高中物理竞赛：几何光学

几何光学 §1几何光学基础

1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。

2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律：

①反射光线、入射光线和法线在同一平面内； ②反射光线和入射光线分居法线两侧； ③反射角等于入射角。 4、光的折射定律：

①折射光线、入射光线和法线在同一平面内； ②折射光线和入射光线分居法线两侧；

③入射角i与折射角i2满足n1sini1?n2sini2；

1④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为n1的光密介质对折射率为n的光疏介质的临界角sinC?2

n2）。 n11

几何光学 §2光的反射

2.1组合平面镜成像

组合平面镜：由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了S1、S2、S3三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和S1、S和S2、S1和S3、S2和S3之间都以平面镜（或

S2 图1

A S1 S O B S3 它们的延长线）保持着对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。

两面平面镜AO和BO成60o角放置（图2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于S1和

S4 O S5 S2 S3

图2

S1 S S2；③过S1和S2作BO和AO的垂线与圆交于S3和S4；④过S3和S4作AO和BO的垂线与圆交于S5，

S1~S5便是S在两平面镜中的5个像。

双镜面反射。如图3，两镜面间夹角a=15o，OA=10cm，A点发出的垂直于L2的光线射向L1后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？

图3

2

O1 L1

O α A

L2

C1 B O α A C 图4

D L1 L2 如图4所示，光线经L第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性，BC??BC，

1且∠BOC??a。上述A,B,C?,D?均在同一直线上，因此光线在L、L之间的反复反射就

21跟光线沿ABC?直线传播等效。设N?是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到

090另一个镜面上，则n值应满足的关系是na<90o?(n?1)a，n??6。取n=5，a∠N?OA?750，总路程AN??OAtg5?

?37.3cm。

2.2全反射：全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角a?sin光线发生全反射。

全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分——光导纤维，就是利用光的全反射现象。图5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率

i B 图5

?1n21时，

A n1 n2 γ β n1?1.3，外层材料的折射率n2?1.2，试问入射角在什

么范围内才能确保光在光导纤维内传播？

图5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。

?1??sinn21?sin?1n21.2?sin?1?67.40r?????90o?67.4o?22.6o n11.32sini/sinr?1.3/1，只要sini?0.50,i?30o即可。

3

例题讲解：

例1、如图6所示，AB表示一平直的平面镜，PP是水平

12P1 S M A 图6

P2 b N B

放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角 板作图求出可看到的部位，并在PP上把这部分涂以标志。

12a 分析：本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。

解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像S?。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接S?与点C并延长交米尺P1P2于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接S?b并延长交米尺P1P2于点F，且 S?b与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图7所示。

P1SEFP2P1SEFP2MAaCDbNMAM?P1?aCa?bNBDb?BN?P2?S?图7

图8

解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺P1P2及屏MN的像，分别是P?P?及M?N?，a、12b的像分别为a?,b?，如图8所示。连接Sa交AB于点C，延长并交P?P?于点E?，过点E?12作P的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接Sb?交AB1P2(AB)于点D，延长并交P?P?于点F?，过点F?作P1P2（AB）的垂线P1P2交于点F，点F就是

12人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。 点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常

4

能使问题得以简洁明晰的解决。

例2、两个平面镜之间的夹角为45o、60o、120o。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。

分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。

P4 O θ P3 P1 PA PPA P5 O 60o PP3 P1 A A P

P 120oO P（d）

B

B

P

PO P7 P6 B P（b）

图9

45o B PP2 （a）

P2 P4

（c）

解：设两平面镜A和B的夹角为2θ，物P处在他们的角等分线上，如图9（a）所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用P表示，由平面镜B成的像用P2,P4?表示。由图不难得出：P在圆弧1,P3?1,P3?上的角位置为(2k?1)?,P2,P4?在圆弧上的角位置为2??(2k?1)?。其中k的取值为k=1，2，… 若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，则(2k?1)??2??(2k?1)?即

k??

2?当2??45o?当2??60o??时，k=4，有7个像，如图9（a）所示；

432?时，k=1.5，不是整数，从图9（d）可直接看出，物P经镜A成的像在

当2??120o?3镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。

例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图10所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸

?时，k=3，有5个像，如图9（b）所示；

5

部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72o，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。 1、试在图11中标出P的所有像的方位示意图。

2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。本题只要求画出示意图，但须力求准确。

图10

图11

A O B C P P C O A 解：本题的答案如图12、13所示。

图12

图13

A P B O 例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。

90o

F

A A 112.5o 45o E B

112.5o 112.5o

E B i3 i3 112.5o i2 i2 112.5o i1 D 90o γ1 C D i4 112.5o

C

图14

图15 6

γ4 解：如图15所示，以i表示入射角,i?表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；入射角为i?r?22.5o，反射角为i??i?r?22.5o。在四边形bEAC中，

21221?a?90o?i2?90o?r1?22.5o?67.5o?r1

而??360o?2?112.5o?a?1350?(67.5o?r)=67.5o?r

11于是，i??i?90o???22.5o?r

331在△cdb中∠cdb=180o

???2(r1?22.5o)?2(22.5o?r1)?900 ?(i?i)?(i?i)=180o

2233这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。

-270o-∠dec=90o-∠dec=i。设棱镜的折射率为n，根据折由于棱镜的C角是直角，r=360o

11射定律有sini1?nsinr1，sinr4?nsini4。?r1?i4,?r4?i1总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角i的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法

1线垂直，又有i1?r4,?出射光线总是与入射光线垂直，即光线经过这种棱镜，有恒定的偏转角——90o。

例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。

RddA?ROA图16

BB图17

分析：如图17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。

解：当最内侧光的入射角α大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没

7

有光线从其他地方透出。即要求sina?1，而sina?nR，所以R1?，即

R?dR?dn11R1。故?R???2 ????dn?1?d?minn?11.5?1点评：对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。

例7、普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为a0，如图18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径d2，如图19所示。

（1）若已知A和B的折射率分别为nA与nB。求被测流体F的折射率nF的表达式。 （2）若nA、nB和a0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值？

