课后习题答案

3. 坐标系{B}的位置变化如下：初始时，坐标系{A}与{B}重合，让坐标系{B}绕

AZB轴旋转?角；然后再绕XB旋转?角。给出把对矢量BP的描述变为对P描述

的旋转矩阵。

解：?坐标系{B}相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变

换顺序为依次右乘。

AB?对P描述有 AP?ABTP ；

其中 ABT?Rot(z,?)Rot(x,?) 。

9. 图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）

对楔块1进行的变换矩阵为：T1?Rot(y,90)Rot(z,90) ；

对楔块2进行的变换矩阵为：

ooT2?Trans(?3,0,4)Rot(z,?90o)02TRot(x,90)Rot(z,180) ；

?1?0?其中 02T??0??0?0?1所以 ：T1???0??001000010001010000?5?? ； 0??1?0??00?1?1000?? ；T2???0?100???1??0002?0?? 4??1?方法2：如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）

对楔块1进行的变换矩阵为：T1?Rot(y,90)Rot(z,90) ； 对楔块2进行的变换矩阵为：

T2?Trans(?2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z,?90o) ；

?0?1所以 ：T1???0??0001010000??00?1?1000?? ；T2???0?100???1??0002?0?? 。 9??1?备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。

（2）、（3）略。

2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程式。

解：方法1建模：

如图3建立各连杆的坐标系。

图3：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。

表1：机械手的连杆参数

连杆 1 ?i 90o ai di 0 0 ?i L1 L2 0 ?1 2 0 ?2 ?3 3 0 0 该3自由度机械手的变换矩阵： 0T3?A1A2A3 ；

?c?1?s?A1??1?0??0?c?3?s?A3??3?0??00s?10?c?11000L1c?1??c?2?s?L1s?1?? ； A2??2?00???1??0?s?2c?2000L2c?2?0L2s?2?? ； 10??01??s?300?c?300?? ； 010??001??c?1c?2s?3?c?1s?2c?3?s?1c?2s?3?s?1s?2c?3?s?2s?3?c?2c?30s?1?c?100L1c?1?L2c?1c?2?L1s?1?L2s?1c?2???L2s?2?1?

?c?1c?2c?3?c?1s?2s?3?s?c?c??s?s?s?1230T3??123?s?2c?3?c?2s?3?0?方法二进行建模：

坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。

表2：机械手的连杆参数

连杆 1 ?i?1 0 90o ai?1 0 di 0 0 ?i ?1 2 L1 ?2 ?3 3 0 L2 0

?c?1?s?A1??1?0??0?c?3?s?A3??3?0??0?s?1c?100?s?3c?30000100??c?2?00?? ； A2???s?20???1??0?s?20c?200L1??10?? ； 00??01?0L2?00??； 10??01??c?1c?2s?3?c?1s?2c?3?s?1c?2s?3?s?1s?2c?3?s?2s?3?c?2c?30s?1?c?100L1c?1?L2c?1c?2?L1s?1?L2s?1c?2??

?L2s?2?1??c?1c?2c?3?c?1s?2s?3?s?c?c??s?s?s?1230T3??123?s?2c?3?c?2s?3?0?3. 图3-12 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵0T1，1T2和2T3。

解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。 方法1建模：

按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。

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