第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

强化训练

1.f(x)?x?3x?2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 答案:C

解析:f′(x)?3x?6x?3x(x?2),令f′(x)=0可得x=0或2(2舍去),当?1?x?0时,f′(x)>0,当0?x?1时,f′(x)<0,所以当x=0时,f(x)取得最大值2.

2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点共有( )

232 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:A

解析:观察题中图象可知,f′(x)只有一处是先小于0,后大于0的.

3.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,则仓库容积的最大值为 m3. 答案:300

解析:设长为x m,则宽为(20-x) m,仓库的容积为V, 则V?x(20?x)?3??3x?60x? V′=-6x+60,令V′=0,得x=10.

当00;当x>10时,V′<0.

3∴x=10时?V最大?300(m)

2324.已知函数f(x)?ax?3x?1(x?R),其中a>0.

2(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若在区间[?1?1]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

22322解:(1)当a=1时?f(x)?x?3x?1?f(2)?3;f′(x)?3x?3x?f′(2)=6.所以曲线y=f(x)在点

2(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.

2(2)f′(x)?3ax?3x?3x(ax?1).令f′(x)=0,解得x=0或x?1.

a以下分两种情况讨论:

①若0?a?2?则1?1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

a2

?5?f(?1)?0???2当x?[?1?1]时,f(x)>0等价于?即?22?f(1)?0??5?2??a?0?8?a?0?8

解不等式组得-5

②若a>2,则0?1?1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

a2

?5?a?0??f(?1)?0???82当x?[?1?1]时,f(x)>0等价于? 即?

2211?0??1??f()?0?2a?2a?解不等式组得22. ?a?5或a??22因此2

综合①和②,可知a的取值范围为0

课后作业

题组一 导数与函数的单调性 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(???2) C.(1,4) 答案:D

解析:f(x)?(x?3)?e?f′(x)=e(x?2)?0? ∴x>2.

∴f(x)的单调递增区间为(2???).

2.若函数h(x)?2x?k?k在(1???)上是增函数,则实数k的取值范围是( )

x3xxB.(0,3) D.(2???)

A. [-2,+?) B. [2,+?)

C.(????2] D. (-??2) 答案:A

解析:因为h′(x)?2?k2x(1???)上恒成立.所以k?[-2,+?).

x?所以h′(x)?2?kx2?2x?kx22?0在(1???)上恒成立,即k??2x在

2323.已知函数y=ax与y??b在(0???)上都是减函数,则函数y?ax?bx?5的单调递减区间

为 .

答案:(????2b)和(0???)

3a解析:根据题意a<0,b<0.

2由y?ax?bx?5?得y′?3ax?2bx.

32令y′<0,可得x>0或x??2b.

3a故所求减区间为(????2b)和(0???).

3a4.(2011安徽高考,理16)设f(x)?(1)当a?4时,求f(x)的极值点;

3ex21?ax?其中a为正实数.

(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 解:对f(x)求导得f′(x)=e

x1?ax?2ax(1?ax)222. ①

2(1)当a?4时,若f′(x)=0,则4x?8x?3?0?

31解得x1?3?x2?.

22结合①,可知

1所以?x1?3是极小值点?x2?是极大值点.

22(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号.

2结合①与条件a>0,知ax?2ax?1?0在R上恒成立,因此??4a?4a?4a(a?1)?0?由此并

2结合a>0,知0?a?1.

题组二 导数与函数的极值、最值

5.函数f(x)?x?ax?3x?9?已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:D

解析:因为f(x)?x?ax?3x?9?所以f′(x)?3x?2ax?3. 由题意有f′(-3)=0,所以3?(?3)?2a?(?3)?3?0.由此解得a=5.

6.若函数f(x)?x?3x?a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,2) C.(????1) 答案:A

23232232B.[?2?2] D.(1???)

解析:由f′(x)?3x?3?3(x?1)(x+1), 且当x<-1时,f′(x)>0. 当-11时,f′(x)>0.

所以当x=-1时函数f(x)有极大值,当x=1时函数f(x)有极小值.

要使函数f(x)有3个不同的零点,只需满足?7.函数y=sin2x?x?x?[?答案:

?2?2,?2?f(?1)?0??f(1)?0?解之,得-2

]的最大值是 ，最小值是 .

??2

?6解析:∵y′=2cos2x-1=0,∴x??而f(??)??.

3??f(?)?3??? ?626626端点f(??)???f(?)????

2222∴y的最大值是??最小值是??.

228.设a为实数,函数f(x)=ex?2x?2a?x?R.

(1)求f(x)的单调区间与极值;

(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,e?x?2ax?1.

(1)解:由f(x)=e?2x?2a?x?R知f′(x)=e?2?x?R.

令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

xxx2故f(x)的单调递减区间是(???ln2),单调递增区间是(ln2???)? f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=e

x2

ln2?2ln2+2a=2(1-ln2+a).

x(2)证明:设g(x)=e?x?2ax?1?x?R.于是g′(x)=e?2x?2a?x?R. 由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意x?R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时,对任意x?(0???)?都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x?(0???)?g(x)?0.

即e?x?2ax?1?0?故e?x?2ax?1. 题组三 导数的综合应用

9.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( ) A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 答案:B

解析:由题意知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.当x>0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x<0时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即f′(x)>0,g′(x)<0.

10.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收

x2x212?x?0?x?400??400x?入R与年产量x的关系是R=R(x)=?则总利润最大时,每年生产的产2?80000?x?400??品单位数是( )

A.100 B.150 C.200 D.300 答案:D

解析:由题意得,总成本函数为C=C(x)=20 000+100x, 所以总利润函数为P=P(x)=R(x)-C(x)

?x?20000?0?x?400??300x?2= ?

?60000?100x?x?400??2而P′(x)=???300?x?0?x?400??100?x?400?

令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,P最大.

11.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

答案:D

解析:对于A,抛物线为函数f(x),直线为f′(x);对于B,上凸的曲线为函数f(x),下凹的曲线为f′(x);对于C,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线f′(x).只有D不符合题设条件.

212.已知函数f(x)=ln(1?x)?x?kx(k?0).

2(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间.

2解:(1)当k=2时,f(x)=ln(1?x)?x?x?f′(x)=11?x?1?2x.

由于f(1)=ln2,f′(1)?3?

2所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-ln2?3(x?1)?

2即3x-2y+2ln2-3=0. (2)f′(x)?x(kx?k?1)1?x?x?(?1???)?

当k=0时,f′(x)??x? 1?x所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间(0???)上,f′(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0???). 当00;在区间(0?1?k)上,f′(x)<0.

kk故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1?k???)?单调递减区间是(0?1?k).

kk?0?得x1?0?x2?1?k?0. k当k=1时,f′(x)?x21?x?

故f(x)的单调递增区间是(?1???). 当k>1时,f′(x)?x(kx?k?1)1?x所以,在区间(?1?1?k)和(0???)上,f′(x)>0;

k?0?得x1?1?k?(?1?0)?x2?0. k在区间(1?k?0)上,f′(x)<0.

k故f(x)的单调递增区间是(?1?1?k)和单调递减区间是(1?k?0).

k

(0???)?k

当k=1时,f′(x)?x21?x?

故f(x)的单调递增区间是(?1???). 当k>1时,f′(x)?x(kx?k?1)1?x所以,在区间(?1?1?k)和(0???)上,f′(x)>0;

k?0?得x1?1?k?(?1?0)?x2?0. k在区间(1?k?0)上,f′(x)<0.

k故f(x)的单调递增区间是(?1?1?k)和单调递减区间是(1?k?0).

k

(0???)?k

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