分析：光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出nF。

8

空气h2h1BBAFd1d2?0OAD图18

图19 D解：（1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图20为纵面内的光路图。

设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。若该光线折射后的折射角为?，则由几何关系和折射定可得i?a?90o① nAsina?nFsin?②。当i大于全反射临界角ic时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而i?iC的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于ic，ic的值由下式决定：nAsiniC?nB③ 与iC对应的α值为?C?900?iC④

当a0?aC，即sina0?sinaC?cosiC?1?sin2iC?1?(或nsina?A0BoA?iF图20

i??nB2)时， nA22时，由O发出的光束中，只有a?aC的光线才满足i?iC的条件下，nA?nB才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为amax?ac?900?iC⑤ 若a0?ac，即nsina?A022时，则由O发出的光线都能满足i?iC的条件，因而nA?nB都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为amax?a0 ⑥ 端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为?max， 由②式可知nFsin?max?nAsinamax⑦ 由⑥、⑦式可得，当a0?aC时，nF?h2h1BO0AOmaxFOmaxd1O1d2O2nAsina0⑧

sin?maxn?n⑨ sin?max2A2BD图21 DncosiC由③至⑦式可得，当a0?aC时，nF?A?sin?max9

?max的数值可由图21上的几何关系求得为sin?maxd2?d1 ⑩ 2??(d2?d1)/2?2?(h2?h1)22d2?d1?2(d2?d1)于是n的表达式应为n?nsin???(h?h)/???0??C? ??FFA212?2?（11）

22nF?nA?nB?d2?d1?2???(h2?h1)?2????0??C?（12）

(d2?d1)2122（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h? 、h? 、

?，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有 d1?、d2当?0??C时，1?nsin?A0?(d2??d1?)/2?2?(h2??h1?)2??d1?)/2(d2（13）

当?0??C时1?22nA?nB?(d2??d1?)/2?2?(h2??h1?)2??d1?)/2(d2（14）

2将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得

nF???d1?d2d2?d?d2?d1?2???(h2?h1)?2??(d2??d1?)/2?2?(h2??h1?)2（15）此结果适用于?0为任何值的情况。

10

几何光学 §3光的折射

3.1多层介质折射

如图1：多层介质折射率分别为n1,n2,n3?则由折射定律得：

i1i2i3n1n2n3n1sini1?n2sini2???nksinik

3.2平面折射的视深

nR图1

如图2，在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线

4与OQ交点Q?的深度h?与入射角i的关系。设水相对于空气的折射率为n?，由折射定

3律得nsini?sini?。令OM=x，则x?d?tgi?d??tgi?，于是d??d?tgi?d1?(nsini)

2tgi?ncosi上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线

d。这时与入射角i无关，即折

d?n13射线的延长线近似地交于同一点Q?，其深度是原光点深度的?。 n4方向的光线，i?0，则sin2i?0，cosi?1于是d??

d d′ Q′ x O i γ M P M Q 图2 S2 S3 S′ O2 O1 S S1 Q N 图3

如图3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个像。若人离镜距离l，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求MN成的两个像间的距离。

图中S为物点，S?是经MN反射的像，若S1,S2,S3依次表示MN面折射，PQ面反射和MN 面再折射成像，由视深公式得O1S1?nO1S，O2S2?O2S1?O1S1?d，O1S2?n?O1S3，

O1S3?2d。 O1O2?O2S2d?nl?d2d，故两像间距离为

O1S3?O1S????1?nnnn11

3.3棱镜的折射与色散

入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图4

??i2?)?i1?i1???。其中sini1?nsini2，sini2??nsini1?①的几何关系知??(i1?i2)?(i1??i1?即 δ＝（n－1）α 当i1，α很小时，i1?ni2,ni2

D δ A S′ i′1 G

δ h S L 图5

i1 B E i2 i′2 F 折射率 δ 图4

C

厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图5。设物点S离光楔L则像点S?在S的正上方。h?l??(n-1)? lh=lδ=

（n-1）αl。②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，i1?i?，i2?i2?。

??nsinsini1?sini1?，???????2arcsin(nsin)??或sin?nsin这为棱镜的最小

2222偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。

由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。

紫

12

红 阳光 红 紫 阳光 图6 图7 3.4费马原理

费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。

费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。

一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点F?，OF??f?（图8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于F?点。试问： （1）透镜凸面应取什么形状？ （2）透镜顶点A与点O相距多少？ （3）对透镜的孔径R有何限制？

解：根据费马原理，以平行光入射并会聚于F?的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线BF?与任一条光线NMF?的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。 （1）取o?xy坐标系如图，由光线BF?和NMF?的等光程性，得

图8

y B M（x，y） x F′ R n A f′ nx?(f??x)2?y2?f?2?R2

整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为

22222??????nf?R?f(nf?f?R) 22??y?(n?1)?x???n2?1n2?1??22222????nf?R?fnf?f?R令x?，a?，则上式成为

022n?1n?1(n2?1)(x?x0)2?y2?a2这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲

面。

（2）透镜顶点A的位置 应满足(n2?1)(xA?x0)2?a2

13

或者x?x?AOan?12?f?2?R2?f?，可见，对于一定的n和f?，x由R决定。

An?1（3）因点F?在透镜外，即x?f?，这是对R的限制条件，有

A即要求R?f?2?R2?f??f?

n?1n2?1f?

n?1f?时，有：xA?2讨论：在极限情形，即 R?f?2?(n2?1)f?2?f??f?

n?12nf??f?即点A与点F?重合。又因x??f?，a=0。故透镜凸面的双曲线方程变为O2n?1(n2?1)(x?f?)2?y2?0即y??n2?1(x?f?)

双曲线退化成过点F?的两条直线，即这时透镜的凸面变成以F?为顶点的圆锥面，如图9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有nsin??sin?t，由几何关系sin??cos??R N y M θt θ Φ 1f??R22n

A F′ x f′ 图9

故sin?t??1 ， ???

tf?2?R22nf?即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点F?，此时的角θ就是全反射的临界角。

例题讲解：

例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为2。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？

分析：如图11所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。

14

45?RM图10

ON解：图11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角i?90?，折射角为r，则有sini?nsinr，sinr?sini?n2，2即r?45?。这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。OE?Rsinr?

