出租车调价问题 数字图像置乱数学建模竞赛题目参考答案

福州大学第二届数学建模竞赛题目参考解答

A题: 数字图像置乱

评阅要点：本题主要考察学生的文献资料收集阅读能力、算法设计、计算机编程与数字图像

处理能力。

评价等级：

C: 了解掌握已有的一种算法，但不能编程实现； B: 了解掌握已有的一种算法，并能编程实现； A: 对已有的一种算法进行一定改进，并编程实现； A: 设计一种新算法，并编程实现。

参考模型：

对于一幅图像P，将其数字化后得到一个矩阵P，改变矩阵元素的位置或像素的灰度值（或RGB值），就会变成另外一幅图像。数字图像置乱主要方法是基于像素位置改变的置乱或基于像素值改变的置乱。

本题做法应该是，首先通过网络搜索得到相关参考文献；选择自己熟悉的数学方法的某一文献，阅读并编程实现；然后想办法进行改进。

以下是一种基于代数工具——矩阵变换的置乱方法：

对于给定的一幅k?r数字图像

P，设其像素的灰度值矩阵为

P=(p)(i?1,...,k;j?1,...,r), pij值即为此图像对应位置的像素灰度值，并设

ijk?r+

pij?{0,1,?,N?1}，其中N为图像P中像素灰度值的最高级，通常实际应用中取N=2=256。

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因此对矩阵P的元素的运算都是在模N下进行的。为此有时需要把数域上的矩阵理论相关概念和基本结论引申到模N剩余类环ZN上。比如

定理：方阵A在ZN上可逆的充分必要条件是(|A|,N)?1。

选择一个k阶可逆方阵A, 令

P??AP （modN），

以P?中pij?(i?1,...,k;j?1,...,r)的值作为用A变换一次后的置乱图像P’对应位置的像素灰度值（如果P是彩色图像，则用A分别左乘其3个数值矩阵P,P,P后得到相应矩阵）。这是加密变换。

解密过程为逆变换：

。 P?AP? （modN）

用这种方法时需要处理几个问题：

?1RGB 1

1． 变换矩阵A的随机性与可控制性。

2． 变换矩阵A的可逆性的判定与求逆（注意是模N运算下的逆）。 用一个已知的可逆矩阵B以及它的逆矩阵B-1来得到以下类型的加密矩阵

-1

A=BDB, （其中D为对角矩阵，对角元随机选择）

不失为一个好的处理方法。

也许学生会想到更好的处理方法。希望如此。

B题: 出租车调价问题

评阅要点：本题主要考察学生的文献资料收集能力、分析计算能力、调查研究能力。 评价等级：

C: 正确推导出上海市出租车运价和油价联动机制的两个计算公式。 B: 完成（1），（2）；

A: 完成（1），（2），能初步展开对（3）的探讨，给出一些实际数据； A+: 完成（1），（2），能展开对问题（3）的探讨，理由充分，数据可靠。

参考模型：

本题除第一问外为开放题。特别需要学生收集相关数据资料。如果学生能获得福州市出租车运营相关数据，适当修改上海市计算公式，应当可以给出福州市出租车运价调整方案。 目前舆论议论最多的是出租车承包费或管理费（即所谓份子钱）占据太多的出租车运营收入。这应当是本题的非可控制因素，从长远考虑运价油价联动机制出发，这个因素可以不予考虑。

上海市运价油价联动机制的两个计算公式:

1、按车次调整运价的公式。即油价波动因素由每车次分担，具体通过调整起租价格

来实施。 计算公式如下：

车次运价调整额=(报告期平均油价?基期平均油价)?油耗量车次

2、按超起租公里单价调整运价的公式。即油价波动因素通过调整超起租公里运价分担。同时，公式中剔除了运价加价、计时收费等与公里油耗无关的因素。

每公里单价调整额=(报告期平均油价-基期平均油价)?油耗量(1-营运附加收入系数)行驶里程?载客率?超起租公里系数

上述两个公式分别给出了“按车次起租价”和“按超起租公里单价”调整运价的计算方式。在实际运用中，可根据油价变动情况单独或同时使用两个公式。如将两个公式配合使用，既调整起租价又调整单价，可使不同乘距乘客都承担相应的燃油上涨费用，体现了“多乘多支出，少乘少承担”原则。

