第三节 导线测量的内业计算

第三节 导线测量的内业

计算

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x、y。

计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。

一、坐标计算的基本公式

1．坐标正算

x xB ?xAB xA ?yAB B αAB A O yA yB

y

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，

坐标增量计算 图6-10

已知直线AB起点A的坐标为（xA，yA），AB边的边长及坐标方位角分别为DAB和αAB，需计算直线终点B的坐标。

直线两端点A、B的坐标值之差，称为坐标增量，用ΔxAB、ΔyAB表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：

?xAB?xB?xA?DABcos?AB???yAB?yB?yA?DABsin?AB?

（6-1）

根据式（6-1）计算坐标增量时，sin和cos函数值随着α角所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。

表6-5 坐标增量正、负号的规律

象限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 坐标方位角α 0?～90? 90?～180? 180?～270? 270?～360? Δx ＋ － － ＋ Δy ＋ ＋ － － 则B点坐标的计算公式为：

xB?xA??xAB?xA?DABcos?AB??yB?yA??yAB?yA?DABsin?AB?

（6-2）

例6-1 已知AB边的边长及坐标方位角为DAB?135.62m，?AB?80?36?54??，若A点的坐标为

xA?435.56m，yA?658.82m，试计算终点B的坐标。

解 根据式（6-2）得

xB?xA?DABcos?AB?435.56m?135.62m?cos80?36?54???457.6yB?yA?DABsin?AB?658.82m?135.62m?sin80?36?54???792.62．坐标反算

根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB两端点的坐标分别为（xA，yA）和（xB，yB），则直线边长DAB和坐标方位角αAB的计算公式为：

22D??x??yABAB AB（6-3）

?yAB?AB?arctan?xAB

（6-4）

应该注意的是坐标方位角的角值范围在0?～360?间，而arctan函数的角值范围在－90?～＋90?间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx、Δy的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。

例6-2 已知A、B两点的坐标分别为

xA?342.99m，yA?814.29m，xB?304.50m，yB?525.72m试计算AB的边长及坐标方位角。 解 计算A、B两点的坐标增量

?xAB?xB?xA?304.50m?342.99m??38.49m?yAB?yB?yA?525.72m?814.29m??288.57m 根据式（6-3）和式（6-4）得

222DAB??x2??y?(?38.49m)?(?288.57m)?291.13m ABAB?AB

?yAB?288.57m?arctan?arctan?262?24?09???xAB?38.49m

二、闭合导线的坐标计算

现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。

2 3 84°10′18″ 108°27′18″ x 121°27′02″ 135°49′11″ 90°07′01″ 335°24′00″

1 x1＝500.00m y1＝500.00m

4 5 图6-11 闭合导线略图

1．准备工作

将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。

2．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n边形闭合导线内角和的理论值为：

??th?(n?2)?180?

（6-5）

式中 n——导线边数或转折角数。

由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和??m不等于理论值??th，两者之差，称为角度闭合差，用fβ表示，即

f????m???th???m?(n?2)?180?

（6-6）

（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值fβp见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值fβp的计算公式为：

f?p??60??n （6-7）

如果f?＞f?p，说明所测水平角不符合要求，

应对水平角重新检查或重测。

如果f?≤f?p，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。

（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数vβ，vβ的计算公式为：

（6-8）

计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即

v???f?n

?v???f?

（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi改等于所测水平角加上水平角改正数

?i改??i?v? （6-9）

计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n－2）×180?，本例为540?。

本例中fβ、fβp的计算见表6-5辅助计算栏，水平

角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。

3．推算各边的坐标方位角

根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的坐标方位角。

本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。

计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。

4．坐标增量的计算及其闭合差的调整

（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边

的坐标增量。例如，导线边1-2的坐标增量为：

?x12?D12cos?12?201.60m?cos335?24?00????183.30m ?y12?D12sin?12?201.60m?sin335?24?00????83.92m

用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。

（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，

即

??xth?0?? ??yth?0?

（6-10）

x ?y23 ( －) ?y12 ( －) ?x23 (－) 3 2 (＋) ?xx 3 12 2 Wy ?x34 (－) (＋) 4 1 (＋) ?x51 1 WD Wx ?y34 ?x45 (－) (＋) ? y45 4 5 b)

1′ O

a)

5 (＋) ? y51 y

O

y

图6-12 坐标增量闭合差

实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调

??ym整后的残余误差，使得实际计算所得的??xm、

不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差Wx和横坐标增量闭合差Wy，即

Wx???xm??Wy???ym?

（6-11）

（3）计算导线全长闭合差WD和导线全长相对闭

合差WK 从图6-12b可以看出，由于坐标增量闭合差Wx、Wy的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度WD称为导线全长闭合差，并用下式计算

22W?Wxy WD=

（6-12）

仅从WD值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将WD与导线全长∑D相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差WK，即

WD1K???D?DWD

（6-13）

以导线全长相对闭合差WK来衡量导线测量的精度，WK的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值WKP参见表6-3和表6-4，图根导线的WKP为1/2 000。

如果WK＞WKP，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。

如果WK≤WKP，说明测量成果符合精度要求，

可以进行调整。

本例中Wx 、Wy、WD及WK的计算见表6-6辅助计算栏。

（4）调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将Wx 、Wy反号，并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以vxi、vyi分别表示第i边的纵、横坐标增量改正数，即

vxiWx????Di???D?Wy???Di???D?

（6-14）

vyi本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：

vx12Wx?0.30m??D12???201.60m??0.05m1137.80m?D

vy12??Wy?DD12?0.09m???201.60m??0.02m1137.80m

用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。

计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下

式

?vx??Wx??v??Wy? ?y（6-15）

（5）计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。

?xi改??xi?vxi???yi改??yi?vyi?