45?1○ 2○ 3○ 2

R2BAiRrO图11

CM45?ONMiEiOFNCrArB图13

MEN图12

讨论：如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？见图13所示，由折身定律sin45??2sinr，得

sinr?1，

。考虑在E点发生折射的折r?30?，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°

2射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有nsin?EAO?sin90?，而n?即有?EAO?45?，因EA与OB平行，所以?EAO??AOB?45?，所以

2，

??180??45??60??75?，即射向A点左边MA区域的折射光（??45?）因在半圆柱

面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（??45?）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当?FCO?45?时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时?FOC?15? 故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为75????165?。

点评：正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向。

例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化n(x)?x

1?rn0一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角α出射（图14）。求A点的折射率nA，

15

并确定A点的位置及平板厚度。（设n0?1.2,r?13cm,??30?）。

d r?AO图14

??2?3?2K?1n1n2n3n4OxxC图16

图15

解：首先考虑光的路线（图15）。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律

sin?1n2sin?2n3，???更简单的形式是

sin?2n1sin?3n2n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3??这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，

折射率只沿x轴变化，即nxsin?x?常数

在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即nx?n0,?x?90?为常数，于是在平板内任一点有nxsin?x?n0，nx与x的关系已知，因此沿平板中的光束为

sin?x?n0xr?x ?1??nxrrXCOC?x图（16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有?sin?x

现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有nA?sin?sin?n0，因为，故有，?sin??nsin??nAAB0?sin(90??A)cos?AnA2?n0?。于是

cos?A?1???n???A?nA?sin?2n02，因此nA?n0?sin2? (1?)nA在本题情形nA?1.3n?1.3?，根据A1.2x，得出A点的x坐标为x=1cm。 1?13光线的轨迹方程为y2?(1?x)2?r2。代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm

16

例3、图17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2?，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。

解：本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图18所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有sin??nsin?（1） sin??Dn??1D?? n??1nBAC????PNB?A图17

图18

1 sin?（2）其中???/2，????/2(???)（3）n如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角γ。应满足条件sin?c?1/n，可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

???（4）或sin??1/n （5）

现在计算sin?，利用（3）式可得sin??cos(???)?cos?cos??sin?sin?

sin??1由（1）式可得cos??1??n2?sin2? ???n?n?由此nsin??cos?n2?sin2??nsin?sin?

又由（1）式nsin??cos?n2?sin2??nsin?sin?（6）

由图及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，α越大则γ越小。因此，如果与α值最大的光线相应的γ设为?m??c，则任何光线都不能射出液面。反之，只要?m??c，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。 自C点发出的α值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由（6）式可知与之相应的?m；???/2??，nsin??cos?n2?cos2??cos?sin??1

m能观察到亮点的条件为nsin?m?1，即 cos?n2?cos2??cos?sin??1

217

上式可写成cos?n2?cos2??1?cos?sin?

取平方cos2?(n2?cos2?)?1?2cos?sin??cos2?(1?cos2?) 化简后得(n2?cos2?)?1?2cos?sin??cos2??sin2??2cos?sin? 故(n2?1)cos2??(cos??sin?)2，平方并化简可得tan??n2?1?1

这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与φ之间应满足条件。

例4、如图19所示，两个顶角分别为?1?60和?2?30的棱镜胶合

??Aa1n2a2B在一起（?C?90）。折射率由下式给出：

?n1??1?b1?；

2Dn1图19

Cn2??2?52?2，其中?1?1.1;b1?10nm，

b2?2?1.3;b2?5?104nm2

1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长?0。确定此情形的折射率n1和n2。

2、画出入射角相同的、波长为?红、?0 和?蓝的三种不同光线的路径。 3、确定组合棱镜的最小偏向角。

4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。 解：1、如果n1?n2，则从不同方向到达AC面的波长为?0的光线就不折射，即

?1?b1?20??2?b2?20，因而?0?b2?b1?500nm，在此情形下 n1?n2?1.5。

?2??12、对波长比?0长的红光，n和n均小于1.5。反之，对波长比?0短的蓝光，两个折射率

12均比1.5要大。现在研究折射率在AC面上如何变化。我们已知道，对波长为?0的光，

n2/n1?1。

如果考虑波长为?红而不是?0的光，则由于b1?b2，所以 n2/n1?1。同理，对蓝光有。 n2/n1?1。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了（图20）

18

图20

?红?015?15?A30?B30??b120???蓝图21

??60???CD图22

3、对波长为?0的光，组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为n=1.5的单一棱镜。 我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图21中的α角相等时发生。根据折射定律，

sin??1.5， 因而??22?50?， 偏向角为??2??30??15?40? sin15??sin(60??)n2sin304、利用图22中的数据，可以写出；，消去α后得??n1?n1sin30sin?2经变换后得(3n2?n2?n?1)?4?(6?b?2ab)?2?3b2?b2?03n12?n2?n2?1，122112212这是?2的二次方程。求解得出??1.18?m

例5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n1，液体对绿光的折射率为n2。当容器壁的内、外半径之比r：R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？ 分析: 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射。因为题中未给出n1、

n2的大小关系，故需要分别讨论。

解：（1）当n1?n2时，因为是要求r：R的最小值，所以当n1?n2时，应考虑的是图1-3-23中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

sini21 ??n1sin90设此时容器内壁半径为r0，在直角三角形BCO中，sini2?r0/R。当r?r0时，C处不可

19

能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当r?r0时，荧光液体中很多点发出的光都能在C处发生临界折射，所以只要满足r/R?1/n，即可看到壁厚为零。

1

（2）当n1?n2时

i1BAAOn2n1图23

i2Er0OBr1CCi2D图24

D此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁，只要在CD及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足条件仍然是r/R?1/n1。 （3）当n1?n2时

因为n1?n2，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90°的临界折射，因此当r?r0时，所看到的壁厚不可能为零了。当r?r0时，应考虑的是图24中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90°，BC光线的折射角为r，此时应该有