作为参考，以下是北京市的运价油价联动计算方法：

出租车调价方案

●１．６０元／公里车型租价标准调整为２．００元／公里 ◆空驶、夜间以及低速行驶加价不变 ◆取消燃油补助

◆其他车型租价标准和收费办法不变

●建立油价与租价联动机制，启动点为５．２０元／升

◆油价达到５．２０元／升，企业与驾驶员负担燃油上涨费

◆油价达到５．５０元／升，向乘客收取０．５元／乘次的燃油加价

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◆油价达到５．８０元／升，收取１．００元／乘次的燃油加价

C题: 出租车调价问题 同B题。

D题: 飞机引擎生产计划

解法一：模型分析与变量的假设

用运输问题模型求该问题最优解的关键在于建立该问题的产销平衡表及元素Xij和单位运价表及元素Cij。为此，假设Xij表示第i月生产并用于第j月交货的引擎数，因公司必须完成合同，则Xij应满足 ?X11??X12??X13?X?14?10?X22?15?X23?X33?25?X24?X34?X44?20 ◆油价达到６．１０元／升，提高租价，取消加价和油补 ●９３号油均价连续一年下降到一定标准，租价下调

◆下降到４．２６元／升，租价下调到１．８０元／公里 ◆下降到３．６３元／升，租价下调到１．６０元／公里

又每月生产用于当月和以后交货的引擎数不可能超过该公司的生产的实际生产能力，故Xij还应满足

?X11?X12?X13?X14?25??X22?X23?X24?35 ?X?X?3034?22?X?10?44下面构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用表”，应为第i月生产并用于第j月交货的引擎数的实际成本Cij应该等于其生产单位成本加上存储费用和维护费用，从而可得其“成本费用表”，如下

成本费用表 销地 月 1 2 3 4 1 1.08 2 1.095 1.110 3 1.110 1.125 1.100 4 1.125 1.140 1.115 1.130 由于这是产销不平衡问题，故增加一虚拟的销地D,使之能够成为产销平衡模型，并把“产销平衡表和单位运价表”合二为一，如下

产销平衡表和单位运价表

3

销地 月 1 2 3 1 1.08 M M 2 1.095 1.110 M M 15 3 1.110 1.125 1.100 M 25 4 1.125 1.140 1.115 1.130 20 D 0 0 0 0 30 产量（ai） 25 35 30 10 4 M 销量（bj） 10 在该表中，ai表示公司第i月的生产能力，bj表示第j月的合同供应量，cij表示相应的成本费用。因在实际问题中，当i>j时，xij=0,故令相应的cij=M。 模型的建立与求解

有了加上的讨论，可给出“生产时序的安排”对应的“运输问题模型”为

44Min z =?i?1?cj?1ijxij

?4??cijxij?aj?j?14????cijxij?bj ?i?1?xij?0???据此可求出其最优解为

x11=10 ,x12=15 ,x23=5 ,x33=20 ,x34=10 ，x44=10 相应的最小生产费用为

44Min z =?i?1?cj?1ijxij=1.08?10+1.095?15+1.125?5+1.1?20+1.115?10+1.1310=77.3(百万元)

故今后四个月引擎量的生产安排如下

引擎数量的生产安排

月份 引擎生产量 1 25 2 5 3 30 4 10 解法二：假设x1,x2,x3,x4为四个月每月计划生产引擎台数，则可建立以下线性规划模型：

MIN 1.125 X1+1.14 X2+1.115 X3+1.13 X4

ST

X1>=10 X1+X2>=25 X1+X2+X3>=50 X1+X2+X3+X4=70 X1<=25

4

X2<=35

X3<=30 X4<=10

应用线性规划软件容易求出最优解。

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