数学建模习题集

数学建模习题

1．木材采购问题

一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为： 季买进价（万元/立方米） 卖出价（万元/立方米） 预计销售量（万立方米） 度 冬 410 425 100 春 430 440 140 夏 460 465 200 秋 450 455 160 由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。确定最优采购计划。

2．飞机投放炸弹问题

某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，

只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。起飞和降落每次各消耗100公升。有关数据如下表所示： 要害部位 离机场距离 摧毁可能性 每枚重型弹 每枚轻型弹 1 450 0.1 0.08 2 480 0.2 0.16 3 540 0.15 0.12 4 600 0.25 0.2 为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。

建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。

（1） 设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=Rgr;，R为地球半径，r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速v应为多少。

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3．三级火箭发射问题

（2） 设火箭飞行中速度为v（t），质量为m（t），初速为零，初始质量m0，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽视重力和阻力对火箭的影响。用动量

m守恒原理证明v（t）=uln0。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措

m(t)施。

（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）mp；燃料mf；结构（外壳、燃料仓等）ms，其中ms在mf+ms中的比例记作?，一般?不小于10%。证明若，则燃料用完时火箭达到的最大速度为?m=-uln?.已mp=0（即火箭不带卫星）

知目前的u=3km/s，取?=10%，求?m。这个结果说明什么。

（4） 假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃

m料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v（t）=（1-?）uln0。

m(t)问燃料用完时火箭末速为多少，与前面的结果有何不同。 （5） （4）是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的机构部分。记mi为第i级火箭质量（燃料和结构），?mi为结构质量（?对各级是一样的）。有效载荷仍用mp表示，当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，

k?1比例系数为k。证明3级火箭的末速?3=3uln。计算要使?3=10.5km/s，发

?k?1射1吨重的卫星需要多重的火箭（u，?用以前的数据）。若用2级或4级火箭，结果如何。由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。

4．评选优秀班集体

用AHP建立评选优秀班集体的数学模型（以四个班为例进行评价）

5．梯子长度问题

一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽a=2米，高b=3米，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现在清洁工只有一架7米长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？若取a=1.8米，在只用6.5米长梯子的情况下，温室最多能修建多高？

6．曲线拟合

已知一个量y依赖于另一个量x。现收集有数据如下： x y 0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 4.0 2.7 4.5 3.5 - 2 -

x 5.0 5.5 6.0 6.6 7.0 7.6 8.5 9.0 10.0 y 1.0 4.0 3.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 7.3 （1）求拟合以上数据的直线y=bx+a，目标为使y的各个观察值同按直线关系所预期的只的绝对偏差总和为最小。 （2）求拟合以上数据的直线，目标为使y的观察值同预期值的最大偏差为最小。 （3）求拟合以上数据的二次曲线y=cx^2+bx+a，分别用（1）（2）两种目标。

7．疏散问题

甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做之外，还有用房便宜、招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，单位万元如下：

部门 迁市 乙 丙 A B C D E 10 15 10 20 5 10 20 15 15 15 然而，疏散之后各部门见的通讯费用将增加。各部门间的通讯量如表：

部门 A B C D B C D E 0 1000 1500 0 1400 1200 0 0 2000 700 不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元） 市 甲 乙 丙 甲 100 乙 130 50 丙 90 140 50 试求各个部门应置于何市，使年费用最少？

8．鱼雷击舰问题

一敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方1公里处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。问敌舰航行多远时将被击中。

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9．投资模型

投资一笔钱，即可获得某种利率的利息。通常一些小储户，当有钱时便一笔一笔地存入。同时，当因某种特别需要时—如去度假，又将资金提出。即你帐上的资金量不仅取决于你存去的日期，还取决于如何计息。而利息也是经常变动的，这样情况会更加复杂。

构造一个数学模型来告诉你在任一时刻你的银行帐上有多少钱。（存款每月按复利计息，每项存款在存入后的第二个月即开始得利）。

一个“相反”的问题是：为某种用途需12个月内存一笔钱，每个月你应存入多少。

10．保险储备策略问题

某企业每年耗用某种材料3650件，每日平均耗用10件，材料单价10元，一次订购费25元，每件年储存费2元，每件缺货一次费用4元，平均交货期10天，交货期内不同耗用量X的概率分布如下： Xi 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 Pi 0.01 0.02 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.04 0.02 0.01 要求： 1）求最佳订货量及订货次数（设为不允许缺货的情形） 2）求最佳订货点和保险储备量

（考虑订货期内需求量增加引起缺货，建立保险储备。订货期内缺货，采取缺货不处理方式，寻求目标函数使年度总费用最小）

注释：保险储备：企业在经济活动中，按照某一经济定货批量和在定货点发出订单后，如果需求量增大或送货延迟，就会发生缺货或供货中断。为防止由此造成的损失，需要多储备一些存货以备应急之需，称为保险储备（安全存量）。这些存货在正常情况下不动用，只有当存货过量使用或送货延迟时才动用。

