高校自主招生讲义

1.一斜面固定在水平面上，在斜面顶端有一长木板，木板与斜面之间的动摩擦因数为μ，木板上固定一轻质弹簧测力计，弹簧测力计下面固定一个光滑的小球如图所示，木板固定时，弹簧测力计示数为F1，由静止释放后木板沿斜面下滑， 稳定时弹簧测力计的示数为F2，斜面的高为h，底边长为d，则下列说法正确的是( ) A．稳定后弹簧一定处于压缩状态 B．稳定后弹簧仍处于拉伸状态 C??

2.如图所示，在光滑的水平地面上，质量为M=3.0kg的长木板A的左端，叠放着一个质量为m=1.0kg的小物块B（可视为质点），处于静止状态，小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.30。在木板A的左端正上方，用长为R=0.8m的不可伸长的轻绳将质量为m=1.0kg的小球C悬于固定点O点。现将小球C拉至上方使轻绳拉直且与水平方向成θ=30°角的位置由静止释放，到达O点的正下方时，小球C与B发生碰撞且无机械能损失，空气阻力不计，取g=10m/s，求： （1）小球C与小物块B碰撞前瞬间轻绳对小球的拉力；

（2）木板长度L至少为多大时，小物块才不会滑出木板。

3.如图所示，两同心圆M、N之间的区域存在垂直于纸面的匀强磁场，圆M内、N外没有磁场，一质量为m，带电量为+q的粒子从圆心O处沿某一方向以速度v0飞出，已知圆M 的半径为R， 圆N的半径为3R，粒子重力不计。已知粒子进入磁场后沿顺针方向偏转。求： （1）磁场的方向是垂直于纸面向里还是向外的？

（2）若粒子能再次经过圆心O，磁场的磁感应强度至少为多大？

（3）若磁场的磁感应强度保持为（2）的大小，求粒子从圆心O飞出到再次过圆心且速度与初速度方向相同所用的时间。

第1页

2

F2hFd D．??1

F2hF1d4.如所示图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场，一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

5.两个质量分别为M1和M2的劈A和B，高度相同，放在光滑的水平面上，A和B相向的侧面都是相同的光滑的曲面，曲面下端与水平面相切，如图所示，一个质量为m的物块位于劈A的曲面上，距水平面的高度为h。物块从静止开始滑下，然又滑上劈B的曲面。试求物块在B上能够达到的最大高度h'是多少？

第2页

6.一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图1所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为Td，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）

注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度

v2，所谓平an，可以证明，an?，v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”

R面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径．如图2中曲线在A点的曲率半径为RA，在B点的曲率半径为RB．

7.如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

第3页

8.如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和 mb. 杆可绕

1距a球为l处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎接触桌面．在杆

4的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过??角时小球b速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．

9.如图甲所示，竖直放置轻弹簧下端与放在水平地面上的物块A相连，上端与物块B相连。物块C在B的正上方某处自由下落，与B碰后黏合在一起后继续下降。在物块C正上方放置一个速度传感器，以测定C下落的速度vC；在物块A的正下方放置一个压力传感器，以测量物块A对地面的压力FN，得到如图乙所示的v—t和FN—t图，图中纵坐标上的FN1、v1、v2均为已知量。已知弹簧的劲度系数为k，A、B、C三个物块的质量均相等且都可视为质点，重力加速度为g。

（1）每个物块的质量m；

（2）求从t1到t2时间内，B、C黏合体对弹簧做功的大小？

（3）为使B、C黏合体向上反弹到最大高度时，物块A对地面的压力恰好为零，则C物块开始下落时与B物块间的距离H应为多大？

第4页

10.如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中有两条光滑固定的平行金属导轨MN、PQ，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直，ab、cd为两根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻分别为R，质量分别为m，与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与cd棒的中点连接，细线能承受的最大拉力为T，一开始细线处于伸直状态，ab棒在平行导轨的水平拉力F的作用下以加速度a向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨相垂直。 （1）求经多长时间细线被拉断？