1sin90?n1，在直角三角形OBE中有

?sinr1?OE/OB，因为图23和图24中的i2角是

sinr1n2?Rnsin90相同的，所以 OE?r0，即?1，将r0?代入，可得当r/R?1/n2时，可看

n1r0/rn2到容器壁厚度为零。

上面的讨论，图23和图24中B点和C点的位置都是任意的，故所得条件对眼的所有位置均能成立。

例6、有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？ （2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度?1时，

20

从棒射出的平行光束与主光轴成小角度?2，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）。

分析: 首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。

i1PAi1r1R1C1ni1?r1C2R2F1 图25

B解：（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图25所示，图中C为左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得

1AF1?R1sinr1r11 ①即AF11②

??1???1?R1sin(i1?r1)i1?r1(i1/r1)n?1R1n?1光线PF射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C2一

1定在端面顶点B的左方，C2B等于球面的半径R2，如图25所示。 仿照上面对左端球面上折射的关系可得

BF11③

?1?R2n?1又有BF?L?AF④，由②③④式并代入数值可得R2?5cm⑤

11即右端应为半径等于5cm的向外凸面球面。

（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过C1，b过A，如图26所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。

现在求M点的位置。在?AC1M中

?bR1n?1C1?1A?1??1??1图26

F?2M C2R2?2BR1AMAM⑥ ???)sin(???1)sin?1sin(?1??121

AM又nsin???sin?⑦已知?、则有??均为小角度，111?11?与②式比较可知，1⑧，

?1(1?)nR1AM?AF1，即M位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系统，

则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从M射向C的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射

2出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为?。2?2C1F1AF1?R1⑨②③

，由???1C2F1BF1?R2式可得

AF1?R1BF1?R2??RR1，则2?1?2⑩

?1R2R222

几何光学 §4球面反射和折射

4.1球面镜成像

（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F（图1），这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F（图2），这F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即f?R

2

（2）球面镜成像公式

根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于S?点，半径CA为反射的法线，S?即S的像。根据反射定律，?SAC??S?AC，则CA为SAS?角A的平分线，根据角平分线的性质有

图1

图2 OFCASCS①

?AS?CS?OSCS②

?OS?CS?由为SA为近轴光线，所以AS??S?O，AS?SO，①式可改写为

②式中OS叫物距u，OS?叫像距v，设凹镜焦距为f，则CS?OS?OC?u?2f，

CS??OC?OS??2f??代入①式u?u?2f，化简即可。

?2f??这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。

111?? u?f上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长h之比为成

23

m?像放大率，用m表示，

h???hu

由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。

表Ⅰ 凹镜成像情况

物的性质 实物 物的位置 像的位置 同侧f 同侧f～2f 同侧2f 同侧f～2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 放大 缩小 像的正倒 倒 倒 倒 倒 正 正 像的虚实 实 实 实 实 虚 实 ? ?～2f 2f 2f～f f f～0 ? 异侧?～0 异侧0～f 虚物 ? 表Ⅱ 凸镜成像情况

物的性质 实物 虚 物 物的位置 f～? 像的位置 同侧0～f 同侧f～2f 同侧2f 同侧?～2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 像的正倒 正 倒 倒 倒 正 像的性质 虚 虚 虚 虚 实 ?～2f 2f f～2f f f～0 ? 异侧?～0 （3）球面镜多次成像

球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。

如图4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？

24

O1SS2图4 O2S1112111????1R。可解得??3R f1，0.6R?1S在凹镜中成像，u1?0.6R，f1?R，u1?112O1O2?2.6R。根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹

镜原来要成像S1作为凸镜的虚物来处理，u2?(2.6R?3R)??0.4R，

Rf2??

2111??u2?2f2，

位置上。

?112???0.4R?2R，可解得?2?2R，说明凸镜所成的像S2和S在同一

4.2球面折射成像 （1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像

1i??SuOrn?CvS?图5 如图5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，行以

①，因为

S?为S的像。因为i、r均很小，

sinii??nsinrr

i????，r????，代入①式可有???r?n(???)②

对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有?代入②式可得

?x，xx??，??

?Ru1nn?1

??u?R当u??时的v是焦距f，所以f?R?n

n?125

（b）双介质球面折射成像

i2i2?O图6 ??如图6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n1和n2，C是球心，O是顶点，球面曲率半径为R，S是物点，S?是像点，对于近轴光线

，

n1i1?n2i2i1????，

i2????，

??AA0，Annn?n??0，??0，联立上式解得1?2?21

Ruvruv这是球面折射的成像公式，式中u、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R；则当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。

若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距2，有

ff2?n2Rn2?n1。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方

焦点），这时物距即为第一焦距f，有f?11nR1，将f、f代入成像公式改写成

12n?n21f1f?2?1 uu反射定律可以看成折射定律在n2??n1时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球

面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ和球面半径R的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令n反射成像公式

2??n1，????，R??R，即可得到球面镜

112，对于凹面镜R，对于凸面镜，f?f???R?0，R?0122u?Rf1?f2?

R，厚透镜成像。 226

（c）厚透镜折射成像

uOr2Ah1P?P??O?r1u??t 图7

u?设构成厚透镜材料的折射率为n，物方介质的折射率为n，像方介质的折射率为n，前后

12两边球面的曲率半径依次为

r1和r2，透镜的厚度为oo??t，当物点在主轴上的P点时，

?O?P，首先考虑第一个球面AOB对入

物距u?OP，现在来计算像点P?的像距。

S?射光的折射，这时假定第二个球面AOB不存在，并认为球AOB右边，都为折射率等于n的介质充满，在这种情况下，P点的像将成在线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，

P??处，其像距???OP??，然后再考虑光P??便是虚物。因此对于球面AOB，物像公

式为

nn?nn2n1n?n1n ，对于球面AOB，物像公式为2??2??vur1vu?tr2这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距u。 （2）光焦度

折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用φ表示：??n??n r它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ的数值越大，平行光束折得越厉害；φ＞0时，屈折是会聚性的；φ＜0时，屈折是发散性的。φ=0时，对应于r??，即为平面折射。

这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。光焦度的单位是[米-1]，或称[屈光度]，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片的“度数”。

