雅礼中学2011届高三第四次文科数学月考试卷

炎德·英才大联考雅礼中学2011届高三月考试卷(四)

数 学(文科)

雅礼中学高三数学备课组组稿 (考试范围：全部高考内容)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A＝{x||x－2|<1}，B＝{x|x2－4x<0}，则“a∈A”是“a∈B”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列函数中周期为1的奇函数是

A.y＝2cos2πx－1 B.y＝sin2πx＋cos2πx

πx

C.y＝tan D.y＝sinπx·cosπx

2

3.下列不等式中恒成立的个数有

1cc

①x＋≥2(x≠0) ②<(a>b>c>0)

xaba＋ma③>(a，b，m>0，a

4.等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于 A.66 B.99 C.144 D.297

x2y2

5.双曲线2－2＝1的一条渐近线的倾斜角为α，且2cos2α＝2sin2α＋1，则双曲线的离心

ab

率为

23A. B.2

3

C.3 D.2

6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是

A.①、③ B.①、④ C.②、③ D.②、④

7.已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|＝13，c·a＝3，c·b＝4.则对于任意实数t1，t2，|c－t1a－t2b|的最小值是

A.5 B.7 C.12 D.13

8.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2).定义一种向量积：ab＝(a1，a2b1，b2)＝(a1b1，a2b2).

1π

已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运

23动，且满足OQ＝m分别为

11

A.2，π B.2,4π C.，4π D.，π

22

选择题答题卡

题 号 答 案

OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T

1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

?1－i?99－?1＋i?99的值为 .

9.已知i为虚数单位，则?????1＋i??1－i?

10.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出 人.

11.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三

π

角形中较小的锐角θ＝，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，求

6

飞镖落在小正方形内的概率为 .

12.已知f(x)＝|log3x|，当0f(2)，则a的取值范围是 .

13.通过两个定点A(a,0)，A1(a，a)，且在y轴上截得的弦长等于2|a|的圆的方程是 .

14.将三条侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别称为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过“直角三棱锥”的“直角顶点”及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：

(1)斜边的中线长等于斜边边长的一半；

(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； (3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1. 写出直角三棱锥相应性质(两条)

(i) ； (ii) . 15.若x、y满足条件|ax|＋|y|≤1，(a>0).

(1)P(x，y)的轨迹形成的图形的面积为1，则a＝ ，

2

(2)x2＋y2＋x＋2y的最大值为 .

a

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)

π

sin(α＋)

415

已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值.

4sin2α＋cos2α＋1

17.(本小题满分12分)

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.

18.(本小题满分12分)

如图：在四棱锥P－ABCD中，PA，AB，AD两两互相垂直，已知AD∥BC，BC＝2AD，E是PB的中点.

(1)求证：AE∥平面PCD；

(2)若平面PBC⊥平面PCD，PA＝AB＝6，BC＝3，求点E到平面PCD的距离d.

19.(本小题满分13分)

某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)

1

的利润为500(1＋n)万元(n为正整数).

2

(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；

(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

y2x2

已知F1、F2分别为椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的上、下焦点，其中

ab

2

F1也是抛物线C2：x＝4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，

5

且|MF1|＝.

3

(1)求椭圆C1的方程.

(2)已知点P(1,3)和圆O：x2＋y2＝b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：AP＝－λPB，AQ＝λQB，(λ≠0且λ≠±1).求证：点Q总在某定直线上.

21.(本小题满分13分)

1

已知函数f(x)＝－x3＋x2＋b|x－1|＋c.

2

(1)若函数f(x)是R上的减函数，试确定实数b的取值范围；

(2)设f(x)在x＝2时取极值，过点(0,2)作与f(x)相切的直线，问是否至少存在两条与f(x)相切的直线，若存在，试求出c的取值范围，若不存在，说明理由.

20.(本小题满分13分)

炎德·英才大联考雅礼中学2011届高三月考试卷(四)

数学(文科)参考答案

一、选择题

题 号 答 案 二、填空题 9.2i 10.25 11.1－

1 A 2 D 3 B 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 31

12.0＜a＜ 13.4x2＋4y2－ax－4ay－3a2＝0 22

14.(1)斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一； (2)三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方； (3)斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1. 15.(1)2 (2)错误! 三、解答题

π2

sin(α＋)(sinα＋cosα)

422(sinα＋cosα)

16.解：＝.(4分) 2＝sin2α＋cos2α＋12sinαcosα＋2cosα4cosα(sinα＋cosα)

151

当α为第二象限角，且sinα＝时，sinα＋cosα≠0，cosα＝－，(8分)

44

π

sin(α＋)

42

所以＝＝－2.(12分)

sin2α＋cos2α＋14cosα

17.解：(1)由茎叶图可知：甲班同学的身高集中于160～179cm之间，而乙班同学的身高集中于170～180cm之间，因此，乙班同学的平均身高高于甲班.(4分)

158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182

(2)x＝＝170(cm)

10

1

甲班的样本方差为[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－

10

22

170)＋(170－170)＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(8分)

(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A.从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件.

42

∴P(A)＝＝.(12分)

105

18.解：(1)设PC中点为M，连EM，MD，∵E，M为PB，PC的中点

1

?EM∥BC，BC∥2AD?EM∥AD，EM＝AD?AEMD为平行四边形

2

?错误!?AE∥平面PCD.(6分)

(2)作EG⊥PC于G，面PBC⊥面PCD?EG⊥面PCD?EG＝d.

EG32

显然△PBC∽△PGE?＝?d＝EG＝2.(12分)

39

19.解：(1)依题设，An＝(500－20)＋(500－40)＋?＋(500－20n)＝490n－10n2；(3分)

111500

Bn＝500[(1＋)＋(1＋2)＋?＋(1＋n)]－600＝500n－n－100.(6分)

2222

500

(2)Bn－An＝(500n－n－100)－(490n－10n2)

250050

＝10n2＋10n－n－100＝10[n(n＋1)－n－10].(8分)

22

50

因为函数y＝n(n＋1)－n－10在n∈(0，＋∞)上为增函数，(9分)

25050

当1≤n≤3时，n(n＋1)－n－10≤12－－10<0；(11分)

28

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