（2）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F,求两根金属棒之间距离增量△x的最大值是多少？

11.四个等值电阻R、四个C＝1F的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图所示。各电池的电压为U1＝4V，U2＝8V，U3＝12V，U4＝16V，它们的内电阻均可忽略。（a）求每个电容器的电压和电量，（b）若H点与B点短路，求电容器C2上的电量。

第5页

22.如图所示，木板A的质量为m，木板B的质量为2m，置于水平地面上，它们之间距离为L，质量为m的物块C带电量为q，静止于木板A的左端，木板A和木板B与水平地面之间的动摩擦因数都为μ，C与A、B之间的动摩擦因数都为6μ，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。开始时，三个物体均处于静止状态。现加一水平向右的匀强电场，电场强度为E＝4μmg/q。经过一段时间后物块C最终停留在木板B上某处。假定物块C的电量保持不变且可视为质点，木板A、B碰撞时间极短，碰撞后粘连在一起，电场区域足够大。求：

(1) A与B碰撞后瞬间木板B的速度v1是多大？ (2) C与木板B相对静止时，木板B的速度v2是多大？

(3) 从A与B碰撞到物块C刚相对于木板B静止的过程中，电场力对物块C做的功W是多少？

23.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与（k>1）之间变化，且重=x，求空腔所引起的Q点处的

力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

第11页

24.如图所示，宽度为d1的I区里有与水平方向成45°角的匀强电场E1，宽度为d2的II区里有相互正交的匀强磁场B和匀强电场E2。一带电量为q，质量为m的微粒自图中I区左边界线上的P点由静止释放后水平向右做直线运动进入II区的复合场再做匀速圆周运动到右边界上的Q点，其速度方向改变了60°，重力加速度为g。（d1、E1、E2未知）求：

（1）E1、E2的大小； （2）有界电场E1的宽度d1。

25.如图所示，C是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m，在木板的上面有两块质量均为m的小木块A和B，它们与木板间的动摩擦因数均为μ.最初木板静止，A、B两木块同时以方向水平向右的初速度v0和2v0在木板上滑动，木板足够长，A、B始终未滑离木板.求：

（1）木块B从刚开始运动到与木板C速度刚好相等的过程中，木块B所发生的位移； （2）木块A在整个过程中的最小速度；

（3）整个过程中，A、B两木块相对于滑板滑动的总路程是多少？

第12页

26.如图所示，水平地面上有一辆固定有竖直光滑绝缘管的小车，管的底部有一质量m=0.2g、电荷量q=8×10C的小球，小球的直径比管的内径略小．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B1= 15T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B2=5T的匀强磁场。现让小车始终保持v=2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界PQ为计时的起点，测得小球对管侧壁的弹力FN随高度h变化的关系如图所示．g取10m/s，不计空气阻力。求：

（1）小球刚进入磁场B1时的加速度大小a； （2）绝缘管的长度L；

（3）小球离开管后再次经过水平面MN时距管口的距离△x。

2

-5

27.如图所示，质量为在的左端，、、与、的足够长木板静止在光滑水平面上，质量均为、的两个小物块 、放间相距s0，现同时对施加水平向右的瞬时冲量而使之分别获得初速度v0

和2v0，若之间的动摩擦因数分别为??和2??，则 、的共同速度为多大？ 的最小速度？

（1）最终（2）求运动过程中（3）与最终相距多远？

、与木板因摩擦所产生的热量之比为多大？

（4）整个过程中

第13页

28.2009年3月1日16时13分10秒，中国自主研制的第一个月球探测器(嫦娥一号)成功实现“受控撞月”，为我国探月一期工程画上圆满的句号。

(1)设探测器的质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“受控撞月”开始前探测器在离月球表面高为h的圆形环月轨道上正常运行。求它在此轨道上正常运行的 线速度大小；

(2)假设此次进行“受控撞月”开始的过程按图甲所示进行，探测器在A点向前短时间喷气，减速后的探测器做向心运动沿曲线到达月球表面附近的B点。设探测器到达B点时 速度大小为从A到B的空间范围内的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加