11题：适当换车真的省钱吗？

本市出租车收费制度在98年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50％、特殊时段(23：00～6：00) 每公里增收30％。制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。可现在，这种乘客越来越少见了。请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。

12、购房购车模型

“自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付1200元，就可拥有属于自己的住房。”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车。”报纸上此类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。若考虑现金支付与银行贷款相结合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车

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的消费决策及还贷办法。

13、食品加工

一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物没2种，分别记作V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所示： 月份 油 V1 V2 O1 O2 O3 一 1100 1200 1300 1100 1150 二 1300 1300 1100 900 1150 三 1100 1400 1300 1000 950 四 1200 1100 1200 1200 1250 五 1000 1200 1500 1100 1050 六 900 1000 1400 800 1350 成品油售价1500元/吨

植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植物油200吨，非植物油250吨。精炼过程中没有重量损失。精炼费用可以忽略。

每种原料油最多可存贮1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精炼的原料油不能存贮。

对成品油限定其硬度在3至6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示： 油 V1 V2 O1 O2 O3 硬度 8．8 6．1 2．0 4．2 5．0 假设硬度是线性地合成的。

为使公司获得最大利润，应取什么样的采购和加工方案。

现存有5种原料油每500吨。要求在6月底仍然有这样多的存货。 研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性上升势头。对不同的x值（直到20），就方案的必要的变化及对总利润的影响，作出全面计划。

14、食品加工（Ⅱ）

对食品加工问题12.1，附加下列条件： （1）每个月最多使用3种原料油；

（2）在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨； （3）如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。

扩展食品加工模型以包含这些限制条件，并求出新的最优解。

15、工厂计划

某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：

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（i）第五年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭、0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求(第0年除外) 。 (ii)第4年和第5年度总产出（不是生产能力）为最大，但忽略每年的外部消费。 (iii)在满足如(i)的外部消费要求的同时，使人力需求最大（即就业机会最多），忽略人力供应量的限制。

21、 电价问题

几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中， 0点至6点 15000（MW，兆瓦，下同） 6点至9点 30000 9点至15点 25000 15点至18点 40000 18点至24点 27000

有三种类型的发电机可投入运输。1型有12台，2型10台，3型5台。表1给出了有关的数据。 表1 类 最低水最高水平 最低水平 最低水平开动费用 型 平 每小时费以上 每 用 兆每小时费用 1 850MW 2000MW 1000 2 2000 2 1250MW 1750 2600 1.30 1000 3 1500MW 4000MMW 3000 3 500 表中第2、3两列分别给各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机动转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高手最低水平运转时，每高出一兆瓦，每小时的费用。另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。

在满足估计的负载要求之外，在每一时刻运转着的发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通过调高运转着的发电机的输出（在最高水平所界定的范围内）满足增载的要求。

试求在一天中的各段时间应使哪些发电机运转，使总费用最低？

在一天中的每段时间，电力生产的边际费用各为多少。也就是说应当为用电定什么价？

将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？也就是说这一供电保险性的费用如何？

22、市场分配

一家大公司有两个分部，D1和。该公司的业务是向零售商供应石油产品和酒

精。

现在要将零售商划分给两个分部，由分部向属于它的零售商供货。这种划分要尽可能地使

分部占有40%的市场，占有60%。零售商共23家，记作M1到M23。其中M1至M8

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在1区，M9至M18在2区，M19至M23在3区。有好的发展前途的零售商作为A类，其余为B类。各类零售商目前估计占有的销售额，及所具有的货物点数给出在表1中。要求对分部D1和D2的这一划分，在下述七个方面，都接近于40/60比例，具体说，在每个方面，D1所占份额在35%至45%之间，当然D2所点为其余额，相应在65%至55%之间，这七个方面是 （1） 货点总数；

（2） 酒精市场占有份额；

（3） 区1的油品市场占有份额； （4） 区2的油品市场占有份额； （5） 区3的油品市场占有份额； （6） A类零售商数； （7） B类零售商数；

第一步目标是找一个可行解，也就是说看这种划分法是否存在，找出一种分法。进一步，如果存在多种划分的话，按下列两种目标分别求最优解。目标（i）划分的七个方面的百分比

对40/60的偏差总和为最少。目标（ii）最大偏差为最少。 表一 区 零售商 油品市场 货点 酒精市场 分类 （1000000加（1000000加仑） 仑） M1 9 11 34 A M2 13 47 411 A 1 M3 14 44 82 A M4 17 25 157 B M5 18 10 5 A M6 19 26 183 A M7 23 26 14 B M8 21 54 215 B M9 9 18 102 B M10 11 51 21 A M11 17 20 54 B M12 18 105 0 B 2 M13 18 7 6 B M14 17 16 96 B M15 22 34 118 A M16 24 100 112 B M17 36 50 535 B M18 43 21 8 B 3

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M19 M20 M21 M22 M23 6 15 15 25 39 11 19 14 10 21 53 28 69 65 27 B A B B B

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