式与一元一次方程的运用，在解答时求出函数的解析式是关键．

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26．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC． （1）如图1，连接BD，若∠BAD=90°，AD=7，求DC的长度；

（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC；（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）如图1，利用HL证得两个直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，则其对应边相等：AD=DC=2；

（2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ求得∠PBQ=∠ABC，结合已知条件“∠ABC+∠ADC=180°”即可得到结论；

（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC． 【解答】（1）解：如图1，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°， ∴∠BCD=90°，

在Rt△BAD和Rt△BCD中，

，

∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）， ∴AD=DC=7， ∴DC=7；

（2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，∠PBQ=∠ABP+∠QBC；

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∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠BAD+∠BCD=180°． ∵∠BCD+∠BCK=180°， ∴∠BAD=∠BCK， 在△BPA和△BCK中，

，

∴△BPA≌△BCK（SAS）， ∴∠1=∠2，BP=BK． ∵PQ=AP+CQ， ∴PQ=QK，

∵在△PBQ和△BKQ中，

，

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）， ∴∠PBQ=∠KBQ，

∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ， ∴∠PBQ=∠ABP+∠QBC；

（3）∠PBQ=90°+∠ADC．

如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠BAD+∠BCD=180°． ∵∠BAD+∠PAB=180°， ∴∠PAB=∠BCK． 在△BPA和△BCK中，

，

∴△BPA≌△BCK（SAS），

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∴∠ABP=∠CBK，BP=BK， ∴∠PBK=∠ABC． ∵PQ=AP+CQ， ∴PQ=QK，

在△PBQ和△BKQ中，

，

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）， ∴∠PBQ=∠KBQ，

∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°， ∴2∠PBQ+（180°﹣∠ADC）=360°， ∴∠PBQ=90°+∠ADC．

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【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

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