（6-16）

本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：

?x12改??x12?vx12??183.30m?0.05m??183.35m?y12改??y12?vy12??83.92m?0.02m??83.90m

用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。

计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。

5．计算各导线点的坐标

根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的

坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：

xi?xi?1??xi?1改?? yi?yi?1??yi?1改?

（6-17）

将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12栏内。最后还应再次推算起始点1的坐标，其值应与原有的已知值相等，以作为计算检核。

表6-6 闭合导线坐标计算表

改正距离增量计算值 改正后增量 坐标值 点观测角 坐标方点 数 改正角 D ΔΔΔΔ号 （左角） 位角α x/m y/m 号 ″ /m x/m y/m x/m y/m 11 2 3 4=2+3 5 6 7 8 9 10 11 12 3 500.500.+5 1 1 335°24′201.6+2 +183.+183.-83.90 00 00 00″ 0 -83.92 35 30 108°27′-1108°27′683.416.2 2 18″ 0″ 08″ 35 10 +2 263°51′263.4+7 -261.8-261.8-28.14 08″ 0 -28.21 7 655.154. 84°10′1-184°10′09 3 3 8″ 0″ 8″ 21 23 +7 +2 -235.+50.0168°01′241.0-235.7+50.016″ 0 68 4 419.204. 135°49′-1135°49′5 2 4 4 11″ 0″ 01″ 53 27 +5 +1 123°50′200.4-111.5+166.-111.5+166.17″ 0 4 47 307.370. 90°07′0-190°06′59 46 5 5 1″ 0″ 1″ 99 74 +6 +2 33°57′0231.4+192.+129.+191.+129.8″ 0 01 26 500.500. -1121°27′121°26′95 24 1 1 02″ 0″ 52″ 00 00 335°24′ 00″ 2 540°00′50540°00′0 1137. ∑ -50″ -0.30 -0.90 0 0 ″ 0″ 80 ??m?540?00?50??Wx???xm??0.30m Wy???ym??0.09m －）辅 22助 WD?Wx?Wy?0.31m 计 算 f???50??

??th?540?00?00??

WK?0.3111??WKp?1137.8036002000 f?p??60??5??134??f?f＜?P 三、附合导线坐标计算

附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。

1．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差 如图6-13所示，根据起始边AB的坐标方位角?AB及观测的各右角，按式

?。 （4-19）推算CD边的坐标方位角?CDx A αAB 205°36′48″ αAB＝236°44′28″ yB＝ 837.54m B xB＝1536.86m 3 4 1 290°40′54″

C 2 167°21′56″ 175°31′25″ 214°09202°47′08″

图6-13 附合导线略图

?B1??AB?180???B ?12??B1?180???1

?23??12?180???2

?34??23?180???3

???34?180???C ?)?CD? ?CD??AB?5?180????m

写成一般公式为：

???0?n?180????R （6-18）?fin

若观测左角，则按下式计算：

???0?n?180????L （6-19） ?fin附合导线的角度闭合差fβ为：

???fin f???fin（6-20）

（2）调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。

2．坐标增量闭合差的计算

附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即

??xth?xfin?x0?? ??yth?yfin?y0?

（6-21）

纵、横坐标增量闭合差为：

Wx???x???xth???x?(xfin?x0)??Wy???y???yth???y?(yfin?y0)?

（6-22）

图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。

表6-7 附合导线坐标计算表

改坐标方位距离点 观测角 正改正角 角 D 号 （右角） 数 /m α 1 A B 205°36′48″ 290°40′54″ 2 增量计算改正后增量 坐标值

值 点 号 ΔΔΔΔx/m y/m

x/m y/m x/m y/m 1 3 4=2+3 5 6 7 8 9 10 11 12 3 A 236°44 －′28″ 1 205°36837. 13536. ′35″ 54 B ″ ＋4 －－86 －2 211°07′125.－107.64.8－53″ 36 －1 107.27 3 290°40772.

64.81 12429.31 ′42″ 71 1 ″ 59 ＋3 －＋－2 100°2798.7－17.897.11 －＋′11″ 6 202°46869.

17.99 0 411.1397.12 ′55″ 81 2 2 ″ 70 －2 ＋＋－77°40′114.＋4 1 1 ＋30.9141.167°21 16″ 63 +30. 13442.011.141.22 27 ′43″ 3 88 ″ 62 08 9 1 2 202°47′08″ 3 167°21′56″ 175°314 ′25″ －13″ 175°31′12″ 90°18′33″ 116.44 214°09C ′33″ D 1 ∑ 256°07′44″ －13″ －77″ 214°09′20″ 1 256°06′25″ 94°47′21″ 60°38′01″ 156.25 641.44 1 1

429.283.C 02 17

D

－＋－＋ 108.445.7107.445.03 4 84 63

－2 ＋＋3 －＋116.－0.60 116.442 0.63 4 ＋5 －3 －＋－＋13.0155.13.0155.70 67 5 0

1 1

442.127.4 02 50

???AB?6?180????R?60?36?44???CD??xm??108.03 ??ym??445.74 ???CD??1?17??f???CD?)xC?xB??107.84 ?)yC?yB??445.63 辅 助 f??60??6??147??计 ?p算 Wx??0.19m Wy??0.11m

f?＜f?p 22fD?Wx?Wy?0.22m

WK?0.2211??WKp?641.4429002000

三、支导线的坐标计算

支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为：

1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。 2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。 3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pca.html