2022年高考数学全真模拟预测试卷附答案 (5)

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共四页．全部解答都写在答卷（卡）上，不要写在本试卷面上．

考生注意：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班别、考号用钢笔写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，

用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：P n(k)=C·P k·(1－P)n－k；（k=0，1，2，…，n）

球的表面积公式S=2

4R

π；球的体积公式V球=

3

3

4

R

π，其中R表示球的半径．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．）

1．复数1i

i+在复平面内的对应点到原点的距离为

A．1

2B

．2C．1 D

2．若

{}{}1

1

,

8

2

22>

-

∈

=

<

≤

∈

=-x

R

x

B

Z

x

A x，则)

(B

C

A

R

?的元素个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

3．下列四个命题中的真命题为

A．若sinA=sinB，则∠A=∠B B．若lg x2=0，则x=1

C

D

A

B E

F 1

A 1

C 1

D 1

B C ．若a >b ，且ab >0，则

b a 11

c ，则a 、b 、c 成等比数列 4．函数

2

()log (1)(01)x a f x a x a a -=+->≠且，在[2,3]x ∈上的最大值与最小值之和为a ，则a 等于

A ．4

B ．1

4

C ．2

D ．12

5．在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB 的值为

A ．－19

B ．19

C ．－38

D ．38

6．已知等比数列{}n a 中，公比0

A ．最小值4-

B ．最大值4-

C ．最小值12

D ．最大值12

7．5名上海世博会形象大使分别到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去1名形象大使，则不同的分派方法共有A ．150种 B ．180种

C ．240种

D ．280种

8．椭圆)0(122

2

2>>=+b a b y a x 的两焦点分别是21F F 、，等边21F AF ?的边21AF AF 、与

该椭圆分别相交于C B 、两点，且21B C 2F F =，则该椭圆的离心率为

A ．21

B ．21

3-C ．13- D ．23

9．若不等式组

??

?

??≤+≥+≥42420

y x y x x 所表示的平面区域被直线2y kx =+分为面积相等的两部

分，则k 的值是 A ．1

B ．2

C ．12

D ．1-

10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有

两个动点E 、F

，且2EF =

，则下列结论中错误的是

A ．AC BE ⊥

B ．//EF ABCD 平面

C ．三棱锥A BEF -的体积为定值

D ．异面直线,A

E B

F 所成的角为定值

11．已知函数()sin()3f x x π

=-，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数

()y f x =的图象 A ．向左平移23π

个单位

B ．向右平移23π个单位

C ．向左平移2π

个单位 D ．向右平移2π

个单位

12．函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 是奇函数，)2(+x f 是偶函数. 下列四个结

论：

①)()4(x f x f =+ ②)(x f 的图像关于点)0,2(k 对称)(Z k ∈

③)3(+x f 是奇函数 ④)(x f 的图像关于直线)(12Z k k x ∈+=对称

其中正确命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.）

13．若52)1)(1()(x x x f +-=，则其解析式中x 3的系数为 ★ ．

14．已知2)2)(1(lim

=---→m x x x x m x ，则实数m 的值为 ★ ． 15．设F 为抛物线y ＝－41

x 2的焦点，与抛物线相切于点P （－4，－4）的直线

l 与x 轴的交点为Q ，则∠PQF 的值是 ★ ．

16．已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，

11,4,3,2AA AB BC ABC π===∠=，设平面11A BC

V A 与平面ABC 的交线是l ，则11A C 与直线l 的距离为 ★ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

请把解答过程写在答题卡相应位置上.）

17．（本小题满分10分） 已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω＞0，R ∈x ）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）在△ABC 中，若B A <，且

21)()(==B f A f ，求AB BC ．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，

AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，

VDC θ∠=π02θ??<< ???． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；

（2）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．

19．（本小题满分12分）

为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ 用户推出了多款QQ 应用，如“QQ 农场”、

“QQ 音乐”、“QQ 读书”等．市场调查表明，QQ 用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为21，31，61