27

（3）镀银透镜与面镜的等效

iC2u60cm 图8

i?hiCCB图9

i?Ah?h30cm 有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R=30cm，已知在近轴光线时：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是30cm的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为60cm的球面反射镜。由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过点，物像重合。如图8所示。i?ni?，i?u?i?，n?1?uhh，

。依题意，u?，i?i?3060故n?1.5。凸面镀银，光路如图9所示。关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。此光线经平面折射后交至光轴于CB，令CBO?rRh?h?20cm。由光的可逆性原理知，CB是等效则ni?i?，i?，i??，得r?nrR凹面镜的曲率中心，f=10cm。

例题讲解：

例1、如图10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。

物像图10 解：从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。 从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。

R球面反射的成像公式为：1?1?1，其中反射面的焦距为f?（R为球面半径），对凹

2uvf28

面镜，f取正值，对凸面镜，f取负值。 球面折射的成像公式为：

n1n21??(n1?n2)。当入射光从顶点射向球心时，R取正值，uvR当入射光从球心射向顶点时，R取负值。

如图11甲所示，当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于Q，设物距为u，像距为v，

?n1n21??(n1?n2)vR 根据球面折射成像公式：u这里空气的折射率n1?1，透镜介质的折射率n2?n，入射光从顶点射向球心，R=r取正

1nn?1??r（1）这是第一次成像。 值，所以有uv Q

1nQ?n1Q1?u11nQ1(Q?)Q(Q?)Q?212uv图11甲

u1??v1图11乙

P2?图11丙

?P2?P1?对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前表面折射所成的点Q?是它的物点，其物距u1??v（是虚物），经透镜后表面反射后成像于Q1，由球面反射?，像距为?v1（如图11乙所示）

1112112??????f2r，将前面数据代入得vv1r（2）这是第二次成像。 成像公式u1v1?又作为透镜前表面折射成像的物点Q2，其物距u2由透镜后表面反射成的像点Q1??v1?，像距为v2，（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于Q2（见图11丙所示），再由球面折

射成像公式

n1n21，??(n1?n2)，这时入射光一侧折射率，折射光一侧折射率(是空气）

uvRn11 ??(1?n)u2v2?r入射光由球心射向顶点，故R值取负值。所以可写出

代入前面得到的关系可得?n1n?1（3）这是第三次成像，由（1）、（2）两式可解??u1v2r29

得1?n?3n?1（4），再把（4）式和（3）式相加，可得1?1?2(2n?1)（5）

uv1ruv2r?在同一竖直平面内，这就要求u2为使物点Q与像点Q2??v1代入（5）是可解得物距为

u?r2n?1

说明：由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已知的球面半径r求出透镜的折射率n。

例2、显微镜物镜组中常配有如图12所示的透镜，它的表面是球面，左表面

S1的球心为C，

1半径为R1，右表面S2的球心为C2，半径为R2，透镜玻璃对于空气的折射率为n，两球心

R2间的距离为C1C2?n2、QC2?nR2。

。在使用时，被观察的物位于C1处，试证明

1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q。

?C1C2?C1C2rS1图12

透镜主轴?iOS2图13

解：首先考虑S1面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过S1面，所以对S2来说，物点就在C1处。再考虑到S2面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图13，则由折射定律知

sinr?nsini，在?C1C2P中应用正弦定理得

C1C2C2P ?sinisin?已知

C1C2?R2/nRR2?2isin?，sin??nsini?sinr。所以r?? n 由此得 sin设CP与主轴的夹角为α，则有????i?r?i

显然，θ≠0时，r＜α，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。

30

θ为?QC1P的外角，?????QPC1.?r?(r?i)?i

QC2R2?在?QC2P中应用正弦定理，得

sinrsin?，QC2?R2sinr?nR2 siniQC2的数值与θ无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与C2的距

离为nR2。

例3、有一薄透镜如图1-4-14，S1面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为F1和F2；S2面是球面，其球心C与 F2重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e。

（1）求此透镜材料的折射率n（要论证）；

（2）如果将此透镜置于折射率为n?的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？

图14

图15

PNiS1S2S1S2CF1F2rrF1l?CF2分析：解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。

解：（1）根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C，即射向旋转椭球面的第二焦点F2，则可满足题设要求。光路图如图1-4-15所示：PA为入射线，AC为经椭球面折射后的折射线，BN为A点处椭球面的法线，i为入射角，r为折射角。根据椭圆的性质，法线BN平分?F1AF2 ，故AF1与法线的夹角也是r，由正弦定

F1AsiniF1A?F2A2a1F2Asini??n，?? ??n，从而可求得n?律可得

F1BsinrF1A?F2B2ceF2Bsinr2a为长轴的长度，2c为焦点间的距离；即只要n满足以上条件，任意入射角为i的平行于

31

旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即F2）点。

（2）如果透镜置于折射率为n?的介质中，则要求sini?n?1，即椭圆的偏心率e应满

sinrn?e足

e?n?。由于椭圆的e＜1，如果

??n就无解。只要 n??n，总可以找到一个椭球nn面能满足要求。

例4、（1）图16所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体。已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。 （2）体温计横截面如图17所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。

CA光圈nEORC2R图17

OE图16

解：（1）主轴上物A发出的光线AB，经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经过球心C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于A（图18）。对空气、液体界面用折射定律有sini?n?sinr

n?CE40.0??1.33AE30.0

n?

siniBE/AB?，当光圈足够小时，B→E，因此有sinrBE/CBCArB?BA?iiBEDO图18

niPr?niQOAiC图19

E32

（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向ACOE入射界面，无偏折地出射，进入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P点，折射角为r。折射光线PQ要能进入人眼E，P点应非常靠近O点，或说入射角i 折射角r应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律nsini?sinr可写为r?ni。这两条光线反向延长，在主轴上相交于A?，A?即为物A之虚像点（图19） 对?APA?用正弦定律，得

sin?A?PAsin(??i)sini

??A?AA?PA?P在小角（近轴）近似下：sin?A?PA??A?PA?ni?i，sini?i，A?P?A?D 上式可写为

ni?ii，解上式得2R2R?A?O???4R

A?O?2RA?O2?n2?3/2为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB，即然A~A?是一对共轭点，只要选从B发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过A?垂轴线相交于B?，B?是点物B虚像点，即A?B?是物AB之正立虚像。选从B点发出过圆柱面轴心C之光线BC。该光线对界面来说是正入射（入射角为零），故无偏折地出射，反向延长BC线交过A?垂轴线于B?，从?A?B?C?~?ABC得放大率=A?B??A?C?3R?3

ABACR

33

几何光学 §5透镜成像

5.1透镜成像作图 （1）三条特殊光线

①通过光心的光线方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。

OO?与焦平面 MM?（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴OO’平行于SA，

交于P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射光线。

图1

SF1F2SF1F2ASOPFMO?M?MSF1MPOF2O?M?M?