，求喷出气体的质量；

速度，喷出的气体相对于月球表面的速度大小为(3)为了增加撞击效果，撞击前要利用剩余的燃料对探测器进行加速，图乙所示为探测器到达B点时速度方向的示意图，为了使探测器能够沿此方向做加速直线运动，请在图乙中用由坐标原点有向线段表示出可能的一种发动机喷气方向。

29.如图所示，坐标平面的第Ⅰ象限内存在大小为E、方向水平向左的匀强电场，第Ⅱ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。足够长的挡板MN垂直x轴放置且距原点O的距离为d。一质量为m、带电量为-q的粒子若自距原点O为L的A点以大小为v0，方向沿y轴正方向的速度进入磁场，则粒子恰好到达O点而不进入电场。现该粒子仍从A点进入磁场，但初速度大小为2粒子进入电场后能垂直打在挡板上，求粒子（不计重力）在A点第二次进入磁场时：

（1）其速度方向与x轴正方向之间的夹角。

（2）粒子到达挡板上时的速度大小及打到挡板MN上的位置到x轴的距离。

v0，为使出发的

第14页

30.如图所示，在y＞0的空间中，存在沿y轴正方向的匀强电场E；在y＜0的空间中，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小也为E，一电子（－e，m）在y轴上的P（0，d）点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，不计电子重力，求：

（1）电子第一次经过x轴的坐标值；

（2）请在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹； （3）电子在y方向上分别运动的周期；

（4）电子运动的轨迹与x轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离。

31.如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为B＝5.0×10T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m＝6.64×103.2×10

－19

－2

－27

㎏、电荷量为q＝＋

C的α粒子（不计α粒子重力），由静止开始经加速电压为U＝1205V的电场（图中未画出）

）处平行于x轴向右运动，并先后通过匀强磁场区域。

加速后，从坐标点M（－4，?求出α粒子在磁场中的运动半径；

?在图中画出α粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；

?求出α粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。

第15页

32.如图所示，光滑绝缘壁围成的正方形匀强磁场区域，边长为a磁场的方向垂直于正方形平面向里，磁感应强度的大小为B．有一个质量为m、电量为q的带正电的粒子，从下边界正中央的A孔垂直于下边界射入磁场中．设粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰撞时间．

（1）若粒子在磁场中运动的半径等于孔射出?

（2）若粒子在磁场中运动的半径等于粒子从A孔射出；如不能，说出理由．

（3）若粒子在磁场中运动的半径小于a且仍能从A孔垂直边界射出，粒子射入的速度应为多大?在磁场中的运动时问是多长？

33.两端开口、内壁光滑的直玻璃管MN竖直固定在水平面上，a、b二个小球，直径相等，略小于玻璃管的内径，且远小于玻璃管的长度，大小可忽略不计；a、b两球的质量分别为m1和m2（m1=2m2）。开始时，a球在下b球在上两球紧挨着在管口M处由静止同时释放，a球着地后立即反弹，其速度大小不变，方向竖直向上，与b球相碰，接着b球竖直上升。设两球碰撞时间极短、碰撞过程中总动能不变，在b球开始上升的瞬间，一质量为m3的橡皮泥在M处自由落下，如图所示。b与c在管中某处相遇后粘在一起，要使b、c粘合后能够竖直飞出玻璃管口，则m2与m3之比必须满足什么条件？

，判断粒子能否再从A孔射出．如能，求出经多长时间，则粒子射入磁场的速度为多大?经多长时间粒子又从A

第16页

34.如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A，车板总长为L．车上有两个小滑块B和C（都可视为质点），B与车板之间的动摩擦因数为μ，而C与车板之间的动摩擦因数为2μ．开始时B、C分别从车板的左、右两端同时以大小相同的初速度相向滑行．经过一段时间，C、A的速度达到相等，此时C和B恰好发生碰撞．已知C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，A、B、C三者的质量都相等，重力加速度为g．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力． （1）求C和B开始滑行时的初速度v0的大小．