．现有甲、乙、丙三位QQ 用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．

（1）求三人所选择的应用互不相同的概率；

（2）记ξ为三人中选择的应用是QQ 农场与QQ 音乐的人数，求ξ的分布列与数学期望．

20．（本小题满分12分）

在数列{}n a 中，

112,21(N )n n n a a a n *+==++∈． （1）求证：数列{2}n n a -为等差数列；

（2）设数列{}n b 满足)1(log 22n a b n n -+=，证明：

1231111(1)(1)(1)(1)n b b b b ++++1+>n 对一切N n *∈恒成立．

21．（本小题满分12分）

已知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，记点P 的轨迹为S ，

过点F 2作直线l 与轨迹S 交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线x ＝12

的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记λ＝|AP |·|BQ |．

（1）求轨迹S 的方程；

（2）设点M （－1，0），求证：当λ取最小值时，△PMQ 的面积为9．

22．（本小题满分12分） 已知函数11

)(+-=x kx e x f （e 是自然对数的底数）．

（1）若函数),1()(+∞-是x f 上的增函数，求k 的取值范围；

（2）若对任意的0,,()1x f x x ∈

∞<+（＋）都有，求满足条件的最大整数k 的值．

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．5 14．0或2 15．2π

16．513

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本题满分10分）

解：（1）∵???

???-+-=+-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(πππ

π

π

x ωx ωx ωx ωx f

)6cos()6sin(2π

-π

-=x ωx ω)32sin(π

-=x ω． .................................3分

而)(x f 的最小正周期为π，且ω>0，∴π=π

ω22，∴1=ω． ...............5分

（2）由（1）得)32sin()(π

-=x x f ．

若x 是三角形的内角，则π<

<π-<π

-x ．

令21

)(=x f ，得21

)32sin(=π-x ，

∴632π

=π

-x 或6532π

=π

-x ， ∴4π

=x 或127π

=x ． …………7分

由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21

)()(==B f A f ，

∴4π

=A ，127π

=B ， ∴6π

=--π=B A C ． ….…………………8分

又由正弦定理，得22122

6sin 4sin

sin sin ==π

π==C A AB BC ． …..…………10分 18．（本题满分12分）

解法1：（1）AC BC a ==∵ACB ∴△是等腰三角形, 又D 是AB 的中点CD AB ⊥∴， ………..…………1分 又VC ⊥底面ABC VC AB ⊥∴ ………………2分 于是AB ⊥平面VCD ． ………………3分 又AB ?平面VAB ∴平面VAB ⊥平面VCD ． …………4分

（2）过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，连接BH ………………5分 则由（1）知AB ⊥CH ， ∴CH ⊥平面VAB ………………6分 于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角 ………………7分

在CHD Rt △中，CD=a 22

，sin 2CH a θ=； ………………8分

设CBH ?∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ?= ………………9分

sin sin 2θ?= ………………10分

π02θ<<∵0sin 1θ<<∴，

0sin 2?<<……11分 又

π02?≤≤，π04?<<∴ 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为 π04?? ???，． ………………12分

A D

B

C H V

解法2：

（1）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 22a a C A a B a D V θ???? ? ? ?????，，，，，，，，，，，，，，…1分

于是，

tan 222a a VD a θ??=- ? ???，，，022a a CD ??= ???，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a a AB CD a a a a ??=-=-++= ???，，，，··，即AB CD ⊥．…2分

同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a a θ??=--=-++= ? ???，，，，··即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD 又AB ?平面VAB ．

∴平面VAB ⊥平面VCD . ………………4（2）设直线BC 与平面VAB 所成的角为?法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，n n ··．

得0tan 022ax ay a a x y θ-+=???+-=??，． (6)

分

可取)θ=n ，又(00)BC a =-，，，

于是

sin 2BC BC a ?θ===

n n ···， ………………10分 π02θ<<∵

，0sin 1θ<<∴，0sin 2?<<．又π02?≤≤，π04?<<∴．

即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04?? ???，． ………………12分

19．（本题满分12分）

解：记第名用户选择的应用属于农场、音乐、读书分别为事件i i i C B A ,,，i=1，2，

3．由题意知321,,A A A 相互独立，321,,B B B 相互独立，321,,C C C 相互独立，k

j i C B A ,,（i ，j ，k=1，2，3且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且111(),(),()236i i i P A P B P C ===．