像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。

5.2薄透镜成像公式 薄透镜成像公式是：

111?? u?f2式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令x?u?f，x????f，则有xx??f 该式称为“牛顿公式”。式中x是物到“物方焦点”的距离，x?是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x?取正值，

34

反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请自行推导，从而弄清x,x?的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。

一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心

u1?30cm和u2?15cm的两点时，求像所在的位置及速度。 x1?u1?f?10cm，x2?u2?f??5cm

??40cm，x???f?60cm，??f??60cm，??80cm，?1?x1?2?x22代入牛顿公式得x1

?、x2?意义如图2所示。 上述x1、x2、x1

x1?0x2?0?S2S1F2S1???0x1F1S2O??0x2图2

设在△t时间内，点光源的位移为△x，像点的位移为 ?x?，有

f2f2(x??x)，

x???x???2x??xx??x2222ff?xf?x当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，有x???x???2?x??2，xxx?x?x??xx? f2??xx?，?????????x?????x2?tx?txxx??0.8m/s，?2??3.2m/s 。像移动方向与移动方?、x2?的值代入，求得?1将x1、x2、x1向相同。

“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。

实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。假定n??n，P为实物，P?为虚

35

像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如将（a）反向为（b）图所示，则P0表示光线在

?PP00未遇凸面镜之前是会聚的，为虚物均为实物。

5.3组合透镜成像

B两片薄透镜构成一个透镜组如果由焦距分别为f和f的A、12（共主轴）将一个点光源S放在主轴上距透镜u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像S?（图4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。

u 图4

nP(a)n?P?O图3 OP0(b)P0?ABSS?v 因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有

111??① u?fB两个透镜依次成像的结果。另一个考虑角度可认为S?是S经A、如S经A后成像S1，设S1位于A右侧距A为?处，应有

1111??②，因为S1位于透镜B右侧?1处，对B为一虚u?1f1111111④，比????③，由②、③可解得

??1?f2u?1f1物，物距为?，再经B成像，所以

1较①、④两式可知

1111 ???u?f1f2如果A、B中有凹透镜，只要取负的f1或f2代入即可。

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5.4光学仪器的放大率 实像光学仪器的放大率

幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像，因而放大率m一般是指所有成实像的长度放大率，即v=mu。

如果有一幻灯机，当幻灯片与银幕相距2.5m时，可在银幕上得到放大率为24的像；若想得到放大率为40的像，那么，假设幻灯片不动，镜头和银幕应分别移动多少？

?u1??1?2.5? 根据第一次放映可知????1?m1u1?24u1可解得u1?0.1m，?1?2.4m，f?u1?1?0.096m

u1??111?1????f第二次放映 ?u2?2，可解得 u2?0.098m4，?2?3.94m ????2?m2u2?40u2比较u1和u2，可知镜头缩回1.6mm；比较?1和?2，可知银幕应移远1.54m。

虚像光学仪器的放大率

望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得到的是物体的虚像，目的是扩大观察的视角，因此放大率m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α，用仪器观察物体的视角为β，那么m=β/α

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显微镜的放大率

如果有一台显微镜，物镜焦距为f，目镜焦距为f，镜筒长L，若最后的像成在离目镜d

12处，试证明显微镜的放大率m?

Ld。 f1f2L ⅠAB2ⅡF1B1?F2O2BO1A1A2d 图5

显微镜的光路如图5所示，AB经物镜Ⅰ成一放大实像AB，物镜的长度放大率

11m1?A1B1B1O1，因f1、f2相对L都较小，而且B很靠近F1，所以B1O1?L，BO1?f ?ABBO1即m1?L/f1

A1B1位于目镜Ⅱ的焦点内，经目镜成一放大的虚像A2B2（通常让A2B2成在观察者的明视

距离d上）。因为都是近轴光线，所以此时观察者从目镜中看到A2B2的视角β为

??tan??A2B2ABAB?11?11 dB1O2f2若观察者不用显微镜，直接观看AB的视角α为??tan??则显微镜的放大率mm?AB

d?A1B1dLd ????f2ABf1f2目镜的长度放大率为m2?d/f2所以有m?m1m2

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天文望远镜的放大率

如果天文望远镜的物镜焦距为f1，目镜焦距为f2，试证明天文望远镜的放大率

m?f1/f2 。

s f1

图6

ABO1Ⅰ?B1A1Ⅱ?f2 O2望远镜成像光路如图6所示，远处物体AB由物镜Ⅰ成像AB，然后再由目镜Ⅱ在远处成

11一虚像A2B2（图中未画出），观察者观察A2B2的视角即为图中的β，??A1B1/f2。若不用望远镜，观察者直接观察距望远镜S远处的物体AB的视角，近似为图中的

??AB/S?A1B1/f2

因此望远镜的放大率m为m?