（2）已知滑块C最后没有脱离车板，求滑块C最后与车达到相对静止时处于车板上的位置．

35.如图，一匀强磁场磁感应强度为B，方向向里，其边界是半径为R的圆。AB为圆的一直径。在A点有一粒子源向圆平面内的各个方向发射质量m、电量+q的粒子，粒子重力不计。（结果保留2位有效数字）

（1）如果有一带电粒子以垂直于磁场的速度，沿半径方向进入圆形区域的磁场中。试证明此粒子一定沿半径方向射出磁场。

（2）如果磁场的边界是弹性边界，粒子沿半径方向射入磁场，粒子的速度大小满足什么条件，可使粒子在磁场中绕行一周回到出发点,并求离子运动的时间。

（3）如果R=3cm、B=0.2T,在A点的粒子源向圆平面内的各个方向发射速度均为10m/s，比荷为10c/kg的粒子.试画出在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹并求此粒子的运动的时间。 (4)在（3）中，如果粒子的初速度大小均为3×10米/秒,求磁场中有粒子到达的面积.

5

8

6

第17页

36.如图所示，在光滑水平地面上，有一质量m1 = 4.0kg的平板小车，小车的右面有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧。位于小车上A点处的质量m2 = 1.0kg的木块（可视为质点）与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力。木块与A点左侧的车面之间的动摩擦因数μ=0.40，木块与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计。现小车与木块一起以v0 = 2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v1 = 1.0m/s的速度离开墙壁，取g=10m/s。

（1）若弹簧始终处于弹性限度内，求小车撞墙后与木块相对静止时的速度大小和弹簧的最大弹性势能；

（2）要使木块最终不从小车上滑落，则车面A点左侧粗糙部分的长度应满足什么条件？

37.如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A＝90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．

（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？

（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？

（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值．

2

第18页

38.如图所示.真空中有以（r,O）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，在轴上方，该区域的边缘没有磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y =r的虚线上方足够大的范围内，有水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E。从O点向纸面内所有各个方向发射速率相同的质子，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电荷量为e，质量为m。不计重力、阻力及质子间的相互作用力，求：

(1)质子射入磁场时的速度大小

(2)所有质子中到达y轴正半轴的最大纵坐标值 (3)速度方向与

轴正方向斜向下成30角（如图中所示）射入磁场的质子到达y轴的坐标位置

0

第19页

答案

1.BC【解 析】平衡时对小球分析F1?mgsin?，运动后稳定时整体分析

a?gsin???gcos?，根据牛顿第二定律独立性，弹簧处于拉伸状态，对小球有

mgsin??F2?ma，而tan??h，计算可得C正确。 d2.解析：（1）静止释放后小球做自由落体运动到a，轻绳被拉紧时与水平方向成30?角，再绕O点向下做圆周运动，由机械能守恒定律得mgR?12mv0 2轻绳被拉紧瞬间，沿绳方向的速度变为0，沿圆周切线方向的速度为va?v0cos?

小球由a点运动到最低点b点过程中机械能守恒

1122mva?mgR?1?sin???mvb 222vb设小球在最低点受到轻绳的拉力为F，则 F?mg?m

R联立解得F?3.5mg?35N

（2）小球与B碰撞过程中动量和机械能守恒，则mvb?mv1?mv2

5gR11122mvb?mv12?mv2 解得 v1=0，v2=vb=（碰撞后小球与B交换速度） 2222

B在木板A上滑动，系统动量守恒，设B滑到木板A最右端时速度为v，则mv2??m?M?v B在木板A上滑动的过程中，系统减小的机械能转化为内能，由能量守恒定律得

?5gR?M1122??代入数据解得L=2.5m ?mgL?mv2??m?M?v 联立解得L??222?g?m?M??2??3.解析：（1）由左手定则得：磁场方向垂直于纸面向外。

（2）粒子能再次经过圆心O，磁场的磁感应强度最小时，粒子运动轨迹与圆N相切，轨迹如图。设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r。由几何知识可知：

2(3R?r)2?R2?r2 ①

2v0设磁场的磁感应强度最小值为B，由洛仑兹力公式及匀速圆周运动规律得：qBv0?m ②

r联立①②解得：B?3mv0 ③ qR第20页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pbrh.html