（1）他们选择的应用互不相同的概率

1231231

3!()6()()()6P P A B C P A P B P C === （2）设3位用户选择的应用是QQ 读书的人数是，由已知)61

,3(~η，且=3－，

所以

33311

(0)(3)()6216

P P C ξη=====

22

31515(1)(2)()66216P P C ξη=====

1231575

(2)(1)()()66216P P C ξη=====

0335125

(3)(0)()6216P P C ξη===== （每求对一个的概率给1分）

故的分布列是

……………………10分

的数学期望是

1

15

75125

0123 2.5216216216216E ξ=?+?+?+?=

（或者由11(3)3,362E E E E ξηηη=-=-=?=而，5

2E ξ∴=） ……….12分

…………………5分

…………………9分

20．（本题满分12分）

解：（1）()()1222111=--=---+++n n n n n n n a a a a

（与无关） .…………4分 故数列{}n n a 2-为等差数列，且公差1=d . ……………………5分

（2）由（1）可知，

()()11221-=-+-=-n d n a a n n ，故12-+=n a n n ………6分 ()n n a b n n 21log 22=-+= ……………………7分 方法一：数学归纳法

121141121111111111321+>??? ??+????? ??+??? ??+=???? ??+?????? ??+???? ??+???? ??+n n b b b b n

（1）当1=n 时，21123211=+>=??? ??+，不等式成立， …………8分

（2）假设()1≥=k k n 时不等式成立， 即1211411211+>??? ??+????? ??+??? ??+k k ， ………………………….9分

那么当1+=k n 时，

()()1231232121111211211411211++=++=???

? ??+++>???? ??++??? ??+????? ??+??? ??+k k k k k k k k ()()()1121211231493123222++=+=+++=+++>+++=+??? ??+=k k k k k k k k k k k k k 这说明，当1+=k n 时不等式也成立 …………………………………11分 综上可知，对于*

N n ∈?，原不等式均成立. ……………………………12分 方法二：均值不等式

??? ??+????? ??+??? ??+=???? ?

?+?????? ??+???? ??+???? ??+n b b b b n 21141121111111111321

n n n n n 22222628642642242212674523++??+?+?+=+????= ……………9分

()()12222222268646424

2+=+=+?????>n n n n n .

原不等式得证. ……………………12分

21．（本题满分12分）

解：（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P 的轨迹S 是以F1、F2为焦点的双曲线右支．

由c ＝2,2a ＝2，∴b2＝3．故轨迹S 的方程为x2－y23

＝1 (x ≥1) …….……4分 （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消y 得

(k2－3)x2－4k2x ＋4k2＋3＝0． …………5分

∴?????????>-+=?>-=+>?0334034022212221k k x x k k x x 解得k2＞3．…… 7分

λ=|AP|·|BQ|＝121122x x --＝14

(2x1－1)(2x2－1) ＝14[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－x1＋x22＋14

＝4k2＋3k2－3－2k2k2－3＋14＝2k2＋3k2－3＋14＝94＋9k2－3＞94

． ………..…………..9分

当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝94，∴λ的最小值为94

． ………………10分 此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S △PMQ ＝12

|MQ|·|PQ|＝9． ………………12分

22．（本题满分12分）

解：（1）设

()()()()()221111111k x kx kx k g x g x x x x +-+-+'=?==+++， ………………3分 ()

f x 是()1,-+∞上的增函数，且1e >， ()

g x ∴是()1,-+∞上的增函数，

0)(≥'∴x g ，得到1-≥k ；

k ∴的取值范围为),1[+∞- …………………5分

（2）由条件得到()1

21222ln 213k f e k -

猜想最大整数2k = ………………………6分 现在证明2111x x e

x -+<+对任意0x >恒成立， 21

11x x e x -+<+等价于()()332ln 1ln 1211x x x x -<+?++>++， ………….8分

设()()()()()223132ln 11111x h x x h x x x x x -'=++?=-=++++，…………….9分

当()0,2x ∈时，()0h x '<，当()2,x ∈+∞时，()0h x '>， …………………10分

所以对任意的0x >都有()()2ln312h x h ≥=+>， ………………….11分 即21

11x x e x -+<+对任意0x >恒成立;

所以整数的最大值为2. …………………………….12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pcsq.html