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ff?A1B1??1?1 ?f2A1B1f25.5常见的光学仪器 1、投影仪器

电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等，都属于投影仪器，它的主要部分是一个会聚的投影镜头，将画片成放大的实像于屏幕上，如图7。由于物距u略大于焦距f，画片总在物方焦平面附近，像距υ?f，放大率m??/f，它与像距v成正比。

一光学系统如图8所示，A为物平面，垂直于光轴，L为会聚透镜，M与光轴成45°角的平面镜。P为像面，垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为A面上的一个“上”字，试在图9中实像面P上画出像的形状。

聚 2、眼睛

光源光画镜片投影镜头R?幕ABCPQC?B?ALMPAMP图9

P?QRu≈f 图7

A?v P?图8

眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构上看，类似于照像机，图10为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜，相当于照像机中的感光底片，虹膜相当于照像机中的可变光阑，它中间的圆孔称为瞳孔。眼球中的晶状体是一个折射率不均匀的透镜，包在眼球外面的坚韧的膜，最前面的透明部分称为角膜，其余部分为巩膜。角膜与晶状体之间的部

分称为前房，其中充满水状液。晶状体与网膜之间眼球的内腔，称为后房，其中充满玻璃状液。所以，眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率（焦距）来调节聚焦的距离。

眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点，分别称为它调节范围的远点和近点。正常

图10

HH?角膜虹膜瞳孔后房玻璃状液晶状体黄斑巩膜网膜前房水状液FH H’

N?F盲点视神经40

眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长，无穷远的物体成像在网膜之前，它的远点在有限远的位置。远视眼的眼球过短，无穷远的物体成像在网膜之后（虚物点）。矫正近视眼和远视的眼镜应分别是凹透镜和凸透镜。所谓散光，是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同引起的，它需要非球面透镜来矫正。

视角、视角放大：物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角，视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离有关。当两物点（或同一物体上的两点）对人眼视角大小I?（约

2.9?10?4md）时，才能被人眼区分。在看小物体时，为了增大视角就要缩短物眼间距离，

但当其小于人眼近点距离时，视网膜上所成的像反而模糊不清。为此，必须使用光学仪器来增大视角。

A?AF?EBO图11

AFB图12

?EB?图11是人眼（E）通过放大镜观察物体AB的像A?B?，当人眼靠近光心时视角。

????A?OB??A?B?AB

?B?OBO若物体很靠近焦点，且成像于明视距离，则：B?O?25cm，BO?f，???A?B?AB ??BOfAB 25cm若不用放大镜将物体置于明视距离，如图12，BE=25cm，则视角：???AEB?把用光学仪器观察虚像所得视角???与将物体放在虚像位置上直接观察的视角φ的比值叫做光学仪器的视角放大率。用β表示视角放大率，即有????? ?AB25cm。 f对于放大镜，有 ???ABf25cm

41

3、显微镜

图13是显微镜成像原理图。被观察物体AB置于物镜L焦点

1L2外很靠近焦点处，（u?f），成放大实像A?B?于目镜L焦

112点内靠近焦点处（u?f），眼睛靠近目镜L的光心可观察22到位于明视距离的虚像A??B??

B?L?A???B??图13

L1ABA??A?B?AB??显微镜的物镜视角放大率???1?L?f1?L

ABAB?1f1LLA?B?A??B?????f225cm

?1未在图中画出。目镜放大率：?2?2?25??A?B?A?B??2f22525cm?2未在图中画出。显微镜的视角放大率：???1??2?25L f1?f2L，因此在计算放大率时用L代表物镜像距。通常显微镜焦距式中L是镜筒长度。由于f?2f1很小，多为mm数量级，明镜焦距稍长，但一般也在2cm以内。

42

4、望远镜

望远镜用于观察大而远的物体，如图14，图15分别表示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光路图。

图14 B??A?B?F1F2??BA?A??B???

B??A?BA??图15

F1F2A?两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜做物镜。远处物体从同点发出的光线可近似为平行光，因此将在物镜的焦平面上成一实像A?B?。开普勒望远镜的目镜也是凸透镜，其焦距较短，物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。结果，以A?B?为物，在无穷远处得到虚像A??B??。而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜，当它的物方焦平面（在右侧）与物镜的像方焦平面重合时，实像A?B?却成了虚物，经凹透镜折射成像A??B??于无穷远处。

由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的，可用于观察地面物体，而开普勒望远镜观察到的像是倒立的，只适合作为天文望远镜。从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放大率均为：??f1 f2还有一类望远镜的物镜是凹面镜，称为反射式望远镜。大型的天文望远镜都是反射式望远镜。

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例题讲解：

例1、如图16。AB为一线状物体，A1B1为此物经透镜所成的像。试用作图法确定此镜的位置和焦距，写出作图步骤。

图16

CAABB1A1DOB1NMBF?FA1E图17

分析：像A1B1是倒像，所以透镜应是凸透镜。物AB和像A1B1不平行，所以物相对于透镜的主轴是斜放的，沿物体AB和其像A1B1所引出的延长线的交点必在过光心且垂直于主轴的平面上，这条特殊光线是解答本题的关键光线。

解: 作AA1和BB1的连线，两条连线的交点O就是凸透镜光心的位置。作AB和A1B1的延长线交于C点，C点必定落在透镜上。由C、O两点可画出透镜的位置，过O点且与 CO垂直的连线MN就是透镜的主光轴，如图17所示。过A点作平行于主光轴的直线交透镜于D点，连接DA1，该连线与主光轴的交点F就是透镜的右焦点位置。过A1 作平行于主光轴的直线交透镜于E点，连线EA与主光轴的交点F?就是透镜左焦点的位置所在。 点评：熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律，并能灵活运用特殊光线来作图是解决这一类作图题的关键。

例2、如图18，MN是凸透镜主光轴，O为光心，F为焦点，图中所画两条光线为点光源S经凸透镜折射的两条光线。用作图法确定光源S与像点S?的位置。

S?SOMFOFNMF图19

FN图18

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分析：经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的，所以两条出射光线的反向延长线的交点就是像点S?的所在位置。由于物点发出的过光心的光线不改变方向，由此可以确定物点S落在S?O直线上，S?与凸透镜右焦点F的连线交凸透镜于P点，由于物点发出的平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过F焦点，所以过P点作与主光轴MN的平行线与S?O相交处就是物点S所在位置。如图19所示。

解：反向延长两条出射光线，它们的交点就是像点S?，分别作S?和O的连线，S?和F的连线且与凸透镜交于P，过P点作与MN的平行线PS与S?O交于S，S就是物点所在位置。 点评：正确理解像的物理意义，物与像之间的关系，才能顺利解答这类作图题。

例3、在斯涅耳的档案中有一张光学图（图20），由于墨水褪色只留下三个点；一个薄透镜的焦点F，光源S和透镜上的一点L。此外还留下一部分从光源S画到其像S?的直线a。从正文中知道S点比S?点更靠近透镜，有可能恢复这张图吗？如果可能，把它画出来，并确定图中透镜的焦距。

图20

SSa2Fn2n1O2aFL2F图21

FCO1L解：1、令O为透镜的光学中心；

2、F和O点应位于垂直于透镜的光轴上，因此?FOL是直角； 3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心；

4、连接F，L点并以线段FL的中点C为圆心，画一通过F及L点的圆；

5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角，可以判定O点位于圆和直线a的交点上； 6、从圆中找到O点的两个可能的位置（O1和O2）； 7、恢复出两种可能的示意图，如图21所示；

8、由于光源S比其像S?更靠近透镜，可以断定只有透镜n1符合题意。实际上，对透镜n1可

45

以看到S到n1的距离大于二倍焦距，因此S?到n1的距离小于二倍焦距。

例4、焦距均为f的二凸透镜L1、L2与两个圆形平面反射镜M1、M2放置如图22。二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平面镜的中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源O。

f2M1L1L2M2F2?ff2AF1ffF1?fOfF2f图22

1、画出由光源向右的一条光线OA（如图22所示）在此光学系统中的光路。

2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置（O点除外）形成光源O的能看到的像，哪些是实像？哪些是虚像。

3、现在用不透明板把L1和L2的下半部（包括透镜中心）都遮住，说出这些像有什么变化。 解：1、光线OA的第一次往返光路如图23所示。当光线由图中左方返回经O点后，将继续向右下方进行，作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出，可按图中光路对称于主轴画出。以后，光线重复以上两种往返光路。

f2图23 M1P L1L2M2F2?f2AQ F1F1?OF22、向右发出的光线：F?处成实像，右方无限远处成虚像；F处成实像；P处（M左方f211处主轴上）成虚像。

向左发出的光线：F1处成实像；左方无限远处成虚像；F2?处成实像；Q处（M2右方主轴上）成虚像。

46

2f处

23、向右发出的光线只在F?处成实像。向左发出的光线只在F处成实像。两像均比未遮住

21时暗。

例5、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（图24）。

（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。 （2）用计算法求出此像的位置和大小。

分析：这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。虽然我们画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路，但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。

解：（1）用作图法求得物AP的像A?P?及所用各条光线的光路如图25所示。

S T H A P L M

Q / F A?H F 2f F/ 图24

S/ F/ ?O P/ 图25

说明：平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M组合LM，如图25所示。图中O为L的光心，AOF?为主轴，F和F?为L的两个焦点，AP为物。作图时利用了下列三条特征光线：

①由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主光轴的夹角等于入射角，均为α。反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射

47

出时方向与上述反射线相同，即图中的OP?。

②由P发出且通过L左方焦点F的入射光线PFR，它经过L折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折射后的出射线通过焦点F，即为图个中RFP。

③由P发出的平行于主轴的入射光线PQ，它经过L折射后的出射线将射向L的焦点F?，即沿图中的QF?方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与F?对称的F点，即沿QF

S?OS方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出：通过O作平行于QF辅助线S?OS，

通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。

上列三条出射光线的交点P?即为LM组合所成的P点的像，对应的A?即A的像点。由图可判明，像A?P?是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得A?P?，即为正确的答案。

（2）按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小。

物AP经透镜L成的像为第一像，取u1?2f，由成像公式可得像距?1?2f，即像在平面镜后距离2f处，像的大小H?与原物相同，H??H 。

第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后2f处，对M来说是虚物，成实像于M前2f处。像的大小H??也与原物相同，H???H??H。

第二像作为物，再经透镜L而成的像为第三像。这是因为光线由L右方入射。且物（第二像）位于L左方，故为虚物，取物距u3??2f，由透镜公式

111??可得像距u3?3f??3fu3?0

u3?f2处，像的大小fH???可由3上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离

H????31111??求得，即H????H???H，像高为物高的 。 H??u3333348

例6、如图26所示，凸透镜焦距f=15cm，OC=25cm，以C为圆心、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。 图26

y,yˊ P C F O F x C F O 图27

F xˊ

Pˊ

分析：先考虑发光圆环上任意一点P经透镜所成之像，当P点绕圆环一周时，对应的像点的集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。因此可用解析几何的方法讨论本题。 解：如图27所示，以O点为直角坐标系原点建立坐标系xOy和x?Oy?。考虑发光圆环上任一点P（x，y），则有(x?25)2?y2?52①

发光点P（x，y）的像为P?(x?,y?)，根据透镜成像公式及放大率关系可有

111y?x?15x?④，15y?⑤ ??②，?③，联立②、③式解得x?y?xx?fyxx??15x??15(x??45)2y?2将④、⑤式代入①式中并整理得??1⑥ 2215(53)⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心45cm处，以主光轴为长轴的椭圆。 讨论：如果把发光圆环用一球壳取代，则根据对称性，球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。

点评：曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状，至于是什么样的曲线，要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。

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例7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜，讨论可行性。 解：我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征；球形表面的半径r1和r2，厚度d和折射n（图28），焦距f=BF由下式给出

?111?n?1?1??(n?1)???d???frrnrr??212? ?1焦距是从主点B算起的。B离表面的距离为

r1 B d A r2 f F BA?h?r2dn(r1?r2)?d(n?1)

图28

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给满意结果，因为是在一定的近似下得到的。

光被透镜色散。透镜对波长?0的折射率是na，对波长?b的折射率是nb。按折射率n的幂次整理焦距公式，得f(r?r?d)n2?[2fd?f(r?r)?rr]n?fd?0

121212这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可以解决。 先后以na和nb代入方程，并令其相等

?11?11na?1?nb?1? ???(na?1)???d??(n?1)??d?b?rr???nar1r2?nbr1r2?2?1?r1r2 整理后得到r1?r2?d?1??nn??ab??如果半径r1,r2与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积nanb在起作用，而不是色散（nb?na）。因折射率大于1，于是括号内的数值小于1，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。 结果讨论：首先，透镜不可以是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，r1和

?1?r2之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。

如果要求的不是f而是（f-h）对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。

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